数学问题杂谈 (10)
数学杂谈-(二元一次联立方程式)
第一章二元一次联立方程式数学杂谈一、教学设计理念1-1 二元一次方程式本节先由二元一次式介绍至二元一次方程式，在式子的化简时，延续七上一元一次式对「项」以「＋」号区隔的概念，让合并化简运算归于较单纯的加法，虽然多了些篇幅，但可避免或减少学生在运算上的错误。
利用直式做式子的加减运算记录，更有助于下一节加减消去法解联立方程式的学习。
1-2 解二元一次联立方程式本节先介绍二元一次联立方程式，接着将目标放在代入消去法与加减消去法的学习，两种方法的初例介绍，都先由简易的题型开始，并刻意将解法以步骤呈现，加强学生的概念。
后续例题的介绍，遵循由浅至深、由易至难的原则逐步渐进，且题型尽量细分，并尽量安插适度的说明与引导，方便学生的学习。
本节另有介绍无限多解与无解的情形。
（例题12和例题13）1-3 应用问题本节主要目标在利用二元一次联立方程式解决生活情境的应用问题，首先让学生了解，在七上学习利用一元一次方程式解应用问题时的解题步骤，也适用于二元，接着先以给定假设的应用问题（例题1），整合§1-1与§1-2的学习，再进行须自行假设的学习，最后并加强解的合理性判别。
例题的安排也是由易入难，所列方程式也尽量设计成不相同的题型。
为加强学生的阅题能力，解说引用题干时，常加入「」来强调，期能对学生在应用问题的分析能力上，能逐步提升。
二、相关教学资源著名的九宫格，是将1～9等九个数字填入3行×3列的方格中，且使各行、各列、各对角线三数的和均相等。
在数字未填入时，可由（1＋……＋9）÷3求得其和为15。
数字1填入时，以格子的方位来看，可分三类不同的位置（如下图着色的格子为同一类）来讨论。
数字1填入第一类的格子是没问题的，如下图为其中一例。
但是否可以填入第二、三类的格子呢？可以利用二元一次方程式来解决这个问题。
P28若1填入第二类格子的○1，并设○2填入x、○4填入y，如下图。
（x、y为2～9不同的正整数）由○1＋○2＋○3＝15，1＋x＋○3＝15，得○3＝14－x由○1＋○4＋○7＝15，1＋y＋○7＝15，得○7＝14－y由○3＋○5＋○7＝15，14－x＋○5＋14－y＝15，得○5＝x＋y－13由○1＋○5＋○9＝15，1＋x＋y－13＋○9＝15，得○9＝27－x－y由○2＋○5＋○8＝15，x＋x＋y－13＋○8＝15，得○8＝28－2x－y由○4＋○5＋○6＝15，y＋x＋y－13＋○6＝15，得○6＝28－x－2y○1 1 ○2x○314－x○4y○5x＋y－13 ○628－x－2y○714－y○828－2x－y○927－x－y最后由○3＋○6＋○9＝15或○7＋○8＋○9＝15均可得x＋y＝18，但因x、y需为2～9不同的正整数，所以无解，也就是数字1不能填入第二类的格子中。
数学问题杂谈 (12)
数学是精简实用、平实近人的。 数学是精简实用、平实近人的。 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（不 数学课程内容应当精中求简、删繁就简（ 是删难就简）、以简驭繁（ ）、以简驭繁 是删难就简）、以简驭繁（以数学的核心概 念和基本思想，如数及其运算、函数、 念和基本思想，如数及其运算、函数、空间 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 观念、数形结合、向量、导数、统计思想、 算法等，作为主体) 算法等，作为主体)。 特别注意与学生思维发展水平相适应( 特别注意与学生思维发展水平相适应(例如统 计与概率内容的安排) 计与概率内容的安排)。
3.加强“思想性” 3.加强“思想性” 加强
以数学的概念、公式、法则、定义、 以数学的概念、公式、法则、定义、定理等组 骨架” 以数学的思考方法、 成“骨架”，以数学的思考方法、寻求一般性 模式的思想和追求简洁与形式完美的精神等作 为灵魂 利用“先行组织者” 利用“先行组织者”概述要研究的问题及研究 方法 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 循序渐进地安排核心数学概念和重要数学思想； 强调数学本质，保证科学性； 强调数学本质，保证科学性；强调数学形式下 的思考和推理训练（以推理课为例） 的思考和推理训练（以推理课为例） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思） 强调数学思想方法的渗透与概括（强调反思）
综合与分科 分科结构和综合结构各有利弊， 分科结构和综合结构各有利弊，并不存在 哪一个更好的问题。 哪一个更好的问题。重要的还是如何加强 联系。就当前的教材编写实践看，因为没 联系。就当前的教材编写实践看， 有足够的体现联系的素材和问题， 有足够的体现联系的素材和问题，综合结 构因为造成知识链的断裂（ 构因为造成知识链的断裂（讲一章代数后 接着安排几何，再接着要安排统计）， ），所 接着安排几何，再接着要安排统计），所 以弊大于利。应当说， 以弊大于利。应当说，综合结构比分科结 构更难组织，需要更多的时间来实验、 构更难组织，需要更多的时间来实验、探 索。 小学数学宜于用综合结构。 小学数学宜于用综合结构。
数学问题杂谈 (15)
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课后小结 • • • 一个数学思想 转化的思想 两个重点模型 函数与数列 三个基本能力 阅读理解能力
抽象建模能力 解决问题能力
• 四个解题步骤
审题→建模 求解 还原 审题 建模→求解 →还原 建模
回目录页Biblioteka 下一页 回目录页上网费问题
调整前t小费用为 y = (0.12 × 20 + 0.12 × 60)t = 9.6t Q 9.6t > 7.2t ∴ 令11.2t − 240 = 9.6t解得t = 150(小时)
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沙尘暴问题
• 环境问题严重危害群众的身心健康，也直接影 环境问题严重危害群众的身心健康， 响着北京举办2008年奥运会的成败。2000年北 年奥运会的成败。 响着北京举办 年奥运会的成败 年北 方地区发生的多起沙尘暴， 方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙 漠化引起的。据调查，北京市郊某县1994年底 漠化引起的。据调查，北京市郊某县 年底 有一定面积（单位亩）的沙漠，以后每年被沙 有一定面积（单位亩）的沙漠， 漠化的土地面积相同，该县1995年起在沙漠上 漠化的土地面积相同，该县 年起在沙漠上 植树改造沙漠为森林， 植树改造沙漠为森林，以后每年都比上一年多 植相同面积的树木改造沙漠。据统计， 植相同面积的树木改造沙漠。据统计，沙漠总 面积及每年植树面积如图， 面积及每年植树面积如图，问到哪一年年底可 以将所有的沙漠改造完？ 以将所有的沙漠改造完？
