第四章 一阶逻辑基本概念
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8一阶逻辑-概念公式4-14-1
4)∀x(F(g(x,a),x)→F(x,y) )
4)谓词 F(x,y): x=y
5)∀x∀y(F(f(x,a),y)→
F(f(y,a),x) )
6)∀x∀y∃z F(f(x,y),z)
例：给定解释I 1）个体域为整数集合Z 2） Z上的特定元素 a0=0，a1=1; 3)Z上的特定函数 f(x,y)=x-y, g(x,y)=x+y； 4)Z上的特定谓词 F(x,y): x < y;
任何数如果是整数则一定都是偶数－－是假命题
仅有个体与谓词还不能准确表示一些逻辑问题 如：N（x）：x是整数， O（x）:x是偶数 所有的整数是偶数可符号化为 N（x）→ O（x） 肯定为假 其否定应为真. 但 ┑（N（x）→O（x））等值于 N（x）∧┑O（x） 即： 所有的整数且不是偶数也为假 主要原因是：没有体现整体和个别的关系 所以在描述时必须引入反映数量关系的词
4、闭式定义 设A是公式，若A中不含自由出现的个体变项则称A为封闭的
公式，简称闭式
二、公式的解释（相当于命题公式的赋值） 按合式公式的形成规则形成的符号串是F中的公式，这种公式 没有确定意义．一旦将其中的变项(项的变项，谓词变项等)用 指定的常项代替后，所得公式就具备一定意义，有时就变成命 题了
一个解释不外乎指定个体域、个体域中一些特定的元素、特定 的函数和谓词等部分． 1、公式的解释 1）定义：F的解释I的内容一般由下面4部分组成： (a)指定非空个体域DI （个体域的取值范围） (b)指定DI中一些特定元素(常量)的集合{a1,a2，…ai}． (c)给定DI上特定函数集合{fi | i ≥ 1}． 具体的函数 (d)给定DI上特定谓词的集合{ Hi | i≥1}． 具体的谓词
在解释I下的公式A中的个体变项均取值于DI． 被解释I下的公式不一定全部包含解释中的四部分
离散数学第四章 一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化. (1)兔子比乌龟跑得快. (2)有的兔子比所有的乌龟跑得快. (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快. (4)不存在跑得同样快的两只兔子. 设F(x):x是兔子. G(y):y是乌龟.H(x,y):x比y跑得快. L(x,y):x与y跑得同样快. (1)xy(F(x)G(y)H(x,y)) (2) x (F(x) y (G(y)H(x,y)) (3) xy(F(x)G(y)H(x,y)) (4) x y(F(x)G(y) L(x,y))
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
(1) 非空个体域DI (2) 对每一个个体常项ai, a i DI, 称作ai在I中的解释 (3) 对每一个函数符号fi, 设其为m元的, 元函数, 称作fi在I中的解释
fi 是DI上的m
是一个n元
(4) 对每一个谓词符号Fi, 设其为n元的, Fi 谓词, 称作Fi在I中的解释
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实例
例4.8 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y) : x y 说明下列公式在 I 下的含义, 并讨论其真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 假命题
合式公式又称谓词公式, 简称公式
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量词的辖域
定义4.5 在公式xA和xA中, 称x为指导变元, A为相应量 词的辖域. 在x和x的辖域中, x的所有出现称为约束出现， A中不是约束出现的其他变项称为自由出现 例4.6 公式 x(F(x,y)yG(x,y,z)) x的辖域:(F(x,y)yG(x,y,z))， 指导变元为x y的辖域:G(x,y,z)， 指导变元为y x的两次出现均为约束出现 y的第一次出现为自由出现, 第二次出现为约束出现 z为自由出现.
4一阶逻辑公式及解释
4一阶逻辑公式及解释一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）是数理逻辑中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、计算机科学和人工智能等领域。
在一阶逻辑中，逻辑公式是推理的基础，能够对命题进行符号化的描述和推理。
本文将介绍一阶逻辑的基本概念和常见的一阶逻辑公式，并对其进行解释。
一、一阶逻辑基本概念1. 常量：在一阶逻辑中，常量是指代具体对象的符号，如a、b、c 等。
常量一般用小写字母表示。
2. 变量：变量是用来占位的符号，可以代表任意对象。
在一阶逻辑中，变量一般用大写字母表示，如X、Y、Z等。
3. 函数：函数是一种从一个或多个参数到一个值的映射关系。
在一阶逻辑中，常用的函数包括算术函数、关系函数等。
函数一般用小写字母或希腊字母表示，如f(x)、g(x)等。
4. 谓词：谓词是描述对象性质的符号，可以表示真假的陈述。
在一阶逻辑中，常用的谓词包括等于、大于、小于等。
谓词一般用小写字母或希腊字母表示，如P(x)、Q(x)等。
二、一阶逻辑公式在一阶逻辑中，公式是用符号表示的逻辑陈述，包括原子公式和复合公式两类。
1. 原子公式原子公式是一阶逻辑中最基本的公式，它不再含有其他公式作为子公式。
原子公式由一个谓词和一个或多个常量、变量组成，形式为P(t1,t2,...,tn)，其中P为谓词，t1,t2,...,tn为常量、变量。
举例：P(a,b)表示P是一个二元谓词，a和b是其两个参数。
2. 复合公式复合公式由一个或多个公式通过逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）组合而成。
- 否定（¬）：如果φ是一个一阶逻辑公式，则¬φ也是一个一阶逻辑公式。
- 合取（∧）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∧ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 析取（∨）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ∨ψ)也是一个一阶逻辑公式。
- 蕴含（→）：如果φ和ψ是两个一阶逻辑公式，则(φ→ψ)也是一个一阶逻辑公式。
举例：如果P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x是聪明的”，那么复合公式可以表示为：(P(x)∧Q(x))，表示“x是人且x是聪明的”。
屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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F4一阶逻辑基本概念
(a)非空个体域 DI . (b) DI 中一些特定元素的集合{a1,a2 , …,ai , …}. (c) DI 上特定函数的集合{fin|i, n 1}. (d) DI 上特定谓词的集合{Fin|i, n 1}. †其实质是明确公式中各个变项, 繁琐之处毋庸细究.
