1.1复数的表示及其运算
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复数概念与运算
2kπ 4
k 0,1, 2, 3
w0 2(1 i ), w1 2(1 i ),
w2 2(1 i ), w3 2(1 i ).
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 r n 的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
y
w1
w0
o
w2
x
w3
1.4 复数在几何上的应用举例
z x iy z x iy z x iy z x iy
共轭复数的性质
1 z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2
z1 z2
.
2 z z z
3 z z Re(z)2 Im(z)2 .
4 z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
z1 z3 z2 z1 z2 z1
z1z3z2 3
z1
z2
z2
z12
z22
i
z3 z2 e 3
i
z1 z3 e 3
z32 z1z2
z1 z2
z2 z3
z2 z3
z3 z1
z1 z3 z2 z3
1.5 复球面与无穷远点 复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法
Argz2 .
两个复数相乘的几何意义
y •z
z1 z2
r
i sin(1 2 )].
复数的乘幂
zk rk (cosk i sink )
o
12
r1
•
r2
z2
x
k 1, 2, , n ,
z1z2 zn r1r2 rn[cos(1 2 n )
对虚数单位的规定：
数学物理方法-1.1 复数及点集,复变函数
提示3：
z zz
_
思考题：圆的方程用复数如何表示？
虚数符号i的由来
许凯是最先考察负数开平方运算的人，在1484年， 他在解方程4+x2=3x时得到的x值,如以现代的符号 表示他的成果，即
x
9 4 4
3 9 4 2 4
由于
是负数，所以他认为不可能解这方程。
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
注明：一个复变函数是由一对双元实函数所确定的
–
单值性和多值性 如果一个z对应于一个w，则称w=f(z)为单值函数； 如果一个z对应于多个w，则称w=f(z)为多值函数；
例如：w=z2 w=Arg(z) w=arg(z)
w z 是多值函数
复变函数的连续性
复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 3. 两复数的商: z x 2 y 2 i x 2 y 2 . 2 2 2 2 2 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 共轭复数 _ z = x + iy → z =_x – iy z = r exp(iφ) → z = r exp(-iφ)
复数的几何含义
点表示
复数和x-y平面上的 点一一对应
1-1复数的基本概念
§1.1 复数的基本概念授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系1、 复数的定义：设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++乘法：()(),,(,)a b c d ac bd ad bc =-+则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为a =Re α，b =Im α纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.2、 复数的相等与大小两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即20i >即 -1>0，这显然是错误的！3、 几个特殊的复数：(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)4、 共轭复数：(,)a b α=，*(,)a b α=-互为共轭复数性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）5、 复数的减法、除法减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”6、 复数的几何表示：（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一矢量（如右图所示）（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）γαβ=+（3） 减法的几何表示：γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明7、 复数的极坐标表示极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+r 称为α的模，θ为辐角，记为：，r α=，Arg θα=辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg αarg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，（0，0）的辐角无意义复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-乘法：111(cos sin )r i αθθ=+222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-规则是：模相除，辐角相减相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易8、 复数的指数表示欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示复数表示下，乘法，除法变得更容易1212()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r er e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=n n in r e θα=(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。