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上网费问题
• 上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网 上因特网的费用由两部分组成： 以前，上海地区通过“上海热线” 费。以前，上海地区通过“上海热线”上因特 网的费用为电话费0.12元/3分钟，上网费 分钟， 网的费用为电话费 元 分钟 上网费0.12元/ 元 分钟。根据信息产业部调整因特网资费的要求， 分钟。根据信息产业部调整因特网资费的要求， 日起， 自1999年3月1日起，上海上因特网的费用调整 年 月 日起 为电话费0.16元/3分钟，上网费每月不超过 小 分钟， 为电话费 元 分钟 上网费每月不超过60小 小时计算， 小时部分， 元 时，以4元/小时计算，超过 小时部分，以8元/ 元 小时计算 超过60小时部分 小时计算。 小时计算。
数学问题杂谈 (34)
• 遇到不會的數學問題時，我會 先想以前是否有解過類似的題 目。 • 我做完一題數學題時，會檢查 一下答案是否合理。 • 我學會一種解題方法後，會找 其他類似的題目做做看，以了 解自己是否真正學會了。
• 我在做數學題時，會先了解題 目的意義再想辦法解答。 • 解數學題時，我會先判斷題目 的類型再決定用什麼方法來解 答。
• 老師和同學所說明過的數學題 目，我會以自己的想法再做做 看。 • 我在做數學習題時，會應用學 過的數學知識。
• 我會把過去所學到的數學知識 和現在所學的連貫起來。 • 我會把學校裡所學的數學知識 和學校以外所學的數學知識連會運 用方法將數字分解或組合以方便 計算或思考。 • 我做數學題遇到困難時，會試著 畫圖或其他方法來分析題目。
• 上數學課時，如果我可以了解 老師和同學講的內容，我才會 認真聽講。 • 在做數學問題時，我比較會記 得我認真思考過的題目。
• 組織訊息
• 上數學課時，老師和同學所講的 內容常讓我想起過去學過的有關 的知識。 • 我在做數學問題時，會在腦海中 分析和組織學過的關連知識。
• 當我在做數學時，我會回想老 師和同學所提過的類似的例子。 • 我常將數學課時老師和同學所 講的內容關連起來以方便學習。 • 我會將最近學到的數學作一番 整理。
•問題真的很困難,我就放棄 因為 •甲生:越逃避就越困難（不是） •乙生：困難的題目我會的就不 會放 棄（不確定）
• 數學在生活中是有用的 因為 •甲生:例如買東西時是用的到的 （是） •乙生：要算＋-×÷比較方便（是）
• 我比較喜歡自己做數學 （比較不喜歡和同學一起做） 因為 •甲生:比較安靜（是） •乙生：我喜歡自己一個人做 （不是）
• 數學學習後設認知量表
• 非常符合 • 有點符合 • 有點不符合 • 非常不符合
关于梵塔问题
关于梵塔问题陈熙梵塔问题（也被称为汉诺塔问题或河内塔问题）在几乎任何一种计算机高级程序设计语言的书籍中，都用作解题的典型例子，因此已广为人知。
图1为梵塔游戏的玩具样式。
本文就来主要讨论有关梵塔问题的种种有趣现象与规律。
图1: 梵塔游戏的玩具样式1.梵塔问题的起源梵塔问题起源于中东地区的一个古老的传说：在梵城地下有一个僧侣的秘密组织，他们有3个大型的塔柱，左边的塔柱上由大到小套着64 个金盘。
僧侣们的工作是要把这64个金盘从左边塔柱转移到右边塔柱上去。
但转移过程有严格规定，即每次只能搬动一只盘子；盘子只能在3个塔柱上安放，不允许放地上去；在每个塔柱上，只允许把小盘子叠在大盘子上，而不允许大盘子压在小盘子上。
据传说，僧侣们完成这个任务时，世界的末日就来临了。
19 世纪的法国大数学家鲁卡斯曾经研究过这个问题，他正确地指出，要完成这个任务，僧侣们搬动金盘的总次数（把1个金盘从某个塔柱转移到另1 个塔柱叫做1 次）为264 -1 = 18446744073709551615假设僧侣们个个身强力壮，每天24 小时不知疲倦地不停工作，而且动作敏捷快速，1 秒钟就能移动1个金盘，那么，完成这个任务也得花5800 亿年！2. 梵塔问题与国际象棋的传说( 264 -l ）是正确解决梵塔问题的最少步数。
因为根据移动金盘的规则，显然，对于最大的那个1 号盘而言，它只需移动1 次。
当把它上面的63 个金盘都在中间塔柱上码放好，而右边塔柱也正好空出来的时候，1 次把它从左边塔柱移到右边塔柱就行了。
对于次大的2 号金盘，它需要移动2 次。
当把它上面的62个金盘都在右边塔柱上码放好，中间塔柱空出来的时候，把它从左边塔柱上移到中间塔柱上，这是1 次。
如前所述，当1 号金盘从左边塔柱移到右边塔柱时，中间塔柱上有63个金盘，待通过反复转移，把上面62个金盘在左边塔柱上码放好时，2 号金盘就可以“脱身”，移到右边塔柱的1 号金盘上就位了，这是它的第2 次也是最后1 次移动。
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析2012级数学与应用数学 郭聪聪一． 问题提出在超市购物时往往会有大包装商品与小包装商品便宜的现象.比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位质量的价格比是1.2:1.本文用比例方法构造模型解释这个现象.1.分析商品价格C 与商品质量ω的关系.价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，生产成本与质量ω成正比，包装成本与表面积成正比，还有与ω无关的因素.2.给出单位质量价格c 与ω的关系，画出它的简图，说明ω越大c 越小，但是随着ω的增加c 减小的程度变小，并解释其实际意义.二． 模型假设1.生产成本1P 与质量ω的关系为：11k P ω=.2.包装成本2P 与表面积S 的关系为: 22P =k S .3.包装体形状一定时，有233S=k ω. 三． 模型求解记与3P ω无关的成本为, 123C P P P =++,即231234k +k k +k C ωω=123,4k ,k ,k k 0为大于的常数,于是单位质量C 与ω的关系为： 1--131234c k +k k +k ωω=函数简图如下：四．模型分析易见c是 的减函数说明大包装比小包装的商品便宜.同时曲线是下凸的，意味着随着质量的增大，单价下降的速度是减小的，说明也不应选择太大的包装.教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
文件――页面设置――版式――页眉和页脚――首页不同。
