医学统计学多元线性回归分析
合集下载
医学统计学 多重线性回归分析
SS回归
检验统计量： F
MS回归 MS残差
回归 残差
SS残差
SS回归 SS残差 n2
查F界值表（P468），确定单侧临界值Fa(v回归, v残差)，
求概率值 P，下结论
检验过程：
1. 建立假设，确定检验水准 H0 ： β1=β2=β3=…=βi=0 ； H1 ：至少有一个 βi ≠ 0。
之间的线性相关程度，即Y 和该组自变量的密切程度。
SS回归 SS总
本题：R
1773 .343 0.8551 2425 .301
3. 调整确定系数（adjust coefficient of determination, Rad2）
R
2 ad
p 1 R R n p 1
2 2
数模： Y X ， X ，...，X 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p
1 2 n
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少 一个计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所 引起应变量Y的平均改变量为βi个单位。
由表13-3可以看出，BMI、病程和空腹血糖对脂联素的 影响无统计学意义，P ＞ 0.05，而瘦素的影响有统计学意 义P＜ 0.05。
回归方程的解释： ——这四个因素对糖尿病患者体内脂联素水平的 影响有多大？
1. 确定系数/决定系数
（coefficient of determination ，R2 ）
ˆ2 SS残差： Y Y
总变异中无法用X1、 反应自变量X以外因素对Y X2…等和Y的回归关 的变异的影响。表示考虑 （残差平方和） 系解释的那部分变异 回归之后，Y的随机误差。
检验统计量： F
MS回归 MS残差
回归 残差
SS残差
SS回归 SS残差 n2
查F界值表（P468），确定单侧临界值Fa(v回归, v残差)，
求概率值 P，下结论
检验过程：
1. 建立假设，确定检验水准 H0 ： β1=β2=β3=…=βi=0 ； H1 ：至少有一个 βi ≠ 0。
之间的线性相关程度，即Y 和该组自变量的密切程度。
SS回归 SS总
本题：R
1773 .343 0.8551 2425 .301
3. 调整确定系数（adjust coefficient of determination, Rad2）
R
2 ad
p 1 R R n p 1
2 2
数模： Y X ， X ，...，X 0 1 X 1 2 X 2 ... p X p
1 2 n
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少 一个计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所 引起应变量Y的平均改变量为βi个单位。
由表13-3可以看出，BMI、病程和空腹血糖对脂联素的 影响无统计学意义，P ＞ 0.05，而瘦素的影响有统计学意 义P＜ 0.05。
回归方程的解释： ——这四个因素对糖尿病患者体内脂联素水平的 影响有多大？
1. 确定系数/决定系数
（coefficient of determination ，R2 ）
ˆ2 SS残差： Y Y
总变异中无法用X1、 反应自变量X以外因素对Y X2…等和Y的回归关 的变异的影响。表示考虑 （残差平方和） 系解释的那部分变异 回归之后，Y的随机误差。
医学统计学第十五章多元线性回归分析
预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
医学统计学：多元线性回归
12.60
糖化血 血糖
红蛋白(%) (mmol/L)
X4
Y
8.2
11.2
6.9
8.8
10.8
12.3
8.3
11.6
7.5
13.4
13.6
18.3
8.5
11.1
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
y
11.926
2.9257
27
x1
5.8126
1.59338
x 量
j
偏回归平方和用SS回(Xj)表示，其值愈大说明相应的自变 量愈重要。需要注意的是：一般情况下，m-1个自变量对 y的回归平方和由重新建立的新方程得到，而不是简单地 把bjxj从有优个自变量的方程中剔出后算得。
x j 的偏回归平方和检验
Fj
ss回（X j ) /1 ss残 （/ n m 1)
一、全局择优法
➢ 全局择优法是对自变量各种不同的组合所 建立的回归方程进行比较，进而从全部组 合中挑出一个“最优”的回归方程。下面 给出两种具体的选择方法。
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
x1
.142
.366
x2
.351
.204
x3
-.271