自考第1.1复数及其运算
z2 0
z1 z2
z1
1 z2
| z1 | ei1
1 ei2 | z2 |
| z1 | ei(12 )
| z2 |
z1 | z1 | z2 | z2 |
任何两个复数商的模 等于它们模的商
Arg
(
z1 z2
)
1
2
Arg
( z1
)
Arg
(z2
)
任何两个复数商的辐角 等于它们辐角的差
16
(7)乘方 设 z | z | ei
23
18页11(2)试证 a bi, 1 , 1,1 四点共圆周 b 0 a bi
证明 在虚轴上取一点 ci, 则 ci, 1 的距离为 1 c2 , ci, 1 的距离为 1 c2
若 a bi,ci 的距离为 1 c2 则 a2 (b c)2 1 c2
3 )i, 2
z3
3
i
或 z3 z1 (z2 z1 ) e 3 1
3
z1
z3
z3 2 2i 第三个顶点为 z3
1 2
(2
3 )i, 2
x
或 z3 2 2i
12
(5)倒数
设 z x iy
1 z
z x iy z z x2 y2
x
iyபைடு நூலகம்
x2 y2 x2 y2
y
1 e i
整个平面 称为复平面 或z 平面
任何一个复数 z x iy 一一对应一个向量 OP
y
可以用向量 OP 来表示
向量的长度 称为z 的模 或绝对值
记为
y
P(x, y)
| z| r x2 y2
向量 O例Pz如为 终0 边时边| 1的,以角正i 的| 实弧轴度2为数始
高二数学选修11知识点
高二数学选修11知识点1. 复数及其运算1.1 复数的定义在数学中，复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i 为虚数单位。
1.2 复数的运算复数的加减法：将实部和虚部分别相加减即可得到结果。
复数的乘法：使用分配律，将每一项相乘并整理后可得到结果。
复数的除法：为了除掉虚数，可以将分子和分母同时乘以共轭复数，然后进行乘法和整理，最后可得到结果。
2. 复数的表示形式2.1 广义辐角表示形式复数可以通过广义辐角来表示，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r为绝对值，θ为辐角。
2.2 三角形式表示复数也可以通过三角形式来表示，即z = r·exp(iθ)，其中r为绝对值，θ为辐角。
3. 复数的应用3.1 复数在代数方程中的应用复数可以用来解决一些无实数解的代数方程，比如平方根为负数的情况。
3.2 复数在电路中的应用在电路分析中，复数可以用来表示电压和电流的相位关系，从而帮助进行分析和计算。
3.3 复数在信号处理中的应用复数在信号处理中有广泛的应用，特别是在频域上的分析和处理中，包括傅里叶变换等。
4. 多项式函数4.1 多项式的定义在代数学中，多项式是由系数和幂次构成的表达式，例如f(x)= anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0。
4.2 多项式函数的性质多项式函数具有以下性质：- 多项式函数的导数是另一个多项式函数；- 多项式函数的次数是最高次幂的次数；- 多项式函数可以通过多项式除法进行因式分解等。
5. 三角函数的复数表示5.1 正弦函数的复数表示正弦函数可以通过欧拉公式表示为sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) /(2i)。
5.2 余弦函数的复数表示余弦函数可以通过欧拉公式表示为cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2。
5.3 欧拉公式欧拉公式指出e^(ix) = cos(x) + isin(x)，在复数运算和三角函数的复数表示中起到重要的作用。
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
1-1复数及其运算
复变函数的应用背景
M.Kline指出 指出： 世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。 世纪最独特的创造是复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了18世纪 象微积分的直接扩展统治了18世纪 18 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 19世纪 那样，该数学分支几乎统治了19世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受， 它曾被称为这个世纪的数学享受， 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。 也曾作为抽象科学中最和谐的理论。
Argz = arg z + 2kπ
k = 0, ± 1, ± 2,L
如何确定辐角？ 已知复数 z = x + iy , 如何确定辐角？
24
z ≠ 0 辐角的主值
y x > 0, arctan x , ± π, x = 0, y ≠ 0, 2 arg z = arctan y ± π, x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
֠ 一般, 任意两个复数不能比较大小。 一般, 任意两个复数不能比较大小。
13
(3 + 4i )( −2 + 5i ) 求 Re z , 例1 设 z = 3i
z = ( −6 − 20) + (15 − 8)i = 7 + 26 i 解
3i 3 3 7 Re z = , 3
zz = (Re z )2 + (Im z )2 49 676 725 = + = 9 9 9
(imaginary part)
当 x = 0 , y ≠ 0 时 , z = iy 称为纯虚数 ; 当 y = 0 时 , z = x + 0 i , 我们把它看作实数 x .