2. 问：请问word 中怎样让每一章用不同的页眉？怎么我现在只能用一个页眉，一改就全部改了？答：在插入分隔符里，选插入分节符，可以选连续的那个，然后下一页改页眉前，按一下“同前”钮，再做的改动就不影响前面的了。
简言之，分节符使得它们独立了。
这个工具栏上的“同前”按钮就显示在工具栏上，不过是图标的形式，把光标移到上面就显示出”同前“两个字来。
小学数学杂谈--因数与倍数-
小学数学杂谈----因数与倍数1.因数和倍数如果整数A能被整数B整除，A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数，（在自然数的范围内）。
如：6÷3＝2 6是3和2的倍数：2和3是6的因数必须注意：①、被除数、除数、商都必须是整数如10÷4=2.5 4就不能说是10的因数，也不能说10是4的倍数②、不能把一个数单独的叫做倍数或因数；只能说谁是谁的倍数或因数，如：6÷3=2，不能说6是倍数，2是因数，只能说6是3的倍数，3是6的因数。
③、什么是自然数：自然数是用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数，0也是自然数，最小的自然数是0，自然数的个数是无限的。
2.整除的特征⑴能被2或5整除的数的特征能被整数2正常的数：个位上的数是0、2、4、6、8. 能被5整除的数：个位上的数是0或5.个位上的数是0的数，既能被2整除又能被5整除。
⑵能3或9整除的数的特征一个数各个数位上的数字的和能被3整除这个数就能被3整除。
1一个数各个数位上的数字的和能被9整除这个数就能被整除。
如：9231各个数位上的数字的和是9+2+3+1=15,能被3整除所以9231能被3整除72702各个数位上数字和是：7+2+7+0+2=18能被9整除所以72702能被9整除⑶能被4或25整除的数的特征一个数末两位能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
末两位数是0的，即整百数，既能被4整除，又能被25整除。
如：1928、17500能被4整除925、7700能被25整除其中17500和7700既能被4整除又能被25整除⑷能被8或125整除的数的特征一个数的末三位能被8或125整除那么这个数就能被8或125整除。
末三位数是0的，即整千数，既能被8整除，又能被125整除。
如：8712、7000能被8整除；1625、35000能被125整除，其中7000和35000既能被8整除又能被125整除⑸能被7,11,13整除的数的特征一个数字末三位上的数字所组成的数字与末三位以前的数字所组成的数字之差能被7,11,13整除，那么这个数就能被7,11,13整除2如：246288，由于288－246=42.42能被7整除所以246288能被7整除。
数学课堂教学杂谈
数学课堂教学杂谈摘要:新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。
教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。
关键词:激发兴趣培养探索能力辅导学生感受生活变式练习创新能力新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。
教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。
笔者从近几年的课改教学经历中,深感新课改的重要作用,尝试到素质教育得到的实效。
现谈几点认识。
一、激发学生学习兴趣是搞活课堂教学的关键1、巧设导语,激发兴趣俗话说:“好的开头是成功的一半。
”一个新颖的导语可以活跃课堂气氛,激发学生的学习兴趣。
在讲一元一次方程应用时,我引用这样一段导语:“有一位山区的农民担着空筐,手拉刚会走路的儿子去地里干活。
半路上,儿子走不动了,他就把儿子放在一个框里,另一个框里放几块石头挑起来走,这样逗得他儿子直乐,”我问大家他儿子了什么?他为什么要在另一个框里放石头?这样一来,学生的兴趣一下子被调动起来,争着发言:“他儿子坐着晃悠悠的,很美。
”“我也这样坐过,真舒服。
”“放石头是让两个框里的重量相等。
”“扁担就像方程里的一个等号。
”等等。
从而引出课题——“再探实际问题与一元一次方程。
”2、创设情境,激发兴趣兴趣能激发学生的思维活动,而思维的进一步深化又往往从疑问开始。
课堂上巧妙地推出一系列恰到好处的问题,能诱导学生很快地投入到思维状态之中。
初一的学生对性质定理和判定定理容易混淆。
我采用现实生活中的常见的动物“猫”来启发大家。
当问猫都有哪些习性时,学生的注意力和想象力都集中起来了,通过议论大家把会逮老鼠看做是猫的特性,它酷似一个定理的性质,把“会逮老鼠的动物才是猫”作为对猫这种动物的判定,又恰如是一个定理的判定,这样加深了对定理性质和判定的区分和理解,又引导学生对数学其他问题的探讨。
二、注意培养学生探索能力1、明确探索目的,让学生带着问题去探索由于初中学生年龄尚小,好奇心强,思维能力有限,不能自主地去发现问题、研究问题。
数学问题杂谈 (41)
民一中学
罗良勤
1 、数学问题情境教学能够反映数学与生 活的联系
问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背 景，此背景必须和学生的生活经验和数学经验 相关，因此数学问题情境教学能够充分反映数 学与生活的联系。 在学生原有知识和经验的基础上，有意识地 让学生陷入新的困境，引起认知冲突，唤起学 生对新知识学习的欲望。
数学问题情境创设的注意点
1 问题情境的创设要注意呈现方式的选择性 2 问题情境的创设要有明确性 3 问题情境的创设要形成系列化
教学中有必要创设那么多的问题情境吗
新课程将“问题情境——数学模型——解释、 应用和拓展”作为内容呈现的一个形式，目的 是关注数学与现实的联系，另一方面，将这种 形式作为教科书体例的一个相对固定的形式， 试图以教科书为载体促使教师改进固有的教学 喧宾夺主型 2、牵强附会型 3、调控无力型 4、拐弯抹角型
什么才是好的数学问题情境
我们在关注数学问题情境趣味性、现实性的同 时，更要关注数学性。 “数学问题情境”， 首先情境中要有“问题”，即数学问题，如果 情境中没有数学问题，那这样的情境即使再有 趣，再现实，也称不上是好的问题情境；其次， 问题情境要凸现数学知识的本质属性，要能够 从情境中有效地引出数学知识，因此，一个好 的数学问题情境应是趣味性、现实性和数学性 三方面的统一。
2 数学问题情境教学能够体现数学化的过 程
数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应 用数学知识的活动。数学活动不是一般的活动， 而是让学生经历数学化过程的活动，数学化是 指学生者从自己的数学现实出发，经过自己的 思考得出有关数学结论的过程