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章一阶逻辑基本概念
§4.1 一阶逻辑命题的符号化 §4.2 一阶逻辑公式及解释
091离散数学(60). W&M. §4.2 一阶逻辑公式及解释
命题逻辑形式系统 I = A, E, AX, R, 其中A, E是语言系统. 谓词逻辑形式系统的语言 , 它便于翻译自然语言. (下一章
Dx2Dx1A(x1, x2, …, xn) 可记为 A2(x3, x4, …, xn), …… ,
Dxn…Dx1A(x1, x2, …, xn) 中没有自由出现的个体变项, 可z) = x(F(x, y) G(x, z)) B(z) = yA(y, z) = yx(F(x, y) G(x, z)) C =zyA(y, z) = zyx(F(x, y) G(x, z))
(3) H(a, b), 其中 H: “…与…同岁”, a: 小王, b: 小 李.
(4) L(x, y), 其中L: “…与…具有关系L”.
091离散数学(60). W&M. §4.1 一阶逻辑命题的符号化
一元谓词 F(x) 表示 x 具有性质 F.
二元谓词 F(x, y) 表示个体变项 x, y 具有关系 F.
xy(x + y = 0) 与 yx(x + y = 0) 含义不同. ‡†句子的符号化形式不止一种. 设 H(x): x 是人, P(x): x 是完美的, 则 “人无完人”可 符号化为
第四章 一阶逻辑基本概念
在一阶逻辑中将下列命题符号化1大熊猫都可爱2有人爱发脾气3说所有人都爱吃面包是不对的4没有不爱吃糖的人5一切人都不一样高6并不是所有的汽车都比火车快由于没指出个体域故用全总个体域其中fx
第四章 一阶逻辑基本概念
本章的主要内容 一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类
4.1 一阶逻辑命题符号化
2 （1）所有的狮子都是凶猛的。 （2）有些狮子不喝咖啡。 （3）有些凶猛的动物不喝咖啡。 论域为动物的集合：
3、 如果某人是女性而且有子女，那么此人 一定是某人的母亲。论域为人的集合。
2、解：令P(x): x是狮子；Q(x): x是凶猛的； R(x): x喝咖啡；则有： (1) x(P(x)Q(x)) (2) x(P(x)R(x)) (3) x(Q(x)R(x)) 3、解：令F(x):x是女性；P(x):x有子女； M(x,y):x是y的母亲；则有： x(( F(x)P(x) )yM(x,y))
(1) (2)
x x((F F((x x)) G G (x (x )))) 两个基本公式
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）正数都大于负数 （2）有的无理数大于有的有理数
解: 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域
（1）令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数 L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) （以后讨论）
3．闭式的性质. 定理4.1 闭式在任何解释下都是命题. 注意：不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 4．公式的类型 定义4.8 （1）永真式（逻辑有效式） （2）矛盾式（永假式）（3）可满足式 说明： 永真式为可满足式，但反之不真; 判断公式是否为永真式不是易事; 通过某些代换实例可判断公式类型.
第四章 一阶逻辑基本概念
本章的主要内容 一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类
4.1 一阶逻辑命题符号化
2 （1）所有的狮子都是凶猛的。 （2）有些狮子不喝咖啡。 （3）有些凶猛的动物不喝咖啡。 论域为动物的集合：
3、 如果某人是女性而且有子女，那么此人 一定是某人的母亲。论域为人的集合。
2、解：令P(x): x是狮子；Q(x): x是凶猛的； R(x): x喝咖啡；则有： (1) x(P(x)Q(x)) (2) x(P(x)R(x)) (3) x(Q(x)R(x)) 3、解：令F(x):x是女性；P(x):x有子女； M(x,y):x是y的母亲；则有： x(( F(x)P(x) )yM(x,y))
(1) (2)
x x((F F((x x)) G G (x (x )))) 两个基本公式
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）正数都大于负数 （2）有的无理数大于有的有理数
解: 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域
（1）令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数 L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y))) xy(F(x)G(y)L(x,y)) （以后讨论）
3．闭式的性质. 定理4.1 闭式在任何解释下都是命题. 注意：不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 4．公式的类型 定义4.8 （1）永真式（逻辑有效式） （2）矛盾式（永假式）（3）可满足式 说明： 永真式为可满足式，但反之不真; 判断公式是否为永真式不是易事; 通过某些代换实例可判断公式类型.