.121
x4
.638
.243
a. Dependent Variable: y
Standardized C oeffi ci ents
Beta
.078 .309 -.339 .398
Chang e Statistics
糖化血 血糖
红蛋白(%) (mmol/L)
X4
Y
8.2
11.2
6.9
8.8
10.8
12.3
8.3
11.6
7.5
13.4
13.6
18.3
8.5
11.1
Descriptive Statistics
Mean
Std. Deviation
N
y
11.926
2.9257
27
x1
5.8126
1.59338
x 量
j
偏回归平方和用SS回(Xj)表示，其值愈大说明相应的自变 量愈重要。需要注意的是：一般情况下，m-1个自变量对 y的回归平方和由重新建立的新方程得到，而不是简单地 把bjxj从有优个自变量的方程中剔出后算得。
x j 的偏回归平方和检验
Fj
ss回（X j ) /1 ss残 （/ n m 1)
一、全局择优法
➢ 全局择优法是对自变量各种不同的组合所 建立的回归方程进行比较，进而从全部组 合中挑出一个“最优”的回归方程。下面 给出两种具体的选择方法。
Model
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
x1
.142
.366
x2
.351
.204
x3
-.271
.121
x4
.638
.243
a. Dependent Variable: y
Standardized C oeffi ci ents
Beta
.078 .309 -.339 .398
Chang e Statistics
医学统计学第十五章多元线性回归分析精品文档
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
2. 决定系数R 2：
R2 SS回 1 SS残
SS总
SS总
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1, X 2 , , X m 能 够 解 释 Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明
模型对数据的拟合程度愈好。本例
R 2 133 .7107 0 .6008 222 Nhomakorabea5519
Xn2
… … … … …
Xm
X1m X2m ┇
Xnm
条件
Y
Y1 Y2 ┇
Yn
(1)Y 与X1,X2,,Xm之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi(i1,2,,n)相互独立。 (3)残差e服从均数为0、 方差为2的正态分布， 它等价于对任意
一组自变量X1,X2,,Xm值，应变量Y具有相同方差，并且服从正态
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2019/10/13 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
第一节 多元线性回归
2019/10/13
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
2. 决定系数R 2：
R2 SS回 1 SS残
SS总
SS总
0 R 2 1 ， 说 明 自 变 量 X 1, X 2 , , X m 能 够 解 释 Y 变 化 的 百 分 比 ， 其 值 愈 接 近 于 1， 说 明
模型对数据的拟合程度愈好。本例
R 2 133 .7107 0 .6008 222 Nhomakorabea5519
Xn2
… … … … …
Xm
X1m X2m ┇
Xnm
条件
Y
Y1 Y2 ┇
Yn
(1)Y 与X1,X2,,Xm之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi(i1,2,,n)相互独立。 (3)残差e服从均数为0、 方差为2的正态分布， 它等价于对任意
一组自变量X1,X2,,Xm值，应变量Y具有相同方差，并且服从正态
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2019/10/13 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
第一节 多元线性回归
2019/10/13
《医学统计学》之多元(重)线性回归
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在本课程中，我们将深入研究医学统计学中的多元(重)线性回归分析。掌握回 归模型的基础知识，并学习如何评估模型、诊断回归方程以及拟合策略。
模块一：回归分析基础知识