3 数学问题情境教学能够增强学生数学应 用的意识
数学问题杂谈 (20)
仙降镇中心小学 陈秀道
游戏规则： 双方轮流按顺序从1开始报数，每人最
多只能报2个数，谁抢到6，谁就是赢家。
试验要求：
1、同桌合作，一人掷硬币20次，另一人 记录正面朝上和反面朝上的次数。 2、试验结束后，前后桌合作，统计共掷 硬币40次正面朝上的次数。 3、小组长用计算器计算正面朝上的次数 除以40的商（结果保留三位小数），
组 总次 正面朝 比较 组别 别 数 上次数 值 1组 40 8组 2组 40 9组
3组 4组 5组 40 40 40 10组 11组 12组
总次 正面朝 比较 数 上次数 值 40 40
40 40 40
6组
7组
40
40
13组
总计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
历史上数学家所做的试验数据
实验者 蒲丰 德 摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 投掷次数 正面朝上 次数 4040 2048 4092 10000 12000 24000 80640 2048 4979 6019 12012 39699 比较值 0.507 0.501 0.498 0.502 0.501 0.492
福利彩票中特等奖的 1 可能性只有 。
10000000
9 明天下雨的可能性是 10
。
我种下了100粒种子，他 们都能成活吗？
概率小史 概率主要研究不确定现象，他起源于博弈问题。 15-16世纪意大利数学家们曾讨论过“如果两人赌博 提前结束，该如何分配赌金”等问题，比如，两个人 做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1 分，先得到10分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因 故中途结束，此时甲得了8分，乙得了7分，那么他 们该如何分配这个蛋糕？ 为了回答类似述问题， 人们对不确定现象做了 大量研的究，如前面已经例举了历史上一些数学家 所做的掷硬币试验的数据。 对不确定现象的研究， 最终促生了概率论的产生。它字产生之日起，就与 人们的实际生活有着密切的联系，并且解决了科技 发展中的许多问题，正因为如此，这门学科有着很 强的生命了和广阔的发展前景。
辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题
辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．如果收入100元记为100+元，那么支出300元应记为（）A ．100-元B ．100+元C ．300-元D ．300+元2．如图，数轴上M ，N 点表示的数互为相反数，则点N 表示的数为（）A ．9-B ．0C ．9D ．无法确定3．河南省统筹安排2023年学生资助相关资金65亿元，确保经济困难学生应助尽助、精准帮扶．科学记数法表示数据“65亿”为（）A ．86510⨯B ．100.6510⨯C ．96.510⨯D ．86.510⨯4．如图所示，数轴上的点A 、B 分别对应有理数a 、b ，下列结论正确的是（）A ．a b >B ．||||a b >C ．a b-<D ．0a b +<5．在有理数1-，0，3，13-中，最小的数是（）A ．13-B ．1-C ．0D ．36．下列运算正确的是（）A ．113422⎛⎫---= ⎪⎝⎭B ．055-=-C ．34143⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭D ．()242÷-=7．下列选项中，能用26a +表示的是（）．A ．整条线段长度：B ．长方形周长：C ．这个图形的面积：D ．长方形周长：8．代数式x 2﹣1y的正确解释是（）A ．x 与y 的倒数的差的平方B ．x 的平方与y 的倒数的差C ．x 的平方与y 的差的倒数D ．x 与y 的差的平方的倒数9．下列说法中，正确的是（）A ．22a b -的系数为2-B ．0是单项式C ．21a a -+是三次二项式D ．34a b 的次数是310．已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是6；则代数式()202342a b cd m +-+的值为（）A ．8或16-B ．8C ．16-D ．2012二、填空题11．−2的绝对值是．12．1500米跑步测试，如果某同学跑完全程的成绩是t 秒，那么他跑步的平均速度是米/秒．13．将式子()()()()()16297119++----+++写成省略加号的和的形式，并交换加数的位置，使正负号相同的加数结合在一起．14．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算生角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角ABC V 的高，若设边BC 的长为a ，边AC 的长为b ，边AB 的c ，则2212c b BD a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．当6a =，5b =，7c =时，BD =．15．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为28块时，白色瓷砖为块．三、解答题16．计算．(1)18(5)(7)(11)-++---+(2)3212(10.5)[3(3)]3---÷⨯--17．下面是小宇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．()226253ab ab ab ab ---()226106ab ab ab ab =---第一步226106ab ab ab ab =---第二步226610ab ab ab ab=---第三步11ab=-第四步任务一：①以上化简步骤中，第一步的依据是__________；②以上化简步骤中，从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________；任务二：请你写出该整式正确的化简过程，并求当3a =，2b =-时该整式的值．18．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a 、b 、c ，在乘法运算中满足①交换律：ab ba =②乘法分配律：()a b c ac bc +=+．