考研数学之方阵幂的计算方法
方阵的m次幂的计算方法
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方阵的m次幂的计算方法
作者：屠瑶瑶杨如军
来源：《魅力中国》2018年第06期
摘要：矩阵是从实际问题中抽象出来的概念，是线性代数重要组成部分；方阵m次幂的
计算是矩阵运算的特殊情况，很多学者对矩阵高次幂的求法进行了研究；本文对方阵m次幂
的算法进行归纳和总结。
关键词：矩阵；运算；幂；算法
三、结束语
上述介绍的几种求解方阵m次幂的方法，虽然简化了求解方阵m次幂的过程，但在具体求解中，还应该具体问题具体对待，有的可以按定义直接求，有的要利用简便方法。
并且上述的方法也不是完全独立的，有时相互配合使用，效果更佳。
总之，在方阵m次幂的求解中要
先观察的特征，再寻求最佳解决方法。
参考文獻：
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[8]徐仲主.线性代数典型题分析解集[M]. 西安：西北工业大学出版社.1998.2：3-5。
关于方阵A的任意次幂求法-推荐下载
关于方阵A 的任意次幂求法对于任一方阵，通过矩阵乘法可求得A 2，A 3，…，A n ，…，所以理论上说对于任意n ∈N ，A n 均可求出来，但实际计算却是相当困难的，下面给出几种A n 的求法.一，定义法.若方阵阶数比较小或者秩很小或是个稀疏矩阵，则可用定义直接相乘.1.关于对角矩阵，则.λ=(a 1a 2 ⋱a m )λn =(a n 1 a n 2 ⋱ a nm )2.若r(A)=1，则A 可表示为，则(a 1⋮a m)(b 1,…,b m ).A n =(a 1⋮a m)(∑mi =1a i b i)n (b 1,…,b m )3.若，则.A =(sin θcos θcosθ‒sin θ)A n=(sin nθcos nθcos nθ-sin nθ)二，对角化法.若A 可以对角化，即存在可逆方阵P ，使得，其中为对角矩阵，A =P ‒1ΛP Λ则（此处加入例子302）.A n =P ‒1ΛnP 例 求A n ，其中.A =[122212221]解：通过对角化，矩阵A 可化为，Λ=[‒1000‒1005]其中可逆矩阵，P =[101011‒1‒11]故，A n=P‒1ΛnP =[101011‒1‒11]‒1[‒1000‒10005]n[101011‒1‒11].=13[2(‒1)n +5n (‒1)n +1+5n(‒1)n ‒5n (‒1)n +5n2(‒1)n +5n 3(‒1)n ‒5n (‒1)n ‒5n(‒1)n ‒5n2(‒1)n +5n ]特别地，1.若A 为m 阶方阵，A 有m 个互异的特征值，则A 一定可以对角化，则A n 可以用上述方法求得.2.若A 为实对称矩阵，则必存在可逆方阵P ，使得，其中为全体特征值构成的方阵.从而有.A =P ‒1ΛP ΛA n =P ‒1ΛnP 三，二项式展开.首先不加证明给出一个定理：定理：若A 、B 为同阶方阵，且AB=BA ，则）.(A +B )n =∑ni =0C i n A n ‒i Bi由这个定理，可将A 分解成两个可以交换次序的方阵的和，再用该定理展开.例 求A n ，其中A =[ab ba]解：，其中A =aE +bP P =[110]故A n =(aE +bP )n =n∑i =0C i n (aE )n ‒i (bP )i=n ∑i =0C i nan ‒i b i E n ‒i P i=(a +b)n +(a ‒b)n 2E +(a +b)n ‒(a ‒b)n 2P.=[(a +b)n +(a ‒b)n2(a +b)n ‒(a ‒b)n2(a +b)n‒(a ‒b)n2(a +b)n+(a ‒b)n2]四，数学归纳法.已知A ，算出A 2，A 3，…，寻找规律，并用数学归纳法加以证明.例 求A n ，其中.A =[1101]解：经过计算得，，A 2=[1201]，A 3=[1301]……由此猜想，.A n =[1n 01]下面对此给予证明：①当n=1时，显然成立.②假设当n=k 时命题成立，则当n=k+1时，有，A k +1=A k A =[1k 01] [1101] =[1k +101]从而结论成立，证毕.五，利用Hamilton-Caylay 定理.利用Hamilton-Caylay 定理求A n 有两种方法.1.设A 的特征多项式为，特征值为，由带余f (λ)=|λE ‒A |λ1，λ2，…，λs 除法可得：，λn =f (λ)⋅q (λ)+r(λ)其中，且.设A 为m 阶方阵，则可设∂r (λ)<∂f(λ)f (A )=0，r (λ)=a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m 将代入并根据根的重数，可求出，从而λ1，λ2，…，λs r(λ).A n =r (A )=a 1A m ‒1+…+a m ‒1A +a m E 2.设A 的阶数为m ，为A 的特征多项式，设f (λ)，由可得f (λ)=λm +a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m f (A )=0，两边同时乘以A n ，可得A m +a 1A m ‒1+a 2A m ‒2+…+a m ‒1A +a m E =0，不妨把A 1，…，A n ，…看成数列{b n}，A n +m +a 1A n +m ‒1+…+a m ‒1A n =0即要求出数列的通项，而该数列满足递推式，b n +m +a 1b n +m ‒1+…+a m b n =0由于为常数，可得该线性递归数列的特征方程为a 1，…a m ，其根为，重数为λm +a 1λm ‒1+…+a m ‒1λ+a m =0λ1，λ2，…，λs 重，，则r 1+1，…，r s +1r i ≥0b n =(C 01+C 11n +…+C r 11nr 1)λn 1+(C 02+C 12n +…+C r 22nr 2)λn 2+…，+(C 0s +C 1s n +…+C r ss nr s )λn s其中均为m 阶方阵，可C 01，C 11，…，C r 11，C 02，…，C r 22，…，C 0s ，…，C rs s 用待定系数法求解，从而A m =(C 01+C 11n +…+C r 11nr 1)λn 1+(C 02+C 12n +…+C r 22nr 2)λn 2+….+(C 0s +C 1s n +…+C r ss nr s )λn s特别地，s=m 时，，分别令n=1,2,…,m ，可求出方阵A n =C 1λn 1+…+C m λnm .C 1，…，C m例 求A n ，其中.A =[1254]解：A 的特征多项式为f (λ)=λ2‒5λ ‒6令，可得，从而f (λ)=0λ1=‒1，λ2=6，A n =C 1(‒1)n +C 26n 分别令n=1，2，可得，C 1=[57‒27‒5727]，C 2=[27 275757]所以.A n =[57(‒1)n +276n ‒27(‒1)n +276n‒57(‒1)n +576n27(‒1)n +576n]六，杂例.1.对角化法推广.在对角化法中，我们要求A 可以对角化，现将这一条件去掉.对任意方阵A ，总有总存在方阵B ，使得A 与B 相似.因为任意方阵A ，存在可逆矩阵P ，使得，P ‒1JP =A ，J =(J 1⋱J s)，J =(λi 1λi ⋱ ⋱ 1 λi)r ir i 为的重数，取B=J ，则B 必然存在.由A 与B 相似，从而存在可逆矩阵Q ，使λi 得A=Q -1BQ ，从而A n =Q -1B n Q ，若B n 可以求出，则A n 也可以求出.例 求A n ，其中A =[21‒10]解：因为存在矩阵，使得B =[1101][21‒10]=[2111]‒1[1101][2111]而，[1101]n=[1n 01]所以[21‒10]n=[2111]‒1[1101]n[2111]=[2111]‒1[1n 01][2111].=[n +1n ‒n ‒n +1]2.其他方法.例 求解[a bb a]n解：设，则，可得[ab b a ]n=[x ny n y nx n ][x ny n y nx n ]=[ab ba ][x n ‒1y n ‒1y n ‒1x n ‒1]{x n =ax n ‒1+by n ‒1y n =bx n ‒1+ay n ‒1两式相加得x n +y n =(a +b )(x n ‒1+y n ‒1)两式相减x n ‒y n =(a ‒b )(x n ‒1‒y n ‒1)从而x n +y n =(a +b)n ，x n ‒y n =(a ‒b)n ，解得{x n =(a +b)n +(a ‒b)n 2y n =(a +b)n +(a ‒b)n 2故.[a b b a ]n=[(a +b)n +(a ‒b)n2(a +b)n ‒(a ‒b)n2(a +b)n‒(a ‒b)n2(a +b)n+(a ‒b)n2]【参考文献】1.北京大学数学系前代数小组.高等代数（第三版），高等教育出版社，2003年7月.2.杨子胥.高等代数习题解（修订版），山东科技出版社，2005年3月.。
