11光子晶体波导

( r ) e iK r u( r )
满足周期算符本征方程的本征函数，必由一个平面波因子和 一个周期函数组成，即Bloch 波。 K Bloch 波矢
(r ) 是一个周期性调幅的平面波
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第11章 光子晶体波导

11.1 光子晶体理论

11.1.2 平面波展开法 本征值方程
2 ˆ FH H 2
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第11章 光子晶体波导

11.1 光子晶体理论

11.1.2 平面波展开法
光子晶体研究方法 ： 平面波展开法、传输矩阵法、时域有限 差分法、多重散射法、有限元法等 平面波展开法：将电磁波按平面波形式展开，把求解麦氏方 程问题转化为求解本征方程本征值问题 光子晶体中电磁波的色散关系或能带结构。 E E(r )e it H H (r )e it 单色波
不完全光子带隙
完全光子带隙：一定频率范围内的光子无论其偏振方向或传 播方向如何都被禁止传播，是全方位的光子带隙。 不完全光子带隙：只对特定的偏振态或在特定方向上才存在 的光子带隙。
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11.1 光子晶体理论

11.1.3 二维光子晶体带隙结构
归一化频率a/
(a) 本底折射率n=3.6

布拉维格子 一种基元构成 复式格子 两种及以上基元构成
图11.2 原胞与基矢 周期：基元沿空间三个方向等效平移的最小距离 a1 (a2 a3 )
原胞：以格点为顶点、周期为边长的平行六面体,最小单元 基矢：原胞三边的矢量。原胞选取不唯一，但体积相同 晶格矢： 任一格点 R la1 ma2 na3 l、m、n为整数
ˆ ( r )和T 对易，二者有共同的本征函数 算符F
T ( r Rl ) T n ( r nRl ) n
方程的本征值：
1
ei K R
l
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11.1 光子晶体理论

11.1.2 平面波展开法
l
方程的本征值： ei K R
对一维和二维问题，矢量方程可分离成两个独立的TE和 TM模方程，每种 模 式 场 只有三个分量不为零 。 三维问题 的 解为混合模，但结构如果具有镜像对称性，则波矢一定在反 射面内，这时模式分为奇模和偶模，分别类似于TM模和TE 模。因此为简单起见只需要分析偏振模式就可以了。 设磁场沿z方向，将 H K 在倒格子空间按分立的傅里叶级数展开 H K z0 hm e iG r H iK 1 iK H c
图 11.6 正 方 格 子 光 子 晶 体 的 TE 模与 TM 模带隙结构 ( 介质 柱折射率3.34，柱半径r=0.2a)
归一化频率a/
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11.1 光子晶体理论

11.1.3 二维光子晶体带隙结构
图11.7 三角格子光子晶体的TE模与TM模带隙结构 (本底介质折射率n=3.60，孔半径r=0.46a)
G R 2n
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11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
二维正、倒格子基矢 正方晶格
晶格常数a
a2 ay0 b2 2 y0 a
a2 a x0 3 y0 2 b2 4 y0 3a
a1 ax0 b1 2 x0 a
三角晶格
2
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11.1 光子晶体理论

11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
(a) 一维
(b) 二维
(c) 三维
图11.1 光子晶体结构示意图
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11.1 光子晶体理论

11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
光子晶体和普通晶体在结构和研究方法上有一定的类比性， 借用了许多固体物理中的概念，如晶格(lattice)、布拉维格 子(bravais lattice)、原胞(primitive cell)、倒格子(reciprocal lattice)、布里渊区(Brillouin zone)、布洛赫(Bloch)函数等。 位置空间的晶格 (正格子） 晶体：基元,周期性空间点阵 格点,晶格
可以在平行六面体顶角上，也可以在面心或体心处。 基矢沿空间对称轴方向，一般用 a 、b 、 c 表示。如立方晶体 的晶胞有简立方(SCC)、体心立方(BCC)、面心立方(FCC)等。 超晶胞：大体积晶胞。
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11.1.1 光子晶体结构与两种晶格

倒易空间的晶格（倒格子）
1 E 2 E r c2
2 1 H 2 H r c
非均匀介质
ˆ 1 F
H 0
0
磁场始终连续，求解关于磁场的方程较为方便 算符
r
2 ˆ FH H 本征值方程 2c9来自第11章 光子晶体波导

11.1 光子晶体理论

11.1.2 平面波展开法 本征值方程
倒格子基矢： 一组与三维位置空间基矢正交的矢量 定义
b1 2π a2 a3 Ω b2 2π a3 a1 Ω b3 2π a1 a2 Ω 由 b1 b2 b3
ai b j 2 ij
图11.4基矢与倒格子基矢
倒格子：
构成的新点阵
h1、h2、h3为整数
倒格矢： 任一倒格点 G h1b1 h2b2 h3b3 倒格矢与晶格矢满足
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11.1 光子晶体理论

11.1.3 二维光子晶体带隙结构
光子晶体最大的特征：存在光子带隙 • 影响光子带隙的主要因素： 光子晶体的晶格结构 K 介电常数比 填充率等 • 二维：正方、六角和三角晶格等 • 孔/柱形状：圆形、六角形、方形等
y
Kx
二维情况 TE模： 磁场平行于介质分界面，Hz、Ex、Ey TM模：电场平行于介质分界面，Ez、Hx、Hy。
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11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
维格纳-塞茨原胞 (W-S原胞) 以一个格点为原点，作原点与其 邻近格点连线的中垂面或中垂线， 由这些中垂面或中垂线围成的最 图11.3 W-S原胞、晶胞与晶胞基矢 小体积或面积。 结晶学原胞(晶胞)或布拉维原胞 按对称性选取的单元，格点
令 rn r nRl
K
n
待定波矢
( rn ) e iK r r ( r )
( rn ) e iK r ( r ) e iK r
n
令 ( r ) e iK r u( r )
坐标表象中 u(r ) 是周期函数
u( r ) u( r nRl )

