新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测(三十八) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值

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【高中教育】高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时跟踪检测新人教A版必修4.doc

高中数学 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时跟踪检测新人教A版必修41．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是( )A．x轴B．y轴C．直线x＝π2D．直线x＝π解析：由y＝sin x，x∈R的图象知，直线x＝π2为其一条对称轴．答案：C2．在同一坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同解析：由诱导公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)，可知y＝sin x在[0,2π]与[2π，4π]上图象形状完全相同，故选B.答案：B3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图象，可知只有一个交点．答案：B4．要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图象，只需将y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象向________平移________个单位长度．解析：向左平移2π个单位长度即可．答案：左 2π5．下列函数：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2 x ；⑤y ＝1－cos 2 x .其中与函数y ＝sin x 形状完全相同的是________．(填序号)解析：y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状，y ＝－cos x 是作了对称变换，没改变形状，与y ＝sin x 形状相同，∴①③完全相同．而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2 x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2 x ＝|sin x |与y ＝sinx 的形状不相同．答案：①③6．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是____________．解析：2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 7．根据函数图象解不等式sin x ＞cos x ，x ∈[0,2π]．解：在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．可知，当π4＜x ＜5π4时sin x ＞cos x ，即不等式的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.8．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的大致图象是( )解析：y ＝cos x ·|tan x |＝|sin x |，结合正弦函数的图象可知C 正确．答案：C9．下列选项中是函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象上最高点的坐标的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B ．(π，1) C ．(2π，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，1 解析：作出函数y ＝－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象如图所示：答案：B10．方程x 2＝cos x 的实根个数是________．解析：在同一直角坐标系中画出y ＝x 2和y ＝cos x 的图象，观察交点个数为2.答案：211．求函数f (x )＝lg(1＋2cos x )的定义域．解：由1＋2cos x ＞0得cos x ＞－12，画出y ＝cos x 图象的简图，可得定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z )． 12．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6在[0,6π]上的图象．解：列表如下：13．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解：作图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积．∵OA＝2，OC＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π.∴所求封闭图形的面积为4π.本节内容是在已知三角函数定义的基础上，运用学过的画图象的方法画出正、余弦函数的图象．1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．。

正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x

高中数学课时跟踪检测八正弦函数余弦函数的图象新人教A版必修

课时跟踪检测（八）正弦函数、余弦函数的图象层级一学业水平达标1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，π B ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－π2＜x ＜π2时，cos x ∈(0,1]，∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．答案：37．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________．解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：29．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．解：列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．10．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图象或单位圆，如图所示．由图象知其定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z层级二应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π6．当x ∈[－π，π]时，y ＝12x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．解析：如图，有3个交点．答案：37．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2522x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图象．解：列表如下：8．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围．解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]．从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.。

2017-2018学年高中数学课时跟踪检测九正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性新人教A版

课时跟踪检测（九）正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数为偶函数，且T ＝2ππ＝2.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．即是奇函数也是偶函数解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 2＝sin x 2，故为奇函数．6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的周期为________．解析：T ＝2π12＝4π. 答案：4π7．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________.解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3.答案：38．函数ƒ(x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则ƒ(π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3得ω＝3， ∴ƒ(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3，∴ƒ(π)＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π－π3 ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－329．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x .解：(1)x ∈R ，ƒ(x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴ƒ(－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－ƒ(x )．∴该函数ƒ(x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴ƒ(x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R.∵ƒ(－x )＝1＋sin －x ＋1－sin －x ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝ƒ(x )，∴该函数是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |， (1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π] k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k π] k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.层级二应试能力达标1．下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2 解析：选B 对于A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 是奇函数；对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，且最小正周期T ＝2π2＝π；对于C ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 是偶函数，但最小正周期T ＝2π；对于D ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin x 是奇函数，故选B. 2．函数ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( ) A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵ƒ(x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋3π2＝－3cos 23x ，∴ƒ(x )为偶函数，且T ＝2π23＝3π，故选A.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选D ∵T ＝2πk 4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.4．函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( )A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2解析：选C 要使函数ƒ(x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z.故选C.5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：22 6．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是________．解析：∵y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝4π，而y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是把y ＝sin x 2的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为T ＝2π.答案：2π7．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又ƒ(x )是以π为周期的偶函数，所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ x(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数．(2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ x ， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ x ＋2 ＝－1－1ƒ x ＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是ƒ(x )的一个周期．∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ －1＋2 ＝－1ƒ 1 ＝15.。

高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课时跟踪检测新人教A版必修4

【优化指导】2015年高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）课时跟踪检测新人教A 版必修41．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：∵T ＝2π|ω|＝2π2＝π，∴B 正确．答案：B2．函数y ＝x sin x ( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：函数定义域为R ，又f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．答案：B3．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos |x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |解析：结合各函数的图象可知函数y ＝sin |x |不是周期函数．答案：D4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：∵f (x )＝－cos πx －1， ∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cos πx －1＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．又－cos[π(x ＋2)]－1＝－cos(πx ＋2π)－1 ＝－cos πx －1， ∴f (x )的周期为2.故选B. 答案：B5．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于________对称．解析：y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，易证函数为奇函数，所以其图象关于原点对称．答案：原点6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为23π，则ω＝________.解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为T ＝2πω， ∴2πω＝2π3，∴ω＝3. 答案：37．判断函数f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x 的奇偶性．解：f (x )＝cos(2π－x )－x 3sin 12x ＝cos x －x 3sin 12x 的定义域为R ，f (－x )＝cos(－x )－(－x )3sin 12(－x )＝cos x －x 3sin 12x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．8．若函数y ＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．180°解析：要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合选项可知，当φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数．答案：D9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( ) A ．1B.22C ．0D ．－22解析：由题意知，f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3×3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：B10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的图象的两条相邻对称轴间的距离为________．解析：两条相邻对称轴之间的距离为函数的半个周期，即为2π2×4＝π4.答案：π411．若函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x －sin x ，求当x ＜0时f (x )的解析式．解：设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－x －sin(－x ) ＝－x ＋sin x . 又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x －sin x (x ＜0)．12．已知f (x )是奇函数，且满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x ，若f (－1)＝1，求f (－3)的值．解：∵f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x1－fx＝2－2f x＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (x )为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－f (4－1)＝－f (－1)＝－1.本节内容是在学习了正、余弦函数图象的基础上来学习，主要学习三角函数的周期性和奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．涉及三角函数有关的问题时注意诱导公式的运用.。

