切线的性质与判定习题课
人教版九下数学第二十四章 第2节 第2课时 切线的判定与性质
人教版九下数学第二十四章第2节第2课时切线的判定与性质课标要求：了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念、性质和判定，探索切线与过切点的半径的关系教材分析：切线的性质和判定它是学了直线和圆三种位置关系之后提出的，切线的性质和判定定理是研究三角形的内切圆，切线长定理的基础。
学好它今后数学和物理学科的学习会有很大的帮助。
学情分析：学生在七、八年级基础上有了一定的分析、归纳和简单的逻辑推理能力，以及通过添加辅助线解决几何问题的能力，本节课通过学生动脑动手进一步提升学生的识图能力和总结经验方法的能力。
学之难，教之困，思维误区与障碍：学生普遍的问题是看到题没思路，不会用已学知识，方法解决问题，没有捕捉典型图的能力，识图能力弱，分析能力弱，缺少给什么想什么，缺什么找什么的意识，导致没思路，而且思路不清，逻辑关系混乱，推理过程繁琐。
教学目标：1.通过练习回顾知识，形成相应的知识结构，从而整体复习圆的切线的判定定理与性质定理。
2.通过题组练习，让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并进一步培养学生运用已有知识解决数学问题的能力。
3.通过运用圆的切线的判定定理和性质定理解决数学问题的过程中，拓宽了解题思路，提高了解题技巧，从而使学生能够灵活应用所学知识解决问题。
教学重点：让学生熟练运用圆的切线的判定定理和性质定理解决与圆有关的数学问题，并归纳总结运用切线的性质和判定解决问题的方法。
教学难点：掌握切线性质和判定解决问题的方法，并能灵活运用。
教学环节一、知识回顾在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__．设计意图通过具体图形形象直观的感受切线的特征。
通过几个图形的识别复习了切线的三种判定方法。
以及判定和性质的符号语言。
二、新课导入问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图，你有什么样的方法判断直线与圆相切呢？生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：d=r板书：今天我们重点研究切线，如何判断一条直线是否是某个圆的切线呢？定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.数量关系法（d=r）：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D为圆心，DB 长为半径作⊙D ．求证：AC 是⊙O 的切线．证明：如图，过 D 作 DE ⊥AC 于 E.∵∠ABC = 90°∴ DB ⊥AB.∵ AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，∴ DE = DB = r实例引入法切线的性质与判定的内容看似与生活关系不大，实际上，生活中有不少的圆的切线的例子.本节课的教学中可以从生活中的实例引入，提出问题，激发学生的求知欲.如图所示，下雨天，快速转动雨伞时雨滴飞出的方向和用砂轮打磨工件火星飞出的方向都是沿圆的切线方向飞出的.那么，怎么判定是不是圆的切线呢？图1通过实例引出问题，让学生带着问题去听课，加强学习的针对性，增强学生的听课效果，并让学生明确本节课的知识目标.二：提出问题，问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图1，你能过圆上的点A 画出⊙O 的什么线？ 师生活动：学生思考，并动手画一画，然后教师借助几何画板演示，过点A 的无数条直线中，有圆的割线、切线，割线可以画出无数条，而圆的切线只有一条. O A l设计意图：通过问题，引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫.由旧知得出新知，探索切线的判定定理问题2：在生活中，有许多直线和圆相切的实例，你能举出几个吗？设计意图：通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系. 问题3：在图1中，除了上面提到的当直线与圆有唯一公共点时，直线是圆的切线.我们还可以根据什么判断一条直线是圆的切线？你能过点A画出⊙O的切线吗？师生活动：让学生回顾上节课所学内容，什么是圆的切线？学生思考得出，要想准确画出圆的切线，就得出现d=r，因此得需要做出半径r和d.连接OA，过点A 作直线l⊥OA，则此时直线l是⊙O的切线（如图2）.问题4：你能从图形的角度概括上面得出的结论吗？师生活动：教师引导，在图形中，直线l满足了什么条件？“垂直于半径”、“经过半径的外端”.为了便于应用，我们可以把直线与圆相切的定义，从图形的角度来理解.如何重新描述这个定义？引导学生得出：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，同时引导学生得出切线判定定理的符号语言.设计意图：通过问题，引导学生借助旧知得到新知，也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理；学生通过自己思考，动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA⊥l于A∴ l 是⊙O 的切线.4.