复变函数论
arg
z
arctg
3 1
3
2 3
，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z
2(cos(
2
)
sin(
2
))
i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0
x
0,
y
0, arg
z
当 x 0 时，
一象限 二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (
(
,
))
arctan
y
(
(
,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接
复数的定义和运算规则详解
复数的定义和运算规则详解复数是数学中的一个重要概念，它扩展了实数的概念，使得在数学运算中可以涉及到负数的平方根。
本文将详细介绍复数的定义和运算规则。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、运算规则1. 复数的加法复数的加法规则与实数的加法类似，将实部和虚部分别相加即可。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法复数的减法也与实数的减法类似，将实部和虚部分别相减即可。
例如，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法复数的乘法按照分配律进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法复数的除法需要先进行有理化，即将除数的虚部乘以-1。
然后按照分配律和乘法逆元的概念进行计算。
例如，(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
5. 复数的共轭复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的操作。
例如，对于复数a+bi，它的共轭是a-bi，可以表示为a*。
6. 复数的模复数的模是指复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数a+bi，它的模表示为|a+bi|，等于√(a²+b²)。
7. 复数的乘方复数的乘方可以通过展开式进行计算。
例如，(a+bi)²=a²+2abi+b²i²，根据虚数单位的性质i²=-1，可以化简为(a²-b²)+(2ab)i。
三、复数的应用复数在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
在电路分析中，复数可以用来表示交流电信号的振幅和相位；在量子力学中，复数用来描述波函数的性质；在信号处理中，复数可以用来表示频域的信号。
复变函数第一章
1.1.4.复数四则运算的几何意义 .1.4.复数四则运算的几何意义 , θ θ 设有两个复数 z1 = r1(cos 1 + i sinθ1） z2 = r2 (cos 2 + i sinθ2）
则，z1 z 2 = r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式
2i ( 1 ) z = − 12 − 2i, ( 2 ) z = , ( 3 ) z = −3 + 4i −1+ i
例3：求下列方程所表示的曲线
(1) |z + i| = 2, ( 2) |z − 2i| = |z + 2|, ( 3 ) Im(i + z) = 4
________
7 1 z1 ∴ ( )=− + i z2 5 5
__ 1 3i 例2： z = - − 求 Re (z),Im (z)与z z i 1-i
− ( 1 − i) − 3i(i) − 1 + i + 3 2 + i （ 2 + i)( 1 − i) = = 解： z = = i( 1 − i) i +1 1+ i 2
x
(3)幅角主值的求法 (3)幅角主值的求法 y arctan x , ( x > 0 , y > 0 ) arctan y + π （ x < 0 , y > 0 ) , x arg z = arctan y − π , ( x < 0 , y < 0 ) x y arctan , ( x > 0, y < 0) x
第一章 复数和复变函数
ei1 ei2 (cos1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ei (1 2 ) ,
可得
z1z 2 r1r2ei (1 2 ) .
于是有如下等式
（1.13）
| z1 z2 || z1 || z2 |, Arg ( z1z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 ).
（1.14）
式(1.14)表明： 两个复数乘积的模等于它们模的乘积， 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的 和。值得注意的是，由于辐角的多值性，式(1.14)的第二式应理解为对于左端 Arg ( z1 z2 ) 的
上海交通大学数学系 王健
任一值， 必有由右端 Argz1 与 Argz2 的各一值相加得出的 和与之对应；反之亦然。以后，凡遇到多值等式时，都 按此约定理解。 由式(1.14)可得复数乘法的几何意义，即： z1 z2 所 对应的向量是把 z1 所对应的向量伸缩 r2 | z2 | 倍， 然后再 旋转一个角度 2 argz 2 所得(见图 1.2)。
a 2 b 2 ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)(a 2 ab b 2 ),
等等仍然成立。实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例。 由于一个复数与平面上的一个向量所对应， 因此， 复数的加法运算与平面上向量加法运 算一致,从而以下两个不等式成立。
z2 x2 iy2 相等，是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等， 即 x1 iy1 x2 iy2
当且仅当 x1 x2 , y1 y2 。 1.1.2 复数的表示 1.1.2.1 代数表示 由式(1.1)所给出的即为复数的代数表示。 1.1.2.2 几何表示 由复数的定义可知，复数 z x iy 与有序数对 ( x, y ) 建立了一一对应关系。在平面上建立直角坐标 系 xOy ，用 xOy 平面上的点 P ( x , y ) 表示复数 z ，这 样复数与平面上的点一一对应，称这样的平面为复平 面。若用向量 OP 表示复数 z ，如图 1.1 所示。该向
复数域
x j ≥0
∑ xj + i∑ yj ≥
x j ≥0
x j ≥0
∑ xj ≥
1 1 > . 4 6
• 1.3.复数的单位根
2kπ 2kπ + i sin (k = 0,1,⋯ , n − 1)称为 的n 1 n n 次单位根.由棣莫弗定理, 全部n次单位根可表示为 , ε 1 , ε 12 ,⋯ , ε 1n −1.并有如下性质 : 1 方程x n − 1 = 0( n ≥ 2)的n个根ε k = cos
复数域
1.复数知识
• 1.1.复数的表示形式与运算
代数形式z = x + iy, x, y ∈ R, i 2 = −1, x称为z的实部, 记x = Re( z ); y为虚部, 记y = Im( z ).