了解回归分析的基本原理和应用场景，掌握回归方程的建立和参数估计的方 法。
模块二：多元线性回归模型
学习多元线性回归模型的概念、假设条件和模型参数的估计方法。
模块七：应用案例与实战经验
通过真实的医学案例和实战经验，加深对多元(重)线性回归的理解，并了解统计概念，包括方差膨胀因子、共线性检验和异常值检测。
模块四：模型评估与解释
学习如何评估回归模型的拟合优度和预测精度，并解释模型中的系数含义。
模块五：回归诊断
掌握回归诊断的基本方法，包括残差分析、离群值检测和共线性诊断。
模块六：回归模型拟合策略
学习选择合适的自变量、建立最佳模型和验证模型的方法，以及防止过拟合和欠拟合。
在本课程中，我们将深入研究医学统计学中的多元(重)线性回归分析。掌握回 归模型的基础知识，并学习如何评估模型、诊断回归方程以及拟合策略。
模块一：回归分析基础知识
了解回归分析的基本原理和应用场景，掌握回归方程的建立和参数估计的方 法。
模块二：多元线性回归模型
学习多元线性回归模型的概念、假设条件和模型参数的估计方法。
模块七：应用案例与实战经验
通过真实的医学案例和实战经验，加深对多元(重)线性回归的理解，并了解统计概念，包括方差膨胀因子、共线性检验和异常值检测。
模块四：模型评估与解释
学习如何评估回归模型的拟合优度和预测精度，并解释模型中的系数含义。
模块五：回归诊断
掌握回归诊断的基本方法，包括残差分析、离群值检测和共线性诊断。
模块六：回归模型拟合策略
学习选择合适的自变量、建立最佳模型和验证模型的方法，以及防止过拟合和欠拟合。
医学统计学第十五章 多元线性回归分析
2019/2/4
第一节
多元线性回归
2019/2/4
医学统计学
一、多元线性回归模型
• • • • 变量：应变量 1 个，自变量m 个，共 m+1 个。 样本含量：n 数据格式见表15-1 回归模型一般形式：
Y X X X e 0 1 1 2 2 m m
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ 医学统计学
表15-1 多元回归分析数据格式
例 号 1 2 ┇ n X 1 X 1 1 X 2 1 ┇ X n 1 X 2 X 1 2 X 2 2 ┇ X n 2 … … … … … X m X 1 m X 2 m ┇ X n m Y Y 1 Y 2 ┇ Y n
条件
X ,X , ,X Y与 ( 1 ) 间 具 有 线 性 关 系 。 1 2 m之
糖化血 红蛋白(%) X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖 (mmol/L) Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
X X , i,j = 1 , 2 , , m
i j
l ( X X ) ( X X ) X i j i i j j iX j
第十五章 多元线性回归分析
(Multiple Linear Regression)
多重回归分析-医学统计学
29
3）Pe和Ps的确定
1 Pe, Ps 需要多次选取。 2 常取0.5, 0.4,0.3, 0.2, 0.1, 0.05. 3 剔除变量的界值Ps要大于选进变量的 界值Pe
30
四、衡量回归方程的标准
采用不同的剔除变量方法，选入不同剔 除变量的标准,会得到不同的回归方程.我们 要根据实际情况，对每个变量的单独作用、 变量间的交互作用作出恰当的评价。一般 来说，当回归方程中自变量个数增加，或 多或少总能减少剩余误差，提高模型的拟 合精度，但势必导致模型的复杂性。
25
逐步回归法（stepwise selection)
将前进和后退两种方法结合起来,既 考虑引入变量又考虑剔除变量。
有两个界值，SLE，SLS 调试法：SLE,SLE常取0.5，0.1， 0.05。一般实际用时，应多次选取 调整。
注意SLE和S想
事先给定挑选自变量进入方程的P界值 （缺省值 P=0.1 ），开始方程中没有自变 量，然后，按自变量对 y 的贡献大小由大 到小依次挑选进入方程，每选入一个变量， 都要对已在模型中的变量进行检验，对大 于剔除标准的变量要逐一剔除。
8
2）多重回归方程的建立
1) 求回归系数 常用最小二乘估计的方法求解待定系数 b0 和偏回归系数b1、b2……bp。
9
最小二乘原理
2 ˆ Q ( y i yi ) i 1 n
最小
则：
1 ˆ b j j ( ) Y
2）回归方程的检验 由样本计算得到的回归方程是总体回归 的估计。多重回归方程有没有意义需要作 假设检验。 采用的是方差分析。
试分析汽车流量，气温，空气湿度，风速 与大气污染物一氧化氮NO浓度关系。
3）Pe和Ps的确定
1 Pe, Ps 需要多次选取。 2 常取0.5, 0.4,0.3, 0.2, 0.1, 0.05. 3 剔除变量的界值Ps要大于选进变量的 界值Pe
30
四、衡量回归方程的标准