第04章_一阶逻辑基本概念
3.(x)(y)(F(x)∧G(y)∧┐H(x, y)) 例4.5 将下列命题符号化 ( x)(y)(F(x)∧F(y)→ ┐L(x, y)) 4.
（1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。 解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。 （1）xy(F(x)∧G(y)H(x,y)) （2） x(F(x)∧y(G(y)H(x,y))) （3） ┐xy(F(x)∧G(y)H(x,y)) （4） ┐xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y))
明
体域，都是使用的全总个体域。
考察下列句子
（1）北京是中国的首都； （2）离散数学是计算机的基础课程；
（3）刘翔是一个跨栏世界冠军；
（4）中国人是很聪明的。
2.谓词
• 谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之 间相互关系的词。
(1) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号化 为G(x)。 (2)张明是位大学生。 张明是个体常项，“是位大学生”是谓词，记为F，它刻 划了“张明”的性质。命题符号化为F(x)，其中x：张明。 (3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H， 命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。
谓词及相关概念
• 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母 表示。如, F(a)：a是人 • 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。 用大写字母表示。如, F(x)：x具有性质F • n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命题变项的n 元谓词。 – n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 – n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。 • 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。
（1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。 解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快。 （1）xy(F(x)∧G(y)H(x,y)) （2） x(F(x)∧y(G(y)H(x,y))) （3） ┐xy(F(x)∧G(y)H(x,y)) （4） ┐xy(F(x)∧F(y)∧L(x,y))
明
体域，都是使用的全总个体域。
考察下列句子
（1）北京是中国的首都； （2）离散数学是计算机的基础课程；
（3）刘翔是一个跨栏世界冠军；
（4）中国人是很聪明的。
2.谓词
• 谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之 间相互关系的词。
(1) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号化 为G(x)。 (2)张明是位大学生。 张明是个体常项，“是位大学生”是谓词，记为F，它刻 划了“张明”的性质。命题符号化为F(x)，其中x：张明。 (3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为H， 命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。
谓词及相关概念
• 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母 表示。如, F(a)：a是人 • 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。 用大写字母表示。如, F(x)：x具有性质F • n(n1)元谓词：P(x1,x2,…,xn)表示含n个命题变项的n 元谓词。 – n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 – n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。 • 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、 P(a1,a2,…,an)。
闭式F的解释公式的类型永真式矛盾式可满足式
例：
二、一阶逻辑中命题符号化
(1)所有的人都是要呼吸的。 M(x) H(x) (2)每个学生都要参加考试。 P(x) Q(x) (3)任何整数或者是正的或是负的。 I(x) R(x) N(x) (4) 没有不犯错误的人。 M(x) S(x)
(1)(x)(M(x) H(x))
(2)(x)(P(x) Q(x))
定义：设A为任一公式，若A中无自由出现的个体变 项，则称A是封闭的合式公式，简称闭式。
换名规则 将量词辖域中出现的某个约束出现的个 体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未曾 出现过的个体变项符号，公式其余部分不变。
(x )(y )( p( x , z ) q( y )) s( x , y )
解： (u)(v )( p(u, z ) q(v )) s( x, y )
代替规则 对某个自由出现的个体变项用与原公 式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替， 且处处代替。
((y)p(x, y) (z)Q(x, z)) (x)R (x, y)
解： ((y)p(u, y) (z)Q(u, z)) (x)R (x, t )
(3)(x)(I(x) (R(x)N(x))) (4)(x )(M( x ) S( x ))
x(M(x) S(x))
(5)发光的不都是金子。 L(X) B(x)
(x)(L(x) B(x))
x(L(x) B(x))
(６) 在北京工作的人未必都是北京人。A(x),Q(x)
量词：表示数量的词，包括全称量词和存在量词。
全称量词：符号“ ”称为全称量词，用 来表达“所有的”，“每一个”，“任一 个”，“凡”，“一切”等词。 存在量词：符号“ ”称为存在量词，用来表 达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”， “对于一些”等词。
第4章_一阶逻辑
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
7
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
