时间序列模型的建立与预测

第六节时间序列模型的建立与预测
ARIMA过程y t用
Φ (L) (Δd y t)= α+Θ(L) u t
表示，其中Φ (L)和Θ (L)分别是p, q阶的以L为变数的多项式，它们的根都在单位圆之外。

α为Δd y t过程的漂移项，Δd y t表示对y t 进行d次差分之后可以表达为一个平稳的可逆的ARMA 过程。

这是随机过程的一般表达式。

它既包括了AR，MA 和ARMA过程，也包括了单整的AR，MA和ARMA过程。

可取
图建立时间序列模型程序图
建立时间序列模型通常包括三个步骤。

（1）模型的识别，（2）模型参数的估计，（3）诊断与检验。

模型的识别就是通过对相关图的分析，初步确定适合于给定样本的ARIMA模型形式，即确定d, p, q的取值。

模型参数估计就是待初步确定模型形式后对模型参数进行估计。

样本容量应该50以上。

诊断与检验就是以样本为基础检验拟合的模型，以求发现某些不妥之处。

如果模型的某些参数估计值不能通过显著性检验，或者残差序列不能近似为一个白噪声过程，应返回第一步再次对模型进行识别。

如果上述两个问题都不存在，就可接受所建立的模型。

建摸过程用上图表示。

下面对建摸过程做详细论述。

1、模型的识别
模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析。

在对经济时间序列进行分析之前，首先应对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差，然后分析其相关图。

识别的第1步是判断随机过程是否平稳。

由前面知识可知，如果一个随机过程是平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外；如果 (L) = 0的根接近单位圆，自相关函数将衰减的很慢。

所以在分析相关图时，如果发现其衰减很慢，即可认为该时间序列是非平稳的。

这时应对该时间序列进行差分，同时分析差分序列的相关图以判断差分序列的平稳性，直至得到一个平稳的序列。

对于经济时间序列，差分次数d通常只取0，1或2。

实际中也要防止过度差分。

一般来说平稳序列差分得到的仍然是平稳序列，但当差分次数过多时存在两个缺点，（1）序列的样本容量减小；（2）方差变大；所以建模过程中要防止差分过度。

对于一个序列，差分后若数据的极差变大，说明差分过度。

第2步是在平稳时间序列基础上识别ARMA模型阶数p, q。

表1给出了不同ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数。

当然一个过程的自相关函数和偏自相关函数通常是未知的。

用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数，即相关图和偏相关图。

建立ARMA模型，时间序列的相关图与偏相关图可为识别模型参数p, q提供信息。

相关图和偏相关图（估计的自相关系数和偏自相关系数）通常比真实的自相关系数和偏自相关系数的方差要大，并表现为更高的自相关。

实际中相关图，偏相关图的特征不会像自相关函数与偏自相关函数那样“规范”，所以应该善于从相关图，偏相关图中识别出模型的真实参数p, q。

另外，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型识别阶段应多选择几种模型形式，以供进一步选择。

表1 ARIMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征
2. 模型参数的估计
对AR (p )模型因为滞后变量都发生在t 期之前，这些滞后变量与误差项u t 相互独立，所以对AR (p )模型的参数进行OLS 估计，所得参数估计量具有一致性。

对MA (q )和ARMA (p , q )模型的估计比较复杂。

Φ (L ) ∆d y t = Φ (L ) x t = Θ (L ) u t
对于y t 假定可以观测到T + d 个观测值，即y - d +1, …, y 0, y 1, …, y T ，则经过d 次差分之后， x t 的样本容量为T 。

以{x 1, …, x T }为样本估计ARMA (p , q ) 模型参数 (φ1, …, φp , θ1, …, θq )。

这是一个非线性模型，不能直接用OLS 估计参数，一般采用迭代式的非线性最小二乘。

3、 诊断与检验
完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否合适。

若不合适，应该知道下一步作何种修改。

估计的模型是否成立应该从3个方面检查。

①模型参数估计量必须通过t 检验；②模型的全部特征根（包括自回归、移动平均两部分）的倒数都必须在单位圆以内（即模型具有平稳性和可逆性）；③模型的残差序列必须通过Q 检验（Box-Pierce (1970) 提出）。

同时也要尽量做到④模型结构应当尽量简练；⑤参数稳定性要好；⑥预测精度要高。

4、时间序列模型预测
下面以ARMA (1, 1) 模型为例具体介绍预测方法。

其他形式时间序列模型的预测方法与此类似。

设对时间序列样本{x t }, t = 1, 2, …, T ，所拟合的模型是
x t = φ1 x t -1 + u t + θ1 u t -1 则理论上T + 1期x t 的值应按下式计算
x T +1 = φ1 x T + u T +1 + θ1 u T 用估计的参数1ˆφ, 1ˆθ和T u
ˆ分别代替上式中的 φ1, θ1和u T 。

上式中的u T +1是未知的，但知E(u T +1) = 0，所以取u T +1 = 0。

x T 是已知的（样本值）。

对x T +1的预测按下式进行
1ˆ+T x
= 1ˆφx T +1ˆθT u ˆ 由x T +1 = φ1 x T + u T +1 + θ1 u T ，理论上x T +2的预测式是
x T +2 = φ1 x T +1 + u T +2 + θ1 u T +1
仍取u T +1 = 0，u T +2 = 0，则x T +2的实际预测式是
2ˆ+T x
= 1ˆφ1ˆ+T x 其中1ˆ+T x
是上一步得到的预测值，与此类推x T +3的预测式是 3ˆ+T x
= 1ˆφ2ˆ+T x 由上可见，随着预测期的加长，预测式x T +1 = φ1 x T + u T +1 + θ1 u T 中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式。

对于AR (p )过程，预测式永远是AR (p )形式的，对于MA (q ) 过程，当预测期超过q 时，预测值等于零。

若上面所用的x t 是一个差分变量，设 ∆ y t = x t ，则得到的预测值相当于∆t y
ˆ, (t = T +1, T +2 , … )。

因为
y t = y t-1 + ∆ y t
所以原序列 T +1期预测值应按下式计算
1ˆ+T y
= y T + ∆1ˆ+T y 对于t > T +1，预测式是
t y
ˆ=1ˆ-t y +∆t y ˆ, t = T +2, T +3, … 其中1ˆ-t y
是相应上一步的预测结果。