采用不同的剔除变量方法，选入不同剔 除变量的标准,会得到不同的回归方程.我们 要根据实际情况，对每个变量的单独作用、 变量间的交互作用作出恰当的评价。一般 来说，当回归方程中自变量个数增加，或 多或少总能减少剩余误差，提高模型的拟 合精度，但势必导致模型的复杂性。
25
逐步回归法（stepwise selection)
将前进和后退两种方法结合起来,既 考虑引入变量又考虑剔除变量。
有两个界值，SLE，SLS 调试法：SLE,SLE常取0.5，0.1， 0.05。一般实际用时，应多次选取 调整。
注意SLE和S想
事先给定挑选自变量进入方程的P界值 （缺省值 P=0.1 ），开始方程中没有自变 量，然后，按自变量对 y 的贡献大小由大 到小依次挑选进入方程，每选入一个变量， 都要对已在模型中的变量进行检验，对大 于剔除标准的变量要逐一剔除。
8
2）多重回归方程的建立
1) 求回归系数 常用最小二乘估计的方法求解待定系数 b0 和偏回归系数b1、b2……bp。
9
最小二乘原理
2 ˆ Q ( y i yi ) i 1 n
最小
则：
1 ˆ b j j ( ) Y
2）回归方程的检验 由样本计算得到的回归方程是总体回归 的估计。多重回归方程有没有意义需要作 假设检验。 采用的是方差分析。
试分析汽车流量，气温，空气湿度，风速 与大气污染物一氧化氮NO浓度关系。
医学统计学多重线性回归分析
医学统计学多重线性回归分析多重线性回归分析是一种用于确定多个自变量与一个因变量之间关系的统计方法。
在医学研究中，多重线性回归可以用于探讨多个潜在因素对人体健康和疾病发生的影响。
在多重线性回归中，因变量是要被预测或解释的变量，而自变量是可以用来预测或解释因变量的变量。
医学研究中可能存在多个自变量，因为人体健康和疾病发生是受多个因素综合影响的。
多重线性回归分析可以帮助我们确定每个自变量对因变量的相对重要性，并估计它们的效应。
多重线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是模型的回归系数，ε是误差项。
多重线性回归分析的目标是通过估计回归系数来确定自变量对因变量的影响。
回归系数表示自变量单位变化对因变量的影响程度。
通过检验回归系数的显著性，可以判断自变量是否对因变量有统计上显著的影响。
此外，回归系数的符号可以指示自变量与因变量之间的正向或负向关系。
多重线性回归分析的步骤如下：1.收集数据：收集包括因变量和自变量的数据，通常需要足够的样本量来保证结果的可靠性。
2.数据清洗：对数据进行初步的清洗和整理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。
3.模型构建：根据研究目的和理论背景选择自变量，并构建多重线性回归模型。
4.模型估计：通过最小二乘法估计回归系数。
最小二乘法通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定回归系数。
5.模型诊断：对模型进行诊断检验，包括检验残差的正态性、线性性、同方差性等。
如果模型不符合假设条件，需要进行适当的修正。
6.结果解释：通过回归系数的显著性和效应大小来解释结果，确定自变量的影响和重要性。
多重线性回归分析常用的统计指标包括回归系数、标准误、P值和决定系数。
回归系数表示自变量单位变化对因变量的平均影响。
标准误表示回归系数的估计精度。
P值表示回归系数是否统计显著，一般认为P值小于0.05为显著。
医学统计学多元线性回归
SPSS软件操作
(1)选择分析窗口（Analyze) (2)选择回归分析（Regression) (3)选择线性回归(Linear)
SPSS数据库格式
操作（一）
结果变量Y
1
2
多个自变量
系统默认
结果
Co ef fic ien tsa
Unstandardized Coefficients
Model
逐步选择法
▪ 当自变量的数目较大时，采用全局择优方 法的计算量很大，即使只有6个自变量，也 要考虑26-1=63个方程，对于10个自变量， 方程的个数要增加到210-1=1023个。
▪ 逐步选择法可以克服这一不足，是实际应 用中普遍使用的方法。
▪ 逐步选择法可分为前进法(forward selection)、后退法(backward elimination) 和逐步回归法(stepwise regression)
1
(Constant)
B
Std. Error
5.943
2.829
总 胆固 醇x1
.142
.366
甘 油三 酯x2
.351
.204
胰 岛素 x3
-.271
.121
糖 化血 红蛋 白x4
.638
.243
a. Dependent Variable: 血糖y
Standardized Coefficients
前进法
▪ 回归方程中的自变量从无到有、从少到多逐个引 入回归方程。