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b a b a ⊕=⨯-⨯(1)求4(1)⊕-的值；(2)求2(35)-⊕-⊕的值．19．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“<、>、=”填空：a b +_____0，a b -_____0，c a -_____0；(2)化简：||||||c b b a c -+--；20．书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为21cm ，宽为15cm ，厚度为2cm ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm ．(1)该包书纸的长为______cm ，宽为______cm ；（用含a 的代数式表示）(2)当2a =时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．21．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某出租车司机新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．（以50千米为标准，多于50千米的记为“+”，不足50千米的记为“-”，刚好50千米的记为“0”）第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km ）8-12-16-022+31+33+(1)这7天中行驶路程最多的一天比行驶路程最少的一天多走__________千米；(2)请求出这位出租车司机的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？(3)已知该出租车司机原来的燃油车每行驶100千米的油耗约需汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量约为15度，每度电为0.56元，请估计这位出租车司机换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来大约节省多少钱？22．某学校给学生编制的“身份识别条形码”中共有12位数字（均为09～之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性，具体算法说明如下：步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m ；步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n ；步骤3：计算3m n +，记为p ；步骤4：取不小于p 且为10的整数倍的最小数q ；步骤5：计算q p -，结果即为校验码．阅读上述材料，回答下列问题：(1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133□，则计算过程中p的值为，校验码W的值是．（请在横线上直接写出答案）(2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级吗？如果能，请用数学符号语言写出你的说理过程，如果不能，说明为什么．23．已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为5 、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题：(1)填空：①A、B两点间的距离是；②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是；③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是；(2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？。
数学杂谈-(二次方根与勾股定理)
P80第二章二次方根与勾股定理数学杂谈一、教学设计理念2-1 二次方根的意义在实数系中，无理数是不可或缺的，为了使学生建立无理数的概念，本教材藉由「正方形面积反求边长」的方法，让学生先承认这个数的存在，再引进根号数的符号，接着安排学习根号数的相反数，目的是想使学生对根号数的正负数有所区别，以做为学习平方根意义的先备知识。
教材中也藉由电算器及乘方开方表，让学生更能尽量接近一个根号数的值，使根号数能成为一个确定的「数」，逐步让根号数的观念更趋于完善。
2-2 根式的运算教材中先处理根式的乘除，再做根式的加减，目的是便于判别同类根式，以利根式的化简，进而处理根式的四则运算。
教材中更利用已习的乘法公式做为根式运算的练习，藉此连结，使学生熟练分母根式的有理化。
2-3 勾股定理一般来说，勾股定理有三种表达方式（梁宗巨，民84）：1. 直角三角形斜边上的正方形等于直角边上两个正方形这里的「等于」意指「拼补相等」。
所谓的拼补相等，是将直角边上的两个正方形经过切割，再合并拼凑成斜边上的正方形。
此种作法，完全没有从数的观点出发，只考虑图形经由切割拼凑后的全等问题。
为了区别于别种不同思维下的「勾股定理」，有学者专家称此为「形的勾股定理」。
2. 直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度平方之和这种「勾股定理」强调长度的平方，并未涉及长度平方所代表的几何意义，较强调数的运算，故有人称其为「数的勾股定理」。
中下程度的学生对此较难理解，然而透过数值的计算，便可让学生了解定理的合理性。
3. 直角三角形直角边上的两个正方形面积和等于斜边上正方形的面积我们常用数量相等来表示面积相等的概念，然而面积是几何概念，不一定要用数的计算才能判定面积是相等的，所以此种「勾股定理」的概念可说是数形关系的连结。
本教材是以数形关系的连结做为教材设计的理念，并在文中介绍有关勾股定理的数学史，以增加学生学习此单元的兴趣，接着再处理勾股定理的应用，最后将它连结到两点距离公式，使勾股定理成为学生了解两点距离公式的基本心像。
数学问题杂谈 (1)
3
x
3
大-小 小 4长方形 长方形 4梯形 梯形 4正方形 正方形
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米? 分析： 分析：用x表示中间空白正方形 表示中间空白正方形 本题的等量关系是 的边长， 的边长，
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米?