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
探求方阵的幂的计算方法
摘 要方阵是一类最特殊的矩阵，是高等数学中的重要部分，其应用也是多方面的，不在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用. 比如数字图像处理、计算机图形学、计算几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。
在 《 线性代数》中， 常涉及阶方阵的幂的计算问题， 用定义计算方阵的幂十分繁杂，在分析一般矩阵乘法运算对计算方阵高次幂运算局限性基础上，结合实例介绍了数学归纳法，二项式展开法，矩阵分解法，对角矩阵相似法，Hamiltoncayley 定理法等几种方阵的幂的求解方法。
而且的方阵的高次幂求解方法也进行了探索。
关键词：线性代数；方阵的幂；矩阵；高次幂；方法方阵的幂的一般计算方法数学归纳法数学归纳法是数学中的一种重要的证明方法，常用来证明自然数n 有关的命题，求M A 时,首先计算A 的低次方幂，把结 论猜想出来，然后用归纳法证明猜想成立。
例 1 已知1111A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=，求M A 解：2A =1111⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3A =2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 1111⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭猜想MA =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，事实上，当m=1，2， 时，结论成立。
设当m=k-1时结论成立，即1k A -=22222222k k k k ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭k A =1k A -A =22222222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=11112222k k k k ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故由归纳法可知，对任意指数m 有M A =11112222m m m m ----⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
二项式展开法当方阵A 的主对角线上的元素相同时，A 可以写成一数量阵I λ和另一矩阵B 之和，如果B 的高次幂易计算，则M A =()M I B λ+可按二项试定理展开计算。
例 2 设A =110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求m A （m 为自然数）解：A =100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+010001000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭记作I+B ，由于I 与B 可交换，mA =()mI B +=mI +m 1m I -B+2(1)2!m m m I --2B +(1)(2)3!m m m --3m I-3B ++mB 而mI =1m I -= =I，B =010001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，2B =001000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3B =000000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭故KB =3k m ≤≤，所以m A =m I +m 1m I -B +2(1)2!m m m I --2B=100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+0000000m m ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭+(1)002000000m m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=(1)1201001m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭-利用与对角矩阵相似求解对于n 阶主阵A ，若存在逆阵P ，使得1P -AP =diag （1λ，2λ m λ），则m A =P diag （1m λ，2m λ m n λ）1P -，其中1λ，2λ， n λ为A 的n 个特征根。
方阵的n次幂公式
方阵的n次幂公式方阵是线性代数中一个非常重要的概念，而方阵的 n 次幂公式更是解决许多问题的有力工具。
咱们先来说说啥是方阵。
简单来说，方阵就是行数和列数相等的矩阵。
比如说一个 3×3 的矩阵，那就是一个方阵。
方阵的 n 次幂公式呢，就像是一把神奇的钥匙，可以帮助我们解开很多复杂的数学谜题。
给您举个例子啊，就说有个学校组织运动会，每个班级要排成方阵入场。
咱假设一个班级有 36 个同学，要排成 6×6 的方阵。
这时候体育老师就开始琢磨了，如果让这个方阵进行多次变换，比如转几个角度啥的，那这其中的规律该咋算呢？这其实就涉及到方阵的 n 次幂了。
咱们先来看方阵的幂运算规则。
对于一个 n 阶方阵 A，如果要计算它的 2 次幂 A²，那就是 A 乘以 A；3 次幂 A³呢，就是 A 乘以 A 乘以A，以此类推。
方阵的 n 次幂公式有个特点，就是当方阵具有某些特殊性质时，计算会变得相对简单。
比如说，如果方阵 A 是对角矩阵，那它的 n 次幂就特别好算，对角线上的元素分别进行 n 次幂运算就行。
再比如，如果方阵 A 可以相似对角化，那通过一系列的变换，也能比较轻松地算出它的 n 次幂。
咱回到刚才说的运动会方阵的例子。
假如体育老师想知道经过多次变换后，方阵的排列情况，就可以用方阵的 n 次幂公式来计算。
比如每次变换相当于一个特定的方阵操作 B，经过 n 次变换，那最终的方阵就是 B 的 n 次幂乘以最初的方阵。
在实际的数学应用中，方阵的 n 次幂公式在图像处理、密码学、物理学等领域都大有用处。
比如说在图像处理里，对图像进行某种变换，就可以用方阵来表示，然后通过计算方阵的 n 次幂，来预测多次变换后的效果。
在密码学中，加密和解密的过程有时候也会涉及到方阵的幂运算，通过复杂的方阵变换来保证信息的安全。
物理学中，研究物体的振动、波动等现象时，方阵的 n 次幂公式也能帮忙分析系统的长期行为。
考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学中线*代数部分的分数占了整体的百分之二十二，是整个考研数学不可缺少的部分，其章节内容与高等数学和概率统计没有太多联系，其知识点具有细致*和整体*，前后章节联系比较密切。
线*代数中的矩阵部分是整个线代非常重要的部分，也是要求我们同学要掌握透彻的一个部分，而其中关于方阵幂的问题是跨考教育老师上课时所重点强调的，方阵幂的计算是要求我们要掌握的。