▪ 第一步，应变量Y对每个自变量做直线回归，把 回归平方和最大的自变量做F检验，若偏回归系数 有统计学意义，则把该自变量引入方程。而后在 余下的自变量中，考虑在进入方程的第一个自变 量的基础上，计算其他自变量的偏回归平方和， 选取偏回归平方和最大的一个自变量做F检验以决 定是否选入，如果有统计学意义则进入方程。如 果有统计学意义则进入方程，然后再以同样的方 式寻找第三自变量。一直做下去，直到没有自变 量为止。
《医学统计学》教学课件-多重线性回归
Sum of Squares 133.711dfຫໍສະໝຸດ 4Re si du a l
88.841
22
T o ta l
222.552
26
a. Predictors: (Constant), x4, x2, x3, x1
b. Dependent Variable: y
Mean Square 33.428 4.038
(%)
(mmol/L)
X1
X2
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
各变量的离差矩阵
4阶线性方程组
建立多元回归方程
方程的求解过程复杂，可借助于SPSS、SAS等统计软件来完成 SPSS：Analyze→Regression→Linear regression
剔除后所引起的回归平方和的减少量。
H0 : j 0；H1 : j 0，j=1,2,…,m；
2.对回归方程及各自变量作假设检验，并对方程的拟 合效果及各自变量的作用大小作出评价。
多元线性回归方程的建立：
利用最小二乘法原理估计模型的参数： （使残差平方和最小）
表2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 总胆固醇 甘油三酯 胰岛素 糖化血红蛋白
血糖
i (mmol/L) (mmol/L) (U/ml)
12.3
27
医学统计学：多元线性回归分析
2.11
16.28
7.9
0.63
6.59
7.1
1.97
3.61
8.7
1.97
6.61
7.8
1.93
7.57
9.9
1.18
1.42
6.9
2.06
10.35
10.5
1.78
8.53
8.0
2.40
4.53
10.3
3.67
12.79
7.1
1.03
2.53
8.9
1.71
5.28
9.9
3.36
2.96
8.0
1.13
应变量与各自变量相关系数大小
C or r el a ti o ns
总胆固醇
Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N
b. Dependent Variable: 血糖
Sig. .000a
（3）当总的方程有统计学意义时
应对每个自变量的偏回归系数再进行假设检验， 若某个自变量的偏回归系数无显著性，则应把该变量 剔除，重新建立不包含该变量的多元回归方程。
对新建立的多元回归方程及偏回归系数按上述 程序进行检验，直到余下的偏回归系数都具有统计意 义为止。最后得到最优方程。
coefficient）
意义：如 b1 表示在X2、X3 ¨¨¨ Xp固定条件下，
X1 每增减一个单位对Y的效应（Y增减 b 个单位）。
二. 多元回归分析步骤
（1）用各变量的数据建立回归方程；
序号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
医学统计学：多元线性回归分析
多元线性回归分析
Multivariate linear regression
变量之间的关系:
从变量间相互关系的复杂程度来看，可以分为以下几种： 1. 一个变量的变化仅仅直接与另一个变量的变化有关：
X
Y
一个因变量与一个自变量之间的直接依存关系，其对应的 模型是一元回归模型。
变量之间的关系:
2. 一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
0.129311
0.033109 0.011826
0.003826 0.005819
A1 0.048027 0.018260 0.010326 0.001528 0.000085
0.054068 0.003826 0.001528 0.003649 0.001507
0.109308 0.005819 0.000085 0.001507 0.014655
回归方程中包含的
平方和（变异）
自变量
SS回归
SS剩余
① X1 , X2 , X3 , X4 ② X2 , X3 , X4 ③ X1 , X3 , X4 ④ X1 , X2 , , X4 ⑤ X1 , X2 , X3
133.7107 133.0978 121.7480 113.6472 105.9168
t 检验法与方差分析法完全等价，
公式为： t
bi
SEbi
，
n m1
式中 bi 是偏回归系数的估计值， SE(bi ) 是 bi 的标准误。
SE(bi ) Cii MS剩余 ，其中 Cii 是系数矩阵 A 的逆矩阵中对角线上的元素。
n
x1
A
x2
x3
x4
系数矩阵A