23 + 20 − x = 2(17 + x)
希尔伯特说： 希尔伯特说 ： “ 当我听别 人讲解某些数学问题时， 人讲解某些数学问题时 ， 常觉 得很难理解， 甚至不可能理解。 得很难理解 ， 甚至不可能理解 。 这时便想， 这时便想 ， 是否可以将问题化 简些呢﹖ 往往， 简些呢 ﹖ 往往 ， 在终于弄清楚 之后， 实际上， 之后 ， 实际上 ， 它只是一个更 简单的问题。 简单的问题。”
3 x+3 x+3
x
3
4 × 3( x + 3) = 0.75 × 0.75 × 192
数学杂谈-(比例)
第三章比例数学杂谈一、教学设计理念3-1 比例式3-1节的出发点是从日常生活中的一些事物含有比例的关系开始，从中抽取数学相关的知识，例如：棒球比赛中的打击率、篮球比赛中的命中率、⋯⋯。
由于国小的教材已处理了比与比值（含扩比与约比），因此先复习比与比值的意义及比值的求法，再将比值的计算推广到分数的比与小数的比，这些概念都会运用到之后的单元里。
当学生学会了比值的求法后，接下来介绍比例式的意义，这个单元的学习将衔接九上第2章的相似形。
在比例式的应用中，将介绍数学上一个重要的概念—参数式。
在课文中为了不增加学生学习的负担，这个名称不会出现，但是这个概念希望教师能够多加以介绍。
3-2 连比例以园游会卖的综合果汁为例引出连比例的关系，并且以调配出的口味一样作为连比例相等的引导，同时将连比例的应用与比例分配作结合。
而从连比例可以观察出其中的部分比，相对地，从部分的比如何求出连比，便是希望学生能透过实例观察而发现关键：找出相同的文字，并且其中所对应的数相同，便可以写出连比。
3-3 正比与反比正比与反比是理化课程里与日常生活中经常会碰到的例子，当然也有一些例子既不是正比也不是反比。
在正比的例子中，举出虎克定律，让学生了解弹簧秤的伸长量与所挂物重成正比，事实上，还有很多例子也都是成正比的关系，例如：在速率一定时，时间与距离成正比。
同样地，反比也是如此。
本单元只介绍正反比的概念与应用，至于正比与反比的图形，在本单元则不做介绍。
二、相关教学资源1. 相关属性都有可加性同一件事物可以同时具有数个属性，而且这些属性都可以量化。
例如：一包蔗糖有重量、体积、价钱，粗细均匀的粗铁线有长度、体积、重量、价钱等。
这些属性量化后的数值，具备可加性。
不仅可以2倍、3倍地增加，也可以做等分割（至少在理论上），因此也可以平分成p 份，拿q 份，而得到q p 倍。
当其中一个属性被q p倍，对每一种属性选定一个适当的单位，则该事物可以用（a , b , c , ……, k ）描述之。
数学问题杂谈 (8)
y 一比较发现 z x
第三，解答之后的检验 “这个问题是否可以推广呢”。实 际上，这道题的方法是可以推广的。 比如当以后我们看到形如 z x 2 y 2 这样的目标函数时我们也知道怎么 做了。因为这个目标函数表示的是 圆的半径，圆心在原点
（二）波利亚（G.Polya）的 解题框架
已知条件
空隙 缩小
缩小
指导 策略
背景命题
操作
推理规则
根据奥苏贝尔的模式，问题解 决经历了四个阶段：
1、呈现问题情境命题
奥苏贝尔认为问题是由有意义 的言语命题构成的，其中包含了目 标和已知条件。
2、明确问题目标和已知条件 学生将问题情境与自己的认知 结构联系起来，从而理解所面临 问题的性质与条件。这样既明确 了问题的初始状态，又明确了解 题的目标。
3、知识迁移因素 能否拥有可迁移的知识和技能迷 失否能激活与当前问题有关的图式 ，是否能将当前问题与头脑中已形 成的模式匹配等，会对解决数学问 题产生直接影响。
4、解题策略因素 （1）解题者是否掌握了必须的 解题策略。这是有效解决问题的 前提。 （2）解题者能否根据问题的情 形有效地选择解题策略是解决问 题的关键。
第五，在数学学习心理学中， 问题解决是一系列有目的指向的 认知操作过程，是以思考为内涵、 以问题为目标定向的心理活动过 程。这是把数学问题解决理解为 一种操作过程或心理过程。
数学问题解决是指综合地、创 造性地运用各种数学知识去解决 那种并非单纯练习题式的问题， 包括实际问题和源于数学内部的 问题。Leabharlann （三）数学问题解决的认知模式
通过以上分析，结合现代认知心 理学对问题解决的研究，我们可以 将问题解决的认知模式概括为
理解问题 选择算子 执行方案 回顾
数学问题杂谈 (9)
老師自我角色的定位是關鍵
考試時間：從研究的角度
有無較優質的數學線上學習網站可提供給學
生或家長？有無較優質的數學線上學習網站 可提供給學生或家長？
診斷測驗網站 昌爸數學工作坊
博愛國小網站：學生專區/數學園地
…
考試時間：從研究的角度
學生對分數概念不易理解，部分？整體？單
位的混淆
連續量中基準量「1」的重要 離散量中單位容易混淆 多透過畫圖來呈現分數的概念
考試時間：從研究的角度
如何提升學生計算能力
四則運算中，所需具備的「基本」能力為何？ 各類基本事實的熟練 估算能力的重要，要有number sense × 10、× 100、÷ 10、÷ 100的能力 熟練的歷程中也可以理解和有趣 計算熟練可以增進學生學習信心
考試時間：從研究的角度
一個老師的「故事」
Teaching
transformation
Key factors and processes
Dialog with adviser Reflection on teacher’s role and identity
Review and evaluate teaching by theory
Teaching for diversity
意即Math for all
「真實的」情況
Teachers’
resistance
Resistance to pedagogical change, RPC Against the notion that teaching for understanding Resistance to ideological change, RIC Against the notion that all children can learn