在授课过程中，每位教授这门课的老师都会跟同学们来总结有关方阵幂的计算，也都分了情况给大家展示了其各种类型的计算方法。
首先对于矩阵行或者列均成比例的矩阵，这种类型的矩阵可以写成一列乘以一行的形式，列是矩阵各列的最简公约数，行也是此矩阵各行的最简公约数。
其n次幂的求法，我们也总结过，也给大家推到过。
其次是特殊的上（下）三角n次幂的运算问题，我们也总结了，把其分解成单位矩阵和特殊上（下）三角来处理的，并且运用了二项式展开的知识。
然后就是利用相似对角化的知识来求n次幂的运算问题，像刚刚过去的2016年考研中数一、数二、数三都出现了一道关于幂运算的题，要我们求矩阵a的99次幂等于多少。
这种题目主要是先求出矩阵的特征值再求出其对应的特征向量，利用相似对角化来求这一题。
当然这种题目要求我们同学一定要仔细，不要出现计算上到错误。
最后还有关于带有两个零的拉普拉斯问题，这种分块矩阵，有时也会有相关题目出现。
方阵幂的计算问题希望同学们在接下来的学习过程中认真对待，对于这种类型的题目要融会贯通，不同类型的幂的计算问题对应于相应的方法来解决。
整个考研数学中线*代数部分算是相对较简单的一个科目，因此，对于线*代数这一部分的希望同学们尽量不要失分。
几类简单方阵的幂的计算
］ 儿 ［ 。 儿 ６ ］ ［ 三 ＿ ｊ ＿ １ ＝ ］ ｊ Ｌ ＝ ６ ［ 三 Ｉ ３ ｌ ］ ｊ
２ ２
例 １ 设 Ａ ： Ｉ ｌ １ ２－ ３ ｝ ， 求 Ａ ． 』
４ ｓ． 通过 计算Ａ ２ 。 Ａ 。 找出规 律。 进而 计算出Ａ ｎ 。
Ｏ
：
●
其中 Ａ＝ 昭｛ ＾ ， ， …， ｝ Ｉ （ ｌ ， ２ ， …， ） 为 Ａ特征值， 则
：
●
Ｏ Ｏ
．
．
．
０
由此得到 Ａ ” ＝Ｐ Ａ Ｐ
具甲 Ｐ ｉ ， Ｑ ｊ 为初寺矩阵， 则
厂 ３ — １ ］
：
…
『 ｌ 。 … 。 ］ 『 ］ 例 ３ 已 知 ｌ 一 ９ ３ ｌ ， 计 算 。 ｆ ？ ？ … ？ ｝ … Ｑ 『 ＝ … 巧 ｆ ｌ ｏ … ｏ ｌ ｏ ； … 解 首 先 求 出 Ａ 的 特 征 值 为 ０ 和 ６ ， 对 应 特 征 向 量 分 别 为
６ Ｌ
令 ＝ … ’ ｊ Ｊ ： ｎ ； ｌ ’ ｃ ｌ 。 … ｏ 】 … ｌ Ａ Ｐ ＝ Ａ ， 其 中 ＝ Ｊ ６ ｕ ］ Ｉ ， 因 此
个 行 矩 阵， 即Ａ 可 写 成 一 个列 矩阵 和 一 个 行 矩 阵 的 乘 积 ， 得 证 。
疵： ３ ２ ： ３ ２ ： １ 设
Ｃ ￣ Ａ ＇ － ｚ ］ ［ ２
¨ …卜 ㈠ 坩 ’ ：
……，则 ｎ ＝
］
ｆ ｉ １ ｃ — ｓ ， ｔ ２ — ３ ＝ 一 ８ － ｔ ．
ｌ
。 。 ＿ 。 。 五 。 。 丑 ¨
（ Ｐ 尸 ） ” ＝（ 尸 Ａ Ｐ ） （ Ｐ — Ａ Ｐ ） － ・ ・ （ ｜ Ｐ Ｐ＝Ａ“ ，
矩阵幂次方计算
矩阵幂次方计算矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍。
一、定义矩阵幂次方是指将一个矩阵连乘多次的结果，其中幂次方为正整数。
设矩阵A为n阶方阵，则A的k次幂为A的k-1次幂与A的乘积，即A^k=A^(k-1)×A，其中A^0为单位矩阵。
二、性质1. 矩阵幂次方具有结合律，即(A^k)^m=A^(k×m)。
2. 矩阵幂次方不满足交换律，即A^k×A^m≠A^m×A^k。
3. 矩阵幂次方具有分配律，即(A+B)^k=Σ(C(k,i)×A^i×B^(k-i))，其中C(k,i)为组合数。
4. 矩阵幂次方具有幂等性，即A^k×A^k=A^(2k)。
三、计算方法1. 直接计算法直接计算法是指按照定义进行计算，即将矩阵连乘k次。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×k)，效率较低，适用于矩阵较小的情况。
2. 分治法分治法是指将矩阵分成若干个子矩阵，然后对子矩阵进行幂次方计算，最后将子矩阵的结果合并得到原矩阵的幂次方。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率较高，适用于矩阵较大的情况。
3. 矩阵快速幂法矩阵快速幂法是指将幂次方k转化为二进制形式，然后按照二进制位进行计算。
具体地，设矩阵A为n阶方阵，k的二进制表示为b1b2...bm，则A^k=A^(b1×2^0+b2×2^1+...+bm×2^(m-1))=A^(2^0×b1)×A^(2^1×b2)×...×A^(2^(m-1)×bm)。
这种方法的时间复杂度为O(n^3×logk)，效率最高，适用于矩阵较大的情况。
四、应用矩阵幂次方计算在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。
方阵的幂知识点总结
方阵的幂知识点总结一、方阵的幂的定义方阵的幂是指将一个方阵自乘若干次得到的结果。
给定一个n阶方阵A，其m次幂定义为Am=A⋅A⋅A⋅⋅⋅A(m个A相乘)，其中m为正整数。
特别地，当m=0时，我们定义A^0=I （单位矩阵），当m=1时，我们有A^1=A。
二、方阵的幂的性质1. 方阵的幂与矩阵乘法交换律：对于任意两个n阶方阵A和B，有A^m⋅B^m=(A⋅B)^m。
证明：设A和B是n阶方阵，不妨设m=2，即(A⋅B)^2=A⋅B⋅A⋅B，而A^2⋅B^2=A⋅A⋅B⋅B，显然它们相等。
通过归纳法可以证明对于任意正整数m都成立。
2. 方阵的幂与矩阵的转置和逆矩阵：如果A是一个可逆矩阵，则(A^-1)^m=(A^m)^-1，(A^T)^m=(A^m)^T。
证明：对于(A^-1)^m=(A^m)^-1，我们有(A^-1)^m⋅A^m=I，所以(A^m)^-1=A^-m。
同理，对于(A^T)^m=(A^m)^T，我们可以利用矩阵转置的性质进行证明。
3. 方阵的幂的幂等性：对于方阵A的m次幂的幂等性，有(A^m)^n=A^(m⋅n)。
证明：根据矩阵乘法的结合律，有(A^m)^n=A⋅A⋅⋅⋅A⋅A⋅A=...=A^(m⋅n)。
4. 方阵的幂的加法：对于方阵A的m次幂和n次幂的加法，有A^m+A^n≠A^(m+n)。
证明：举个简单的例子，取A为单位矩阵，m=2，n=3，我们有A^2=I，A^3=I，A^2+A^3=2I，而A^(2+3)=A^5=A，显然它们不相等。
因此，方阵的幂的加法并不满足方阵乘法的加法性质。
5. 方阵的幂的数乘：对于方阵A的m次幂的数乘，有k⋅A^m=(k⋅A)^m。
证明：设k为一个实数或复数，那么k⋅A^m=k⋅(A⋅A⋅⋅⋅A)=k⋅A⋅A⋅⋅⋅A=(k⋅A)^m，根据矩阵乘法的结合律和分配律可以得到这个结论。
以上是方阵的幂的一些基本性质，这些性质对于我们理解和使用方阵的幂都至关重要。
幂矩阵的计算方法
幂矩阵的计算方法
幂矩阵是一种特殊的矩阵乘法，在计算机科学和数学领域被广泛应用。它可以用于解决一些重要的问题，比如图论中的路径计算、网络分析中的节点权重计算等。
幂矩阵的计算方法是通过矩阵的乘法运算来实现的。假设我们有一个n阶矩阵A，我们想要计算A的m次幂矩阵，也就是A的m-1次幂矩阵与A的乘积。
我们需要定义矩阵的乘法运算。矩阵的乘法运算是将两个矩阵的对应们的乘积C可以表示为C = AB，其中C的元素c[i][j]的计算方式为c[i][j] = ∑a[i][k] * b[k][j]，其中k的范围是从1到n。
幂矩阵的计算方法在实际应用中有广泛的用途。例如，在图论中，我们可以使用幂矩阵的计算方法来计算图中两个节点之间的路径数量。具体来说，我们可以定义一个邻接矩阵，其中矩阵的元素a[i][j]表示从节点i到节点j的边的数量。然后，我们可以计算邻接矩阵的m次幂矩阵，其中m表示两个节点之间的最短路径的长度。通过这种方式，我们可以快速有效地计算出图中任意两个节点之间的最短路径。
在计算幂矩阵的过程中，我们需要进行多次矩阵乘法运算。假设我们要计算矩阵A的m次幂矩阵，我们可以使用迭代的方法来实现。具体来说，我们首先将A赋值给一个临时矩阵B，然后进行以下操作m-1次：将B与A相乘，将结果赋值给B。最后，B就是A的m次幂矩阵。
需要注意的是，幂矩阵的计算方法要求矩阵A是一个方阵，也就是行数和列数相等。否则，矩阵的乘法运算无法进行。
方阵高次幂的求法及应用