三角形式z = r (cos θ + i sin θ )(r ≥ 0, θ ∈ R ), r称为z的模, θ为辐角, 记辐角主值θ = arg z.
1 + ε 1 + ε 12 + ⋯ + ε 1n −1 = 0(n ≥ 2)
任意两单位根之积仍为一个n次单位根, 且ε i ⋅ ε j = ε i + j (当i + j ≥ n时, ε i + j = ε k , 其中k为i + j除以n的余数).
设m为整数, n ≠ 1, 则 + ε + ε + ⋯ + ε 1
3 2
(2 x + 2) + (2 x + 2) + (5 − 4 x) 2 5 − 4 x = (2 + 2 x) 2 (5 − 4 x) ≤ [ ] = 3 3.当且仅 3 1 3 1 当z = ± i时, 取最大值3 3 当2 x + 2 = 5 − 4 x,即x = 时, 等号成立.此时 . 2 2 2 当z = −1时, 取最小值0
1-1复数及其运算
复数的模： | z | x y 0
2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
复数相等
哈 尔 滨 工 程 大 学
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2
《复变函数与积分变换》
N P
z
－理学院工科数学基地－
第一章 复数与复变函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
§1.1 复数及复平面 学习要点 掌握复数的意义及代数运算
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一、 复数的概念
哈 尔 滨 工 程 大 学
对任意两实数x、y , 称z x iy或z x yi 为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
1 i 例2 求 1 i
4
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例3 已知x iy (2 x 1) y i , 求z x iy .
2
例4 设z1 , z2为两复数, 证明
1) z1 z2 z1 z2
2) z1 z2 z1 z2
三、 共轭复数
哈 尔 滨 工 程 大 学
定义 若zx + iy , 称zx iy 为z 的共轭复数. (conjugate) • 共轭复数的性质
z1 z1 1) ( z1 z2 ) z1 z2 , ( z1 z2 ) z1 z2 , ( ) , z2 0 z2 z2 2) z z
哈 尔 滨 工 程 大 学
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数部分组成的数。
本文将详细探讨复数的定义以及常见的运算法则。
1. 复数的定义复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i 是虚数单位，满足以下条件：- a和b都是实数- i的平方等于-1，即i^2=-12. 复数的表示形式除了常见的代数形式a+bi，复数还可以用极坐标形式r(cosθ + isinθ)表示，其中r是复数的模，θ是辐角。
3. 复数的运算法则3.1. 加法与减法对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的和可以通过实部和虚部的分别相加得到：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；差可以通过实部和虚部的分别相减得到：Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i。
3.2. 乘法复数的乘法遵循分配律和虚单位的平方等于-1的法则。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的乘积为：Z1*Z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3.3. 除法复数的除法需要进行有理化，即将除数和被除数同时乘以共轭复数的倒数。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的商为：Z1/Z2 = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
其中，c^2+d^2不为0。
4. 复数的共轭与模复数的共轭是指将虚数部分取负，实数部分保持不变，即对于复数Z=a+bi，它的共轭为Z*=a-bi。
复数的模是指复数到原点的距离，即|Z|=√(a^2+b^2)。
5. 复数的指数形式复数还可以用指数形式表示，即欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
这个公式将三角函数和指数函数联系起来，为解决复数运算提供了简洁的方法。
6. 复数的应用复数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，交流电的分析、信号处理以及控制系统的建模等都需要用到复数。
总结：本文详细介绍了复数的定义与运算法则，包括复数的表示形式、加法与减法、乘法、除法、共轭与模、指数形式以及复数的应用。
复数的基本性质和运算法则
复数的基本性质和运算法则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实数与虚数的和，通常用"a + bi"的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
1. 基本性质复数具有以下基本性质：1.1. 复数可以表示在一个平面上的点，实数部分表示点在x轴上的位置，虚数部分表示点在y轴上的位置。
1.2. 复数的相等性：两个复数相等当且仅当它们的实数部分相等且虚数部分相等。
1.3. 复数的共轭：对于一个复数"a + bi"，它的共轭复数为"a - bi"。
共轭复数具有以下性质：(a + bi) + (a - bi) = 2a，(a + bi) × (a - bi) = a² +b²。
1.4. 复数的模：复数"a + bi"的模（绝对值）定义为√(a² + b²)，表示复数对原点的距离。
1.5. 复数的实部和虚部：复数"a + bi"的实部为a，虚部为b，分别表示复数的实数部分和虚数部分。
2. 四则运算法则对于复数的四则运算，有以下法则：2.1. 复数加法：对于两个复数"(a + bi)"和"(c + di)"，它们的和为"(a +c) + (b + d)i"，实数部分相加，虚数部分相加。
2.2. 复数减法：对于两个复数"(a + bi)"和"(c + di)"，它们的差为"(a -c) + (b - d)i"，实数部分相减，虚数部分相减。
