同济大学—年数值分析测试题

同济大学数值分析试卷

同济大学课程考核试卷（A 卷）2006 — 2007 学年第一学期命题教师签名：陈雄达审核教师签名：徐承龙课号：122145 课名：数值方法与计算机算法考试考查：考查此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷年级专业学号姓名任课（注意：本试卷共 7 大题， 2 大张，满分100分．考试时间为120分钟。

要求写出解题过程，否则不予计分。

一至五题为笔算题，要求给出答案；六、七题为编程题，请只用Matlab 编写）一、 (12分)已知函数2)(3-=x x f ，求一个四次多项式)(x p ，满足下面的插值条件：.1)1(')1(' ,3,2,1,0 ),()(+===f p k k f k p 且二、 (12分)利用追赶法求下面方程的解:.4411303120211033411354321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------x x x x x三、 (12分)待定下面求积公式中的参数α，使其代数精度最高，并指明其代数精度：⎰-++=h f h f h f f h x x f 0 )).0(')('())()0((2d )( α四、(12分)试写出一个迭代格式求解下面的线性代数方程组，使其对任意初始向量皆收敛：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210108481044410321x x x .五、(12分)用显式Euler 方法计算下述微分方程在步长25.0=h 时的近似解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=.10,1)0(),1(4d d x y xy x y 六、(20分)下面的数据表近似地满足函数21cxb ax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像.625.0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0i iy x ----七、(20分)若在Matlab 工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数精度为1010-的近似根，并写出调用方式：。

数值分析期末考试题

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。

2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。

3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。

4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。

5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。

三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。

2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。

3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。

4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。

5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。

四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。

《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

(完整)数值分析试题库与答案解析,推荐文档

模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

数值分析练习题加答案(一)

数值分析期末考试一、设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取几位有效数字？（4分）解：设x 有n 位有效数字。

因为98180648=<<=，所以可得x 的第一位有效数字为8（1分）又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε，令321=⇒-=-n n ，可知x 至少具有3位有效数字（3分）。

二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond （4分）。

其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A （1分） 1A =7（1分） 2711=-A （1分）249)(1=A Cond （1分）三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组（6分）942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解：→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x （1分）回代得1,3,5123==-=x x x （1分）四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1）求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式；（6分） 2）求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得： +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2）计算差商表如下：i x )(i x f 一阶差商二阶差商三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3）)2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。

数值分析期末考试题及答案

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。

数值分析考试题和答案

数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。

A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。

A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。

A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。

A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。

A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。

A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。

A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。

A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。

A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。

A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。

答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。

答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。

答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。

答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。

(完整word版)同济大学数值分析matlab编程题汇编

MATLAB 编程题库 1.下面的数据表近似地满足函数21cxbax y ++=，请适当变换成为线性最小二乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同一个图上画出所有数据和函数图像.625.0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0ii y x ----解：x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; A=[x ones(8,1) -x.^2.*y]; z=A\y;a=z(1); b=z(2); c=z(3); xh=-1:0.1:1;yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*')2.若在Matlab工作目录下已经有如下两个函数文件，写一个割线法程序，求出这两个函数10 的近似根，并写出调用方式：精度为10解：>> edit gexianfa.mfunction [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol)iter=0;while(norm(x1-x0)>tol)iter=iter+1;x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0));x0=x1;x1=x;end>> edit f.mfunction v=f(x)v=x.*log(x)-1;>> edit g.mfunction z=g(y)z=y.^5+y-1;>> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10)x1 =1.7632iter1 =6>> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10)x2 =0.7549iter2 =83.使用GS 迭代求解下述线性代数方程组：123123123521242103103x x x x x x x x x ì++=-ïïïï-++=íïïï-+=ïî解：>> edit gsdiedai.mfunction [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); iter=0; x=x0;while((norm(b-A*x)./norm(b))>tol) iter=iter+1; x0=x;x=(D-L)\(U*x0+b); end>> A=[5 2 1;-1 4 2;1 -3 10]; >> b=[-12 10 3]'; >>tol=1e-4; >>x0=[0 0 0]';>> [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol); >>x x =-3.0910 1.2372 0.9802 >>iter iter = 64.用四阶Range-kutta 方法求解下述常微分方程初值问题（取步长h=0.01）,(1)2x dy y e xy dx y ìïï=++ïíïï=ïî解：>> edit ksf2.mfunction v=ksf2(x,y) v=y+exp(x)+x.*y;>> a=1;b=2;h=0.01; >> n=(b-a)./h; >> x=[1:0.01:2]; >>y(1)=2;>>fori=2:(n+1)k1=h*ksf2(x(i-1),y(i-1));k2=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1); k3=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2); k4=h*ksf2(x(i-1)+h,y(i-1)+k3); y(i)=y(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end >>y调用函数方法>> edit Rangekutta.mfunction [x y]=Rangekutta(f,a,b,h,y0) x=[a:h:b]; n=(b-a)/h; y(1)=y0; fori=2:(n+1)k1=h*(feval(f,x(i-1),y(i-1)));k2=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1)); k3=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2)); k4=h*(feval(f,x(i-1)+h,y(i-1)+k3)); y(i)=y(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end>> [x y]=Rangekutta('ksf2',1,2,0.01,2); >>y5.取0.2h =，请编写Matlab 程序，分别用欧拉方法、改进欧拉方法在12x ≤≤上求解初值问题。