2 预备知识2.1 基本概念及运算律 2.1.1 基本概念定义2.1（方阵）[2] 若矩阵A 的行数等于列数，则称这样的矩阵为方阵.定义2.2（矩阵的幂）[2] 设A 是n n ⨯矩阵（n 阶方阵），m 是正整数，则m m A AA A =个称为A 的m 次幂. 2.1.2 运算律根据方阵幂的定义，显然有以下运算律：（1） k l k l A A A +=；（2） ()lk k l A A =；（3） ()kk k A A λλ=；（4） kk A A =； （5） ()()Tkk T A A =.其中，k ，l 为非负正数.3 n 阶方阵A 的高次幂的若干算法及应用 3.1 特殊矩阵3.1.1 n 阶矩阵A 为对角阵定理3.1 若n 阶矩阵()1122,,,nn A diag a a a = ，则()1122,,,n n n n nn A diag a a a = .例3.1 已知3517A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求n A . 解 由定理3.1，33551177nn nnn nn n A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.1.2 n 阶矩阵A 的秩为1定理3.2 设A 为n 阶矩阵，且秩()1A =，则A 可以表示为T A αβ=，其中[]12,,,Tn a a a α= ，[]12,,,Tn b b b β= 均为非零列向量，则()1n n A trA A -=，其中trA 为A 的主对角线上元素之和，称为A 的迹.证明 由题设，T A αβ=，又设()1nTTi i i l a b tr A βααβ=====∑，则()()2T T T T T A l lA αβαβαβαβαβ====，由数学归纳法易证得，()11n n n A l A trA A --==.例3.2 已知[]=1,2,3α，[]1,12,13β=，设T A αβ=，其中T α是α的转置，求n A .解 注意到()3T tr A βα==，由定理3.2得到，()()()()()[]111132112133n n n T n A tr A A tr A αβ---⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1321233321n -⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例3.3 设336224112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求n A .解 注意到A 的各行分别为行向量[]1,1,2T β=--的3-倍，2-倍，1倍，因而A 可分解为列向量321-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦与行向量T β的乘积，即 []321,1,21A -⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦.令 []3,2,1Tα=--，则T A αβ=.又因 ()1T tr A βα==-，由定理3.2得到，()()()111n n n A tr A A A --==-.3.1.3 n 阶矩阵A 的平方等于原矩阵或单位矩阵倍数定理3.3 （1）若2A bA =（b 为常数），则1k k A b A -=（k 为常数）； （2）若2A bE =（b 为常数），则()222+12(2,)(21,)k k k nk k kA A b E n k k A AA A b A n k k ⎧===⎪=⎨=⋅==+⎪⎩为正整数为正整数；（3）若4A bE =（b 为常数），则()44nnn A Ab E ==（n 为正整数）.注意：为利用该定理，首先应计算2A ，再考察2A 是否等于bA ，或是否等于bE （b 为常数），特别地，若2A E =-，则4A E =.例3.4 设100001A ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，1B P AP -=，其中P 为三阶可逆矩阵，求200422B A -.解 先计算2A ，观察2A 是否为cA 或是否为cE ，4A 是否为cE . 事实上，2010010100100100010001001001A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4A E =，则 ()441141B P AP P A P P EP E ---====.由定理3.3得到，()()501200424222223,3,1B A B A E A diag -=-=-=-.注意：上例中待求式子有一项为2A ，这提醒我们应先计算2A ，希望再进一步发现4A E =.再由A 与B 相似知，414B P A P E -==. 3.1.4 n 阶矩阵A 可表示为可交换的两个矩阵之和矩阵乘法一般不满足交换律，因而()2222A B A AB B +≠++，但B 与bE （b 为常数）可交换，故()2222B bE B bB b E +=++.一般地，有下述定理成立.定理3.4 （1）()011222n n n n n nn nn n bE B C b E C b B C b B C B --+=++++ ()nn ii i n i C B bE -==∑；（2）当A 与B 可交换时，下述二项式公式成立：()1122211nn n n n n n nn n n n A B A C A B C A B C AB C B ----+=+++++ .值得注意的是，（1）为（2）的特殊情况，即A bE =.例3.5[6] 设212023002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n A . 解 01220032000A E E B ⎡⎤⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则012003000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2003000000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3000000000B O ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()()[]()()122222(1)22nnn n n A E B E n E B n n E B --=+=++-()111200022003122=0200032+000002000000nn n n n n n n n n n n ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()1112231220232002n n n n n nn n n n ---⎡⎤⋅-⋅⎢⎥=⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3.1.5 n 阶矩阵A 可对角化定理 3.5[1] 若A 相似于对角矩阵，其特征值为1λ，2λ， ，n λ，则存在可逆矩阵P ，使得()112,,,n P AP diag λλλ-= ，()()112,,,nn n A P diag P λλλ-= .例3.6 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而2n ≥为正整数，求12n n A A --. 解 由于A 为实对称矩阵，可用相似对角化求出n A .由()21120211E A λλλλλλ---=-=---，得到A 的特征值 122λλ==，30λ=.由于A 为实对称矩阵，必存在可逆矩阵P ，使得1220P AP -⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.