运用定理，解决问题.例2. 如图，△ABC 中，AB = AC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P ，PE ⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.证明：连接 OP ，如图.∵ AB = AC ，∴∠B =∠C.∵ OB = OP ，∴∠B =∠OPB.∴∠OPB =∠C.∴ OP ∥AC.∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP.∴ PE 为 ⊙O 的切线.三.探索切线的性质定理.问题1：把得到的切线的判定定理中题设结论反过来，结论还成立吗？如图3，l 为⊙O 的切线，切点为A ，那么半径OA 与直线l 是不是一定垂直？ 师生活动：学生通过观察思考，发现半径OA 垂直于直线l.师生讨论后发现直接证明垂直并不容易.此时引导学生可以考虑反证法：假设OA 与直线l 不垂直，过点O 作OM ⊥l ，根据垂线段最短的性质，有OM ＜OA ，这说明圆心O 到直线l 的距离小于半径OA ，于是直线l 就与圆相交，而这与直线l 是⊙O 的切线矛盾.因此OA 与直线l 垂直.从而得到切线的性质定理，同时引导学生得出切线性质定理的符号语言. 切线的性质 O A B E P O A 图3 l圆的切线垂直于经过切点的半径．∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线 l⊥OA例1：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证：直线AB是⊙O的切线师生活动：教师引导学生分析证明思路：1中由于直线AB经过⊙O上的点C,所以连接OC,只需证OC⊥AB即可。
切线长定理课件
练习题1的解答：利用切 线长定理， CD=AB^2/2*OA=8^2/2* 5=16cm。
总结与回顾
切线长定理是一个重要的几何定理，可以应用于各种实际问题中。通过本课件的学习，你已经了解了切线长度 的定义、切线长定理的表述、应用场景和证明方法。希望你能够运用切线长定理解决更多的问题。
2
基于勾股定理
利用勾股定理和圆的性质，可以得以证明切线长定理。
举例说明切线长定理的应用
建筑设计
通过切线长定理，可以确定建筑 中圆形元素的尺寸和位置，使建 筑更美观。
光学折射
使用切线长定理可以计算光线在 界面上的折射角度，帮助设计光 学仪器。
机械工程
切线长定理
切线长定理是关于切线长度的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。 本课件将介绍切线长度的定义、表述、应用场景以及证明方法。
切线长度的定义
切线是与圆相切于一点且只与圆有此一点的直线。切线长度是指切线与圆的切点之间的距离。
切线长定理的表述
切线长定理指出，在同一个圆上，相同弧所对的切线长度相等。
在机械设计中，切线长定理可以 帮助确定圆形零件的位置和运动 轨迹。
练习题及答案解析
1 练习题1
2 练习题2
3 答案解析
如图所示，在圆O中，AB 是切线，CD是弦， AB=8cm，CD=10cm，求 弦CD的长度。
已知圆O的半径为5cm， 切线AB与弦CD相交于点E， 且AB=7cm，求弦CD的长 度。
切线长定理的应用场景
几何问题
切线长定理可以帮助我们解决关于圆的几何问题，例如确定切点的位置。
物理应用
在光学中，切线长定理可以用于计算光线在界面上的折射与反射。
工程设计
在建筑和机械设计中，切线长定理可以帮助我们确定圆形零件的尺寸和位置。
初三九年级数学学北师版 第3章 圆 训练习题课件3.6.1 直线和圆的位置关系及切线的性质
课堂导练
10．(2019·无锡)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长 线交⊙O 于点 B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为( B ) A．20° B．25° C．40° D．50°
课堂导练
11．(2019·重庆)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点 D，连接 OD，若∠C＝50°，则∠ AOD 的度数为( C ) A．40° B．50° C．80° D．100°
北师版 九年级下
第三章 圆
第6节 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系及切线
的性质
习题链接
提示：点击 进入习题
2；1；0；d<r；d＝r；d>r
1 2D
3C
4B
5C
6C
7 6.5 或 3 13
8 垂直；等于 9D 10 B
答案显示
习题链接
提示：点击 进入习题
11 C 12 B 13 16 14 见习题 15 见习题
精彩一题
17．(2019·成都)如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为圆上的两点， OC∥BD，弦 AD，BC 相交于点 E.