x1 x12 x2 x1 x3 x1 x4 x1
Multivariate linear regression
变量之间的关系:
从变量间相互关系的复杂程度来看，可以分为以下几种： 1. 一个变量的变化仅仅直接与另一个变量的变化有关：
X
Y
一个因变量与一个自变量之间的直接依存关系，其对应的 模型是一元回归模型。
变量之间的关系:
2. 一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
0.129311
0.033109 0.011826
0.003826 0.005819
A1 0.048027 0.018260 0.010326 0.001528 0.000085
0.054068 0.003826 0.001528 0.003649 0.001507
0.109308 0.005819 0.000085 0.001507 0.014655
回归方程中包含的
平方和（变异）
自变量
SS回归
SS剩余
① X1 , X2 , X3 , X4 ② X2 , X3 , X4 ③ X1 , X3 , X4 ④ X1 , X2 , , X4 ⑤ X1 , X2 , X3
133.7107 133.0978 121.7480 113.6472 105.9168
t 检验法与方差分析法完全等价，
公式为： t
bi
SEbi
，
n m1
式中 bi 是偏回归系数的估计值， SE(bi ) 是 bi 的标准误。
SE(bi ) Cii MS剩余 ，其中 Cii 是系数矩阵 A 的逆矩阵中对角线上的元素。
n
x1
A
x2
x3
x4
系数矩阵A
x1 x12 x2 x1 x3 x1 x4 x1
医学统计学多元线性回归
应变量
Y
（cm2）
48.28 66.89 54.73 63.85 40.29 53.79 58.73 60.61 37.76 52.49 54.30 48.47 48.10 51.37 54.05 61.56 60.10
自变量
序
号
X1
X2
X3
（kg） （cm） （cm）
18 30.00 19 23.50 20 26.50 21 22.00 22 24.00 23 27.00 24 21.50 25 25.00 26 29.00 27 24.50 28 22.00 29 22.00 30 21.00 31 22.50 32 24.50 33 24.00
6
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
7
由模型(1)，对于每一观测对象所得的样本观测值(xi1,
xi2, …, xim, yi)，i=1,2,…,n，有 y i 0 1 x i 1 2 x i 2 L m x i m i i 1 , 2 , . . . , n
18
2. 各偏回归系数的假设检验 若回归方程有统计学意义，则认为所有自变量
作为一个整体对应变量Y存在线性影响，但这里并 不排除其中有一个或几个自变量对Y 并无线性影响， 即可能有某些 βj ＝0 。 为了检验是否每个自设检验，即检验假设
H0：βj＝0 j=1,2,…,m
我们介绍了直线回归与相关分析。在那里，我们作 了这样的假定：对于自变量的每一个值，有
y x ~ N (0, 2 )
其中，x为非随机变量，ε是随机误差，并称
yˆ abx
为y关于x的回归直线方程，a、b分别是α、β的最小二
乘估计量。
3
医学统计学：多元线性回归分析
多元线性回归分析
Multivariate linear regression
变量之间的关系:
从变量间相互关系的复杂程度来看，可以分为以下几种： 1. 一个变量的变化仅仅直接与另一个变量的变化有关：
X
Y
一个因变量与一个自变量之间的直接依存关系，其对应的 模型是一元回归模型。
变量之间的关系:
2. 一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
应用条件：
多元线性回归模型应满足以下条件：
(1) Y 与 X 1 , X 2 , X m 之间具有线性关系；
(2)各观测值Y j j 1,2,,n 之间相互独立；
(3)残差 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，
它等价于对于任意一组自变量 X 1 , X 2 , X m ，应
变量Y 均服从正态分布且方差齐。
各变量均值分别为： X1 5.8126 ， X 2 2.8407 ， X 3 6.1467 ， X 4 9.1185 ，Y 11.9259 ， 则常数项：
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
X1
X2
Y
X3
一个因变量与三个自变量之间的直接依存关系，其对应的模 型是多元（三元）回归模型。
变量之间的关系:
3. 一个变量的变化不仅直接与另一组变量的变化有关，而 且间接地与其它一个或几个变量的变化有关：