2.3. 复数乘法：对于两个复数"(a + bi)"和"(c + di)"，它们的乘积为"(ac - bd) + (ad + bc)i"。
使用分配律进行计算。
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cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
z1 z2 z1 z2 z1 z2
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
4、复数的幂与方根
1） n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义 zn 1 , 那么当 n 为负整数时, 上式仍成立. zn
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
推导过程如下：
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以 三角形式、指数形式来运算比较方便.
z 0 辐角的主值
arg z
arctan y , x
π , 2
arctan y π , x
π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
2
x2
பைடு நூலகம்
（ⅲ） 复数模的三角不等式
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z 12+2i;
(3) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4,
Q z 在第三象限,
arctan
2 12
π
arctan
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同
的观念，这称为复数的点表示法.
y
横轴即x轴上的点对应复数的实部，
虚轴
所以也称x轴为实轴；
y
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部，
z x iy
(x, y)
所以也称y轴为虚轴；
oxx
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.
实轴
（2）复数的向量表示
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向. （ⅰ）复数的模 该向量的长度称为 z 的模或绝对值, y
第一节 复数及其表示 第二节 复变函数
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算 三、复球面及无穷大 小结与思考
一、复数的概念及其表示
——“复合”而成的数 1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解.
为了解方程的需要 ,引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1; 即 i 1;
6、 复数的指数表示法
利用Euler公式
欧拉资料
ei cos i sin ,
则复数z r(cos i sin )可以表示为：
z rei
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
3)
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5i
4e6 .
(3) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3
10
,
cos
5
sin
2
5
sin
3
10
,
思考题2
是否任意复数都有辐角?
参考答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
wn1
r
1 n
cos
2(n n
1)π
i
sin
2(n n
1)π
.
当 k 以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
小结
本课学习了复数的三种表示形式对应的运算. 熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的 实部与虚部时，用代数形式比较方便.
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) . 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2, , n)
z1 z2 zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
2）除法
ⅰ）三角形式的除法
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2 ),
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.
(3)虚数单位的特性:
i1 i; i2 1; i3 i i2 i; i4 i 2 i 2 1; ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
nZ.
i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义:
Pz x iy
无穷多个辐角.
o
x
x
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数). 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.
3
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5 i
4e 6 .
(2) z 12 2i
r z 12 4 4,
Q z 在第二象限,
arctan
2 12
+π
arctan（-
2）棣莫佛公式
棣莫佛资料
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n . 棣莫佛公式
3）n 次方根
给定复数 z，方程 wn z 的根称为 z 的 n 次方根 ,
记为 n z . 可以推得:
wk
n
z
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1, z2 ,
•z
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角2 ,
y
r
• z1