高一数学(必修一)《第五章正弦函数、余弦函数的性质》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章正弦函数、余弦函数的性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（） A ．4B ．2C ．1D ．122．设函数()2sin()3f x x π=+，若对任意x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值是（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A ．y =B ．cos y x =C ．3x y =D ．ln y x =4．函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数的一个充分条件（）A ．6π=ϕ B ．6πϕ=-C ．3πϕ=D ．3πϕ=-5．已知α是第四象限角，且23sin 8cos αα=，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．13-C D ．136．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ． ,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZB ． ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈ZC ． 2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ． ,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()k ∈Z7．已知函数()()()2sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的部分图象如图所示，点(0A 和π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（）A ．直线π12x =是图象的一条对称轴 B ．()f x 的图象可由()2sin2g x x = 向左平移π3个单位而得到C ．的最小正周期为πD ．在区间ππ-,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8．已知定义在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意()(),2x R f x f x ∈=-；③当[]0,1x ∈时，则()32f x x =；若过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4x ∈上恰有4个交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（） A ．60,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x 和[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．将函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线3x π=对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．0D ．12二、填空题11．函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则[(2)]f f -=___________. 12．已知函数()f x 是在R 上连续的奇函数，其导函数为()f x '．当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，且()11f =，则函数()()21g x f x x =-的零点个数为______． 13．()()11sin cos cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法错误的是______. ①()f x 的值域是[]1,1-； ②当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >；③当且仅当24x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值；④()f x 是以π为最小正周期的周期函数.14．设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2，则实数a 的取值范围是______.15．若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x -+≥的解集是____________.三、解答题16．已知幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．17．比较下列各组数的大小．（1）cos870,cos890︒︒；（2）37π49πsin ,sin 63⎛⎫- ⎪⎝⎭. 18．已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =和()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．19．已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值. 20．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 在区间[]0,a 上是严格增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点．21．已知函数()2x f x x =． (1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性（不用证明），并解不等式()()221f x f x +>-．22．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分． 23．已知某海滨浴场的海浪高度是时间t （h ）（024t ≤≤）的函数，记作()y f t =．下表是某日各时的浪高数据.经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+.(1)根据以上数据，求出函数cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？四、双空题24．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且2222b c a a +=+，则A = _______，△ABC 的面积的取值范围是 _________ .参考答案与解析1．A【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=∴2242Tππωπ===. 故选：A. 2．C【解析】首先得出f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值，可得|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期，根据周期公式可得答案．【详解】函数()2sin()3f x x π=+ ∵对任意x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2） ∴f （x 1）是最小值，f （x 2）是最大值； ∴|x 1﹣x 2|的最小值为函数的半个周期 ∵T ＝2π∴|x 1﹣x 2|的最小值为π 故选：C. 3．D【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】解：对于A ：y =[)0,∞+，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B ：cos y x =为偶函数，但是函数在()0,∞+上不具有单调性，故B 错误；对于C ：3x y =为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：()ln y f x x ==定义域为{}|0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==故ln y x =为偶函数，又当()0,x ∈+∞时ln y x =，函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D 4．A【分析】根据函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，由,Z 32k k ππϕπ+=+∈求解.【详解】解：若函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数所以,Z32k k ππϕπ+=+∈则,Z6k k πϕπ=+∈故选：A 5．C【分析】利用三角函数的基本关系式与条件可求得sin α的值，再利用诱导公式化简2021cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可求得结果.【详解】因为23sin 8cos αα=，所以429sin 64cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以2264sin 64cos 64αα+=，即2464sin 9sin 64αα+= 整理得429sin 64sin 640αα+-= 解得28sin 9α=或2sin 8α=- (舍去)又因为α是第四象限角，所以sin 0α<，故sin α=所以2021cos cos 101022ππααπ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 故选：C. 6．B【分析】根据题意可得6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，进而结合()0,2πϕ∈可得π6ϕ=，从而有()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求解其单调递增区间即可.【详解】()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，即()π22πZ 62k k πϕ⨯+=+∈，则()π2πZ 6k k ϕ=+∈，又()0,2πϕ∈，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()πππ22π,2πZ 622x k k k ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()πππ,πZ 36x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：B. 7．B【分析】根据五点作图法可得，然后利用正弦函数的性质，代入逐一进行检验即可.【详解】由函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<部分图象，点(A ，π,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故sin ϕ=，由于点A 在单调递增的区间上，π3ϕ=或2π3ϕ= （舍去），再根据五点法作图可得 ππ+=π33ω⋅，求得2ω=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ．对于A,令π12x =，求得()2f x =，为最大值，故直线π=12x 是()f x 图象的一条对称轴，故A 正确；对于B,把()2sin2g x x =向左平移π3个单位，可得2π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；对于C,()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π=π2，故C 正确；对于D ，ππ-,312x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和πππ2-,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，故D 对.故选：B 8．D【分析】根据条件可知()f x 是周期为2的函数，作出函数图像，数形结合即可得解.【详解】因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以()f x 为偶函数，即()()f x f x =-，又因为对于任意()(),2x R f x f x ∈=-，所以()()()2f x f x f x =-=-从而()()2f x f x =+，即()f x 是周期为2的函数结合当[]0,1x ∈时，则()32f x x =，可作出()f x 在[]0,4的图像以及直线l 的图像，如下图所示：当3x =时，则易知()32f x =，则直线MA 的斜率()3032318MA k -==-- 过点()1,0-的直线l 与函数()f x 的图象在[]0,4上恰有4个交点，则只需直线l 斜率k 的取值范围是30,8⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D. 9．C【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈故3k πϕπ=+，Z k ∈ 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=Z k ∈又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=故选：C. 10．D【分析】由平移变换写出()g x 的表达式，由()g x 的对称性求得ϕ，然后计算函数值．【详解】由已知()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+()g x 的图象关于直线3x π=对称，则2,Z 332k k πππϕπ⨯-+=+∈，又0ϕπ<<，所以6π=ϕ 所以()sin(2)6g x x π=-，所以1()sin(2)6662g πππ=⨯-=．故选：D ． 11．11【分析】根据函数解析式，先求得(2)f -再求解. 【详解】因为函数321,0,()1211,0,2xx x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎛⎫--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩所以21(2)|2(2)1|122f -⎛⎫-=⨯---+= ⎪⎝⎭ 32(2)22111f =+-=故答案为：11 12．1【分析】函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根, 设()()2h x x f x =，对()h x 求导，结合题意知()h x 为()0,∞+上的增函数，由()()111h f ==，即可得出答案.【详解】()()()22211x f x g x f x x x -=-=则函数()()21g x f x x=-的零点就是方程()21x f x =的根．设()()2h x x f x =由题意得()()()()()22h x x f x x f x h x -=--=-=-因为()h x 的定义域为R ，所以()h x 为R 上连续的奇函数．易得()()()()()222h x xf x x f x x xf x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦由题知，当x ＞0时，则()()20xf x f x '+>，则()0h x '> 即函数()h x 为()0,∞+上的增函数又因为()h x 为R 上连续的奇函数，所以()h x 为R 上的增函数．由()11f =，得()()111h f ==，则方程()21x f x =只有一个根故函数()()21g x f x x =-只有1个零点．故答案为：1. 13．①③④【解析】将函数解析式化简并用分段函数表示出来，画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】解：()()()()sin ,cos sin 11sin cos cos sin cos ,cos sin 22x x x f x x x x x x x x ⎧>⎪=+--=⎨≤⎪⎩则画出函数图象如下：观察函数图象可得：函数的值域为⎡-⎢⎣⎦，故①错误；当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，则()0f x >，故②正确；当22x k ππ=-或2x k ππ=+（k Z ∈）时，则()f x 取得最小值，故③错误；函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故④错误；故错误的有：①③④故答案为：①③④【点睛】本题主要考查三角函数的性质和三角函数图象的应用，属于中档题.14．[)3,+∞【解析】分别求1≥x 和1x <时函数的值域，再根据题意比较两部分的最小值，求a 的取值范围.【详解】当1≥x 时，则()22x f x =≥，当1x <时，则()1f x a >-由题意知，12a -≥ 3a ∴≥.故答案为：[)3,+∞【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数的取值范围，属于基础题型.15．[]1,2【分析】根据偶函数的性质得到11x -≤≤时()0f x ≥，即可将不等式化为21331x x -≤-+≤，解得即可.【详解】解：因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(),0∞-上单调递增又()10f =，所以()()110f f -==，所以当11x -≤≤时()0f x ≥则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤，解得12x ≤≤ 所以原不等式的解集为[]1,2.故答案为：[]1,216．答案见解析.【分析】根据给定条件求出α值，判断奇偶性，写出单调区间及单调性，画出()f x 的草图作答.【详解】因幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，则182α=，即3122α-=，31α=-解得13α=- 所以函数()f x 的解析式为13()f x x -=，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞()f x =()()f x f x -===-，()f x 是奇函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递减函数()f x 的大致图象如图17．（1）cos870cos890︒>︒，（2）37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后利用余弦函数的单调性比较大小（2）先利用诱导公式化简，然后利用正弦函数的单调性比较大小.【详解】（1）cos870cos(2360150)cos150︒=⨯︒+︒=︒cos890cos(2360170)cos170︒=⨯︒+︒=︒∵余弦函数cos y x =在[]0,π上是减函数∴cos150cos170︒>︒，即cos870cos890︒>︒.（2）37πππ49πππsin()sin(6π)sin(),sin sin(16π)sin ,666333-=--=-=+= ∵正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴ππsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即37π49πsin sin 63⎛⎫-< ⎪⎝⎭. 18．(1),32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得；（2）根据三角函数变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出46x π+的取值范围，再根据余弦函数的性质及图象计算可得；（1）解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 令2223k x k ππππ-≤+≤ k Z ∈ 解得236k x k ππππ-≤≤- k Z ∈ 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦将所得图象上各点横坐标缩短为原来的 12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦ 令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤- 令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤ 即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 作出cos 3y t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 19．(1),36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） (2)最大值为1，最小值为-12.【分析】（1）由三角函数降幂公式与二倍角公式，根据辅助角公式，化简函数为单角三角函数，根据正弦函数的单调性，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象性质，可得答案.（1）()f x =1cos211cos2sin 22226x x x x x π+⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭. 因为y ＝sin x 的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）令22,2622x k k πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），得,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. （2）因为x ∈［0，2π］，所以2x ＋7,666πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 当2x ＋6π=2π，即x ＝6π时，则()f x 最大值为1 当2x ＋6π=76π，即x ＝2π时，则()f x 最小值为-12.20．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）所有零点是0，23π和2π．【分析】（1）先求得函数()f x 的在y 轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数a 的取值范围；（2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数()f x 的所有零点，进而得到在[]0,2π上的所有零点.【详解】（1）由πππ2π2π262k x k -+++，得2ππ2π2π33k x k -++ k ∈Z 取0k =，可得2ππ33x - ∵函数()π1sin 62f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,a 上是严格增函数 ∴实数a 的取值范围是π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.1πsin 2π+26x x k =⇔=或()5π2π+6x k k Z =∈. 21．(1)()f x 为偶函数，证明见解析 (2)()f x 在[)0,+∞上单调递增，不等式解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再检查(),()f x f x -之间的关系；（2）先将函数作简单变型，分析出单调性，再根据单调性来解不等式.（1）()f x 为偶函数．证明如下：依题意，函数()f x 的定义域为R ．对于任意x ∈R ，都有()()22x x f x x x f x --=-==，所以函数()f x 是R 上的偶函数．（2）函数())22x x f x x x ==-2x =[)0,+∞上单调递增．因为函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()221f x f x +>-等价于()()221f x f x +>-．因为函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以221x x +>-，即23830x x --<，解得133x -<<，所以不等式()()221f x f x +>-的解集为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 22．(1)选择①②：π()sin(2)6f x x =+，()f x 的最小值为1-；选择①③：π1()sin(2)62f x x =++， ()f x 的最小值为12-； (2)选择①②：t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；选择①③：t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m 的取值有两个，舍去；（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令()0f x =求出横坐标，即可判断t 的取值范围.（1）由题可知2()cos cos ωωω=+f x x x x m112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时，则()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=所以0m =．所以π1()sin(2)62f x x =++．当ππ22π62x k +=-，k Z ∈即ππ3x k =-，k Z ∈时 πsin(2)16x +=- 所以函数()f x 的最小值为11122．选择②③：因为1(0)12f m =+=，所以12m =- 因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去. （2）选择①②：令πsin(2)06x +=则π2π6x k += k Z ∈ 所以ππ212k x =- k Z ∈ 当1,2k =时，则函数()f x 的零点为5π11π,1212 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以5π11π1212t ≤<．所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．选择①③：令π1sin(2)062++=x 则π722π+π66+=x k k Z ∈ 或π1122π+π66+=x k k Z ∈ 所以ππ+2=x k k Z ∈ 或5π+π6=x k k Z ∈．当0k =时，则函数()f x 的零点分别为π5π,26由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点所以π5π26t ≤<．所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 23．(1)T =12，A =0.5 1cos 126y t π=+； (2)一共有6个小时.【分析】(1)根据给定的数表直接求出周期T ，振幅A ，进而求出函数表达式.(2)根据给定条件解不等式1cos 1126t π+>即可计算作答. （1）依题意，观察数表得：最小正周期12T =，最高浪高为1.5米，最低浪高为0.5米则 1.50.5122A -== 1.50.512b +== 22126T πππω===＝6π 所以函数解析式为：1cos 126y t π=+ （2）由(1)知，令1cos 1126t π+>，得：22(Z)262k t k k πππππ-<<+∈ 123123Z ()k t k k -<<+∈而820t <<，则1k = 915t <<所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.24． 3π【分析】由2222b c a a +=+结合余弦定理可得cos a bc A =，由△ABC ，可是1sin 2bc A ==，两式结合可求得tan A =A ；利用正弦定理，余弦定理，三角函数等变换的应用可得311sin(2)2264B a π=-+，可求出范围52(,)666B πππ-∈，利用正弦函数的性质可求解a 的范围，进而可求得△ABC 的面积的取值范围【详解】解：因为2222b c a a +=+，所以2222b c a a +-= 所以由余弦定理得2222cos 22b c a a a A bc bc bc+-===，所以cos a bc A =因为△ABC所以1sin 2bc A ===所以1sin cos 2bc A A ==所以tan A 因为(0,)A π∈，所以3A π=因为1cos 2a bc A bc ==所以1sin 2ABC Sbc A ==因为由正弦定理可得b B =，2)3c B π=-和2a bc = 所以2422sin sin()33a a B B π=- 所以311sin(2)2264B a π=-+ 因为△ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<< 所以52(,)666B πππ-∈ 所以31113sin(2)(,]226424B a π=-+∈ 所以[2,3)a ∈，所以1sin 2ABC Sbc A ==∈ 故答案为：3π。