X1
Y1
1
X2
Y2
2
X3
二个因变量与三个自变量之间的依存关系，其对应的模型是 多变量（两变量）回归模型。
变量之间的关系:
4. 变量之间存在着相互依存的因果关系：
Multivariate linear regression
变量之间的关系:
从变量间相互关系的复杂程度来看，可以分为以下几种： 1. 一个变量的变化仅仅直接与另一个变量的变化有关：
X
Y
一个因变量与一个自变量之间的直接依存关系，其对应的 模型是一元回归模型。
变量之间的关系:
2. 一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
应用条件：
多元线性回归模型应满足以下条件：
(1) Y 与 X 1 , X 2 , X m 之间具有线性关系；
(2)各观测值Y j j 1,2,,n 之间相互独立；
(3)残差 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，
它等价于对于任意一组自变量 X 1 , X 2 , X m ，应
变量Y 均服从正态分布且方差齐。
各变量均值分别为： X1 5.8126 ， X 2 2.8407 ， X 3 6.1467 ， X 4 9.1185 ，Y 11.9259 ， 则常数项：
b0 11.9259 0.1424 5.8126 0.3515 2.8407 0.2706 6.1467 0.6382 9.1185
X1
X2
Y
X3
一个因变量与三个自变量之间的直接依存关系，其对应的模 型是多元（三元）回归模型。
变量之间的关系:
3. 一个变量的变化不仅直接与另一组变量的变化有关，而 且间接地与其它一个或几个变量的变化有关：
X1
Y1
1
X2
Y2
2
X3
二个因变量与三个自变量之间的依存关系，其对应的模型是 多变量（两变量）回归模型。
变量之间的关系:
4. 变量之间存在着相互依存的因果关系：
医学统计学 多元线性回归 多因素统计分析方法
双变量：身高与体重
研究目的：1、身高与体重有无关系？什么样的关系
X
2、能否用身高推算体重？
第九章 双变量线性回归与相关 例9-1 20名15岁健康男童的身高体重资料
不在一条直线上， 但呈直线趋势
X
直线回归应用条件(LINE)：
如何处理？方法有三 ⑵标准化
⑶多因素分析
如果同时分析病情、药 物与疗效的关系，或病 情与药物之间、药物与 药物之间有无交互作用？
Y-有效=1 无效=0 A药-用=1 不用=0 B药-用=1 不用=0 病情-轻=1 重=2
AB两药的交互作用
单因素分析：t检验、卡方检验等 ——睁只眼闭多只眼！！ ——累人的方法！！（严格的设计）
X称自变量(independent variable) Y称因变量(dependent variable)
直线回归复习
由X推算Y的直线回归方程一般表达式
yˆ a bx 或 yˆ b0 b1x
a(或b0)称为截距,
pronounced ‘Y hat’
y
1、取得原始资料容易：
单因素分析必须要有严格的实验设计来 排除非实验因素对结果的影响（控制干扰因 素），达到组间均衡可比。（累，伤财）
多因素分析可同时分析几个或几十个因 素，把干扰因素当作研究因素。（化敌为友）
2、可从整体分析结果：既可以分析单独作 用，又可以分析各因素的交互作用。
X因素
A因素
X因素
3
4
7
8
11
8、指数模型：
yˆ b0 eb1x
9、逆模型： yˆ b0 b1 / x
10、幂模型： yˆ b0 xb1
11、Logistic模型: yˆ 1/ 1/ u b0 b1 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2分020布/3/2。9
医学统计学
(1)求偏回归系数b0 ,b1,b2 , ,bm
建立回归方程一Fra bibliotek般 步Yˆ b0 b1X 1b2 X 2 bm X m
骤
2020/3/29
(2)检验并评价回归方程 及各自变量的作用大小
医学统计学
二、多元线性回归方程的建立
例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固
2020/3/29 26
27
总胆固醇
（mmol/L）
X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
甘油三脂
(mmol/L)
X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89
0医.92学统计学
1.20
0.2706X3
0.6382X 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法：
H0 : 1 2 m 0 ， H1 : 各（j j=1,2,,m)不全为 0，
0.05
SS总 SS回 SS残
F
