近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射

2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2

B 、5

C 、7

D 、10

3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)

4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -⋯⋯=，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2

，则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}a

B 、{}e a ,

C 、{}3,a e

D 、

{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群

A 、G 为整数集合，*为加法

B 、G 为偶数集合，*为加法

C 、G 为有理数集合，*为加法

D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

A 、a*b=a-b

B 、a*b=max{a,b}

C 、 a*b=a+2b

D 、a*b=|a-b|

4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）

A 、12σ

B 、1σ2σ

C 、22

σ D 、2σ1σ

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4

a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n

n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。