数学问题杂谈 (39)
问题与数学问题
－谈解决问题中的数学问题
台州市教育局教研室 王瑞达
一、什么是问题
• 把问题界定为给定的信息和目标之间有某 些障碍需要加以克服的情景
二、什么是数学问题
• 可以这样说，研究数量关系和空间位置的 相关问题 • 数学问题具有的特征 特殊性、障碍性、激励性、题）
1、一个具体的数学问题具有一定的模式 2、在新教材中的呈现方式 主要是:图景式或图文对话式 数学文字语言表达式 3、新教材这种呈现方式的意图何在 ⑴培养学生数学问题意识 ⑵培养学生数学问题建模能力 ⑶寓思考方法，培养学生思维能力 ⑷培养学生获取信息和处理信息的能力
四、教学中的问题和对策
1、存在问题： ⑴数学问句式 ⑵数学问题建模不到位 ⑶数学问题经历缺失
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你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 運用補足法
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後再補足
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割後移動圖形 再補足
分數乘法（五年級）
數學問題：提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1？
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
了不同 的解釋方法
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。 • 有些學生以餘數 考慮問題 • 雖然考慮因素相 同，但他們的思 考方法並不相同
四邊形（四年級）
數學問題：你認為哪兩類四邊形最不 相似？為甚麼？
文老師的三節課
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 學生表現主動投入、參與性高，解釋清楚， 明瞭不同理據。 • 老師適當給與回應，協助學生綜合結果。
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 未有準確預計學生答案。 • 未能就學生疑惑給予清晰的數學觀點。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
一道能引發學生思考的題目應具 備甚麼條件？
• 可有不同答案 • 可運用不同策略 • 可用不同的形式解釋
引發課堂互動
林老師的三節課
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 老師想嘗試較互動的上課方式。 • 老師強調演繹自己心中的標準答案。 • 學生表現不專注。
運用數學問題引發 學生思考
文美玉老師（香海正覺蓮社佛教正慧小學） 林燕燕老師（聖公會奉基小學） 蔡婉儀老師（天神嘉諾撒學校）
由文老師的一節課說 起………
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？
哪一個方法最好？
二種不同模式的數學教學
• 傳統式教學
- 教師傳授知識，學生吸收知識 - 教學較單向
• 以數學問題為課堂重心
教學目的：通過選擇，比較各四邊形 的不同特性。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
學生有不同的選擇
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
普遍能運用四邊形的特性作比較
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
部分學生在列寫時，只能找到四邊形的一些特性作比較。
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
當學生有系統地進行比較時，相對地能列舉較多特性。
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 備課時詳加分析學生可能出現的謬誤。 • 站穩數學對正確概念的嚴謹要求。 • 對數學知識及學生學習情況的掌握程度 均有十分高的要求。
如何處理課堂以引發學生思考
• 提問與答案 • 提問與互動 • 提問與回應
跨校協作的體驗
• 觀察不同學生的反應，擴濶對教學的 理解 • 了解多了互動及解難在數學課堂上的 不同情況 • 期望能協助及推動原校老師的發展
多邊形面積（五年級）
數學問題：你能用多少種方法找出這 圖形的面積呢？哪一個方法最好？ 教學目的： 讓學生用不同方法計算多 邊形。
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
• 分割為不同圖形
你能用多少種方法找出這圖形的面積呢？ 哪一個方法最好？
揭曉答案時的反應
• 學生以直觀的方法去作出選擇，然後再分析兩 數的特點。 • 較少使用不同的例子分析同學的論點。
利用例子解釋是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？
• 學生嘗試利用不同的數字作解釋。 • 當同學提出質疑時，學生再利用相關資料， 有信心地回應、解釋。 • 其他同學也能就同學的分析加以判斷。
公因數（四年級）
數學問題：提供 10 個不同的數，不用 計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
教學目的：探究公因數的特性
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。 倍數關係
