解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章

第三章平

§3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

(1)通过点M J QI-I)和点M2(1,—1,0)且平行于矢量｛—1,0,2｝的平面(2)通过点M^l,—5,1)和

M 2 (3,2,—2)且垂直于xoy坐标面的平面;

(3)已知四点A(5,1,3) , B(1,6,2) , C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面, 并求通过直线AB且与MBC平面垂直的平面。

解：(1) M1M2 =｛_2,_2,1｝，又矢量｛—1,0,2｝平行于所求平面,

故所求的平面方程为:

般方程为：4x -3y+2Z -7 =0

(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即｛0,0,1｝与所求的平面平行，又

M 1M 2 =｛2,7,-3｝，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为:

般方程为：7(x—1)—2(y+5)=0，即7x—2y-17 = 0。

(3)( i)设平面兀通过直线AB，且平行于直线CD :

AB={m,5,—1}，CD ={-1,0,2}

从而兀的参数方程为:

般方程为：10x +9y + 5z-74=0。

(ii)设平面兀'通过直线AB，且垂直于MBC所在的平面

AB ={75,-1}，ABX AC ={-4,5,-1}x{0T,1} ={4,4,4} =4{1,1,1}

均与兀’平行，所以兀’的参数式方程为:

般方程为：2X+ y -3z - 2 = 0 .

2.化一般方程为截距式与参数式:

兀:X +2y-z+4 =0.

解：兀与三个坐标轴的交点为：(—4,0,0), (0—2,0), (0,0,4)，

所以，它的截距式方程为：△+丄+2 =1

又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,

-4 -2 4

又与所给平面方程平行的矢量为：｛4, —2,0｝,

1

二所求平面的参数式方程为:

3.证明矢量v={X,Y,Z}平行与平面 Ax + By+Cz + D=0的充要条件为： AX + BY + CZ = 0.

证明：不妨设A H O

, 则平面Ax +By +Cz + D =0的参数式方程为:

B

C

故其方位矢量^:

^-

,1,0},

^-,0,

1}

，

从而v 平行于平面 Ax + By + Cz + D = 0的充要条件为:

- B C

v ，{-—,1,0}, {——,0,1}共面 U

A A

二 AX +BY +CZ =0.

4.已知连接两点 A(3,10,—5), B(0,12,z)的线段平行于平面 7x + 4y-z-1= 0,求B 点的z 坐标.

而 AB 平行于 7x +4y -z-1 =0

由题 3 知: (-3) X 7 + 2x4 - (z+5) = 0 从而Z = 18.

5.求下列平面的一般方程 ⑴通过点M 1 (2^1,1跑M 2 (3,—2,1)且分别平行于三坐标轴的三个平面 ⑵过点M (3,2,7 且在

X 轴和y 轴上截距分别为

-2和-3的平面；

⑶与平面5x +y -2z + 3 =0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面 ⑷已知两点M r (3,—1,2

2(4,-2,-1 ),求通过M 1且垂直于M 2的平面；

⑸原点0在所求平面上的正射影为

P(2,9,—6);

⑹求过点M 1 (3^5,1 )和同2 (4,1,2 )且垂直于平面X —8y+3z —1=0的平面.

—=1,把点 M (3,2, V ”弋入得 C =-迢 -2 -3 C

19

解：平行于X 轴的平面方程为

X-2 y+1 1 -1

Z —1

=0.即 Z —1 =

0.

同理可知平行于y 轴，z 轴的平面的方程分别为 Z -1 = 0,x + y -1 =

0 .

解:

AB ={—3,2,5+ z}

⑵设该平面的截距式方程为

3 1 1

1

故一般方程为 12x +8y + 19z +24=0.

⑶若所求平面经过

X 轴，则（0,0,0 ）为平面内一个点，

fe ,1, _2｝和丸0,0｝为所求平面的方位矢量，

•••一般方程为2y+ z=0.

同理经过y 轴，z 轴的平面的一般方程分别为 2x+ 5z=0,x-5y = 0.

⑷M =《,-1,-3九跑2垂直于平面兀, •••该平面的法向量

=勺,—1,—3）平面C 通过点M ）3,—1,2 ）,

因此平面兀的点位式方程为（x -3）-（y +1）-3（z -2）=0. 化简得 x-y -3z + 2 =0.

(5) op = {2,9,-6}

C 2 n 9 甘 6 •- cosc = —,cosP = — ,cosY = ——.

11 11 11

2 9 6

则该平面的法式方程为：二X +旦y -2z-11 =0.

11 11 11

既 2x +9y —6z —121 =0.

(6)平面 X —8y +3z -1 =0 的法向量为 n = £,—8,3}, M 1M 2

= 14,D = —26^4 + 2 + 28 = —74 , 则一般方程 Ax+By+Cz + D =0,即：13x - y-7z-37

= 0. 6.将下列平面的一般方程化为法式方程。 解：寫D = -3.

•••点法式方程为

X -0 y-0

5 1

Z —0 -2 =0

写岀平面的点位式方程为

X —4 y-1 -8

z-2

-8 6

= —26,

= 2,C =