高一数学函数、函数与方程知识点总结
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映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就
称对应f:A→B为从集合到集合的一个映射
函数及其表示
定
义
传统定义:如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和
它对应。
那么y就是x的函数。
记作y=()x f
近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射
函
数
三
要
素
定义域
值域
对应法则
函
数
的
表
示
方
法
解析法
列表法
图象法
函数的基本性质单
调
性
传统定义:在区间[a,b]上,若a≤x
1
﹤x
2
≤b,如果f()1x﹤f()2x,则
f()x在[a,b]上递增,[a,b]是递增区间;如果f()1x﹥f()2x,
则f()x在[a,b]上递减,[a,b]是递减区间。
导数定义:在区间[a,b]上,若f()x﹥0,则f()x在[a,b]上递增,[a,b]是递增区间;若f()x﹤0,则f()x在[a,b]上递减,[a,b]是递
减区间。
最
值
最大值:设函数y=f()x的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f()x≤M;②存在x0∈I,使得f()0x=M,则称M是
函数y=f()x的最大值。
最小值:设函数y=f()x的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f
()x≥M;②存在x
∈I,使得f()0x=M,则称M是函数y=f()x的最大值。
奇
偶
性
①f()x-= -f()x,x∈定义域D,则f()x叫做奇函数,其图像关于原点对称。
②f()x-= f()x,x∈定义域D,则f()x叫做偶函数,其图像关于y轴对称。
周期性:在函数f
()x的定义域上恒有f()T+x= f()x(T≠0的常数)则f()x 叫做周期函数,T为周期;T的最小正值叫做f()x的最小正周期,简称
周期。
函数图像的画法
⑴描点连线法:列表、描点、连线
⑵
变
换
法
平
移
变
换
向左平移a个单位:y
1
=y,x1-a=x⇒y=f()a
x+
向右平移a个单位:y
1
=y,x1+a=x⇒y=f()a-x
向上平移b个单位:x
1
=x,y1-a=y⇒y-b=f()x
向下平移b个单位:x
1
=x,y1-b=y⇒y+b=f()x
伸
缩
变
换
横坐标变换:把各点的横坐标x
1
缩短(当w﹥1时)或伸长(当0﹤w ﹤
1时)到原来的1/w倍(纵坐标不变),即x1=wx⇒y=f()
wx
横坐标变换:把各点的纵坐标y
1
伸长(当A﹥1时)或缩短(当0﹤A ﹤
1时)到原来的A倍(横坐标不变),即y1=y/A⇒y=f()x
对
称
变
换
关于点(
x 0,y
)对称:
x+x
1
=2x
y+y
1
=2y
关于直线x=x
0对称
⇒
x
1
=2x
-x
y
1
=2y
-y ⇒()x-
x2
f
y-
y2
=
关于直线x=x
0对称
x+x
1
=2x0
y=y
1
⇒
x
1
=2x0-x
y1=y ⇒ y=f
()x-
x2
x=x
1
y+y
1
=2y0⇒
x1=x
y
1
=2y0-y ⇒ 2y0-y=f
()x
关于直线y=x对称x=x
1
y=y
1
⇒y=f1-()x
『知识梳理』函
数
『例题精讲』
例1. (1)设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f :A→B
①若映射f 满足f(a)>f(b)≥f(c),则映射f 的个数为 。
(4) 解: ①列表法:∵f(a)>f(b)≥f(c) ∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:
f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0
-1
-1
例2. (1)已知f(x)=x 2+2x-1(x>2),求f(2x+1)的解析式;
(2)已知 ,求f(x +1)的解析式.
解: (1) ∵f(x)=x 2+2x-1 (x>2)
∴以2x+1替代上式中的x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+1>2)
∴f(2x+1)=4x 2+8x+2 (x>1/2 ) (2)由已知得
∴以x 替代上式中的 得 f(x)=x 2-1 (x≥1)
∴f(x+1)=(x +1)2-1 (x+1≥1) 即f(x+1)=x 2+2x (x≥0)
例3.(1)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且满足f()=-f(x),又f(2)=1,f(1)=a ,则a=________。
(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T ,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x 都成立,则对f(x)的奇偶性的判定是?
解: (1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期,又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR),在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系: f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1) 而f(1)=a ,f(2)=1, ∴a=1
(2)由f(x)的最小正周期为2T 得f(x+2T)=f(x) ① 又这里f(x+T)=f(T-x) ② 为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x 的位置得 f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x) ③ ∴由①, ③得f(-x)=f(x) ∴f(x)为偶函数.
『易错题』
例4. 已知函数f(x)=
x
1x
2-1+,y=g(x)的图象与y= 的图象关于直线y=x 对称,求g ⎪⎭
⎫
⎝⎛21的值. 典型错解: 由题设知g(x)与 互为反函数 ① ∴ = ② ∴g(x)=f(x+1) ③ 由此得g()=f()=-
错因分析: 上面①②正确,由②导出③出现错误.在这里的反函数是g(x),但的反函数却不是f(x+1).认知:由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y= ,而是y= -1;y= 的反函数不是y=f(x+1),而是y=f(x)-1.