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一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时， 得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值 为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到： 杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。 解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
离散数学第四章
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）∀x（M（x）→F（x）） （2）∃x（M（x）∧ G（x））
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例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
14
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
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量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
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第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
一阶逻辑基本概念知识点总结
一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。
它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。
常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。
2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。
公式可以是原子公式或复合公式。
原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。
复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。
3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。
常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。
4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。
常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。
5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。
自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。
6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。
这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。
一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。
一阶逻辑基本概念
将下列命题符号化，并讨论真值。 例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。 （1）所有的人都长着黑头发 ）所有的人都长着黑头发. （2）有的人登上过月球 ）有的人登上过月球. （3）没有人登上过木星 ）没有人登上过木星. （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人 ）在美国留学的学生未必都是亚洲人. 解：由于本题没提出个体域，因而应采用全 由于本题没提出个体域， 总个体域，并令 为人。 总个体域，并令M(x): x为人。 为人
∀x ∀y (F(x) ∧ G(y) →H(x,y)) ∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) →H(x,y) ) ) ¬∀x ∀y( F(x) ∧ G(y) →H(x,y) ) ¬ ∃x ∃y( F(x) ∧ G(y) ∧ L(x,y) )
补充) 例(补充 在一阶逻辑中将下面命题符号化 补充 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数
下面讨论n（n≥2）元谓词的符号化 问题
将下列命题符号化： 例4.5 将下列命题符号化： （1）兔子比乌龟跑的快 ） 2） （2）有的兔子比所有的乌龟跑的快 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑的快 ） （4）不存在跑得同样快的两只兔子 ）
解：因为本题没有指明个体域，因而采用全总个体 因为本题没有指明个体域， 因为本例中出现二元谓词， 域，因为本例中出现二元谓词，因而引入两个个 体变项x与y。 体变项 与 。 是兔子， 令F(x)：x是兔子，G(y)：y是乌龟 ： 是兔子 ： 是乌龟 H(x,y)：x比y跑的快， L(x,y)：x与y跑得同样快 ： 比 跑的快 跑的快， ： 与 跑得同样快 这四个命题分别符号化为： 这四个命题分别符号化为：
例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符 号化，并讨论它们的真值： （1）如果2是素数，4才是素数。 解：设一元谓词F(x)：x是素数。 a：2 b：4 则（1）中命题符号化为0元谓词的蕴涵 式： F(a) → F(b)。 由于此蕴涵式前件为假，所以命题为真.
离散数学-第四章一阶逻辑的基本概念课后练习习题及答案
离散数学-第四章⼀阶逻辑的基本概念课后练习习题及答案第四章作业评分要求：1. 合计36分2. 给出每⼩题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.(解答时的具体格式参照教材及幻灯⽚)⼀在⼀阶逻辑中将下列命题符号化1 ⽕车都⽐轮船快.2 有的⽕车⽐有的汽车快.3 不存在⽐所有⽕车都快的汽车.4 说凡是汽车就⽐⽕车慢是不对的.(4⼩题，每题3分，总计12分。
每⼀⼩题正确设定谓词得1分，正确符号化得2分。
)1 设是⽕车, 是轮船, ⽐快x ( F(x) → (⽕车x⽐所有的轮船快) )x ( F(x) → (?y(G(y)→ H(x,y)) ) )xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))2设是⽕车, 是汽车, ⽐快x ( F(x) ∧ (⽕车x⽐有的汽车快) )x ( F(x) ∧ (?y(G(y)∧H(x,y)) ))xy ( F(x)∧G(y)∧H(x,y) )3设是汽车, 是⽕车, ⽐快x ( F(x) ∧ (汽车x⽐所有⽕车都快) )x ( F(x) ∧ ( ?y(G(y)→H(x,y)) ))x ( F(x) ∧ ( ?y(G(y)→H(x,y)) ))xy ( F(x) ∧ ( G(y)→ H(x,y) ) )x?y ( F(x) ∧ ( G(y)→ H(x,y) ) )4 设是汽车, 是⽕车, ⽐慢x ( F(x) → (汽车x⽐所有⽕车慢) )x ( F(x) → ( ?y(G(y)→ H(x,y)) ))x ( F(x) → ( ?y(G(y)→ H(x,y)) ))x?y ( F(x)∧G(y)→ H(x,y) )⼆给定解释I如下.a) 个体域.b) 特定元素.c) 上的函数.d) 上的谓词.给出下列各式在I下的解释, 并讨论它们的真值. 1234(4⼩题，每题3分，总计12分。
