数学问题杂谈 (10)
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• 分割為同一種圖 形
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 運用補足法
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後再補足
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後移動圖形 再補足
分數乘法（五年級）
數學問題：提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1？
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
了不同 的解釋方法
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。 • 有些學生以餘數 考慮問題 • 雖然考慮因素相 同，但他們的思 考方法並不相同
四邊形（四年級）
數學問題：你認為哪兩類四邊形最不 相似？為甚麼？
文老師的三節課
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 學生表現主動投入、參與性高，解釋清楚， 明瞭不同理據。 • 老師適當給與回應，協助學生綜合結果。
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 未有準確預計學生答案。 • 未能就學生疑惑給予清晰的數學觀點。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
一道能引發學生思考的題目應具 備甚麼條件？
• 可有不同答案 • 可運用不同策略 • 可用不同的形式解釋
引發課堂互動
林老師的三節課
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 老師想嘗試較互動的上課方式。 • 老師強調演繹自己心中的標準答案。 • 學生表現不專注。
運用數學問題引發 學生思考
文美玉老師（香海正覺蓮社佛教正慧小學） 林燕燕老師（聖公會奉基小學） 蔡婉儀老師（天神嘉諾撒學校）
由文老師的一節課說 起………
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？
哪一個方法最好？
二種不同模式的數學教學
• 傳統式教學
- 教師傳授知識，學生吸收知識 - 教學較單向
• 以數學問題為課堂重心
教學目的：通過選擇，比較各四邊形 的不同特性。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
學生有不同的選擇
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
普遍能運用四邊形的特性作比較
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
部分學生在列寫時，只能找到四邊形的一些特性作比較。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
當學生有系統地進行比較時，相對地能列舉較多特性。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 備課時詳加分析學生可能出現的謬誤。 • 站穩數學對正確概念的嚴謹要求。 • 對數學知識及學生學習情況的掌握程度 均有十分高的要求。
如何處理課堂以引發學生思考
• 提問與答案 • 提問與互動 • 提問與回應
跨校協作的體驗
• 觀察不同學生的反應，擴濶對教學的 理解 • 了解多了互動及解難在數學課堂上的 不同情況 • 期望能協助及推動原校老師的發展
多邊形面積（五年級）
數學問題：你能用多少種方法找出這 圖形的面積呢？哪一個方法最好？ 教學目的： 讓學生用不同方法計算多 邊形。
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割為不同圖形
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
揭曉答案時的反應
• 學生以直觀的方法去作出選擇，然後再分析兩 數的特點。 • 較少使用不同的例子分析同學的論點。
利用例子解釋是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？
• 學生嘗試利用不同的數字作解釋。 • 當同學提出質疑時，學生再利用相關資料， 有信心地回應、解釋。 • 其他同學也能就同學的分析加以判斷。
公因數（四年級）
數學問題：提供 10 個不同的數，不用 計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
教學目的：探究公因數的特性
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。 倍數關係
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
象形圖（五年級）
數學問題：象形圖是由誰統計的？有 甚麼發現和跟進呢？ ？ 教學目的：分析象形圖所能表達的意 義
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 象形圖是誰 製作的？ • 製作的原因 是甚麼？ • 發現了甚麼？ • 有甚麼跟進 的方法
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 解釋的詳細 程度有差異
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 老師嘗試了解學生的想法，並利用作 堂上討論。 • 讓其他同學選擇自己認為好的方法。 • 學生有較佳反應。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
•如何讓學生多解釋及說出思考過程？
•如何讓學生再演繹及解釋想法？
- 好的問題能促進學生思考 - 鼓勵同學共同建構知識 - 著重學習過程
跨校交流的構思
• 文老師協助正慧老師的發展協助其他 學校老師的發展 • 蔡及林老師分別為天神嘉諾撒及奉基的 推動者 • 三校老師共同觀課（現場或錄影）、研 討及組織經驗（包含三、四及五年級的 課題） • 安排校內及跨校分享
一位乘三位乘法（三年級）
被2、5和10整除
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
數字愈大，公因數愈多。這明顯地沒有利用 數字作試而作出的選擇，但未嘗沒有道理。
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
個位數字是2，是雙數，誤以為會 有多數字能整除62和72。
最小公倍數（四年級）
數學問題：是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？（以11-24作實例解釋） 教學目的：探討最小公倍數的特性。
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果 先 試 較 小 的 數 再 試 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
先 試 較 大 的 數
數 逐 漸 縮 小 仍存有懷疑
最 後 再 選 擇 一 組 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