(浙江专版)2017-2018学年高中数学课时跟踪检测(十)正弦函数_余弦函数的单调性与最值新人教A版必修4

课时跟踪检测（十）正弦函数、余弦函数的单调性与最值层级一学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选 C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2 解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2在(0，π)上是单调递减的． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．0 解析：选 B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ 1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62；当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．(1)sin 10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π， ∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9. 层级二应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2] 解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z)解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2， ∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4， ∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1， ∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5. 当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。

高一数学(必修一)《第五章-正弦函数、余弦函数的图象》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章正弦函数、余弦函数的图象》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中02πϕ<<）的图象经过1(,)42P π，则ϕ的值为（） A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π2．已知函数()cos f x x x =和()()g x f x '=，则（）． A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为(0,1)3．设函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1-，则实数a 的取值范围是（） A ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， C ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．[)1-+∞， 4．已知函数()22πcos sin 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象先向右平移π12个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的对称轴方程为（） A ．()ππ+Z 12x k k =∈ B ．()ππZ 6x k k =-∈ C ．()ππZ 212k x k =-∈ D ．()ππ+Z 212k x k =∈ 5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，则()()e 1xf x x =+，则下列结论中错误的是（）A ．当0x >时，则()()e 1xf x x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<6．设集合{}{}2log 2,P x x Q y y x P =<=∈∣∣，则P Q =（） A ．{34}xx <<∣ B ．{34}xx <∣ C ．{04}xx <<∣ D ．{05}xx <∣ 7．已知函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（） A ．2- B ．0C ．2D ．48．函数()cos xf x xπ=在区间[]4,4-上的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．二、解答题9．已知函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)用五点法画出函数()f x 的大致图像，并写出()f x 的最小正周期； (2)写出函数()f x 在R x ∈上的单调递减区间； (3)将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得到()y g x =的图像，求()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．10．已知函数()22sin sin 363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()()2g x f x a =-在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点()123123,,x x x x x x <<（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求()123sin 2x x x +-的值.11．某实验室某一天的温度（℃）随时间()t h 的变化近似地满足函数关系：()sin1212f t k t t ππ=-[)0,24t ∈ R k ∈ 已知早上6时，则实验室温度为9℃．(1)求函数()f t 的解析式； (2)求实验室这一天中的最大温差；(3)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪个时间段实验室需要降温? 12．已知函数222()log log (4),()log ()f x x x g x x a =--=+． (1)求()f x 的定义域，并证明()f x 的图象关于点(2,0)对称；(2)若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 13．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点，求实数m 的取值范围．三、填空题14．函数()2log 2cos 1y x =+的定义域是______.15．已知函数()22sin sin 2f x x x =的最大值为3，则实数a 的值为______.16．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．四、多选题17．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．()f x 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若123x x π+=，则()()12f x f x =参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求解作答.【详解】依题意，1()sin()cos 422f ππϕϕ=+==，而02πϕ<<，所以3πϕ=.故选：B 2．【答案】B【分析】利用导数求得()g x ，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.【详解】()()'1sin 2sin 2g x f x x x x x ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭4π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ππ4π3π2sin 2sin 26632g ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()g x 图像的一条对称轴是π6x =，B 选项正确，A 选项错误. ()g x 的最小正周期2πT =，半周期π2T= 5π5π5ππ663⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以区间5π5π,66⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的单调区间，C 选项错误. ()()4πππ02sin 2sin π2sin 0,1333g ⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：B3．【答案】A【分析】分段讨论最小值即可.【详解】由于函数()2121log 2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，，的最小值为1- 当12x ≥时，则()211log 122f x f ⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭当12x ≤时，则()112f x a >-+≥-，解得12a ≥-故选: A ． 4．【答案】D【分析】整理可得()1cos2f x x =+，根据平移整理得()πcos 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合余弦函数得对称轴()ππZ 62k k x -=∈求解．【详解】()222πcos sin 2cos 1cos 22f x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭由题意可得()cos 2cos 2ππ126g x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭则()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππ+Z 212k x k =∈故选：D ． 5．【答案】A【分析】由奇函数求出0x >的解析式即可判断A 选项；解方程求出零点即可判断B 选项；解分段函数不等式即可判断C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D 选项.【详解】对于A ，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，则0x -< ()()()e 1xf x x f x --=-+=-则()()()e 1e 1x xf x x x --=--+=-，A 错误；对于B ，易得()00f =，当0x <时，则()()e 10x f x x =+=，可得1x =-；当0x >时，则()()e 10xf x x -=-=可得1x =，则函数()f x 有3个零点，B 正确；对于C ，由()()()e 1,00,0e 1,0x x x x f x x x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，当0x <时，则由()()e 10xf x x =+<得1x <-；当0x >时，则由()()e 10xf x x -=-<得01x <<，则()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 正确；对于D ，当0x <时，则()()e 1x f x x =+，()()e 2xf x x '=+当2x <-时，则()0f x '<，()f x 单减，此时()0f x <；当20x -<<时，则()0f x '>，()f x 单增()10f -=，0x →时，则()1f x →；2x =-时，则()f x 有极小值()212e f -=-；结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()f x 的图象结合图象知，()f x 的值域为()1,1-，则12,R x x ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 正确. 故选：A. 6．【答案】A【分析】由集合交集的定义计算即可.【详解】由2log 2x <解得04x <<，所以{|04}P x x =<<所以2(0,16)x ∈(3,5)和{|35}Q y y =<< 所以{|34}P Q x x =<<. 故选：A. 7．【答案】C【分析】结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案. 【详解】()f x 是奇函数()()22f x f x -=+，即()f x 关于2x =对称()()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=-+=-=- ()()()()()()8444f x f x f x f x f x +=++=-+=--=所以()f x 是周期为8的周期函数.()()()()()()00,12,3212112f f f f f f ===+=-==()()()()4222200f f f f =+=-== ()()()()()52323112f f f f f =+=-=-=-=- ()()()()()6242422f f f f f =+=-=-=- ()()()74332f f f =+=-=- ()()800f f ==所以()()()()()()()()123456780f f f f f f f f +++++++= 由于202225286=⨯+ 所以(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=()()()()()()1234562f f f f f f +++++=.故选：C 8．【答案】C【分析】先判断函数奇偶性排除A ，再结合特殊值法和零点个数可选出正确答案. 【详解】易知函数cos ()xf x x π=是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A ；在原点右侧附近，函数()f x 值大于0，排除D ；函数cos ()x f x x π=在区间[4,4]-上有零点1357,,,2222±±±±，共计8个，排除B.仅有C 符合上述要求. 故选：C.9．【答案】(1)图象见解析 T π=；(2)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)()max 2g x = ()min 2g x =-；【分析】（1）根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期；（2）根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据三角函数的变换规则得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围，求出43x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；（1）解：因为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 列表如下：函数图象如下：函数()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）解：令222,Z232k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得5,Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）解：将()y f x =图像上所有的点向右平移3π个单位长度得到2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 再2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变得到()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 41,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()[]2,2g x ∈-当432x ππ-=，即524x π=时()max 2g x =，当3432x ππ-=，即1124x π=时()min 2g x =-；10．【答案】(1)()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)（i ）⎡⎤⎣⎦；（ii 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式可化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；根据正弦型函数单调性的求法可求得单调递增区间；（2）（i ）令43t x π=-，将问题转化为2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点，利用数形结合的方式即可求得a 的取值范围；（ii ）由（i ）中图像可确定233t t π+=，312t t π-=由此可得1232t t t π+-=-，整理可得123212x x x π+-=-，由两角和差正弦公式可求得sin12π-的值，即为所求结果.（1）()22sin cos 2cos 13263f x x x x ππππ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭2222sin cos 2sin 2233333x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ∴令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）（i ）由（1）得：()2sin 43g x x aπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则4,233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦设43t x π=-，则()g x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点等价于2sin y t =与y a =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有3个不同的交点；作出2sin y t =在,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下图所示由图像可知：当0a ≤≤时，则2sin y t =与y a =恰有3个不同的交点∴实数a 的取值范围为⎡⎤⎣⎦；（ii ）设2sin y t =与y a =的3个不同的交点分别为()123123,,t t t t t t << 则233t t π+= 312t t π-= ()123323232224t t t t t t t t πππ∴+-=-+-=+-=-即1232444333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：1238443x x x π+-=-123212x x x π∴+-=-()123sin 2sin sin sin cos cos sin 12464646x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫∴+-=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==.11．【答案】(1)()102sin 123f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ (2)最大温差为4℃ (3)10时至18时【分析】(1)将6t =代入求出k 值即可得解.(2)在[)0,24t ∈时，则求出函数()f t 的最大值与最小值即可得解. (3)解关于t 的三角不等式()11f t >即可作答.(1)因1()sin )2sin()12212123f t k t t k t ππππ=-+=-+则当6t =时，则()2sin(6)9123f t k ππ=-⨯+=，解得10k =所以()f t 的解析式为()102sin()123f t t ππ=-+.(2)因024t ≤<，则731233t ππππ≤+<，得1sin()1123ππ-≤+≤t ，当1232t πππ+=，即2t =时，则()f t 取最小值8当31232t πππ+=，即14t =时，则()f t 取最大值12，即实验室这一天中的最高温度为12℃，最低温度8℃所以最大温差为4℃. (3)依题意，当()11f t >时，则实验室需要降温由()102sin 11123f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1232t ππ⎛⎫+<-⎪⎝⎭ 而当024t ≤<，即731233t ππππ≤+<时，则则有71161236t ππππ<+<，解得1018t <<所以在10时至18时实验室需要降温.12．【答案】(1)定义域为()0,4，证明见解析；(2)10a -<<.【分析】（1）根据解析式有意义可求函数的定义域，可证()()40f x f x +-=，从而得到()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）根据根分布可求参数的取值范围.（1）由题设可得040x x >⎧⎨-<⎩，故04x <<，故()f x 的定义域为()0,4而()()2222()4log log (4)log 4log 0f x f x x x x x +-=--+--=故()f x 的图象关于点(2,0)对称.（2）因为()()f x g x =有两个不同的实数解故4x x a x=+-在()0,4上有两个不同的实数解整理得到：2(3)40x a x a +--=在()0,4上有两个不同的实数解设()2(3)4h x x a x a =+--，则()()()2004030423160h h a a a >⎧⎪>⎪⎪-⎨<<⎪⎪⎪-+>⎩ 故240164(3)4030421090a a a a a a ->⎧⎪+-->⎪⎪-⎨<<⎪⎪++>⎪⎩，解得10a -<<. 13．【答案】(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，列出方程组求得()321f x x x x =+-+，得到()2321f x x x '=+-，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+-，结合条件列出不等式组，即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++ 由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知，()g x 在1x =-处取得极大值，在13x =处取得极小值 ()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意，要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m <<，经检验，(2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭． 14．【答案】222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）【分析】根据对数函数的性质可得2cos 10x +>，再由余弦函数的图象与性质即可求解.【详解】由题意可得2cos 10x +>，解得1cos 2x >- 作出cos y x =的图象，如下：由图象可得2222,33k x k k Z ππππ-<<+∈ 所以函数的定义域为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）. 故答案为： 222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ） 15．【答案】±1【分析】先化简函数的解析式得()()21f x x ϕ++13=即得解.【详解】由题得()()22sin sin 21cos 2sin 221f x x x x x x ϕ==-++，其中tan ϕ=所以()f x 13=解得1a =±.故答案为：±1.16．【答案】1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.【详解】如下图，作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅== 500223226x x T x ππωω=+=+⋅= 结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭17．【答案】AD 【分析】由图知22T π=即可求ω；根据()012f π-=且(0)0f >求ϕ；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调性；由213x x π=-代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断()()12f x f x =是否成立. 【详解】由图知：5()212122T πππ=--=，而2T πω=，可得2ω=，A 正确； ∴()()2sin 2f x x ϕ=+，又()2sin()0126f ππϕ-=-+=且(0)2sin 0f ϕ=>，有6k πϕπ=+ k Z ∈ 又ϕπ< ∴0k =，即6π=ϕ，B 错误；综上，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则22[,]633x πππ+∈-，显然()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；若123x x π+=，则213x x π=-，故2115()()2sin(62)3f x f x x ππ=-=-12sin(2)56x ππ=+-112sin()()26x f x π=+= D 正确.故选：AD。