正确解法: (着力于寻求 的解析式):由已知得 =
x 2x -1+ (x≠-2)∴ =-3
x x
+ (x≠-3)
又由题设知g(x)的反函数为 , ∴ = ∴ =-3x x
+ ① 令g(
21)=b ,则 =2
1 ②
∴由①②得-3b b + =2
1
,解得b=-1, ∴g(
2
1
)=-1. 『当堂检测』
1.设函数
3,(10)
()(5),(10)
x x f x f x x -≥⎧=⎨
+<⎩,则(5)f = . 2.已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2
-的定义域______________
3. 已知f (x )+2f (
x
1
)=3x ,求f (x )的解析式____________________. 4. 设f (x )是在(-∞,+∞)上以4为周期的函数,且f (x )是偶函数,在区间[2,3]上时,
f (x )=-2(x -3)2+4,求当x ∈[1,2]时f (x )的解析式___________________________.
5. 已知函数],1,0(,1
2)(2∈-
=x x
ax x f (1)若]1,0()(x x f 在是增函数,求a 的取值围; (2)求
]1,0()(在区间x f 上的最大值.
『直击高考』
1.函数y= ( x≤0)的反函数是(B ) A. y= (x≥-1) B. y=- (x≥-1) C. y= (x≥0) D. y=- (x≥0)
2.(2004卷)函数f(x)= -2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(D ) A. a ∈(-∞,1] B. a ∈[2,+∞) C. a ∈[1,2] D. a ∈(-∞,1]∪[2,+∞]
3. 设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f ,f(4)=0,则f=_-2__
5. 已知函数y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)= -1.设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=__-2______
6. 若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px -
2
p
)( x ∈R),则f(x)的一个正周期为___p/2_ 『知识梳理』
函
数与方
零点:对于函数y=f ()x ,我们把使f ()x =0的实数x 叫做函数y=f ()x 的零点
定理: 如果函数y=f
()x 在区间[a ,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f ()a ·f ()b
﹤0,那么,函数y=f ()x 在区间[a ,b]内有零点。
即存在c ∈(a ,b ),使得f ()c =0.
这个c 也是方程f
()x =0的根。
关系:方程f
()x =0有实数根⇔函数y=f ()x 有零点⇔函数y=f ()x 的图像与x 轴有
交点
『例题精讲』
1. 已知函数
22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,一个零点比1小,数a 的取值围。
解:设方程2
2(1)20x
a x a +-+-=的两根分别为1212,()x x x x <, 则12
(1)(1)0x x --<,所以1212()10x x x x ⋅-++<
由韦达定理得2
2(1)10a a -+-+<,
即2
20a
a +-<,所以21a -<<
2.判断函数
232
()43f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数,并说明理由。
解:因为()27141033f -=-++=-<,()213
141033
f =+-=
> 所以
()f x 在区间[1,1]-上有零点
又
()2
'291422222f x x x x ⎛
⎫=+-=-- ⎪
⎝
⎭
零点与根的关系
二分法求方程的近似解
⑴确定区间[a ,b],验证f
()a ·f ()b ﹤0,给定精确度ε;
⑵求区间[a ,b]的中点c ; ⑶计算f
()c ;
① 若f ()c =0,则c 就是函数的零点;
② 若f ()a ·f ()b ﹤0,则令b=c (此时零点x 0∈(a ,b )); ③
若f ()c ·f ()b ﹤0,则令a=c (此时零点x 0∈(c ,b ));
⑷判断是否达到精确度ε,即若ε
〈b -a ,则得到零点的近似值a (或b )
;否则重复以上步骤。
当11x -≤
≤时,()'902
f x ≤≤
所以在[1,1]-上单调递增函数,所以
()f x 在[1,1]-上有且只有一个零点。
『易错题』
3.设
()8
33-+=x x f x ,用二分法求方程
()
2,10833∈=-+x x x 在近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间( B )
A .(1,1.25)
B .(1.25,1.5)
C .(1.5,2)
D .不能确定
『当堂检测』
1.如果二次函数)3(2
+++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值围是( )
A .()6,2-
B .[]6,2-
C .{}6,2-
D .()
(),26,-∞-+∞
2.已知函数2()1f x x =-,则函数(1)f x -的零点是__________
3.若方程0x
a x a --=有两个实数解,则a 的取值围是( )
A .(1,)+∞
B .(0,1)
C .(0,2)
D .(0,)+∞ 4.函数5
()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,3] D .[3,4] 5.求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 ( )
A .1
B .2
C .3
D .4
『直击高考』
1.设二次函数
2()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<;
(1)数a 的取值围; (2)试比较()()()010f f f -与
1
16
的大小,并说明理由。
解:令2()
()(1)g x f x x x a x a =-=+-+
则由题意可得:
01012(1)0(0)0
a g g ∆>⎧⎪-⎪<
<⎪⎨⎪>⎪
>⎪⎩
011
33a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪
<->+⎩或 故所数a
的取值围是(0,3-。
2.函数f
()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是(B )
A .(-2,-1)
B (-1,0)
C (0,1)
D (1,2) 3.设函数f
()x =4sin (2x+1)-x ,则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是(A )
A .[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 4.函数f
()x =
x
-COSx 在[0,∞+﹚(B )
A 没有零点
B 有且仅有一个零点
C 有且仅有两个零点
D 有无穷多个零点
03⇔<-a<。