每⼀⼩题正确写出解释下的公式得2分，正确给出真值得1分。
)1 “对任意⾃然数, ”假2 “对任意⾃然数, 如果, 则.”假3 “对任意⾃然数, 存在⾃然数, 使得.”真4 “存在⾃然数, 使得.”真三判断下列各式的类型1234(4⼩题，每题3分，总计12分。
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
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小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
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实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
离散数学-第一部分-数理逻辑-第四章 一阶逻辑基本概念
3
引言（续）
例 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题 逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将 推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推 理的形式结构符号化为
(p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
31
一阶语言L 的公式
定义4.4 L 的合式公式定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
4.1 一阶逻辑命题符号化
个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如 N, Z, R, … 全总个体域——由宇宙间一切事物组成
函数的使用给谓词逻辑中的个体词表示 带来了很大的方便
28
逻辑符号 (4) 个体变项符号, 用带或不带下标的小写英文字母x, y, z它, .可..,以x1是, yD1, 中z1,的...来任表意示元。素当；个体域名称集合D给出时， (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
7
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。如, F(a)：a是人 谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。 如, F(x)：x具有性质F
引言（续）
例 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题 逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将 推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推 理的形式结构符号化为
(p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
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一阶语言L 的公式
定义4.4 L 的合式公式定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是
合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)—(4)形成的符号串才是合式公式. 合式公式简称公式
4.1 一阶逻辑命题符号化
个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域(论域)——个体变项的取值范围 有限个体域，如 {a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如 N, Z, R, … 全总个体域——由宇宙间一切事物组成
函数的使用给谓词逻辑中的个体词表示 带来了很大的方便
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逻辑符号 (4) 个体变项符号, 用带或不带下标的小写英文字母x, y, z它, .可..,以x1是, yD1, 中z1,的...来任表意示元。素当；个体域名称集合D给出时， (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ，
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。如, F(a)：a是人 谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。 如, F(x)：x具有性质F
一阶逻辑基本概念
– 不带个体变项的谓词为0元谓词，当为谓词常项时，即命题
1 一阶逻辑命题符号化
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 如果3>5，则2>3
• F(x,y):x>y • a:3, b:5, c:2 • F(a,b) F(c,a)
DI
d) I将任意一个n元谓词F L映射到DI上的n元关系RF
2一阶逻辑公式及其解释
• 公式A在I下的解释AI：
a) 取个体域DI
b) A中个体常项符号a L替换为DI上的个体a* c) A中的n元函数f L替换为DI上的n元函数f*: (DI)n DI d) A中n元谓词F L替换为DI上的n元关系RF
• G(x): x+5=3
• xG(x) – 任意x，x2-3x+2=(x-1)(x-2) （个体域为实数集合） – 存在x, x+5=3 （个体域为实数集合）
1 一阶逻辑命题符号化
• 谓词逻辑符号化几点说明
– 不同的个体域，符号化形式可能不一样，命题真值也可能不 同
– 一般默认是全总个体域，即包含一切个体 – 特性谓词：描述个体变元取值范围的谓词
1. 原子公式是合式公式
2. A为合式公式，则 A是合式公式 3. A，B为合式公式,则(A B), (A B),
(A B), (A B) 为合式公式 4. 如A是合式公式，则 xA, xA也是合式
公式 5. 只有有限次应用1-4构成的符号串才是合
式公式
2一阶逻辑公式及其解释
• 例子
– F(a, b) – F(a, b) G(x,y) – F(a, b) xG(x,y) – x(F(a, b) G(x,y)) – ( y)( x)( G(x,y))
1 一阶逻辑命题符号化
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 2既是素数又是偶数
• F(x)：x是素数 • G(x)：x是偶数 • a:2 • F(a) G(a)
• 例:将下列命题用0元谓词符号化