高中数学课时跟踪检测(八)正弦函数、余弦函数的图象新人教A版必修4

课时跟踪检测（八）正弦函数、余弦函数的图象层级一学业水平达标1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，π B ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x )B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x )D ．f (x )＝si n(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π解析：选A 由y ＝cos x 的图象知，在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－π2＜x ＜π2时，cos x ∈(0,1]，∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．答案：37．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________．解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：29．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．解：列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3，(π，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．10．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图象或单位圆，如图所示．由图象知其定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z层级二应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π6．当x ∈[－π，π]时，y ＝12x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．解析：如图，有3个交点．答案：37．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2522x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图象．解：列表如下：x π2 π 3π2 2π 5π2 x －π20 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π21－18．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围．解：按五个关键点列表：2x0 π2 π 3π2 2π x0 π4 π2 3π4 π cos 2x 1 0 －1 0 1 1＋2cos 2x31－113描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]．从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.。

高中数学人教A版必修第一册学案与练习正弦函数、余弦函数的单调性与最值

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值1.正弦函数、余弦函数的单调性(1)正弦函数y=sin x 的增区间为[2k π-π2，2k π+π2](k ∈Z);减区间为[2k π+π2，2k π+3π2](k ∈Z).(2)余弦函数y=cos x 的增区间为[2k π-π，2k π](k ∈Z);减区间为[2k π，2k π+π](k ∈Z).2.正弦函数、余弦函数的图象的最值正弦曲线:余弦曲线:可得如下性质:由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[-1，1]. 对于正弦函数y=sin x ，x ∈R 有:当且仅当x=π2+2k π，k ∈Z 时，取得最大值1;当且仅当x=-π2+2k π，k ∈Z 时，取得最小值-1.对于余弦函数y=cos x ，x ∈R 有:当且仅当x=2k π，k ∈Z 时，取得最大值1; 当且仅当x=(2k+1)π，k ∈Z 时，取得最小值-1.正、余弦(型)函数的单调性类型一利用图象确定函数的单调区间 [例1] 求函数y=|sin x|的单调区间.解:因为y=|sin x|的图象是由y=sin x 在x 轴上侧的图象不变、x 轴下侧的图象对折得到的，如图所示.由函数得，当x ∈[0，π2]时，函数单调递增，当x ∈[π2，π]时，函数单调递减，因此函数的单调递增区间是[k π，k π+π2](k ∈Z)，单调递减区间是[k π+π2，k π+π](k ∈Z).(1)研究三角函数的单调性时，若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x ，y=cos x 的单调性求解，可以作出函数图象)，结合图象研究函数性质.(2)一般地，形如y=|Asin(ωx+ϕ)|或y=|Acos(ωx+ϕ)|的函数单调性常借助图象求解.提醒:本例中，由于函数y=|sin x|周期为T=π，因此函数的单调性中应为k π的形式.针对训练1:已知y=|cos x|，则函数的一个单调递增区间是( ) A.(-π4，π4) B .(π4，3π4)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:作出函数y=|cos x|的图象如图所示，当x ∈(3π2，2π)时，函数单调递增.故选D.类型二形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ，ω≠0)的函数单调性[例2] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=2+cos(x 2+π3);(2)f(x)=2sin(π4-2x).解:(1)令2k π≤x 2+π3≤2k π+π，k ∈Z ，得4k π-2π3≤x ≤4k π+4π3(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [4k π-2π3，4k π+4π3](k ∈Z).令2k π+π≤x 2+π3≤2k π+2π，k ∈Z ，得4k π+4π3≤x ≤4k π+10π3(k ∈Z).故函数的单调递增区间是 [4k π+4π3，4k π+10π3](k ∈Z).(2)f(x)=2sin(π4-2x)=-2sin(2x-π4)，令2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [k π-π8，k π+3π8](k ∈Z).令2k π+π2≤2x-π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，得k π+3π8≤x ≤k π+7π8(k ∈Z).故函数的单调递增区间是[k π+3π8，k π+7π8](k ∈Z).求正弦、余弦型函数单调区间的方法(1)求函数y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω>0)的单调区间，一般将ωx+ϕ视作整体，代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式，解之即得.(2)当ω<0时，先利用诱导公式将y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-ϕ)(或y=Acos(-ωx-ϕ))(A>0，ω<0)，再求函数的单调区间.(3)当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆.针对训练2:(1)(多选题)函数y=sin(-12x+π4)，x ∈[-4π，4π]的单调递减区间是( )A.[-4π，-5π2] B.[-π2，3π2]C.[π2，5π2] D.[7π2，4π](2)函数y=cos(π3-2x)的单调递增区间是 .解析:(1)因为y=sin(-12x+π4)=-sin(12x-π4)与函数y=sin(12x-π4)的增减性相反，令-π2+2k π≤12x-π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得-π2+4k π≤x ≤3π2+4k π，k ∈Z ，当k=-1时，-9π2≤x ≤-5π2，当k=0时，-π2≤x ≤3π2，当k=1时，7π2≤x ≤11π2，又-4π≤x ≤4π，所以函数y=sin(-12x+π4)的单调递减区间为[-4π，-5π2]，[-π2，3π2]，[7π2，4π].故选ABD.(2)y=cos(π3-2x)=cos(2x-π3)，由-π+2k π≤2x-π3≤2k π，k ∈Z ，得-π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z.答案:(1)ABD (2)[-π3+k π，π6+k π](k ∈Z)类型三利用正、余弦函数单调性比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)sin 194°与cos 160°; (2)cos 32，sin 110，-cos 74;(3)sin(sin 3π8)与sin(cos 3π8).解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°，cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.因为0°<14°<70°<90°，函数y=sin x 在区间(0°，90°)上单调递增，所以sin 14°<sin 70°，所以-sin 14°>-sin 70°，所以sin 194°>cos 160°. (2)sin 110=cos(π2-110)，-cos 74=cos(π-74)，因为0<π-74<π2-110<32<π，函数y=cos x 在(0，π)上是单调递减，所以cos(π-74)>cos(π2-110)>cos 32，即-cos 74>sin 110>cos 32.(3)cos 3π8=cos(π2-π8)=sin π8.因为0<π8<3π8<π2，函数y=sin x 在(0，π2)上单调递增，所以sin π8<sin 3π8，所以cos 3π8<sin 3π8.而0<cos 3π8<sin 3π8<1，且函数y=sin x 在(0，1)上单调递增，所以sin(cos 3π8)<sin(sin 3π8).三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[-π2，π2]或[π2，3π2]内;对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[-π，0]或[0，π]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.针对训练3:比较下列各组数的大小. (1)sin(-320°)与sin 700°;(2)cos17π8与cos37π9.解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°， sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°)，又函数y=sin x 在[-90°，90°]上单调递增，所以sin 40°>sin(-20°)，所以sin(-320°)>sin 700°. (2)因为cos 17π8=cos(2π+π8)=cos π8，cos37π9=cos(4π+π9)=cos π9，又函数y=cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8<cos π9，所以cos17π8<cos37π9.正、余弦(型)函数的值域与最值类型一正、余弦(型)函数的最值问题[例4] 求下列函数的最值，并求函数取最值时，相应x 的值. (1)y=3sin(2x+π3);(2)y=1+cos(2x+π3)，x ∈[-π3，π6].解:(1)当2x+π3=2k π+π2(k ∈Z)，即x=k π+π12(k ∈Z)时，y max =3，当2x+π3=2k π-π2(k ∈Z)，即x=k π-5π12(k ∈Z)时，y min =-3.(2)因为x ∈[-π3，π6]，所以2x+π3∈[-π3，2π3].所以-12≤cos(2x+π3)≤1.当2x+π3=0，即x=-π6时，函数取最大值，y max =1+1=2. 当2x+π3=2π3，即x=π6时，函数取最小值，y min =-12+1=12.形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ≠0，ω≠0)的函数 (1)在R 上的最值，可结合sin(ωx+ϕ)，cos(ωx+ϕ)的范围及A 的符号确定.(2)若定义域为确定的区间，令t=ωx+ϕ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性及A 的符号，求其值域.针对训练4:求下列函数最值，并求取最大值和最小值时x 的值. (1)y=1-3cos 2x;(2)y=-2sin(2x-π4)，x ∈[0，π2].解:(1)当cos 2x=1时，y 有最小值1-3=-2，此时x 的值满足2x=2k π，即x=k π(k ∈Z).当cos 2x=-1时，y 有最大值1+3=4，此时x 的值满足2x=2k π+π，即x=k π+π2(k ∈Z).(2)由x ∈[0，π2]，得2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，即-2≤-2sin(2x-π4)≤√2.当2x-π4=π2，即x=3π8时，函数取最小值-2.当2x-π4=-π4，即x=0时，函数取最大值√2.类型二形如y=Asin 2x+Bsin x+C 或y=Acos 2x+Bcos x+C 型最值问题 [例5] 求使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值. 解:令t=sin x ，则-1≤t ≤1，所以y=-t 2+√3t+54=-(t-√32)2+2.当t=√32时，y max =2，此时sin x=√32，即x=2k π+π3或x=2k π+2π3(k ∈Z).当t=-1时，y min =14-√3，此时sin x=-1，即x=2k π+3π2(k ∈Z).综上，使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值时自变量x 的集合为{x|x=2k π+π3或x=2k π+2π3，k ∈Z}，且最大值为2.