(1)求证：A︵C＝C︵D； 证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB. ∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD. ∴∠OBC＝∠CBD. ∴A︵C＝C︵D.
精彩一题
(2)若 CE＝1，EB＝3，求⊙O 的半径； 解：如图，连接 AC. ∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4. ∵A︵C＝C︵D，∴∠CAD＝∠ABC. 又∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA. ∴ACCE＝CABC. ∴AC2＝CB·CE＝4×1＝4. ∴AC＝2. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∴AB＝ AC2＋BC2＝2 5. ∴⊙O 的半径为 5.
2024九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系2.5.2圆的切线2切线的性质习题课件新版湘教版
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6.【教材改编题】如图，在☉O中，AB为直径，AD为弦，过
点B的切线与AD的延长线交于点C，若AD＝DC，则∠C
＝
45° .
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7.如图，BM与☉O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB
的度数为
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40° .
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8.[2023·永州道县一模]如图，以菱形ABCO的顶点O为圆
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(1)若点O沿AB向点B移动，以点O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于
点D，DE⊥AC，垂足为E，AB＝AC不变(如图②)，那么DE与☉O有
什么位置关系？请写出你的结论并证明；
解：(1)DE与☉O相切.
证明：如图②，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度
为 (8－2 )
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丈.
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12.[2023·绍兴中考]如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一
点，过点C作☉O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点
A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数.
解：(1)∵AE⊥CD于点E，
A.45°
B.50°
C.90°
冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》教学说课复习课件
知1－练
1 如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA =OB， CA=CB. 直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说 明理由.
解：AB与⊙O相切，理由如下： 连接OC，因为OA＝OB， CA＝CB，所以△AOB是等 腰三角形，且OC是△AOB 底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB经过半 径OC的外端，所以AB与⊙O相切．
知1－练
4 如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C， 点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的 度数为( C ) A．26° B．64° C．32° D．90°
知1－练
5 如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相 切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知 PC＝PD＝BC.下列结论： ①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形； ③PO＝AB；④∠PDB＝120°. 其中，正确的有( A ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知1－练
解: 连接OB，则OB＝OD， 因为AE与⊙O相切于点B， 所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°， 又因为∠A＝28°， 所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°. 所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°. 所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.
知1－练
3 下列说法正确的是( C ) A．圆的切线垂直于半径 B．垂直于切线的直线经过圆心 C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点 D．经过切点的直线经过圆心
知1－练
2 下列四个命题： ①与圆有公共点的直线是圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线． 其中是真命题的是( C ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
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2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
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∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿
人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是初中数学的重要内容，旨在让学生理解和掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，为后续学习解析几何打下基础。
本节内容涉及直线与圆的位置关系，通过研究切线与圆的切点，引导学生探究切线的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对直线、圆等基本概念有所了解。
但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理等概念，学生可能较为抽象，不易理解。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的教学手段，引导学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线的判定方法、性质定理和切线长定理，能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。
2.教学难点：切线性质定理的理解和应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等环节，自主探究切线的性质。
同时，运用多媒体课件、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直线和圆的相关知识，引出本节课的内容——切线的判定和性质定理、切线长定理。
2.自主探究：让学生通过观察、操作，猜想切线的性质，然后进行验证。
在此过程中，引导学生发现切线的判定方法和性质定理。
3.讲解与演示：教师对切线的判定方法和性质定理进行讲解，并用多媒体课件和几何画板进行演示，帮助学生加深理解。
4.练习与拓展：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识，并进行拓展训练。
374.九年级新人教版数学上册24.2.2 第2课时 切线的判定与性质(同步练习)