于是，1A P P -=Λ，1n n A P P -=Λ，()111122n n A P P P P ----=Λ=Λ，则 12n n A A O --=.3.1.6 n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量定理3.6 若A 有n 个线性无关的特征向量，则A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ，进而可以得到1n n A P P -=Λ.例3.7 设2,2,1是3阶矩阵A 的特征值，对应的特征向量依次为10=10α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21=01α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，30=11α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 及n A . 解 按特征值特征向量的定义有11=2A αα，22=2A αα，33=A αα. 用分块矩阵表示，得到()()123123,,2,2,A αααααα=.因为123,,ααα线性无关，矩阵()123,,ααα可逆，故()()11231230201112002,2,,,201100121021101101A αααααα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由于矩阵A 有3个线性无关的特征向量，矩阵A 可以相似对角化，有1221P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 其中()123,,P ααα=. 于是，1A P P -=Λ，进而有1010211120010121002121201111012101nn n n nn n n nA P P -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.1.7 n 阶矩阵A 可分成特殊子块定理3.7 对于分块矩阵0=0B A C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有00n nn B A C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 注意：几个常用子块的高次幂：1100nn n n a a na a a -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1001nn n n a a a na a -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，20110E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 20110E ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦200i E i ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦， 200i E i ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦. 例3.8[12]设2400020000010010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2n A . 解 先将A 分块，0=0B A C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中2402B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0110C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则 22200nnn B A C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 下面求2n B 及2n C .2222222224121121242440201201202n nnn n nn nn B⎛⎫⎛⎫⋅⎡⎤⎡⎤⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22201011010nnnn C E E ⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪====⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 故222222242000020000010001n n nn nn n B A C ⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 例3.9 设3400230000110001A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n A . 解 先将A 分块，0=0B A C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中3423B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1101C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则 00nnn B A C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 下面求n B 及n C .由2341023E B λλλλ+--==-=-， 得到11λ=，21λ=-.对 11λ=，由()0E B x -=，44112200--⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，得到特征向量111α⎛⎫= ⎪⎝⎭； 对21λ=-，由()0E B x --=，24122400--⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，得到特征向量221α⎛⎫= ⎪⎝⎭. 那么，令()12,P αα=，有111P BP -⎡⎤=Λ=⎢⎥-⎣⎦， 从而有1n n P B P -=Λ. 由于()()()()()112112211212111111121n nn n n n nB P P -⎡⎤⎡⎤-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥=Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 又 101n n C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故 ()()()()21122100011210000010001n n nn nnn B A C n ⎡⎤----⎢⎥⎡⎤⎢⎥----==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3.2 没有明显特征的矩阵 3.2.1 利用数学归纳法若通过计算2A ，3A 能找到某种递推关系，那么可以考虑使用数学归纳法.具体解题步骤：①直接计算2A ，3A ，……； ②猜想出n A 的一般表达式；③用数学归纳法证明n A 的一般表达式的正确性.例3.10 设101001a b A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n A .解 直接计算，得2212012001a a ab A a ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()()23133223013001a ab A a⎡⎤⋅+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 以此猜想()()()()()211121011001n n a n n a n b A n a ⎡⎤++++⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.