使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最小值时自变量x 的集合为{x|x=2kπ+3π2，k ∈Z}，且最小值为14-√3.形如y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)的三角函数，可先设sin x=t ，将函数y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)化为关于t 的二次函数y=at 2+bt+c(a ≠0)(-1≤t ≤1)，根据二次函数的单调性求值域(最值).针对训练5:求函数y=-cos 2x+√3sin x+54的值域.解:因为cos 2x=1-sin 2x ，所以y=sin 2x+√3sin x+14.令t=sin x ，则-1≤t ≤1，所以y=t 2+√3t+14=(t+√32)2-12.当t=-√32时，y min =-12，当t=1时，y max =54+√3.故函数的值域为[-12，54+√3].典例探究:函数y=sin x 的定义域为[a ，b]，值域为[-1，12]，则b-a的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3B.8π3C.2πD.4π解析:如图，当x ∈[a 1，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最大.当x ∈[a 2，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最小.所以b-a 的最大值与最小值之和为(b-a 1)+(b-a 2)=2b-(a 1+a 2)=2×π6-(-7π6-π2)=2π.故选C.应用探究:已知函数y 1=a-bcos x 的最大值是32，最小值是-12，求函数y=-4asin 3bx 的最大值.解:因为函数y 1的最大值是32，最小值是-12，当b>0时，由题意得{a +b =32,a -b =-12,所以{a =12,b =1.此时y=-4asin 3bx=-2sin 3x.当b<0时，由题意得{a -b =32,a +b =-12,所以{a =12,b =-1.此时y=-4asin 3bx=-2sin(-3x)=2sin 3x. 因此，y=-2sin 3x 或y=2sin 3x. 函数的最大值均为2.1.函数f(x)=3-2cos 4x 的最大值为( D ) A.1 B.2 C.3 D.5解析:因为-1≤cos 4x ≤1，所以-2≤2cos 4x ≤2，所以1≤3-2cos 4x ≤5，所以f(x)=3-2cos 4x 的最大值为5.故选D. 2.函数f(x)=sin x ，x ∈[π6，2π3]的值域为( B )A.[-1，1]B.[12，1]C.[12，√32] D.[√32，1]解析:因为函数y=sin x 在区间[π6，π2]上是增函数，在区间[π2，2π3]上是减函数，所以当x ∈[π6，2π3]时，f(x)max =f(π2)=1，f(x)min =f(π6)=12，因此，所求函数的值域为[12，1].故选B.3.函数y=sin 2x+sin x-1的值域为( C ) A.[-1，1] B.[-54，-1]C.[-54，1] D .[-1，54]解析:因为y=sin 2x+sin x-1=(sin x+12)2-54，当sin x=-12时，y min =-54;当sin x=1时，y max =1，即y ∈[-54，1].故选C.4.函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是( D )A.[-π，-5π6] B.[-5π6，-π6]C.[-π3，0] D .[-π6，0]解析:令2k π-π2≤x-π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6，所以函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是[-π6，0].故选D.[例1] (多选题)下列结论正确的是( ) A.sin(-π18)<sin(-π10)B.sin(-π18)>sin(-π10) C.cos(-23π5)<cos(-17π4) D.cos(-23π5)>cos(-17π4)解析:因为-π2<-π10<-π18<0，且y=sin x 在区间[-π2，0]上单调递增，所以sin(-π18)>sin(-π10)，故B 正确.又cos(-23π5)=cos23π5=cos 3π5，cos(-17π4)=cos17π4=cos π4，0<π4<3π5<π，且y=cos x 在区间[0，π]上单调递减，所以cos(-23π5)<cos(-17π4)，故C 正确，故选BC.[例2] 已知函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则ω的取值范围为 .解析:由正弦函数图象知，要使函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则{ω<0,|ωπ2|≤π2,解得-1≤ω<0. 答案:[-1，0)[例3] 函数y=lo g 12sin(2x+π4)的单调递增区间是 .解析:设g(x)=sin(2x+π4)，则y=lo g 12g(x)与g(x)的增减性相同，所以g(x)单调递减，且g(x)>0，所以π2+2k π≤2x+π4<π+2k π，k ∈Z ，即π8+k π≤x<3π8+k π，k ∈Z.故所求函数的单调递增区间为[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z).答案:[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z)[例4] 求下列函数的值域. (1)y=|sin x|+sin x; (2)y=sinx -2sinx+1.解:(1)当sin x ≥0时，|sin x|=sin x; 当sin x<0时，|sin x|=-sin x ，所以y={2sinx ,sinx ≥0,0,sinx <0.因为当sin x ≥0时，0≤sin x ≤1，所以0≤y ≤2; 当sin x<0时，y=0.所以函数y=|sin x|+sin x 的值域为[0，2]. (2)y=sinx -2sinx+1=sinx+1-3sinx+1=1-3sinx+1.当sin x=1时，y max =-12，易得该函数的值域为(-∞，-12]. [例5] 已知函数f(x)=2sin(2x-π3)+1.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若关于x 的方程f(x)-m=2在x ∈[π4，π2]上有解，求实数m 的取值范围.解:(1)最小正周期T=2π2=π，令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z)，解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[k π-π12，k π+5π12](k ∈Z).(2)因为x ∈[π4，π2]，所以2x-π3∈[π6，2π3]，即sin(2x-π3)∈[12，1]，又因为f(x)=2sin(2x-π3)+1，所以f(x)的值域为[2，3]. 由f(x)-m=2，得f(x)=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m ∈[0，1].选题明细表基础巩固1.函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0，π2]上的最小值是( B )A.-1B.-√22C.√22D.0解析:因为x ∈[0，π2]，所以2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，所以f(x)min =-√22.故选B. 2.函数f(x)=-2sin 2x+2cos x 的最大值和最小值分别是( B ) A.2，-2 B.2，-52C.2，-12D.52，-2解析:f(x)=-2sin 2x+2cos x=-2×(1-cos 2x)+2cos x=2cos 2x+2cos x-2= 2[(cos x+12)2-54]=2(cos x+12)2-52，因为-1≤cos x ≤1，所以f(x)min =-52，f(x)max =2.故选B.3.下列区间中，函数f(x)=5sin(x-π3)单调递增的区间是( A )A.(0，π2) B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:令-π2+2k π≤x-π3≤π2+2k π(k ∈Z)，可得-π6+2k π≤x ≤5π6+2k π(k ∈Z)，令k=0，可得-π6≤x ≤5π6，令k=1，可得11π6≤x ≤17π6，令k=2，可得23π6≤x ≤29π6，因为(0，π2)⊆[-π6，5π6]，故选项A 正确;选项B ，C ，D 都不符合题意.故选A.4.下列区间中使y=sin x 和y=cos x 都是减函数的是( C ) A.[-π2，0] B .[0，π2]C.[π2，π] D .[π，3π2]解析:x ∈[-π2，0]，y=sin x 和y=cos x 都是增函数，x ∈[0，π2]时，y=sin x 是增函数，y=cos x 是减函数，x ∈[π2，π]时，y=sin x 和y=cos x 都是减函数，x ∈[π，3π2]时，y=sin x 是减函数，y=cos x 是增函数.故选C.5.函数f(x)=3sin(2x-π6)在区间[0，π2]上的值域为 .解析:由x ∈[0，π2]，得2x-π6∈[-π6，5π6]，所以sin(2x-π6)∈[-12，1]，于是f(x)=3sin(2x-π6)∈[-32，3].答案:[-32，3]6.写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式 (不用分段函数表示).解析:不妨设f(x)=|sin ωx|，当T=1时，ω=π，则f(x)=|sin πx|.(答案不唯一)答案:f(x)=|sin πx|(答案不唯一)能力提升7.(多选题)下列不等式中成立的是( ABC ) A.sin 3<sin 2 B.cos 3<cos 2 C.cos(-2π5)<cos(-π4)D.sin12π5<sin17π4解析:因为π2<2<3<π，所以sin 2>sin 3，cos 2>cos 3，故选项A ，B 正确;因为-π2<-2π5<-π4<0，所以cos(-2π5)<cos(-π4)，故选项C 正确;因为sin12π5=sin 2π5，sin17π4=sin π4，且0<π4<2π5<π2，所以sin π4<sin2π5，即sin 12π5>sin17π4，故选项D 错误.故选ABC.8.若函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在[0，π]上的值域为[-12，1]，则ω的最小值为( A ) A.23B.34C.43D.32解析:函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)，因为x ∈[0，π]，所以ωx-π6∈[-π6，ωπ-π6].根据正弦函数的性质，当x=0时，可得f(0)=-12，所以π2≤ωπ-π6≤7π6，解得23≤ω≤43，则ω的最小值为23.故选A.9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是√2，则ω= ，若f(x)在[0，π3]上单调递增，则ω的取值范围是 .解析:因为0≤x ≤π3，且0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3.因为f(x)max =2sinωπ3=√2，所以sinωπ3=√22，ωπ3=π4，即ω=34. 由2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2，k ∈Z ，得2kπω-π2ω≤x ≤2kπω+π2ω，k ∈Z ，令k=0，得-π2ω≤x ≤π2ω，即f(x)在[-π2ω，π2ω]上单调递增，又f(x)在[0，π3]上单调递增，所以π3≤π2ω，即0<ω≤32.又0<ω<1，所以0<ω<1.答案:34 (0，1)10.已知函数f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由-π+2k π≤2x-π4≤2k π(k ∈Z)，得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+k π，π8+k π](k ∈Z).(2)因为x ∈[-π8，π2]，所以2x-π4∈[-π2，3π4].所以当2x-π4=0，即x=π8时，f(x)max =f(π8)=√2;当2x-π4=3π4，即x=π2时，f(x)min =f(π2)=-1.所以函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最大值为√2，此时x=π8;最小值为-1，此时x=π2.11.(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+2.(1)若f(α)=3，且α∈(0，π)，求α的值;(2)若对任意的x ∈[π4，π2]，不等式f(x)>m-3恒成立，求实数m 的取值范围.解:(1)因为f(α)=3，所以2sin(2α+π6)+2=3，即sin(2α+π6)=12，又由α∈(0，π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3.(2)对x ∈[π4，π2]，有2π3≤2x+π6≤7π6，所以-12≤sin(2x+π6)≤√32，可得1≤f(x)≤2+√3，所以要使f(x)>m-3对任意的x ∈[π4，π2]恒成立，只需f(x)min >m-3，所以m-3<1，解得m<4.故所求实数m 的取值范围为(-∞，4).应用创新12.已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4).(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.解:(1)因为sin(x+7π4)=sin(x-π4)=sin[(x-3π4)+π2]=cos(x-3π4)，所以f(x)=2sin(x+7π4)=-2sin(x+3π4).所以f(x)的最小正周期是2π，最大值是2. (2)因为f(-x)=2sin(x-3π4)，由π2+2k π≤x-3π4≤3π2+2k π，k ∈Z ，得函数的单调递减区间为[5π4+2k π，9π4+2k π](k ∈Z).。