第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P 与OB的位置位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M（a，0），半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．13．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB 的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．（1）略（2）37．（1）略（2）928．（1）略（2）1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．（1）略（2）3 13．（1）略（262 14．提示：连结OA，证OA⊥AP15．（1）略（2）略（3）2，FG=3初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180 °18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
4.设计不同难度的例题和练习题，由浅入深，让学生逐步掌握切线相关知识，培养逻辑推理能力和数学运算能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美情趣，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.培养学生勇于探索、严谨治学的学习态度，让他们在解决问题的过程中体验成功的喜悦。
九年级数学下册《切线的性质和判定》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握切线的定义，能够准确判断一个直线是否为给定圆的切线。
2.掌握切线的性质，如切线与半径垂直、切线段为半径的外切三角形的一条边等。
3.学会使用判定定理判断一个直线是否为圆的切线，如通过圆心到直线的距离等于圆的半径来判断。
4.能够运用切线相关知识解决实际问题，如求圆的切线长度、切线与弦的交点等。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，学生将通过以下方法培养数学思维与解题能力：
1.通过实际操作和观察，引导学生发现切线的性质，培养观察能力和动手能力。
2.引导学生运用几何画板等教学软件，进行动态演示，激发学生的学习兴趣，提高直观想象能力。
6.开展课堂小结活动，鼓励学生分享自己在学习过程中的收获和困惑，及时反馈教学效果，为后续教学提供参考。
7.教学评价方面，注重过程性评价与终结性评价相结合，关注学生在课堂上的表现、作业完成情况以及解决问题的能力。
8.加强课后辅导，针对学生在学习过程中遇到的问题，提供个性化指导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
（2）在平面直角坐标系中，已知圆心为(3,4)，半径为5，求过点A(1,1)的切线方程。
3.拓展练习题：
切线的性质与判定习题课课件
未（知2）直与线圆过心圆的上距一离点等于，半作径垂的直直，线证；半径
已（知3）直经线过过半圆径上外一端点垂直，于连半半径径的，直证线垂。直
直线与圆相切的相关性质： （1）切线与圆有惟一公共点；
（2）圆心到切线的距离等于半径；
（已3）知切切线线垂,连直圆于心经与过切切点点,得的垂半直径.
基础训练：
6.AB是⊙O的弦,C是 ⊙O外一点,BC是⊙O 的切线,AB交过C点的 直径于点D,OA⊥CD, 试判断△BCD的形状, 并
说明你的理由.
7、
变:7. 弦
B E
8.AB是⊙O的直径,AE平 分∠BAC交⊙O于点E,过点 E
作⊙O的切线交AC的延 长线于点D,试判断△AED 的
C
E
A
形状,并说明理由.
9、
2
4
1
3
10.已知：如图，AB是⊙o的直 径 相，交C于为点⊙Do，外A⌒一D=点D⌒，B,AACD与=D⊙Co， 求证：CB是⊙o的切线.
C
D
A
O
B
探究 已知：在Rt△ABC中，AB为直径的 ⊙o交斜边BC于D，OE∥BC， 交AC 于E.求证：DE为⊙o的切线
中考数学专题圆的切线精华习题
中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图， AB 为O O 的直径，O O 过AC 的中点D , DE 丄BC 于点E . (1)求证：DE 为O O 的切线;1若 DE=2, tanC=_，求O O 的直径.(2)【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了 …近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察， 考生一定要对中点以及中位线所引发 的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接 OD 就是中位线，平行于BC 。
所以利用垂直传递关系可证 0D 丄DE 。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是 90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ ABC 是等腰三角形，从而将求 AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】(1)证明：联结 0D•/ D 为AC 中点，O 为AB 中点，••• OD ABC 的中位线. ••• OD// BC•/ DE 丄 BC, DEC=90 .•••/ ODE N DEC=90 . • ODL DE 于点 D. • DE 为O O 的切线.(2)解：联结DB •/ AB 为O O 的直径， •••/ ADB=90 . • DBL AC. CDB=90 .•/ D 为 AC 中点， • AB=AC 1 DE在Rt △ DEC 中，T DE=2 , tanC= 1• EC —D^ 4.(三角函数的意义要记牢)2 ta nC由勾股定理得：DC=2 . 5 .在Rt △ DCB 中，BD= DC tanC 5 .由勾股定理得： BC=5.• AB=BC=5. • O O 的直径为5.【例2】已知：如图，O O 为ABC 的外接圆，BC 为O O 的直径，作射线BF ,使得BA 平分 CBF ,过点A 作AD BF 1于点D . (1)求证：DA 为O O 的切线；(2)若BD 1 , tan BAD 3，求O O 的半径.OD ，在△ ABC 中 2【思路分析】 本题是一道典型的用角来证切线的题目。
人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿一. 教材分析《切线的判定和性质》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质以及圆的基本运算的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍了切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
这些知识对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和运算已经有了一定的了解。
但是，对于切线的定义、判定和性质以及切线与圆的位置关系可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知的圆的性质出发，推导出切线的性质，从而帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.教学难点：切线的判定和性质的推导过程，以及切线与圆的位置关系的理解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习和动手操作相结合的教学方法。
同时，利用多媒体课件和几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解切线的性质和判定。
六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的性质，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现：引导学生从已知的圆的性质出发，观察和思考切线的性质，引导学生发现切线的判定和性质。
3.讲解与示范：讲解切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系，并通过几何画板进行演示。
4.动手操作：让学生利用几何画板或者手工画图，自己尝试作出圆的切线，并判断其性质。
5.小组合作学习：让学生分组讨论，总结切线的性质和判定，以及切线与圆的位置关系。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
北师大版九年级数学下册切线长定理课件
∠ACB= 65 °或115 °.