以下用数学归纳法证明猜想的正确性. 当1n =时，结论显然成立. 假设n k =时，结论成立，则有()()211201001k kak k akb A ka⎡⎤-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 下证对1n k =+时也成立，事实上，()()()()()2+111111=010*******1k k k a k k a k b a b A a A k a ⎡⎤++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故对一切自然数n 有()()()()()211121011001n n a n n a n b A n a ⎡⎤++++⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.例3.11[12] 设cos sin sin cos A αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求n A . 解 直接计算，得2cos 2sin 2sin 2cos 2A αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，3cos3sin 3sin 3cos3A αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 以此猜想cos sin sin cos n n n A n n αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.以下用数学归纳法证明猜想的正确性. 当1n =时，结论显然成立.假设n k =时，结论成立，则有cos sin sin cos k k k A k k αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，下证对1n k =+时也成立，事实上，1cos sin cos sin sin cos sin cos k k k k A A A k k αααααααα+--⎡⎤⎡⎤=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()cos 1sin 1sin 1cos 1k k k k αααα+-+⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦，故对一切自然数n 有cos sin sin cos n n n A n n αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.例3.1212] 100101010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明：当3n ≥时，22n n A A A E -=+-，并求2001A .解 直接计算，得2100110101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3100201110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 则 32A A A E -=-.当3n =时，3322A A A E -=+-，假设对1n -结论成立，来看n 的情形：()()12122322n n n n n A A A A A E A A A A A A E -----==+-=+-=+-.故结论对3n ≥的一切自然数成立，从而()20011999219972219972+=A +22A A A E A A E A E A E =+-=+---210010001000100101100010A A E ⎡⎤⎢⎥==+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3.2.2 利用哈密顿凯莱（Hamilton-cayley ）定理方阵的高次幂求解之所以麻烦是因为次数较高，不易计算，而利用哈密顿凯莱定理可将所求方阵幂的次数降低，从而简化计算.哈密顿凯莱（Hamilton-cayley ）定理[3] 设n 阶方阵A 的特征多项式为()111n n n n f E A a a a λλλλλ--=-=++++ ，则A 的多项式()f A 为零矩阵，即()1110n n n n f A A a A a A a E --=++++= .具体解题步骤：①计算A 的特征多项式()A f E A λλ=-111n n n n a a a λλλ--=++++ ，并计算出A 的n 个特征根1λ，2λ，…，1n λ-，n λ.②由哈密顿凯莱定理有，()1110n n A n n f A A a A a A a E --=++++= . ③又所求式子为n A ，则对n λ作带余除法，()()()=n A f q r λλλλ+ （3.1）其中，()1011n n r r r r λλλ--=+++ .进而()()()()()1011n n A A n A f A q A r A f A q A r r A r A --=+=++++1011n n r r A r A --=+++ ，其中0r ，1r ，…，1n r - 为待定系数.④对（3.1）式两边求导，得到()()()()()2111n n A A n n f q f q r n r A λλλλλ--''=++++- （3.2）⑤将特征根1λ，2λ，…，1n λ-，n λ代入到（3.1），（3.2）两式，解得 0r ，1r ，…，1n r - .⑥1011n n n A r r A r A --=+++ .例3.13[7] 设100101010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，证明：当3n ≥时，22n n A A A E -=+-，并求100A .解 ()()()23211111101A f E A λλλλλλλλλλ-=-=--=-+=--+-令 ()0A f λ=，则121λλ==，31λ=-. 由哈密顿凯莱定理有：()320A f A A A A E =--+=，则32A A A E -=-，同上题证明，可得3n ≥时，22n n A A A E -=+- 不妨设()()1002A f q a b c λλλλλ=+++，（3.3） ()()10022A A f A q A aA bA cE aA bA cE ⇒=+++=++，其中a ，b ，c 为待定系数.对（3.3）式两边求导，()()()()991002A A f q f q a b λλλλλλ''=+++ （3.4）分别将121λλ==，31λ=-代入到（3.3）, （3.4）式中，得到111002a b c a b c a b =++⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ ⇒ 50049a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 又 2100110101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则10022100495049501104910149A aA bA cE A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5000490010050500049050105005000495001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 例3.14 若三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，试用A 的二次式表示2n A .