2020_2021学年新教材高中数学5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时素养评价(含解析)新人教A版必修第一册

正弦函数、余弦函数的图象(15分钟35分)1.函数y=ln cos x的图象是( )【解析】选A.首先y=ln cos x=ln cos(-x)，所以函数为偶函数，排除B、D，又因为-<x<时，cos x∈(0，1]，所以y=ln x≤0且图象左增右减.2.(2020·赤峰高一检测)已知f(x)=sin，g(x)=cos，则f(x)的图象( )A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g(x)的图象【解析】选D.f(x)=sin，g(x)=cos x-=cos=sin x，f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.3.方程|x|=cos x在(-∞，+∞)内( )A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根【解析】选C.求解方程|x|=cos x在(-∞，+∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos x在(-∞，+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos x的图象如图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根.4.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( )A. B.(π，1)C.(0，1)D.(2π，1)【解析】选B.用“五点法”作出函数y=-cos x，x>0的图象如图所示，可知B正确.5.不等式sin x<-，x∈[0，2π]的解集为_______.【解析】如图所示，不等式sin x<-的解集为.答案：6.用“五点法”画出y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的简图.【解析】列表：x 0 π2πcos x 1 0 -1 0 1-2cos x+3 1 3 5 3 1描点、连线得出函数y=-2cos x+3(0≤x≤2π)的图象.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.点M在函数y=sin x的图象上，则m等于( )A.0B.1C.-1D.2【解析】选C.由题意得-m=sin ，所以-m=1，所以m=-1.2.从函数y=cos x，x∈[0，2π)的图象来看，对应于cos x=的x有( )A.1个值B.2个值C.3个值D.4个值【解析】选B.如图所示，y=cos x，x∈[0，2π)与y=的图象，有2个交点，所以方程有2个解.3.函数y=cos x+|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )【解析】选D.由题意得y=显然只有D合适.4.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A.4B.8C.2πD.4π【解析】选D.作出函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象，函数y=2cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又因为OA=2，OC=2π，所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.【误区警示】解此题，往往忽视对称，我们需要将不规则图形转化为规则图形.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.用“五点法”画y=3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪些点是关键点 ( )A. B.C.(π，0)D.(2π，0)【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入横坐标，计算得B、C、D正确.6.已知函数y=若y=，则x的可能取值为( )A.-B.C.D.【解析】选ABD.作出函数y=的图象，再作直线y=，如图所示，则当-π≤x<0时，由图象知x=-，当0≤x≤π时，x=或x=.【光速解题】根据题意，画出函数f(x)的图象及直线y=的图象，分别求出交点坐标即可.三、填空题(每小题5分，共10分)7.若sin x=2m+1，则m的取值范围是_______.【解析】由-1≤2m+1≤1，解得-1≤m≤0.答案：-1≤m≤08.当x∈[-π，π]时，y=x与y=sin x的图象交点的个数为_______，这些交点的横坐标之和为_______.【解析】如图.根据图象知，两个函数有3个交点，3个交点横坐标之和为0.答案：3 0四、解答题(每小题10分，共20分)9.若集合M=，N=，θ∈[0，2π]，求M∩N.【解析】首先作出正弦函数，余弦函数在[0，2π]上的图象以及直线y=，如图所示.由图象可知，在[0，2π]内，sin θ≥时，得≤θ≤，cos θ≤时，得≤θ≤.所以在[0，2π]内，同时满足sin θ≥与cos θ≤时，≤θ≤.所以M∩N=.10.方程sin x=在x∈上有两个实数根，求a的取值范围.【解析】首先作出y=sin x，x∈的图象，然后再作出y=的图象，如果y=sin x，x∈与y=的图象有两个交点，方程sin x=，x∈就有两个实数根.设y1=sin x，x∈，y2=.y1=sin x，x∈的图象如图.由图象可知，当≤<1，即-1<a≤1-时，y1=sin x，x∈的图象与y2=的图象有两个交点，即方程sin x=在x∈上有两个实根.1.函数f(x)=lg cos x+的定义域为_______.【解析】由题意，得x满足不等式组即作出y=cos x的图象，如图所示.结合图象可得x∈∪∪.答案：∪∪【补偿训练】函数y=lg(-2cos x)在x∈[0，2π]内的定义域是_______.【解析】由-2cos x>0，得cos x<，作出y=cos x的图象和直线y=，由图象可知cos x<在[0，2π]内的解集为.答案：2.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|，x∈[0，2π]，若直线y=k与其仅有两个不同的交点，求k的取值范围.【解析】由题意知f(x)=sin x+2|sin x|=图象如图所示：若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则由图可知k的取值范围是(1，3).。

课时跟踪检测(十) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值

课时跟踪检测（十）正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考水平达标1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤－π，－π2∪⎣⎡⎦⎤π2，π上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减少的解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的． 2．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π. 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|－x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2 －x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是减函数．4.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选C y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3的值域为________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案：⎣⎡⎦⎤12，18．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x 的取值集合．解：函数y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.∴y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z . 10．求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 解：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z)． (2)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z)． B 级——高考能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A.4π3 B.8π3 C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 6．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cosx ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32； (3)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z)．∴函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z)． (2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32，得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6. ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减． ∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32＜f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.8．已知函数y ＝a －b cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(b ＞0)的最大值为32，最小值为－12. (1)求a ，b 的值；(2)求函数g (x )＝－4a sin ⎝⎛⎭⎫bx －π3的最小值并求出对应x 的集合．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∵b ＞0，∴－b ＜0.∴⎩⎨⎧ymax ＝b ＋a ＝32，ymin ＝－b ＋a ＝－12.∴a ＝12，b ＝1.(2)由(1)知g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∵sin ⎝⎛⎭⎫x －π3∈[－1,1]，∴g (x )∈[－2,2]．∴g (x )的最小值为－2，此时，sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1. 对应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋5π6，k ∈Z .。

2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测(三十七)正弦函数、余弦函数的图象新人教A版必修第一册

课时跟踪检测（三十七）正弦函数、余弦函数的图象A 级——学考水平达标练1．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．2．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )解析：选D 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2＜x ＜3π2.故选D.3．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，图象如图所示，则不等式f (x )·cos x ＜0的解集是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3C ．(0,1)∪⎝⎛⎭⎪⎫π2，3D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选C 当0＜x ＜1时，f (x )＜0，而此时cos x ＞0，满足f (x )·cos x ＜0；当1＜x ＜3时，f (x )＞0，由cos x ＜0(x ∈(0,3))，解得π2＜x ＜3，故x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.4．函数y ＝2cos 2x ＋1的定义域是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π≤x ≤k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π3≤x ≤k π＋π3，k ∈Z解析：选D 依题意得2cos 2x ＋1≥0，即cos 2x ≥－12.作出y ＝cos x 的图象如图所示．由图象得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，故选D.5．方程sin x ＝x10的实数解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选A 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象，如图所示．根据图象可知方程有7个实数解．6．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝________.解析：在同一直角坐标系中，作出y ＝sin x (0≤x ≤2π)的图象与直线y ＝－12，如图所示，则x 1＋x 2＝2×3π2＝3π.答案：3π7．定义在区间[0,5π]上的函数y ＝2sin x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数为______．解析：画出函数y ＝2sin x 与y ＝cos x 在[0,2π]上的图象，如图所示．由图可知，在[0,2π]内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在(π，2π]上有1个交点．所以函数y ＝2sin x 与y ＝cos x 在区间[0,5π]上的图象共有5个交点．答案：58．已知函数y ＝a ＋cos x 在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a ＝________. 解析：作函数y ＝cos x 在区间[0,2π]上的图象，如图所示，结合图象可知，若y ＝a ＋cos x 在区间[0,2π]上有且只有一个零点，则a －1＝0，故a ＝1. 答案：19．利用“五点法”作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图．解：列表：描点连线，如图所示．10．利用正弦曲线，求满足12＜sin x ≤32的x 的集合．解：首先作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的交点横坐标为π3和2π3. 观察图象可知，在[0,2π]上，当π6＜x ≤π3或2π3≤x ＜5π6时，12＜sin x ≤32成立．所以12＜sinx ≤32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6＋2k π＜x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π，k ∈Z .B 级——高考水平高分练1．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ＜3π2且x ≠π2的图象是( )解析：选C 当0≤x ＜π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2＜x ≤π时，y ＝cos x ·|tanx |＝－sin x ；当π＜x ＜3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C 中图象． 2．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，f (x )的图象如图中实线所示，由图知f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 3．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实数解，求a 的取值范围．解：设h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，g (x )＝1－a 2. 作出h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象如图所示．由图可知，当32≤1－a 2＜1，即－1＜a ≤1－3时，h (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的图象与g (x )＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上有两个实数解，所以a 的取值范围是(－1,1－ 3 ]．4．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间． ①y ＞1；②y ＜1.(2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点，求a 的取值范围．解：列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图：(1)由图象可知，图象在直线y ＝1上方部分时y ＞1，在直线y ＝1下方部分时y ＜1，所以①当x ∈(－π，0)时，y ＞1；②当x ∈(0，π)时，y ＜1.(2)如图所示，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的图象有两个交点时，1＜a ＜3或－1＜a ＜1，所以a 的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．5．把函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n (n ∈N *)，求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积．解：y ＝sin(3x －π)＋1＝－sin 3x ＋1，作这个函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的图象，如图中实线所示，由题意知S 1＝S 2＝S 3＝23，直线x ＝π3，x ＝4π3，y ＝1及x 轴所围成的矩形面积为π.将S 2割下补在S 3处，则图中阴影部分的面积为π＋23，∴函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积为π＋23.。