– 如果3>5，则2>3
• F(x,y):x>y • a:3, b:5, c:2 • F(a,b) F(c,a)
DI
d) I将任意一个n元谓词F L映射到DI上的n元关系RF
2一阶逻辑公式及其解释
• 公式A在I下的解释AI：
a) 取个体域DI
b) A中个体常项符号a L替换为DI上的个体a* c) A中的n元函数f L替换为DI上的n元函数f*: (DI)n DI d) A中n元谓词F L替换为DI上的n元关系RF
• G(x): x+5=3
• xG(x) – 任意x，x2-3x+2=(x-1)(x-2) （个体域为实数集合） – 存在x, x+5=3 （个体域为实数集合）
1 一阶逻辑命题符号化
• 谓词逻辑符号化几点说明
– 不同的个体域，符号化形式可能不一样，命题真值也可能不 同
– 一般默认是全总个体域，即包含一切个体 – 特性谓词：描述个体变元取值范围的谓词
1. 原子公式是合式公式
2. A为合式公式，则 A是合式公式 3. A，B为合式公式,则(A B), (A B),
(A B), (A B) 为合式公式 4. 如A是合式公式，则 xA, xA也是合式
公式 5. 只有有限次应用1-4构成的符号串才是合
式公式
2一阶逻辑公式及其解释
• 例子
– F(a, b) – F(a, b) G(x,y) – F(a, b) xG(x,y) – x(F(a, b) G(x,y)) – ( y)( x)( G(x,y))
一阶逻辑基本概念讲解
与多主体系统的关系
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
02
CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
一阶逻辑在处理多主体系统时可能存在挑战，需要借助其他逻辑系 统如交互逻辑或认知逻辑等来扩展其表达能力。
一阶逻辑的未来发展方向与趋势
扩展表达能力
为了克服一阶逻辑的局限性，未来的研究可以探索扩展其表达能力和推理规则，例如通过引入新的量词或扩展模态、 时态等逻辑系统。
融合其他逻辑系统
为了更好地处理复杂问题，未来的研究可以探索一阶逻辑与其他逻辑系统的融合，例如将一阶逻辑与模态、时态、认 知等逻辑系统相结合。
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CATALOGUE
一阶逻辑的基本概念
命题与量词
命题
表示一个陈述句，具有真假性，是逻 辑推理的基本单位。
量词
表示数量的符号，如“所有”、“存 在”等，用于限定命题的范围。
逻辑联结词
逻辑联结词
表示命题之间关系的符号，如“并且”、“或者”、“如果...那么...”等。
否定词
表示否定关系的符号，用于改变命题的真假性。
推理过程
通过否定某个命题，根据逻辑规则或推理规则，推导出结论。
归结推理
归结推理
将复杂命题逐步简化为简单命题，然后 通过简单命题的推理得出结论的推理方
法。
结论
根据前提条件推导出的结果或结论。
前提条件
已知的前提或命题。
推理过程
将复杂命题逐步简化为简单命题，然 后通过简单命题的直接推理或间接推 理，得出结论。
一阶逻辑的重要性
逻辑基础
一阶逻辑是形式化逻辑的基础， 为数学、计算机科学和哲学等领 域提供了逻辑推理的框架。
精确表达
一阶逻辑能够精确地表达命题之 间的逻辑关系，有助于避免歧义 和误解。
推理工具
一阶逻辑是进行逻辑推理和数学 证明的重要工具，有助于发现和 证明新的数学定理。
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3．推理规则 （1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上 都可以引入前提。
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
4.2. 一阶谓词公式及其解释
自然推理系统P
形式语言 为在一阶逻辑中进行演算和推理，还必须给出 一阶逻辑中公式的抽象定义及其它们的解释。
一阶逻辑与一阶语言 一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶 逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系。
符号
非逻辑符号
非逻辑符号更像是所描述的特定对象中的符号，包括： 个体常项符号、函数符号、谓词符号。
当F，G，P为谓词常项时，0元谓词为命 题。这样一来，命题逻辑中的命题均可 以表示成0元谓词，因而可以将命题看成 特殊的谓词。
例4.1. 将命题在一阶逻辑中 用0元谓词符号化，并讨论其真值
(1)只有2是素数，4才是素数。 分析：
个体词: 2, 4 (个体常项); 谓词: …是素数 (谓词常项). 解： 设一元谓词F(x): x是素数， 个体常项: a:2，b:4。 (1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:
用 x， y等表示个体域里的所有个体，而 用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域 里所有个体都有性质F和都有性质G。
存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”， “有一个”，“有的”，“至少有一个” 等词统称为存在量词，将它们都符号化 为“ ”。
用x， y等表示个体域里有的个体，而用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域
实质上，n元谓词P(x1,x2,…,xn)可以看成以个 体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或 关系。
它不是命题。要想使它成为命题，必须用谓词 常项取代P，用个体常项a1,a2,…,an取代 x1,x2,…,xn，得P(a1,a2,…,an)是命题。
0元谓词
有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓 词，例如，F(a)，G(a,b)， P(a1,a2,…,an)等都是0元谓词(1)中命题为真。
例4.1（续，练习）
(2)如果5大于4，则4大于6. 解:
设二元谓词G(x，y): x大于y， 个体词: a:4，b:5，c:6。 G(b,a)，G(a,c)是两个0元谓词，把(2)中命 题符号化为
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中 命题为假。
解 (a) 令F(x): x呼吸。 G(x): x用左手写字。 (1) 在D1中除了人外，再无别的东西，因而 “凡人都呼吸”应符号化为
xF(x) (2) 在D1中的有些个体(人)用左手写字，因而 “有的人用左手写字”符号化为
xG(x)
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
(2) x是有理数。 个体词: x (个体变项); 谓词: “…是有理数”, 记为G (谓词常项); 命题: G( x ).
例（续）
(3) 小王与小李同岁。 个体词: 小王(a)、小李(b) (个体常项); 谓词: “…与…同岁”, 记为H (谓词常项); 命题: H(a,b).
(4) x与y具有关系L. 个体词: x、y (个体变项); 谓词: “…与…具有关系L”, 记为L (谓词变项); 命题: L(x,y).
