平面向量题型二：平面向量的共线问题

题型二:平面向量的共线问题

1、若A (2,3),B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ,y =

2、已知向量a 、b ,且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点就是 ( )

A.A 、B 、D

B.A 、B 、C

C.B 、C 、D

D.A 、C 、D

3、如果e 1、 e 2就是平面α内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ( )

①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;

②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对;

③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2); ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0,则λ=μ=0、

A.①②

B.②③

C.③④

D.仅②

4、若向量a =(1,1),b =(1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( )

A.-a +3b

B.3a -b

C.a -3b

D.-3a +b

5、已知A(2,-2),B(4,3),向量p 的坐标为(2k-1,7)且p ∥,则k 的值为

( )

A 、109-

B 、109

C 、1019-

D 、10

19

6、已知a r 就是以点(3,1)A -为起点,且与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量,则向量

a r 的终点坐标就是 .

7、 给出下列命题:①若|a r |＝|b r |,则a r =b r

;②若A ,B ,C ,D 就是不共线的四点,则AB DC =u u u r u u u r 就是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a r =b r ,b r =c r ,则

a r =c r ;④a r =

b r 的充要条件就是|a r |=|b r |且a r //b r ;⑤若a r //b r ,b r //

c r ,则a r //c r ,其

中正确的序号就是 . 8、平面向量a r ,b r

共线的充要条件就是( )

A.a r ,b r 方向相同

B.a r ,b r

两向量中至少有一个为零向量

C.R λ∃∈, b a λ=r r

D.存在不全为零的实数1λ,2λ,120a b λλ+=r r r

9、如图在三角形ABC 中,AM ﹕AB=1﹕3,AN ﹕AC=1﹕4,BN 与CM 相交于点P,且

a ρ=,

b ρ=,试用a ρ、b ρ表示

10、已知a ,b 就是不共线的向量,AB →＝λa ＋b ,AC →＝a ＋μb (λ,μ∈R ),那么A ,B ,C 三点共线的充要条件就是( ).

A.λ＋μ＝2

B.λ－μ＝1

C.λμ＝－1

D.λμ＝1

11、在∆ABC 中,已知D 就是AB 边上一点,若AD =2DB ,CD =λ+3

1

,则λ= (A)

32 (B) 31 (C) -31 (D) -3

2 12、设a 、b 就是不共线的两个非零向量, (1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+u u u r u u u r u u u r

=a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线; (2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值、

13、如图点G 就是三角形ABO 的重心,PQ 就是过G 的分别交OA 、OB 于P 、Q 的一条线段,且mOA OP =,nOB OQ =,(m 、R n ∈)。 求证311=+n m

6、解:方法一:设向量a r 的终点坐标就是(,)x y ,则(3,1)a x y =-+r ,则题意可知

224(3)3(1)0311x y x y -++=⎧⎨+

=⎩（－）（＋）,解得:12,515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩　或18,595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,故填121,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 方法二:与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量就是1(3,4)5±-,故可得

34,55a ⎛⎫=±- ⎪⎝⎭r ,从而向量a r 的终点坐标就是

(,)(3,1)x y a =+-r ,便可得结果. 归纳小结:①向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,

注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念;②与a r 平行的单位向量

||a e a =r r r . 7、解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同. ②正确.∵AB DC =u u u r u u u r ,∴||||AB DC =u u u r u u u r 且//AB DC u u u r u u u r

,又A ,B ,C ,D 就是不共线的四点,∴四边形ABCD 为平行四边形;反之,若四边形ABCD 为平行四边形,

则,//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC =u u u r u u u r ,因此,AB DC =u u u r u u u r .

③正确.∵a r =b r ,∴a r ,b r 的长度相等且方向相同;又b r ＝c r ,∴b r ,c r 的长度相等且

方向相同,∴a r ,c r 的长度相等且方向相同,故a r ＝c r .

④不正确.当a r //b r 且方向相反时,即使|a r |=|b r |,也不能得到a r =b r ,故|a r |=|b r |

且a r //b r 不就是a r =b r

的充要条件,而就是必要不充分条件.