2021_2022学年新教材高中数学课时跟踪检测(三十八)正弦函数、余弦函数的性质(一)新人教A版必

课时跟踪检测〔三十八〕正弦函数、余弦函数的性质〔一〕A 级——学考水平达标练1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选C ∵y ＝sin x2的周期为4π，∴y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为2π，应选C.2．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x 中，奇函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①③④是奇函数，应选C. 3．函数f (x )＝|cos 2x |的最小正周期为( ) A ．π B ．π2C ．2πD ．3π2解析：选B 作出函数f (x )＝|cos 2x |的图象(图略)知，f (x )的最小正周期为π2.4．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数解析：选A ∵f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋7π＋π2＝－7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2＝－7cos 23x .∴函数f (x )的周期为2π23＝3π.又∵f (－x )＝－7cos 23x ＝f (x )．∴函数f (x )是周期为3π的偶函数．5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，那么正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选D 由题意知2πk4≤2，得k ∵k 为整数，∴k 的最小值为13.6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π4，那么ω＝________. 解析：因为π4＝2πω，所以ω＝8.答案：87．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，x ∈R ，且以π2为最小正周期．假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，那么sin α的值为______．解析：因为f (x )的最小正周期为π2，ω＞0，所以ω＝2ππ2＝4.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95，所以cos α＝35.所以sin α＝±1－cos 2α＝±45.答案：±458．f (x )＝2cos π6x ，那么f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：易知f (x )的最小正周期T ＝12，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (11)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝168[f (0)＋…＋f (11)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝2cos 0＋2cosπ6＋2cos π3＋2cos π2＝3＋ 3.答案：3＋ 39．求以下函数的最小正周期：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4；(2)y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 解：(1)∵ω＝3，∴T ＝2π3.(2)易知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象是将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在x 轴下方的局部对称翻折到x 轴上方，并且保存在x 轴上方的图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2.10．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝lg(sin x ＋sin 2x ＋1)．解：(1)∵f (x )＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)∵f (－x )＋f (x )＝lg[sin(－x )＋sin 2(－x )＋1]＋lg(sin x ＋sin 2x ＋1)＝lg(sin 2x ＋1－sin 2x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．B 级——高考水平高分练1．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ是奇函数，那么φ的值可以是( )A ．0B ．－π4C ．π2D ．π解析：选B 法一：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ为奇函数，那么只需π4＋φ＝k π，k ∈Z ，从而φ＝k π－π4，k ∈Z.显然当k ＝0时，φ＝－π4满足题意．法二：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，所以φ＋π4＝k π(k∈Z)，即φ＝k π－π4，令k ＝0，那么φ＝－π4.2．假设函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.答案：223．函数f (x )＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数f (x )的简图；(2)此函数是周期函数吗？假设是，求其最小正周期．解：(1)f (x )＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如下图．(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.4．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，假设函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6.又因为g (x )的最小正周期为π.所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx ＋π4(k ∈N *)，假设在区间[a ，a ＋3](a 为实数)上存在有不少于4个且不多于8个不同的x 0，使f (x 0)＝12，求k 的值．解：∵f (x )在一个周期内有且只有2个不同的x 0，使f (x 0)＝12，∴f (x )在区间[a ，a ＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴⎩⎪⎨⎪⎧2T ≤3，4T ≥3，即34≤T ≤32，即34≤62k ＋1≤32，解得32≤k ≤72，因为k ∈N *，∴k ＝2或k ＝3.。

高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数余弦函数的图象课时跟踪训练含解析第一册

正弦函数、余弦函数的图象一、复习巩固1．对于余弦函数y＝cos x的图象,有以下三项描述：①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：如图所示为y＝cos x的图象．可知三项描述均正确．答案：D2．方程x＋sin x＝0的根有（)A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：设f（x)＝－x，g（x)＝sin x，在同一直角坐标系中画出f（x)和g（x）的图象,如图所示．由图知f（x）和g(x）的图象仅有一个交点,则方程x＋sin x＝0仅有一个根．答案:B3．下列叙述：①作正弦函数的图象时,单位圆的半径长与x 轴的单位长度必须一致；②y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P （π，0）对称；③y＝cos x,x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称图形；④正、余弦函数y＝sin x和y＝cos x的图象不超出直线y＝－1与y＝1所夹的区域,其中正确的个数为(）A．1B．2C．3 D．4解析：结合正余弦函数的图象可知，①②③④均正确．答案：D4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向右平移错误!个单位后,得到函数y＝g（x)的图象，则g（x)的解析式为()A．g(x)＝－sin x B．g(x)＝sin xC．g(x)＝－cos x D．g(x）＝cos x解析:结合正弦函数与余弦函数的图象可知，函数y＝cos x(x ∈R)的图象向右平移错误!个单位，得到y＝sin x(x∈R）的图象．答案：B5．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(）A．（π，－1) B．（0，2)C。

错误! D.错误!解析:由五点作图法知五个关键点分别为（0,2），错误!,(π，4)，错误!，（2π,2），故A错误．答案：A6．函数y＝cos x·｜tan x|错误!的大致图象是（）解析:y＝cos x·|tan x|＝错误!故选C.答案:C7．在［0，2π]内,不等式sin x〈－错误!的解集是(）A．（0,π） B.错误!C.错误!D。

高中数学必修一课时跟踪检测(三十八) 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 (3)

课时跟踪检测（三十八）正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考合格性考试达标练1．函数f (x )＝2sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π4上的最大值为( ) A ．0 B ．－2 C ．2D ．2解析：选D 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4，所以当x ＝π2时，函数f (x )有最大值2.2．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D 作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，但其值为负，故不符合．所以只有D 符合，故选D ．3．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π.4．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1 C ．⎣⎡⎦⎤－54，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选Cy ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 5．下列结论正确的是( )A ．sin 400°>sin 50°B ．sin 220°<sin 310°C ．cos 130°>cos 200°D ．cos(－40°)<cos 310°解析：选C 由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x ∈(0°，90°)时，函数y ＝cos x 是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域为________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1，1]，∴－2sin x ＋1∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间．解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2kπ＋π2≤2x ＋π4≤2kπ＋3π2（k ∈Z ），解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z )，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫kπ＋π8，kπ＋3π8(k ∈Z )． 10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[－2，0]D ．[0，2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤kπ－3π4，kπ＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2kπ－3π4，2kπ＋π4(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤kπ－3π8，kπ＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2kπ－3π8，2kπ＋π8(k ∈Z ) 解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A ．23B ．32C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，36．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求： (1)f (x )的最大值和最小值； (2)f (x )的单调递减区间．解：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，作出y ＝cos t 的图象，如图所示：(1)由函数y ＝cos t 的图象知，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫5π6，cos 0＝⎣⎡⎦⎤－32，1. 则f (x )的最大值为1，最小值为－32. (2)由函数y ＝cos t 的图象知，y ＝cos t 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π6. 令0≤2x －π6≤5π6，解得π12≤x ≤π2，故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π2. 8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32. 解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝kπ2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π3(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32，得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪kπ＋π6≤x≤kπ＋π3，k ∈Z .C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0. ∵f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4＋π2＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N .当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数．综上，ω＝23或ω＝2.。

新教材高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误．答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1. 答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B 二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称．其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．答案：(2)(4)7．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x＝π6或56π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．解析：(1)取值列表：(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的简图，再作出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]关于x 轴对称的简图，即y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图，将y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x ，x ∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，即得到y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]的简图，如图2所示．。

