非线性系统的分析相平面优秀课件

②不稳定的极限环
如图(b)所示。起始于极限环内部和外部的相 轨迹，最终都卷离极限环。当系统受到很小的 扰动而偏离极限环时，系统状态再也不会回到 极限环上来，因此称为不稳定的极限环。
③半稳定的极限环 如果极限环两侧的相轨迹，一侧是卷向极限 环，而另一侧卷离极限环，则该极限环称为半 稳定的极限环，如图(c)与图(d)所示。
dx
f(x,y)ya0 等倾线方程
➢满足相轨迹上的切线斜率为a
➢相轨迹必然以a的斜率经过等斜线。
⑴画图原理： 据不同的斜率a可画出等斜线方向场（分布）可 证明不同a不相交，则对确定初始点 (x0, y0)沿等 斜率切线变化规律唯一。这样便可画出相轨迹 （近似）
⑵画图步骤：
i.求出等倾线方程
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
④特征根为两个正实根 对应的相轨迹以非震 荡方式从平衡点散出。这种类型的奇点称为不 稳定节点。
⑤特征根为一对共轭纯虚根，系统处于无阻尼运动状 态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中 两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
①稳定的极限环
如果起始于极限环内部和外部的相轨迹最终都 趋于极限环上，则该极限环称为稳定的极限环， 如图 (a)所示。当系统受到小扰动的作用而偏离 极限环时，经过一段时间后，系统的状态又能 回到极限环上。
因此，稳定的极限环 上系统就表现为自激振 荡。极限环横向与纵向 的最大值分别对应自激 振荡的振幅与最大变化 率。
x2 A2
y2
(n A)2
1
其中
A
x0
2
y02
n2
上式表示一族封闭椭圆，说明:ξ=0时的状态为临界
稳定，但实际中不存在，将随时间不是发散就是收敛。
⒉图解法之一：等倾线法
它多用于解析法中求解微分方程困难的情况。
二阶微分方程 xf(x,x)0令 y x dy f (x, y)
dx
y
若令 dy 常 数 a
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
2n a 1a
ii.相轨迹 A点
a1
1 过点A,
a
1
1 1.2 2
f(x,x )f(x,x ) f(x,x )f(x,x )
则相轨迹关于x 对称(左右对
称)。
则相轨迹关于 x对称(上下对
称) 。
f(x,x)f(x,x) 则相轨迹关于原点对称。
3)相平面图的奇点
奇点：相平面上同时满足 x0和 f(x,x)0
的点称为奇点。
设二阶系统 x+f(x,x)=0的平衡点在原点，即
4）极限环
在非线性系统的相轨迹中，可能会存在特殊 的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点 的多个区域，这种特殊的相轨迹就称为奇线。
极限环就是最常见的一种奇线，它是相平面上一 条孤立的封闭相轨迹，而且附近的其他相轨迹都无 限地趋向或者离开它。
极限环作为一条相轨迹来说，既不存在平衡点， 也不趋向无穷远，而是一个无首无尾的封闭环圈。
x
x
x
(x 0,x 0)
(x 0,x 0)
x
x
(x,,x)
x
漸進穩定系統
不穩定
持續振蕩
二、相平面图绘制方法
1.解析法:适用于微分方程简单(二阶)或可分段线 性化.
设二阶系统 xf(x,x)0 (*)
若令 y x 则 yf(x,y)0 dyf (x, y)
dt
dydtdtf(x,y) dy f (x, y)
非线性系统的分析相平面优秀课件
➢1.相平面:以x和 x 为横轴和纵轴构成的坐标平
面. ➢2.相点:相平面上任一点 (x, x) ➢3.相轨迹: 对二阶系统来讲，从某一初始状态出发， 以时间t为参变量，便可画出一条连续变化的相轨迹。
x
M 1
x
M2
4.相轨迹特点: ⑴与初始点(状态)密切相关. ⑵可以不直接求出微分方程而获得系统所有 运动状态. 5.相轨迹判断系统稳定性
的位置，可以有以下几种情况：
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都 以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以 震荡方式“卷离”平衡点，这种类型的奇点称为不稳 定焦点。
③特征根为两个负 实根
对应的相轨迹以非震
荡方式趋聚于百度文库衡点。这种类型的奇点称为稳定节点。
1.1
直线段交 a 2 = －1.2线于B.
1
三.相轨迹和相平面图的性质
1)相轨迹的斜率
若相轨迹上任意一点的斜率为 a ，则
adxdx/dtxf(x,x) dx dx/dt x x
2)相轨迹的对称性 按照图形对称的条件，关于横轴或纵轴对称
的曲线，其对称点处的斜率大小相等，符号相 反；关于原点对称的曲线，其对称点处斜率大 小相等，符号相同。
对于图(c)所示的系统显然是一个不稳定的系统，设 计系统时应设法避免；而图(d)所示的系统则同不稳 定的极限环一样，应使它的尺寸尽可能的大。
5）由相轨迹求时间增量
当相轨迹在 x 方向移动一个增量 x 时，如果在
x 区间 x 的变化不很剧烈，则可以把该区间内 x
的平均值 x a v 近似当成 x 在此区间内匀速变化的速度。 这样就可以用下式近似求出该区间对应的时间增
dtdx dx
dx
y
直接积分,便解出相轨迹方程 yxf(x)
并由此画出相轨迹。
例：如无阻尼二阶系统 xn2x0
令x y 则
dy dx
n2
x y
，设初始条件为 (x0, y0)
整理上式并积分
y y0
ydy
x
x0 n
2
xdx
1 2(y2y02)1 2n2(x02x2)
n2x2y2n2x02y02
f(0,0)=0，则原点也是奇点。又设 f ( x, x) 在原点附近展 成台劳级数
f(x,x)= a x b xg(x,x)
高阶无穷小量 g ( x, x ) 可以省略，得到
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面