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
象形圖（五年級）
數學問題：象形圖是由誰統計的？有 甚麼發現和跟進呢？ ？ 教學目的：分析象形圖所能表達的意 義
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 象形圖是誰 製作的？ • 製作的原因 是甚麼？ • 發現了甚麼？ • 有甚麼跟進 的方法
象形圖是由誰統計的？ 有甚麼發現和跟進呢？
• 解釋的詳細 程度有差異
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 老師嘗試了解學生的想法，並利用作 堂上討論。 • 讓其他同學選擇自己認為好的方法。 • 學生有較佳反應。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
•如何讓學生多解釋及說出思考過程？
•如何讓學生再演繹及解釋想法？
- 好的問題能促進學生思考 - 鼓勵同學共同建構知識 - 著重學習過程
跨校交流的構思
• 文老師協助正慧老師的發展協助其他 學校老師的發展 • 蔡及林老師分別為天神嘉諾撒及奉基的 推動者 • 三校老師共同觀課（現場或錄影）、研 討及組織經驗（包含三、四及五年級的 課題） • 安排校內及跨校分享
一位乘三位乘法（三年級）
被2、5和10整除
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
數字愈大，公因數愈多。這明顯地沒有利用 數字作試而作出的選擇，但未嘗沒有道理。
不用計算，你認為哪兩個數有最多公因數？
大部分學生認為30和60兩數的公因數最多， 但原因卻有所不同。
個位數字是2，是雙數，誤以為會 有多數字能整除62和72。
最小公倍數（四年級）
數學問題：是否兩數愈大，它們的L.C.M. 就會愈大？（以11-24作實例解釋） 教學目的：探討最小公倍數的特性。
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果 先 試 較 小 的 數 再 試 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
先 試 較 大 的 數
數 逐 漸 縮 小 仍存有懷疑
最 後 再 選 擇 一 組 較 大 的 數
是否兩數愈大，它們的L.C.M.就會愈大？
學生運用不同的策略找出結果
刻 意 選 取 相 同 的 數 字
額 外 再 加 上 一 些 例 子
一位除三位除法（三年級）
數學問題： 3、4、5、6、7 及 ÷ 能 組成多少道一位除三位而除得盡的算 式？試說出你的策略。
教學目的： 加強學生對一位除三位除 法的計算能力。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 採用試誤法 • 能試驗出的算式 數量差異甚大
除法（三年級）
數學問題： 不用計算，以觀察及分析 判斷不同除式的商是否正確。 教學目的： 讓學生運用除法概念進行 驗算。
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 部份學生未能解 釋錯誤原因 •有些解釋並不清 晰
不用計算，以觀察及分析判斷不同除式的商 是否正確。
• 有些學生仍偏向 從計算角度考慮 問題
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。
• 有以數 學概念 判斷及 作簡單 解釋 • 考慮並 不全面
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 有以數學概念思 考，但不全面 • 有策略地計算作 驗證
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 較全面地運用數 學概念思考 • 不但考慮倍數的 關係，也考慮了 位值的問題
數學問題： 2、3、4、5 及 × 組成一 位乘三位的算式，哪一道算式的積最 大？試解釋原因。 教學目的： 讓學生加深認識一位乘三 位乘法中，被乘數的位值與乘數的關 係。
2、3、4、5 及 × 組成一位乘三位的算式， 哪一道算式的積最大？試解釋原因。 • 採用試誤法 • 學生應有策略地 試誤，但草稿未 能顯示其策略
蔡老師的三節課
你認為哪兩類四邊形最不相似？為甚麼？
• 老師認為學生的數學成績佳，期望培養學 生的數學能力。 • 學生表現欠信心，未能詳細解釋觀點。 • 老師期望協助同學歸納結論，但感吃力。
跟學生在課後檢討中的一點發現……
提供 10 個不同的數，不用計算，你認為 哪兩個數有最多公因數？
• 老師鼓勵學生把心中想法說出，並多作追問。 • 開放討論的空間，課堂營造了輕鬆的氣氛，學 生能較詳細解釋觀點。 • 老師在這課堂前已讓學生有多些機會表達意見。
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 較多以除數為 3 作試驗 •把 4、5、6 互相 交換位置以組成 不同的被除數 • 把能被 3 整除的 數再加 3
3、4、5、6、7 及 ÷ 能組成多少道一位除三 位而除得盡的算式？試說出你的策略。 • 偏向以雙數除以 雙數 • 不會以單數除以 雙數
教學目的：培養學生在分數乘法中的 估算能力
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 以估計方法找出 一些算式，以後 大部份算式以計 算方法找出
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用三個接近１的分數相乘
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？
• 用最大的分數乘以最小的分數
提供 10 個不同的分數， 哪 3 個分數相乘後的積最接近 1 ？