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习

正弦函数、余弦函数的性质同步练习一、选择题1. 函数f(x)=sin 2x +cosx −1的值域为( )A. [−2,14]B. [0,14]C. [−14,14]D. [−1,14]2. 函数y =sin(12x +φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A. 0B. π4C. π2D. π3. 下列关于函数f(x)=sin2x +1的表述正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是2πB. 当x =π2时，函数f(x)取得最大值2 C. 函数f(x)是奇函数 D. 函数f(x)的值域为[0,2]4. 若f(x)的定义域是[−1,1]，则f(sinx)的定义域为( )A. RB. [−1,1]C. [−π2,π2]D. [−sin1,sin1]5. 函数y =|sin x2|的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π6. 已知函数f(x)=sin2x −cos2x ，则( )A. f(x)的最小正周期为π2 B. 曲线y =f(x)关于(3π8,0)对称 C. f(x)的最大值为2D. 曲线y =f(x)关于x =3π8对称7. 若f(tanx)=sin2x ，则f(−1)的值是( )A. −sin2B. −1C. 12D. 1第10页，共11页8. 函数y =√2sin(x −45°)−sinx( )A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数9. 下列对于函数f (x )=3+cos2x ，x ∈(0,3π)的判断，正确的是A. 函数f (x )的周期是πB. 对任意实数a ，函数f (x +a )都不可能为偶函数C. 存在x 0∈(0,3π)，使f (x 0)=4D. 函数f (x )在[π2,5π4]内单调递增10. 函数y =a −bcos3x(b <0)的最大值为32，最小值为−12，则y =sin[(4a −b)πx]的最小正周期是( )A. 13B. 23C. π3D. 2π311. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x =π3对称的是( )A. y =2sin(2x +π3) B. y =2sin(2x −π6) C. y =2sin(x2+π3)D. y =2sin(2x −π3)12. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，则ω可以是( )A. 1B. 32C. 152D. 12二、填空题13. 已知函数f (x )=sin(ωx +π6)+cosωx (ω>0)在[0,π]上的值域为[32,√3]，则实数ω的取值范围是_____________． 14. 已知函数f(x)={cosx,|cosx|≥√220,|cosx|<√22，则f(π3)=______，当0≤x ≤2π时，f(x)≤sinx 的解集是______．15.已知锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=1，三角形的面积S△ABC=1，则a2+b2的取值范围为______．16.若f(x)=sinx+cosx在[0,a]是增函数，则a的最大值是______三、解答题17.已知函数f(x)=sin(2ωx+π3)+sin(2ωx−π3)+2cos2ωx，其中ω>0，且函数f(x)的最小正周期为π(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调增区间(3)若函数g(x)=f(x)−a在区间[−π4,π4]上有两个零点，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x,x∈R．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[−π4,π2]上的最大值和最小值．20.已知函数f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)−√3．(1)求函数f(x)的最小正周期T；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间[π6,23π]上的取值范围．第10页，共11页答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sin 2x +cosx −1=1−cos 2x +cosx −1=−cos 2x +cosx=−(cosx −12)2+14，当cosx =12时，f(x)max =14，当cosx =−1时，f(x)min =−2，所以函数f(x)的值域为[−2,14].2.【答案】C【解答】解：函数y =f(x)=sin(12x +φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，就是x =0时函数取得最值，所以f(0)=±1，即sinφ=±1，所以φ=kπ+π2(k ∈Z )，当且仅当取k =0时，得φ=π2，符合0≤φ≤π．故选C ．3.【答案】D【解答】解：A.函数f(x)的最小正周期是，故A 错误；B .当x =π2时，函数f(x)=sinπ+1=1，故B 错误； C .函数f(x)是非奇非偶函数，故C 错误；D .因为sin2x ∈[−1,1]，故函数f(x)的值域为[0,2]，故D 正确．故选D ．4.【答案】A【解答】解：∵f(x)的定义域是[−1,1]，∴f(sinx)满足−1≤sinx≤1，∴x∈R，∴f(sinx)的定义域为R．故选A．5.【答案】C【解析】解：对于y=sin x2，T=2π12=4π，函数y=|sin x2|是函数y=sin x2x轴上方的图象不动将x轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故T′=12T=2π，6.【答案】D解析】解：函数f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)，所以函数的最小正周期T=2π2=π，所以A不正确；f(x)的最大值为√2，所以C不正确；函数的对称中心满足2x−π4=kπ，所以x=π8+kπ2，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x−π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=3π8+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=3π8，所以D正确．7.【答案】B【解析】解：令tanx=−1知，x=kπ−π4，k∈Z，故f(−1)=sin2(kπ−π4)=sin(−π2)=−1，故选：B．令tanx=−1解得x=kπ−π4，k∈Z，从而代入求解．本题考查了复合函数的应用及学生的化简运算能力．8.【答案】B【解析】解：函数y=f(x)=√2sin(x−45°)−sinx=√2(√22sinx−√22cosx)−sinx=−cosx，∵f(−x)=−cos(−x)=−cosx=f(x)，∴函数y=√2sin(x−45°)−sinx是偶函数．第10页，共11页故选：B ．9.【答案】C【解答】解：对于A ，对于函数f (x )=3+cos2x ，x ∈(0,3π)，由于限定了范围，显然f (x +π)=f (x )对x =5π2不成立，所以A 错误；对于B ，令a =π，则函数是偶函数，故B 错误；对于C ，令f (x 0)=4=3+cos2x 0，cos2x 0=1，x 0=kπ，所以x 0=π或2π，所以选项C 正确；对于D ，令t =2x ，则t ∈[π,5π2]，显然y =3+cost 在t ∈[π,5π2]不单调，所以D 错误．只有选项C 符合题意，正确．故选C ．10.【答案】B【解答】解：∵b <0，∴函数f(x)=a −bcos3x 的最大值为a −b ，最小值为a +b ，由已知得 { a −b = 32 a +b =− 1 2，解得{a =12b =−1．∴y =sin[(4a −b)πx]=sin[(4× 12 +1)πx]=sin(3πx)．∴y =sin(4a −b)πx 的周期为 2π3π = 23 ．故选B ．11.【答案】B【解析】解：C 的周期T =2π12=4π，不满足条件．当x =π3时，A ，y =2sin(2×π3+π3=2sinπ=0≠±2,第10页，共11页B .y =2sin(2×π3−π6)=2sin π2=2， D .y =2sin(2×π3−π3=2sin π3≠±2, 故满足条件的是B ，12.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +π3)，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，所以f(π9)=1，即sin(π9ω+π3)=1，可得π9ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，解得：ω=18k +32，k ∈Z ，当k =0时，可得ω=32．故选：B ．根据题意，f(x)≤f(π9)对任意x ∈R 恒成立，即可得f(π9)=1，进而由π9ω+π3=π2+2kπ，k ∈Z ，即可求得ω=18k +32，k ∈Z ，当k =0时，可得ω=32．13.【答案】[16,13]【解答】解：∵f(x)=sin (ωx +π6)+cos ωx =√32sinωx +12cosωx +cosωx，由x ∈[0,π]，则ωx +π3∈[π3,ωπ+π3]，因为值域为[32,√3]，则，所以，解得：16≤ω≤13，故答案为[16,13]．14.【答案】0 [π4,5π4]【解析】解：函数f(x)={cosx,|cosx|≥√220,|cosx|<√22，由cos π3=12<√22，则f(π3)=0；由−√22<cosx <√22(0≤x ≤2π)，可得π4<x <3π4或5π4<x <7π4，可得f(x)=0，由sinx ≥0，可得π4<x ≤π；由cosx ≤−√22或cosx ≥√22(0≤x ≤2π)，可得0≤x ≤π4或3π4≤x ≤5π4或7π4≤x ≤2π，可得f(x)=cosx ，由cosx ≤sinx ，解得x =π4或3π4≤x ≤5π4，综上可得f(x)≤sinx 的解集为[π4,5π4]，故答案为：0，[π4,5π4].15.【答案】[172,9)【解析】解：由已知得AB =1，S △ABC =12×AB ×ℎ=1，故ℎ=2．故顶点到边AB 的距离为2．将△ABC 如图置于平面直角坐标系中：则A(0,0)，B(1,0)，C(x,2)．因为锐角△ABC ，且最大边在AC ，BC 中产生，所以x ∈(0,1)．∴a 2+b 2=AC 2+BC 2=x 2+4+(x −1)2+4=2x 2−2x +9，(0<x <1)．令f(x)=2x 2−2x +9=2(x −12)2+172，x ∈(0,1)．该二次函数在(0,12)单调递减，在(12,1)上单调递增，且关于x =12对称． ∴f(x)min =f(12)=172，f(x)<f(0)=f(1)=9．∴f(x)∈[172,9).∴a 2+b 2∈[172,9)．故答案为：[172,9)16.【答案】π4【解析】解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)在[0,a]是增函数，∴a +π4≤π2，∴a ≤π4，则a 的最大值是π4，故答案为：π4．17.【答案】(本题满分为12分)解：(1)∵f(x)=sin(2ωx+π3)+sin(2ωx−π3)+2cos2ωx=12sin2ωx+√32cos2ωx+12sin2ωx−√32cos2ωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1 =√2sin(2ωx+π4)+1，…3分∵T=2π2ω=π，∴ω=1…4分(2)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，…6分解得：−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z，…7分可得f(x)的单调增区间为：[−3π8+kπ,π8+kπ]，k∈Z，…8分(3)作出函数y=f(x)在[−π4,π4]上的图象如右：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)−a=0有两解，亦即曲线y=f(x)与y=a在x∈[−π4,π4]上有两个交点，从图象可看出f(0)=f(π4)=2，f(π8)=√2+1，所以当曲线y=f(x)与y=a在x∈[−π4,π4]上有两个交点时，则2≤a<√2+1，即实数a的取值范围是[2,√2+1).…12分18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3，=4sinx(12cosx+√32sinx)−√3=2sinxcosx+2√3sin2x−√3，=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π，由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ,k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z，(Ⅱ)令t=2x−π3，因为x∈(π2,5π3)，所以t∈(2π3,3π)，即方程2sint=m在t∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y=2sint的图象可知，当m∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．第10页，共11页19.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+π4)+1所以最小正周期为π．因为当π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ时，f(x)单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ,5π8+kπ]．(2)当x∈[−π4,π2]时，2x+π4∈[−π4,5π4]，当2x+π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x+π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1=0．20.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cosx(sinx+√3cosx)−√3=sin(2x)+√3(2cos2x−1)，可得周期T=2π2=π；(2)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈z∴函数f(x)的单调递增区间是[−5π12+kπ,π12+kπ],k∈z；(3)由，得2x+π3∈[2π3,5π3]，由正弦函数sin x图像性质可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f(x)在上最小值为，．∴函数f(x)在区间上的取值范围为[−2,√3]．。

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课时跟踪检测（三十八）正弦函数、余弦函数的单调性与最值A 级——学考合格性考试达标练1．函数f (x )＝2sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，3π4上的最大值为( )A ．0B ．－ 2C ． 2D ．2解析：选D 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4，所以当x ＝π2时，函数f (x )有最大值2.2．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D 作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，但其值为负，故不符合．所以只有D 符合，故选D ．3．使y ＝sin x 和y ＝cos x 均为减函数的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析：选B 由y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象知均为减函数的一个区间是⎝⎛⎭⎫π2，π.4．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1 C ．⎣⎡⎦⎤－54，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：选Cy ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.即y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 5．下列结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 200°D ．cos(－40°)<cos 310°解析：选C 由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当x ∈(0°，90°)时，函数y ＝cos x 是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案：2k π＋π，k ∈Z7．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域为________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1，1]，∴－2sin x ＋1∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π2，5π8.答案：⎣⎡⎦⎤π2，5π89．求函数y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间．解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2（k ∈Z ），解得2k π＋π2≤2x ＋π4＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π8≤x ＜k π＋3π8(k ∈Z )，故所求函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z )．10．求函数y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6的最大值、最小值及相应的x 值．解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.所以当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，即x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1.当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝⎛⎭⎫－12＝5. B 级——面向全国卷高考高分练1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[－2，0]D ．[0，2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]．2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π解析：选C 如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最大．当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，且b －a 最小．∴最大值与最小值之和为(b －a 1)＋(b －a 2)＝2b －(a 1＋a 2)＝2×π6＋π2＋7π6＝2π.4．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3解析：选B 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，得ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.5．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，即－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 6．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cosx ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.答案：37．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求：(1)f (x )的最大值和最小值； (2)f (x )的单调递减区间．解：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，作出y ＝cos t 的图象，如图所示：(1)由函数y ＝cos t 的图象知， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫5π6，cos 0＝⎣⎡⎦⎤－32，1.则f (x )的最大值为1，最小值为－32. (2)由函数y ＝cos t 的图象知，y ＝cos t 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π6.令0≤2x －π6≤5π6，解得π12≤x ≤π2，故f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π2.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12≥32.解：(1)由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2x ≥32，得2k π＋π3≤2x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ，解得k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．解：由f (x )是偶函数，得sin φ＝±1，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .∵0≤φ≤π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称，得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0. ∵f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4＋π2＝cos3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又∵ω>0，∴3ωπ4＝π2＋k π，k ∈N ，即ω＝23＋43k ，k ∈N .当k ＝0时，ω＝23，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2在⎣⎡⎦⎤0，π2上不是单调函数．综上，ω＝23或ω＝2.。