个体词（续）
个体域
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域 可以是有穷集合。 例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…， x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集 合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
全总个体域
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的， 称它为全总个体域。 本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都 是使用全总个体域。
令F(x): x长着黑头发。命题(1)符号化为
x(M(x)→F(x))
(4.9)
设a为某个金发姑娘，则M(a)为真，而F(a)为假，所 以M(a)→F(a)为假，故(4.9)所表示的命题为假。
例4.4. (3)没有人登上过木星
解 令H(x):x登上过木星。 命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x))
例4.5（续）
分析 （1）本题没有指明个体域，因而采用全 总个体域。 （2）出现二元谓词，因而引入两个体 变项x与y。
例4.5（续）
解 令F(x): x是兔子，G(y): y是乌龟，H(x,y): x 比y跑得快，L(x,y): x与y跑得一样快。 这2个命题分别符号化为
x y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) (4.13) x(F(x)∧ y(G(y)→H(x,y)) (4.14)
默写下列的“置换规则”和“推理规则”
(1) 德摩根律 (2) 吸收律 (3) 蕴涵等值式 (4) 归谬论 (5) 假言推理规则 (6) 附加规则 (7) 化简规则 (8) 拒取式规则 (11) 假言三段论 (12) 析取三段论规则 (13) 合取引入规则
在P中构造下面推理的证明
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队 未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名； 小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。 （不用归谬法证明。）
分析: D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必 须考虑将人分离出来。
解(b) 令M(x): x是人。 在D2中，(1)，(2)可以分别重述如下: (1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。 (2)在宇宙间存在着用左手写字的人。
于是(1)，(2)的符号化形式分别为 x(M(x)→F(x)) x(M(x)∧G(x))
N元谓词符号化
分析命题中表示性质和关系的谓词，分 别符号化为一元和n元谓词；
根据命题的实际意义选用全称量词或存 在量词；
注意谓词的先后顺序； 命题的符号化形式不是唯一的。
课后作业
(1) 习题四 第1(-1,-3,-5), 2, 4(-2,-4), 5(-1,-
3), 6(-2,-4,-6)题 （第65,66页）.
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 ➢个体词； ➢谓词； ➢量词。
个体词
定义
个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽 象的客体。 例如，小王，小李，中国，3。
个体常项
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一 般用小写英文字母a，b，c…表示。
个体变项
而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x， y，z…表示。
里存在个体具有性质F和存在个体具有性 质G等。
一阶逻辑命题符号化
例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条 件时，将下面两个命题符号化 (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中: (a)个体域D1为人类集合； (b)个体域D2为全总个体域。
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
例（续）
一般的， 用F(a)表示个体常项a具有性质F(F是谓 词常项或谓词变项); 用F(x)表示个体变项x具有性质F; 而用F(a，b)表示个体常项a，b具有关 系F; 用F(x,y)表示个体变项x，y具有关系F.
n元谓词
用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项的 nn元≥2谓时词，。Pn(x=11,x时2,，…P,x(nx)1表)表示示x1x,1x具2,有 …,性xn质具P有； 关系P.
(p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性。
引言（续）
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将 简单命题再细分，分析出个体词，谓词 和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑 所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1. 一阶逻辑命题符号化
引言
在命题逻辑中，命题是最基本的单位， 对简单命题不再进行分解，并且不考虑 命题之间的内在联系和数量关系。因而 命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一 些简单而常见的推理。
引言（续）
例 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p， q，r，将推理的形式结构符号化为
（2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。
（3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题 公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换， 得到公式序列中的又一个公式。
（4） 几条重要的推理规则
上一节的复习（续） （练习）
谓词
定义 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互 关系的词。
谓词常项 表示具体性质或关系的谓词。
谓词变项 表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
表示 无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G， H，…表示，可根据上下文区分。
例
(1) 5 是无理数。 个体词: 5 (个体常项); 谓词: “…是无理数”, 记为F (谓词常项); 命题: F( 5 ).
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过木星。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发
分析
(1) 特性谓词的使用； (2) 联结词的使用； (2) 全总个体域的约定。
例4.4. (1)所有的人都长着黑头发（续）
解
由于本题没有提出个体域，因而应该采用全总个体域， 并令M(x): x为人。
第四章
一阶逻辑基本概念
上一节的复习 自然推理系统 P
定义3.3 自然推理系统P定义如下：
1．字母表
（1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→,
（3） 括号和逗号：( , )，，
2．合式公式 同定义1.6
上一节的复习（续） 自然推理系统 P（续）
4.2. 一阶谓词公式及其解释
自然推理系统P
形式语言 为在一阶逻辑中进行演算和推理，还必须给出 一阶逻辑中公式的抽象定义及其它们的解释。
一阶逻辑与一阶语言 一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶 逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系。
符号
非逻辑符号
非逻辑符号更像是所描述的特定对象中的符号，包括： 个体常项符号、函数符号、谓词符号。
当F，G，P为谓词常项时，0元谓词为命 题。这样一来，命题逻辑中的命题均可 以表示成0元谓词，因而可以将命题看成 特殊的谓词。
例4.1. 将命题在一阶逻辑中 用0元谓词符号化，并讨论其真值
(1)只有2是素数，4才是素数。 分析：
个体词: 2, 4 (个体常项); 谓词: …是素数 (谓词常项). 解： 设一元谓词F(x): x是素数， 个体常项: a:2，b:4。 (1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:
用 x， y等表示个体域里的所有个体，而 用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域 里所有个体都有性质F和都有性质G。
存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”， “有一个”，“有的”，“至少有一个” 等词统称为存在量词，将它们都符号化 为“ ”。
用x， y等表示个体域里有的个体，而用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域
实质上，n元谓词P(x1,x2,…,xn)可以看成以个 体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或 关系。
它不是命题。要想使它成为命题，必须用谓词 常项取代P，用个体常项a1,a2,…,an取代 x1,x2,…,xn，得P(a1,a2,…,an)是命题。
0元谓词
有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓 词，例如，F(a)，G(a,b)， P(a1,a2,…,an)等都是0元谓词(1)中命题为真。
例4.1（续，练习）
(2)如果5大于4，则4大于6. 解:
设二元谓词G(x，y): x大于y， 个体词: a:4，b:5，c:6。 G(b,a)，G(a,c)是两个0元谓词，把(2)中命 题符号化为
G(b,a)→G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中 命题为假。
解 (a) 令F(x): x呼吸。 G(x): x用左手写字。 (1) 在D1中除了人外，再无别的东西，因而 “凡人都呼吸”应符号化为
xF(x) (2) 在D1中的有些个体(人)用左手写字，因而 “有的人用左手写字”符号化为
xG(x)
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
(2) x是有理数。 个体词: x (个体变项); 谓词: “…是有理数”, 记为G (谓词常项); 命题: G( x ).