刻 意 選 取 相 同 的 數 字
額 外 再 加 上 一 些 例 子
一位除三位除法（三年級）
數學問題： 3、4、5、6、7 及 ÷ 能 組成多少道一位除三位而除得盡的算 式？試說出你的策略。
教學目的： 加強學生對一位除三位除 法的計算能力。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 採用試誤法 • 能試驗出的算式 數量差異甚大
除法（三年級）
數學問題： 不用計算，以觀察及分析 判斷不同除式的商是否正確。 教學目的： 讓學生運用除法概念進行 驗算。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 部份學生未能解 釋錯誤原因 •有些解釋並不清 晰
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 有些學生仍偏向 從計算角度考慮 問題
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。
• 有以數 學概念 判斷及 作簡單 解釋 • 考慮並 不全面
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 有以數學概念思 考，但不全面 • 有策略地計算作 驗證
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 較全面地運用數 學概念思考 • 不但考慮倍數的 關係，也考慮了 位值的問題
數學問題： 2、3、4、5 及 × 組成一 位乘三位的算式，哪一道算式的積最 大？試解釋原因。 教學目的： 讓學生加深認識一位乘三 位乘法中，被乘數的位值與乘數的關 係。
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 採用試誤法 • 學生應有策略地 試誤，但草稿未 能顯示其策略
蔡老師的三節課
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
• 老師認為學生的數學成績佳，期望培養學 生的數學能力。 • 學生表現欠信心，未能詳細解釋觀點。 • 老師期望協助同學歸納結論，但感吃力。
跟學生在課後檢討中的一點發現……
提供 10 個不同的數，不用計算，你認為 哪兩個數有最多公因數？
• 老師鼓勵學生把心中想法說出，並多作追問。 • 開放討論的空間，課堂營造了輕鬆的氣氛，學 生能較詳細解釋觀點。 • 老師在這課堂前已讓學生有多些機會表達意見。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 較多以除數為 3 作試驗 •把 4、5、6 互相 交換位置以組成 不同的被除數 • 把能被 3 整除的 數再加 3
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 偏向以雙數除以 雙數 • 不會以單數除以 雙數
教學目的：培養學生在分數乘法中的 估算能力
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 以估計方法找出 一些算式，以後 大部份算式以計 算方法找出
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用三個接近１的分數相乘
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用最大的分數乘以最小的分數
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用計算及估算的方法
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用計算的方法
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 哪四個分數相乘後的積是１
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 運用補足法
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後再補足
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後移動圖形 再補足
分數乘法（五年級）
數學問題：提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1？
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
了不同 的解釋方法
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。 • 有些學生以餘數 考慮問題 • 雖然考慮因素相 同，但他們的思 考方法並不相同
四邊形（四年級）
數學問題：你認為哪兩類四邊形最不 相似？為甚麼？
文老師的三節課
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 學生表現主動投入、參與性高，解釋清楚， 明瞭不同理據。 • 老師適當給與回應，協助學生綜合結果。
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 未有準確預計學生答案。 • 未能就學生疑惑給予清晰的數學觀點。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
一道能引發學生思考的題目應具 備甚麼條件？
• 可有不同答案 • 可運用不同策略 • 可用不同的形式解釋
引發課堂互動
林老師的三節課
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 老師想嘗試較互動的上課方式。 • 老師強調演繹自己心中的標準答案。 • 學生表現不專注。
運用數學問題引發 學生思考
文美玉老師（香海正覺蓮社佛教正慧小學） 林燕燕老師（聖公會奉基小學） 蔡婉儀老師（天神嘉諾撒學校）
由文老師的一節課說 起………
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？
哪一個方法最好？
二種不同模式的數學教學
• 傳統式教學
- 教師傳授知識，學生吸收知識 - 教學較單向
• 以數學問題為課堂重心
教學目的：通過選擇，比較各四邊形 的不同特性。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
學生有不同的選擇
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
普遍能運用四邊形的特性作比較
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
部分學生在列寫時，只能找到四邊形的一些特性作比較。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
當學生有系統地進行比較時，相對地能列舉較多特性。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 備課時詳加分析學生可能出現的謬誤。 • 站穩數學對正確概念的嚴謹要求。 • 對數學知識及學生學習情況的掌握程度 均有十分高的要求。
如何處理課堂以引發學生思考
• 提問與答案 • 提問與互動 • 提問與回應
跨校協作的體驗
• 觀察不同學生的反應，擴濶對教學的 理解 • 了解多了互動及解難在數學課堂上的 不同情況 • 期望能協助及推動原校老師的發展
多邊形面積（五年級）