解 ()()()()112A f E A λλλλλ=-=-+-， 令()()()()()22112n q a b c λλλλλλλ=-+-+++，以λ=1，1-，2代入确定a ，b ，c ，得()21213n a =-，0b =，()21243nc =--， 从而()()()()()()2222111221243n n nq λλλλλλ⎡⎤=-+-+---⎣⎦()()()()222121243n nA f q λλλ⎡⎤=+---⎣⎦. 所以，()()()()2222121243n n n A A f A q A A E ⎡⎤=+---⎣⎦， 又因为()0A f A =，所以()()2222121243n n nA A E ⎡⎤=---⎣⎦. 3.2.3 利用若尔当（Jordan ）标准形若尔当（Jordan ）定理[3] 设n n A C ⨯∈，则A 与一个若尔当矩阵J 相似，这个若尔当矩阵J 除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的，称J 为A 的若尔当标准形.即存在n 阶可逆矩阵P ，使()112,,,s P AP J diag J J J -== ，其中()1,2,,i J i s = 为i m 阶若尔当块，则1A PJP -=，故有1n n A PJ P -=.此时要用到求若尔当块的高次幂如下：11111111i i i ii i km k m k k ii k i k i k ik i i k k ik i i m m m m C C J C λλλλλλλλλ--+--⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 其中，()()11!l kk k k l C l ---= ，且规定()0l k C l k =>.i λ为A 的特征根.例3.15 设矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求k A （k 为自然数）.解 由于()212610013010114001E A λλλλλλ⎡⎤+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎢⎥⎣⎦， 从而A 的初等因子为1λ-，()21λ-，故A 相似于若尔当标准形100010011J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.下面求矩阵P ，使得1A PJP -=.设()123,,P ααα=，有()()123123,,,,A αααααα=，经计算得：()13,0,1Tα=，()21,0,0Tα=-，()32,1,1Tα=，()123312,,001101P ααα-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 且有1A PJP -=，故有111001001226010010130110113kk k kk A P P P P k k k k k k k ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦.。
方阵幂的求法归纳
方阵幂的求法归纳
矩阵的幂是指对矩阵连续乘方的运算。
若把n阶矩阵A分解成A = U×D×U-1 ，其中U为初等变换矩阵，D为对角矩阵，U-1为U的逆矩阵，则A的n次幂可求为A^n = U^n×D^n×(U^(-1))^n 。
矩阵的幂求法可分为非对称和对称的，非对称就是对角矩阵
D的每个对角元都不相等的情况，其中对角元要取到n次负幂，可以采用“反向连乘”的方法求解。
它是将矩阵A的n次幂分解成多个A的若干次幂的积。
有一个M的量，它的第一次幂A^1乘上最后一次幂A^m：M = A^1A^2……A^m ，它相当于矩阵A的n 次幂，这时A的n次幂可以按照包括M在内的若干次幂累乘方式求解。
矩阵的对称法是指对角矩阵D的每个对角元都是相同的情况，也就是D=A。
这种情况下，A^n可以由Split-Matrix-Multiplication 方法来求解，它将分解M矩阵成a，b，c，d四个矩阵之和，M = a + b + c + d，当 n=2 时下面的公式得到：M^2=(a+b) (c+d) 以及：M^2 = a2 + bd + ac + bc。
这里的a，b，c，d四个矩阵可分别称之为四个子式，每个子式都是较小的矩阵，可叠加地乘起来得到M^2。
从上面的公式可以看出，M的n次幂实际上是由M的2次、4次、8次……以及最后一次2^k次幂积得来的。
矩阵的幂求法不仅可以应用于计算，还可以用于解决各种实际问题。
其应用领域有常微分方程求解、随机投掷问题、Markov
Chain 模型以及数据挖掘等。
矩阵的幂求解可以使用快速矩阵幂求法，利用矩阵的特点进行加速，从而提高计算效率。
数学 学年论文 毕业论文 方阵n次幂的计算方法
数学学年论文毕业论文方阵n次幂的计算方法方阵n次幂可以用多种方法计算，以下介绍两种常见的方法。
方法一：矩阵乘法的递归实现设A为n阶矩阵，则A的n次幂可以表示为：A^n = A^(n/2) * A^(n/2) (n为偶数)A^n = A^(n-1) * A (n为奇数)可以发现，n次幂的计算可以通过n/2次幂的计算实现。
因此，可以采用递归实现。
具体做法如下：1. 如果n=1，直接返回矩阵A；2. 如果n为偶数，计算A^(n/2)，并将其乘以自身；3. 如果n为奇数，计算A^(n-1)，并将其乘以A。
代码实现如下（使用Python语言）：def matrix_power(A, n):if n == 1:return Aelif n % 2 == 0:B = matrix_power(A, n/2)return B.dot(B)else:B = matrix_power(A, n-1)return A.dot(B)方法二：矩阵的特征值分解任何一个n阶方阵都可以表示为特征向量和特征值的线性组合，即：A = PDP^-1其中，P为n阶方阵，其列向量为特征向量；D为特征值矩阵，其对角线上的元素即为A的特征值。
根据矩阵乘法的性质，有：A^n = PD^nP^-1因此，可以通过矩阵的特征值分解来计算A的n次幂。
代码实现如下（使用Python语言）：import numpy as npdef matrix_power(A, n):eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)d = np.diag(eigenvalues ** n)pdn = eigenvectors.dot(d).dot(np.linalg.inv(eigenvectors))return pdn需要注意的是，矩阵A必须是可对角化的。
对于不可对角化的矩阵，可以采用相似矩阵对角化。
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n次方的几种求法的归纳1矩阵n 次方的几种求法1.利用定义法()(),,ij kj s nn mA aB b ⨯⨯==则(),ij s mC c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++1nik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1同。
例1:已知矩阵34125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，445130621034510200B ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 解：设C AB ==()34ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =由矩阵乘积的定义知：111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯=131321553030c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305c =⨯+⨯+⨯+⨯=21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯=22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯=223130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯=24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯=310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯=320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯=330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯=34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=将这些值代入矩阵C 中得：C AB ==34323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。