P
O
B
五、当堂达标检测
6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
A
D
P
O
C
E
B
二、自主合作，探究新知
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
P
同理可得∠COE= ∠COB.
7.如图，在△ABC 中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ ABC的内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC
∠OCB
= ∠ABC
= ∠ACB
= ×50º=
25º,
= ×75º=37.5º.
在△OBC 中，∠BOC =180º- ∠OBC - ∠OCB
=180º- 25º- 37.5º= 117.5º.
四、课堂小结
切线长
切线长定理
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切
点之间的线段的长叫作切线长．
过圆外一点画圆的两条切线，它们的
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
九年级数学上册《切线的概念切线的判定和性质》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结切线的定义、判定定理和性质。
2.强调切线在实际问题中的应用，如最短路线、圆的切线方程等。
3.提醒学生注意切线知识在后续学习中的重要性，为后续课程打下基础。
4.鼓励学生在生活中观察、发现切线相关的现象，将数学知识运用到实际中。
4.老师将根据作业完成情况，给予评价和反馈，帮助学生不断提高。
3.实践应用：
-设计具有挑战性的问题，让学生运用切线知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-组织学生进行小组讨论，分享解题思路，培养学生的合作精神和交流能力。
-针对不同难度的练习题，给予学生适当的指导，帮助他们突破难点，提高解题能力。
4.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
2.切线的判定定理：讲解切线的判定定理，如“过圆上一点的直线，若与圆的切线垂直，则该直线为圆的切线”。
3.切线的性质：引导学生观察切线与半径的关系，推导出切线的性质，如“切线垂直于过切点的半径”。
4.实例讲解：通过具体实例，讲解切线判定定理和性质的应用。
（三）学生小组讨论ຫໍສະໝຸດ 1.分组：将学生分成若干小组，每个小组讨论以下问题：
在教学过程中，注重学生的个体差异，关注学生的成长需求，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的环境中掌握知识，提高能力。同时，注重情感教育，培养学生的道德品质和人文素养，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，但对于切线的概念及其判定与性质的理解尚浅。在学习本章节时，学生可能面临以下问题：对切线定义的理解不够深入，难以区分切线与割线；对切线判定方法的掌握不够熟练，容易混淆判定条件；对切线性质的应用不够灵活，难以解决实际问题。因此，在教学过程中，应注重以下几点：
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基础训练：
6.AB是⊙O的弦,C是 ⊙O外一点,BC是⊙O 的切线,AB交过C点的 直径于点D,OA⊥CD, 试判断△BCD的形状, 并
说明你的理由.
7、
变:7. 弦
B E
8.AB是⊙O的直径,AE平 分∠BAC交⊙O于点E,过点 E
B
D
1O 23
C
E
A
作⊙O的切线交AC的延 长线于点D,试判断△AED 的
形状,并说明理由.
9、
2
4
1
Байду номын сангаас
3
10.已知：如图，AB是⊙o的直 径 相，交C于为点⊙Do，外A⌒一D=点D⌒，B,AACD与=D⊙Co， 求证：CB是⊙o的切线.
C
D
A
O
B
探究 已知：在Rt△ABC中，AB为直径的 ⊙o交斜边BC于D，OE∥BC， 交AC 于E.求证：DE为⊙o的切线.
切线的性质与判定 习题课
切线的判定方法： （1）与圆有惟一公共点的直线；
未（知2）直与线圆过心圆的上距一离点等于，半作径垂的直直，线证；半径
已（知3）直经线过过半圆径上外一端点垂直，于连半半径径的，直证线垂。直
直线与圆相切的相关性质： （1）切线与圆有惟一公共点；
（2）圆心到切线的距离等于半径；