2015-同济大学数值分析-参考答案

3
1

1
ex
2
1
1 x
2
dx
34 0 34 e e e 5.481
3
将 f ( x) =x 代入，左边 = 将 f ( x) =x 4 代入，左边 =
1
1
3 3 3 3 3 dx sin d 0 0 2 右边 3 2 1 x2 2
(10 分)
l1 0 0 y1 5 Ly = 1 l2 0 y2 = 3.25 0 2.5 l y -29 3 3
追：
l1 4 l2 5.25 1 u1 5 l3 10.5 2.5 u2 10
x
y
0
2
2
1

1
3 2
2 (10 分)
基函数： 0 ( x) 1, 1 ( x) cos x, 2 ( x) sin x
(0 , 0 ) (0 , 1 ) (0 , 2 ) a (0 , f ) 法方程： (1 , 1 ) (1 , 2 ) b (0 , f ) sym (2 , 2 ) c (0 , f )
xk
4.5 4.766 4 4.789 6 4.790 6 4.790 6
3/4
k 0 1 2 3 4
4.5
Ans Ans cos( Ans) Ans 1 cos( Ans) Ans sin( Ans) 1
= = =
2014-2015 数值分析试卷
维基解密
x3

2
3

同济大学2001、2002年数学分析试题及答案

V1
a a 4π 4 5π 4 dxdydz = a 。 (a − ( ) 4 ) = ∫∫∫ 2 V2 3 2 4
六、（14 分）计算 I
= ∫ ( x cos < v, x > + y cos < v, y >)ds ，其中 Ω ⊂ R 2 为有界区域，v 为
∂Ω
∂Ω 的外法线方向，<v,x>为 v 与 x 轴的夹角。 r 解：设 k 表示沿 Z 轴的单位矢量， ∂Ω 的方向为逆时针方向，则 r r r r r r I = ∫ ( x cos < v, x > + y cos < v, y >)dS = ∫ − r ⋅ (k × dS ) = ∫ (k × r ) ⋅ dS = ∫ r 2 dθ = 2S
2002 年同济大学数学分析科目代码：355
一、（14 分）设 x 0 >0， x n +1
= 2+
1 xn
，求：
n → +∞
lim x n 。
解：由题设易知 2< x n <3 ( n ≥ 2 )，令 c=
3+ 5 1 ，则 c = 2 + ，于是 2 c ≤ 1 xn − c 2
（n ≥ 2），而
n → +∞
lim
∫
x
0
sin tdt x
1 t cos dt 0 t 。， lim 2 n → +∞ x
∫
x
解：因
∫
x
0
sin tdt ≤ 2 ， lim
x
1 ∫ sin tdt = 0 。 = 0 ，故 lim 0 x → +∞ x x → +∞ x 1 x cos

(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档

期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期考试科目：数值分析考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。

( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。

数值分析习题(含标准答案)

数值分析习题（含标准答案）
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列哪个选项不属于数值分析的研究范畴？
A. 数值微分
B. 数值积分
C. 数值逼近
D. 数据库管理
答案：D
2. 在数值分析中，求解线性方程组常用的方法有？
A. 高斯消元法
B. 迭代法
C. 拉格朗日乘数法
D. 上述所有方法
答案：D
3. 下列哪种方法适用于求解非线性方程组？
A. 牛顿法
B. 梯度下降法
C. 高斯消元法
D. 上述所有方法
答案：D
4. 在数值积分中，下列哪种方法具有最高的精度？
A. 梯形法则
B. 辛普森法则
C. 高斯求积法
D. 上述所有方法
答案：C
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 数值分析的主要目的是通过有限步骤的运算，对数学问题进行近似求解。