SS回 / m SS残 （/ n m
1)
MS回 MS 残
2020/3/29
F ~ F(m,n m 1)
Q (Y Yˆ)2 [Y (b0 b1 X 1b2 X 2 bm X m )]2
求偏导数
原理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l21b1 l22b2 l2mbm l2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
b0 Y (b1X 1b2 X 2 bm X m )
糖化血
红蛋白(%)
X4
8.2 6.9 10.8 8.3 7.5 13.6 8.5 11.5 7.9 7.1 8.7 7.8 9.9 6.9 10.5 8.0 10.3 7.1 8.9 9.9 8.0 11.3 12.3 9.8 10.5 6.4 9.6
血糖
(mmol/L)
Y
11.2 8.8 12.3 11.6 13.4 18.3 11.1 12.1 9.6 8.4 9.3 10.6 8.4 9.6 10.9 10.1 14.8 9.1 10.8 10.2 13.6 14.9 16.0 13.2 20.0 13.3 10.4
醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红 蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中， 试建立血糖与其它几项指标关系的多元 线性回归方程。
2020/3/29
医学统计学
表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
第一节 多元线性回归
2020/3/29
医学统计学
一、多元线性回归模型
• 变量：应变量 1 个，自变量m 个，共 m+1 个。 • 样本含量：n • 数据格式见表15-1 • 回归模型一般形式：
Y 0 1 X 12 X 2 m X m e
上式表示数据中应变量 Y 可以近似地表示为自变量
X1, X 2, , X m 的线性函数。
Y1
X22
…
X2m
Y2
┇
…
┇
┇
Xn2
…
Xnm
Yn
条件
(1)Y 与 X1, X 2 , , X m 之间具有线性关系。 (2)各例观测值Yi (i 1,2, , n) 相互独立。 (3)残差 e 服从均数为 0、方差为 2 的正态分布，它等价于对任意
一组自变量 X1, X 2 , , X m 值，应变量 Y 具有相同方差，并且服从正态
0 为常数项， 1 ,2 , ,m 为偏回归系数，表示在其它自
变量保持不变时，
X
增加或减少一个单位时
j
Y
的平均变
化量，e 是去除 m 个自变量对 Y 影响后的随机误差（残差）。
2020/3/29
医学统计学
表15-1 多元回归分析数据格式
例号
X1
1
X11
2
X21
┇
┇
n
Xn1
X2
…
Xm
Y
X12
…
X1m
胰岛素
(μU/ml)
X3
4.53 7.32 6.95 5.88 4.05 1.42 12.60 6.75 16.28 6.59 3.61 6.61 7.57 1.42 10.35 8.53 4.53 12.79 2.53 5.28 2.96 4.31 3.47 3.37 1.20 8.61 6.45
▪ 目的：作出以多个自变量估计应变量的多元
线性回归方程。
▪ 资料：应变量为定量指标；自变量全部或大
部分为定量指标，若有少量定性或等级指标 需作转换。
▪ 用途：解释和预报。 ▪ 意义：由于事物间的联系常常是多方面的，
一个应变量的变化可能受到其它多个自变量 的影响，如糖尿病人的血糖变化可能受胰岛 素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三 2020/3/29 脂等多种生化指医标学统的计学影响。
• Multiple linear regression • Choice of independent variable • Application
2020/3/29
医学统计学
讲述内容
第一节 多元线性回归 第二节 自变量选择方法 第三节 多元线性回归的应用
及其注意事项
2020/3/29
医学统计学
医学统计学
表15-3 多元线性回归方差分析表 ( 0.05)
变异来源 自由度 SS
MS
F
P
总变异
n-1
SS 总
回归
m
SS 回
SS 回 /m
MS 回/MS 残
残差
n-m-1 SS 残 SS 残 /(n-m-1)
表15-4 例15-1的方差分析表 ( 0.05)
lij
( Xi Xi )( X j X j )
XiX j
Xi X j , i , j=1,2, ,m n
ljY
( X j X j )(Y Y )
X jY
Xj
Y , j 1, 2L , m
n
Yˆ
2020/3/29
5.9433
0.1424X医1 学统0计.3学515X 2