布里渊区
任选一倒格点为原点 (波矢 为0）,作出它最近邻点的倒 格点矢量，并作出每个矢量 的垂直平分面或线，这些面 或线所围成区域就是倒格子 W-S原胞，称作第一布里渊 区(1BZ)。次邻近点倒格矢 的垂直平分面或线，与第一 布里渊区边界所围的区域为 2BZ，依次类推。
图11.5 二维倒格子与布里渊区
a1 ax0
b1 2 ( x0 3 y0 ) a 3


倒格子基矢量纲是米-1，倒格子空间实际是一波矢空间，它 的引入简化了坐标空间周期函数的数学表示。 波矢是描述光波传输的重要物理量，倒格子基矢在光子晶体 分析中起着重要作用。
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11.1.1 光子晶体结构与两种晶格
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11.1 光子晶体理论
11.2 光子晶体波导
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普通晶体 原子、分子、离子等周期排布，形成周期势场。 薛定谔方程电子能带结构，带与带之间有带隙（禁带）。 光子晶体(photonic crystal，PC) 不同介电常数的介质在空间按一定的周期结构排布，排布 周期与光波长相当。 电磁场方程电磁波的传输特性具有和半导体电子能带类 似的电磁波能带结构，这种能带结构称为光子能带 (photonic energy band)。能带间的区域称为光子禁带或光 子带隙 (PBG：photonic band gap) 电磁波频率在带隙内时，则不能在光子晶体中传播。
r r
2 ˆ FH H 2
c
ˆ 1 F
r
1 (r ) 1 (r R ) l
( Rl l1a1 l2a2 l3a3 )
ˆ (r ) F ˆ (r R ) F l
位移算符 T ( Rl )表示移位r 至r Rl
ˆ (r ) H F ˆ (r R ) H (r R ) F ˆ (r )TH TF l l
归一化频率a/
(b) 孔半径r=0.45a
图11.8 三角格光子晶体带隙宽度与位置 随孔径和本底折射率的变化
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11.2 光子晶体波导

11.2.1 二维光子晶体波导
线缺陷
• 频率落在带隙内的光子态密度为零，光波无法在介质传播。 • 引入线缺陷，光波就被限制在这个线通道内传导。 介电常数缺陷 结构缺陷 • 光子晶体波导(PCW)是依靠光子带隙约束光波，与中心填 充材料的性质无关。可极大程度减小光与物质的相互作用， 如电介质材料对光的吸收、色散和非线性特性等。
y/a
线缺陷
x/a
•线缺陷模的场分布(Ez) (K＝X，m=8，a/=0.3067)
(b) 一般本征模场的Ez分布 (K＝X，m=6，a/=0.2279)
图11.11 线缺陷光子晶体TM偏振的本征模场分布 20
第11章 光子晶体波导

11.2 光子晶体波导

11.2.2 二维平板光子晶体波导
理想二维光子晶体 线缺陷中的光波只是在 一个方向上受约束 二维平板光子晶体 (c) 空气孔延伸至上下低 (b) 桥式结构 在单层或多层薄膜上制备， (a) 侧视图 折射率介质区 是有限厚度的二维周期结 图11.12 二维平板光子晶体 构，一般薄膜厚度与晶格 周期相当。 平板光子晶体特性需特别考虑平板厚度、平 板与衬底的折射率差以及镜像对称性等因素。 关于xoy面有镜像对称性，偶模(类TE模) 奇模(类TM模 ) 混合模
厄米算符
ˆ iK 1 iK A K
r
ˆ 的本征值方程 算符A K
ˆ H H A K K c2 K
2
本征值为 2 / c 2
波矢作为自由参数解得本征值和本征模场
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11.1.2 平面波展开法
m
2
m
r
K
2
K
代入方程、积分、正交性
A
m
lm m
h hl
iGm r iGl r e e 其中 Alm d Gl K Gm K
r
为原胞面积
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11.1 光子晶体理论

11.1.2 平面波展开法
若 K K G （G任意倒格矢）
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11.2 光子晶体波导

11.2.1 二维光子晶体波导
(a) 点缺陷
(b) 结构型点缺陷
（c）线缺陷
(d) 分叉和转角式线缺陷
图11.9 二维光子晶体缺陷
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第11章 光子晶体波导

11.2 光子晶体波导

11.2.1 二维光子晶体波导
带隙中存在缺陷模
图11.10光子晶体线缺陷的带结构
(r ) H ( r ) e iK r H K ( r ) e iK r [e iG r H K ( r )] e iK r H K
仍是一个具有晶格周期的函数。同一个本征值 / c 有无穷多的波矢与之对应。相差任意倒格矢的两波矢等价。
(r ) HK
2
2
• 每个模 i 都可以找到一个模 j ，满足 i ( K ) j ( K G ) • 仅需在1BZ内求解即可。倒格子有平移对称性、旋转、 反演等对称性，最小的简约BZ 研究光子晶体，主要目的是确定色散曲线k=k(ω) ， 即具有某一频率ω的确定模的波矢或传播常数。 ω=ω (k) 一个波矢k会有无穷个本征解— ω。 • 能带的极值点一定出现在BZ的高对称点上。
c
2 1 1 ˆ F （ H 2 H） r r c
H e iK r H K
H K 是周期场函数， K 是Bloch 波矢。
2 1 iK r iK r e iK H H e HK 2 K K c r 2 1 1 iK iK HK iK H K c2 H K r r