2. 在数值微分中，常用的差分公式有前向差分、后向差分和中心差分。

3. 数值逼近的主要方法包括插值法和逼近法。

4. 在数值积分中，常用的方法有梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。

三、解答题（每题10分，共30分）
1. 已知函数 f(x) = e^x，求其在 x = 0.5 处的导数。

答案：f'(0.5) ≈ 1.6487
2. 求解线性方程组 2x + 3y = 5，4x y = 1。

答案：x ≈ 0.625，y ≈ 1.25
3. 已知函数 f(x) = x^3 3x^2 + 4，求其在区间 [0, 2] 上的积分。

答案：f(x) 在区间 [0, 2] 上的积分≈ 3.6667。

数值分析课程考试试卷(A)及答案

《数值分析》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。

2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小。

同济大学《数值分析》2016-2017学年第一学期期末考试B卷

=++−=++=−+.022,1,122321321321x x x x x x x x x 同济大学2016～2017 学年第一学期期末考试试题 B 卷科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12 分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。

0cos 2312=+−x x 二、（15分）设求方程根的迭代法 kk x x cos 3241+=+R x ∈∀0(1)证明对,均有*lim x x k k =∞→,其中*x 为方程的根.(2)此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论.=a a a a A 000002三、（8分）若矩阵，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。

（范数用∞⋅）四、（15求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R −=。

五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据为已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出a ，b 。

六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分[]dx x b ax b a I 2112),(∫−−+=取得最小值。

七、（14分）对于求积公式：∫∑=≈bank k k x f A dx x f x 1)()()(ρ,其中：)(x ρ是区间),(b a 上的权函数。

（1）证明此求积公式的代数精度不超过2n-1次; （2）若此公式为Gauss 型求积公式，试证明∑∫==nk bakdx x A1)(ρ八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ==00)(),(y x y y x f dx dy的单步法：++==++=+),(),()2121(121211hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （1）验证它是二阶方法；（2）确定此单步法的绝对稳定域。

数值分析考试卷及详细答案解答汇总

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？（D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

同济大学数值分析matlab编程题汇编.doc

同济大学数值分析matlab编程题汇编.MATLAB编程题库1.下面的数据表近似地满足函数,请适当变换成为线性最小二乘问题,编程求最好的系数,并在同一个图上画出所有数据和函数图像。

解:x=[-x=[:文件一文件二函数v=f(x)v=x . * log(x)-1；函数z=g(y)z=y. y-1；解以下内容:编辑gex AFA。

m函数[x ITER]=gex AFA(f，x0，x1，tol)ITER=0；而(标准(x1-编辑gex AFA。

m函数[x ITER )=gex AFA(f，x0，x1，tol)ITER=0；同时（标准(x1:解以下内容:编辑gsdiedai。

m函数[x iter]=gsdiedai(A，x0，b，tol)D=diag(diag(A))；函数[x iter]=gsdiedai(A，x0，b，tol)D=diag(diag(A))；L=D:编辑ksf 2。

m函数v=ksf2(x，y)v=y exp(x)x . * y；a=1；b=2；h=0.01n=(b-a)./h .x=[1:0.01:2]；y(1)-省略部分-0.5000 1.0000 0.5000-1.0000 1.0000 UU=2.0000 3.0000 4.0000 0-0.5000 7.0000 0 0-1.0000 x=林空间(0，1，11)；x ' ans=0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.90001.0000 x=[1 2 3 4]；y=[6 11 18 27]；p=polyfit(x，y，2)p=1.0000 2.0000 3.0000 diag(1(4，1)，1)ans=0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 .编程实现求解满足下列条件的区间[-1，2]上的三次样条函数S(x)，并画出此样条函数的图形: Xi-1 0 1 2 f(Xi)-1 0 1 0f(Xi)' 0-1函数splx=[-1 0 1 2]y=[0-1 0 1 0-1]PP=csape(x，y，'完整')[断点coefs、npolys、ncoefs、dim]=unmkpp(PP)xh=-1:0.133602 if-1=xh=0 yh=coefs(1，1)*(xh 1).3系数(1，2)*(xh 1).2系数(1，3)*(xh 1)系数(1，4)否则，如果0=xh=1 yh=系数(2，1)*(xh).3系数(2，2)*(xh).2系数(2，3)*(xh)系数(2，4)否则，如果1=xh=2 yh=系数(3，1)*(xh-1).3系数(3，2)*(xh-1).2系数(3，3)*(xh-1)系数(3，4)否则返回图(xh，yh，' r ')13 .二分法程序如果nargintol x=(a b)/2 fx=feval(f，x)如果符号(外汇)==符号(fa) a=x fa=fx elseif符号(外汇)==符号b=x FB=FX否则返回结束。