數學問題：你能用多少種方法找出這 圖形的面積呢？哪一個方法最好？ 教學目的： 讓學生用不同方法計算多 邊形。
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割為不同圖形
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
揭曉答案時的反應
• 學生以直觀的方法去作出選擇，然後再分析兩 數的特點。 • 較少使用不同的例子分析同學的論點。
利用例子解釋是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？
• 學生嘗試利用不同的數字作解釋。 • 當同學提出質疑時，學生再利用相關資料， 有信心地回應、解釋。 • 其他同學也能就同學的分析加以判斷。
公因數（四年級）
數學問題：提供 10 個不同的數，不用 計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
教學目的：探究公因數的特性
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。 倍數關係
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
象形圖（五年級）
數學問題：象形圖是由誰統計的？有 甚麼發現和跟進呢？ ？ 教學目的：分析象形圖所能表達的意 義
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 象形圖是誰 製作的？ • 製作的原因 是甚麼？ • 發現了甚麼？ • 有甚麼跟進 的方法
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 解釋的詳細 程度有差異
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 老師嘗試了解學生的想法，並利用作 堂上討論。 • 讓其他同學選擇自己認為好的方法。 • 學生有較佳反應。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
•如何讓學生多解釋及說出思考過程？
•如何讓學生再演繹及解釋想法？
- 好的問題能促進學生思考 - 鼓勵同學共同建構知識 - 著重學習過程
跨校交流的構思
• 文老師協助正慧老師的發展協助其他 學校老師的發展 • 蔡及林老師分別為天神嘉諾撒及奉基的 推動者 • 三校老師共同觀課（現場或錄影）、研 討及組織經驗（包含三、四及五年級的 課題） • 安排校內及跨校分享
一位乘三位乘法（三年級）
被2、5和10整除
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
數字愈大，公因數愈多。這明顯地沒有利用 數字作試而作出的選擇，但未嘗沒有道理。
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
個位數字是2，是雙數，誤以為會 有多數字能整除62和72。
最小公倍數（四年級）
數學問題：是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？（以11-24作實例解釋） 教學目的：探討最小公倍數的特性。
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果 先 試 較 小 的 數 再 試 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
先 試 較 大 的 數
數 逐 漸 縮 小 仍存有懷疑
最 後 再 選 擇 一 組 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
刻 意 選 取 相 同 的 數 字
額 外 再 加 上 一 些 例 子
一位除三位除法（三年級）
數學問題： 3、4、5、6、7 及 ÷ 能 組成多少道一位除三位而除得盡的算 式？試說出你的策略。
教學目的： 加強學生對一位除三位除 法的計算能力。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 採用試誤法 • 能試驗出的算式 數量差異甚大
除法（三年級）
數學問題： 不用計算，以觀察及分析 判斷不同除式的商是否正確。 教學目的： 讓學生運用除法概念進行 驗算。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 部份學生未能解 釋錯誤原因 •有些解釋並不清 晰
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 有些學生仍偏向 從計算角度考慮 問題
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。
• 有以數 學概念 判斷及 作簡單 解釋 • 考慮並 不全面
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 有以數學概念思 考，但不全面 • 有策略地計算作 驗證
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 較全面地運用數 學概念思考 • 不但考慮倍數的 關係，也考慮了 位值的問題
數學問題： 2、3、4、5 及 × 組成一 位乘三位的算式，哪一道算式的積最 大？試解釋原因。 教學目的： 讓學生加深認識一位乘三 位乘法中，被乘數的位值與乘數的關 係。
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 採用試誤法 • 學生應有策略地 試誤，但草稿未 能顯示其策略
蔡老師的三節課
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
• 老師認為學生的數學成績佳，期望培養學 生的數學能力。 • 學生表現欠信心，未能詳細解釋觀點。 • 老師期望協助同學歸納結論，但感吃力。
跟學生在課後檢討中的一點發現……
提供 10 個不同的數，不用計算，你認為 哪兩個數有最多公因數？
• 老師鼓勵學生把心中想法說出，並多作追問。 • 開放討論的空間，課堂營造了輕鬆的氣氛，學 生能較詳細解釋觀點。 • 老師在這課堂前已讓學生有多些機會表達意見。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 較多以除數為 3 作試驗 •把 4、5、6 互相 交換位置以組成 不同的被除數 • 把能被 3 整除的 數再加 3
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 偏向以雙數除以 雙數 • 不會以單數除以 雙數
教學目的：培養學生在分數乘法中的 估算能力
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 以估計方法找出 一些算式，以後 大部份算式以計 算方法找出
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用三個接近１的分數相乘
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用最大的分數乘以最小的分數
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用計算及估算的方法
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用計算的方法
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 哪四個分數相乘後的積是１