例（续）
(3) 小王与小李同岁。 个体词: 小王(a)、小李(b) (个体常项); 谓词: “…与…同岁”, 记为H (谓词常项); 命题: H(a,b).
(4) x与y具有关系L. 个体词: x、y (个体变项); 谓词: “…与…具有关系L”, 记为L (谓词变项); 命题: L(x,y).
个体词（续）
个体域
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域 可以是有穷集合。 例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…， x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集 合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
全总个体域
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的， 称它为全总个体域。 本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都 是使用全总个体域。
令F(x): x长着黑头发。命题(1)符号化为
x(M(x)→F(x))
(4.9)
设a为某个金发姑娘，则M(a)为真，而F(a)为假，所 以M(a)→F(a)为假，故(4.9)所表示的命题为假。
例4.4. (3)没有人登上过木星
解 令H(x):x登上过木星。 命题(3)符号化形式为 ┐ x(M(x)∧H(x))
例4.5（续）
分析 （1）本题没有指明个体域，因而采用全 总个体域。 （2）出现二元谓词，因而引入两个体 变项x与y。
例4.5（续）
解 令F(x): x是兔子，G(y): y是乌龟，H(x,y): x 比y跑得快，L(x,y): x与y跑得一样快。 这2个命题分别符号化为
x y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) (4.13) x(F(x)∧ y(G(y)→H(x,y)) (4.14)
默写下列的“置换规则”和“推理规则”
(1) 德摩根律 (2) 吸收律 (3) 蕴涵等值式 (4) 归谬论 (5) 假言推理规则 (6) 附加规则 (7) 化简规则 (8) 拒取式规则 (11) 假言三段论 (12) 析取三段论规则 (13) 合取引入规则
在P中构造下面推理的证明
如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队 未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名； 小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。 （不用归谬法证明。）
分析: D2中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必 须考虑将人分离出来。
解(b) 令M(x): x是人。 在D2中，(1)，(2)可以分别重述如下: (1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。 (2)在宇宙间存在着用左手写字的人。
于是(1)，(2)的符号化形式分别为 x(M(x)→F(x)) x(M(x)∧G(x))
N元谓词符号化
分析命题中表示性质和关系的谓词，分 别符号化为一元和n元谓词；
根据命题的实际意义选用全称量词或存 在量词；
注意谓词的先后顺序； 命题的符号化形式不是唯一的。
课后作业
(1) 习题四 第1(-1,-3,-5), 2, 4(-2,-4), 5(-1,-
3), 6(-2,-4,-6)题 （第65,66页）.
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素 ➢个体词； ➢谓词； ➢量词。
个体词
定义
个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽 象的客体。 例如，小王，小李，中国，3。
个体常项
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一 般用小写英文字母a，b，c…表示。
个体变项
而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x， y，z…表示。
里存在个体具有性质F和存在个体具有性 质G等。
一阶逻辑命题符号化
例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条 件时，将下面两个命题符号化 (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中: (a)个体域D1为人类集合； (b)个体域D2为全总个体域。
例4.2（续） (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
例（续）
一般的， 用F(a)表示个体常项a具有性质F(F是谓 词常项或谓词变项); 用F(x)表示个体变项x具有性质F; 而用F(a，b)表示个体常项a，b具有关 系F; 用F(x,y)表示个体变项x，y具有关系F.
n元谓词
用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项的 nn元≥2谓时词，。Pn(x=11,x时2,，…P,x(nx)1表)表示示x1x,1x具2,有 …,性xn质具P有； 关系P.
(p∧q)→r 由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确 性。
引言（续）
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将 简单命题再细分，分析出个体词，谓词 和量词，以期达到表达出个体与总体的 内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑 所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1. 一阶逻辑命题符号化
引言
在命题逻辑中，命题是最基本的单位， 对简单命题不再进行分解，并且不考虑 命题之间的内在联系和数量关系。因而 命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一 些简单而常见的推理。
引言（续）
例 凡偶数都能被2整除； 6是偶数。 所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在 命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑 中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p， q，r，将推理的形式结构符号化为