2.利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。
方阵的幂运算公式
方阵的幂运算公式方阵是线性代数中的重要概念，它是一个具有相同行数和列数的矩阵。
方阵的幂运算公式是指将一个方阵自乘多次的计算方式。
在本文中，我们将探讨方阵的幂运算公式及其应用。
一、方阵的定义和性质方阵是一个n阶矩阵，即它的行数和列数都是n。
方阵的特殊性质在于它可以进行幂运算，即自乘。
考虑一个n阶方阵A，我们可以将其自乘k次，表示为A^k。
方阵的幂运算具有以下性质：1. A^k = A * A * A * ... * A (共k个A相乘)2. A^0 = I (单位矩阵)3. A^1 = A方阵的幂运算公式可以通过矩阵乘法的定义来推导。
矩阵乘法的定义是将矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列进行乘法运算，然后将结果相加。
根据这个定义，我们可以将方阵的幂运算表示为多次矩阵乘法的结果。
二、方阵的幂运算的应用方阵的幂运算在线性代数和其他领域中有广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 线性方程组的求解线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是一个方阵，x和b是列向量。
如果我们已知A和b，想要求解x，可以使用方阵的幂运算公式。
我们可以将方程组重写为x=A^-1 * b，其中A^-1表示A 的逆矩阵。
然后，我们可以通过求解方阵的幂运算来计算x。
2. 特征值和特征向量的计算方阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
方阵的特征值和特征向量可以通过方阵的幂运算公式来计算。
具体的计算方法是，对于一个方阵A，我们可以通过求解方程A * x = λ * x来计算特征值和特征向量。
3. 矩阵的对角化对角化是将一个方阵表示为对角矩阵的过程。
对角矩阵是一个只有对角线上有非零元素的矩阵。
方阵的对角化可以通过方阵的幂运算公式来实现。
具体的方法是，我们可以将方阵A写成A = P * D * P^-1的形式，其中P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵。
然后，我们可以通过方阵的幂运算公式来计算P * D * P^-1的幂。
矩阵的幂次方
矩阵的幂次方矩阵的幂次方是指将一个矩阵连续乘以自身。
假设矩阵A为n ×n的方阵，A 的k次幂（其中k是一个非负整数）可以表示为A^k。
矩阵的幂次方可以通过连续乘法来计算，即A^k = A ×A ×A × ... ×A。
例如，对于一个2 ×2的矩阵A和k = 3，A的3次幂可以计算为：A^3 = A ×A ×A幂次方的计算可以通过循环来实现，循环次数为k。
首先，设置一个单位矩阵identity，该矩阵与任何矩阵相乘都等于矩阵本身。
然后，用循环将矩阵A连续乘k次，每次乘法结果都与identity相乘，最后得到A的k次幂。
具体实现如下：def matrix_power(A, k):n = len(A) # 矩阵的维度identity = [[1 if i == j else 0 for j in range(n)] for i in range(n)] # 单位矩阵result = identity # 初始结果为单位矩阵for _ in range(k): # 连续乘k次Aresult = matrix_multiply(result, A) # 矩阵相乘return resultdef matrix_multiply(A, B):n = len(A)m = len(A[0])p = len(B[0])result = [[0 for _ in range(p)] for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):result[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return result这样，就可以通过matrix_power函数计算矩阵A的任意幂次方了。
矩阵的幂运算
矩阵的幂运算
矩阵的幂运算是指矩阵乘方的运算。
它是线性代数的一种运算，也是矩阵分析中的重要工具。
一个矩阵乘方可以定义为$A^n = A times A times A dots A = A times A times A dots A$，其中$A$是要乘方的矩阵，而$n$是乘方次数。
矩阵的幂运算可以用于描述各种复杂的线性变换。
例如，一个n 阶方阵A可以用于表达一个n维空间的线性变换，比如旋转、平移和缩放等。
而矩阵A的幂运算就是用来描述这些不同的变换。
矩阵的幂运算有很多应用，其中最常用的一个就是用来分析复杂系统的时间序列。
例如，一个n个变量的时间序列可以用一个n阶方阵A表示，然后再用矩阵幂运算来分析时间序列的演化趋势。
另外，还可以用矩阵的幂运算来求解求解复杂的系统的状态空间方程。
状态空间方程是一种常见的工程数学方法，它可以用来描述复杂系统的行为。
状态空间方程可以用矩阵的幂运算来解决，这是一种可靠的方法。
此外，还有一些几何学的应用，例如，矩阵的幂运算可以用来求解几何变换，例如仿射变换和旋转变换等。
总而言之，矩阵的幂运算是一种重要的矩阵运算，它可以用来解决复杂的矩阵分析问题，这在工程学、线性代数和几何学中都有着重要意义。
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Born To Win
考研数学之方阵幂的计算方法
考研数学中线性代数部分的分数占了整体的百分之二十二，是整个考研数学不可缺少的部分，其章节内容与高等数学和概率统计没有太多联系，其知识点具有细致性和整体性，前后章节联系比较密切。
线性代数中的矩阵部分是整个线代非常重要的部分，也是要求我们同学要掌握透彻的一个部分，而其中关于方阵幂的问题是跨考教育老师上课时所重点强调的，方阵幂的计算是要求我们要掌握的。
在授课过程中，每位教授这门课的老师都会跟同学们来总结有关方阵幂的计算，也都分了情况给大家展示了其各种类型的计算方法。
首先对于矩阵行或者列均成比例的矩阵，这种类型的矩阵可以写成一列乘以一行的形式，列是矩阵各列的最简公约数，行也是此矩阵各行的最简公约数。
其n次幂的求法，我们也总结过，也给大家推到过。
其次是特殊的上（下）三角n次幂的运算问题，我们也总结了，把其分解成单位矩阵和特殊上（下）三角来处理的，并且运用了二项式展开的知识。
然后就是利用相似对角化的知识来求n次幂的运算问题，像刚刚过去的2016年考研中数一、数二、数三都出现了一道关于幂运算的题，要我们求矩阵A的99次幂等于多少。
这种题目主要是先求出矩阵的特征值再求出其对应的特征向量，利用相似对角化来求这一题。
当然这种题目要求我们同学一定要仔细，不要出现计算上到错误。
最后还有关于带有两个零的拉普拉斯问题，这种分块矩阵，有时也会有相关题目出现。
方阵幂的计算问题希望同学们在接下来的学习过程中认真对待，对于这种类型的题目要融会贯通，不同类型的幂的计算问题对应于相应的方法来解决。
整个考研数学中线性代数部分算是相对较简单的一个科目，因此，对于线性代数这一部分的希望同学们尽量不要失分。