2019高考试卷(减压版)

、N
是椭圆上关于 x 轴对称的两点，直线 AM
、BN
的斜率分别为 k1 ，k2 k1k2 0 ，若椭圆的离心率为
3 2
，则
(
k1

k2 )min

A．1
B． 2
C. 3 2
D． 3
12．虽然我们不生活在同一个平面，但我们在同一个空间，拥有同一个梦想. 正三角形 ABC 的边长为 2，将它
沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的距离为 3 ，此时四面体 ABCD 外接球表面积为
三．解答题：（感情不是一个人的独角戏，好的感情都是相互的，别守着一颗不会开花的树，就如同别守着不会做的
难题！）
（一）必考题：共 60 分。
17．(12 分)数列变化的是规律，人生不变的是初心.设数列 an 的前 n 项和为
Sn ，且首项 a1 3, an1 Sn 3n n N * ．
x
x． ex
(1)记 F x f x g x ，判断 F x 在区间 1, 2 内的零点个数并说明理由；
(2）记 F x 在 1, 2 内的零点为 x0 ， m x min f x, g x ，若 m x n ( nR )在 1,
y

cos
2x
，只需将
y

sin

2x

3

作如下变换
A．向右平移 个单位 3
B．向右平移 个单位 6
C．向左平移 个单位 12
D．向右平移 个单位 12
9．读书虽然不能带来更多财富,但它可以带给我们更多机会！概率让我们相信：一切皆有可能.
如图，在圆 O 中，AB，CD 是圆 O 互相垂直的两条直径，现分别以OA,OB,OC,OD 为
i 1 7

x )(zi

z)
，
a

z
bx
.
(xi x )2
i 1
21．(12 分)你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件, 生
活一定是把压轴的好运留给了你,做好压轴题，让你轻松逆袭！ 已知函数 f
x
x ln x ， g
A ，过 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点，且 2F1F2 F2Q 0 .
(1)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 x 3y 3 0 相切，求椭圆 C 的方程； (2)过 F2 的直线 l 与（2）中椭圆交于不同的两点 M 、N ，则 △F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
A． 7
B．19
C． 7 7 6
D． 19 19 6
二．填空题（未来，若是空白，就来填补； 若不是，就去点缀，不管怎样，都该昂首向前） 13．零向量可以有很多方向，但却只有一个长度，就像你，可以有很多朋友，但却只有真爱你那个人才值得你守护！
在 △ABC 中， AB 3 ，AC 5 ，若 O 为 △ABC 外接圆的圆心（即满足 OA OB OC ），则 AO BC 的
20．(12 分)不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？红铃虫是棉 花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关,现收集
了以往某地的 7 组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值。 平均温度 x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325
(2)若 PA AB 2AC 2 ，求二面角 A OP G 的余弦值.
19．(12 分)有些事，有些人，会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色．其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这
么多时间，却始终没有被感动. .....
设椭 圆 C : x2 a2
y2
b2
1a b 0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，上顶点为
次数为基础所得到的统计指标. “搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关
的信息关注度也越高.下图是 2018 年 9 月到 2019 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图，下列结论正确的是 A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差 D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 5．学习了简易逻辑之后，大家明白“我爱你”的逆否命题是什么了吗？下列命题中正确的是
线 C2 与曲线 C1 ， C3 的异于 O 的交点分别为 A ， B ．
函数 f x 在定义域 D 内的某个区间 I 上是增函数，且 F x f x 在 I 上也是增函数，则称
x
y

f
x是 I
上的“完美函数”．已知
g x
ex

x

ln
x

1
，若函数
g

x

是区间

m 2
,


上的
“完美函数”，则整数 m 的最小值为______．
A. 1 i
B. 3 i
C. 1 i
D. 3 i
3．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐
远...... 执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是
A．2
B． 1 2
C． 1
D．1
4．大数据时代正在改变整个社会，你准备好了吗？“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的
线），记点 P 运动的路程为 x ，设 y | O1P |2 ， y 与 x 的函数关系为 y f x ，则
y f x 的大致图象是
一．选择题：(四个选项你都找不到对的选项，还想在十几亿人中找到对的人？既然选择了诗和远方，就坚定不移的 走下去吧！)
1．你还记得军训的“集合”吗？昔日懵懂的你们今天终于学有所成，长大成人，老师替你们高兴啊！已知集合
xOy
下，曲线
C1
的参数方程为

x y

cos, 1 sin

,
（

为参数），曲线 C2
的参数方程为
x

y
t cos , （t
t sin ,
为参数，且 t ≥ 0 ， 0



π 2
）．以坐标原点 O
为
极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3 的极坐标方程为 2r cos ，常数 r 0 ，曲
A．若 p q 为真命题，则 p q 为真命题
B．“ a 0 ， b 0 ”是“ b a 2 ”的充分必要条件 ab
C．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1 或 x 2 ”的逆否命题为“若 x 1或 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ” D．命题 P : x0 R ，使得 x02 x0 1 0 ，则 p : x R ，使得 x2 x 1 0
单调递增区间是
A．6k 3 ,6k B．6k ,6k 3 C．6k 3,6k D．6k,6k 3
11．做一个象椭圆的人，气度能大能小，能屈能伸；细心的你，肯定让失误减少到最小，让正常发挥到最大. 已知 A 、
B
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1a
b 0 长轴的两个端点，M
A.
B.
C.
D.
7．假如生活欺骗了你，不要悲伤，不要心急，应该冷静下来，仔细观察：一个长方体被一
个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位: cm ）,则该几何体的体
积为
A．120 cm3
B．80 cm3
C．100 cm3
D．60 cm3
8．人生如三角函数，有高潮也有低谷，努力吧，少年！愿你冲上人生的巅峰！ 为了得到
确认了眼神，这就是你要做的试题
2019 普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
剑未佩妥，出门便是江湖 乾坤未定，你我皆是黑马
6．初见你，温婉一笑，似万物复苏，那一瞬间，我的心电图就如：下图是由一个半径为 2 的
圆和两个半径为 1 的半圆组成，它们的圆心分别是 O ， O1 ， O2 ，动点 P 从 A 点出 发沿着圆弧按 A O B C A D B 的路线运动（其中 A,O1,O,O2 , B 共
内有两个不等实根 x1 ， x2 （ x1 x2 ），判断 x1 x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证明．
（二）选考题：有些时候，选择比努力更重要！
22．(10 分)【选修 4-4：坐标系与参数方程】你用数学，成就自我，放飞梦想，寻找你的人生坐标；我用数学，
教育学子，不忘初心，破解我的生活方程！在直角坐标系
率 p0 . (ii)当 f ( p) 取最大值时，记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X ，求 X 的数学期望和方差.
附：对于一组数据 (x1, z1),(x2, z2 ), ,(x7 , z7 ) ，其回归直线 z a bx 的斜率和截距的最小二乘法估计
7
分别为：
b

( xi
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到 28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情
况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到 28℃以上的概率为 p(0＜p＜1) .
(i)记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 的最大值，并求出相应的概
直径作四个圆，在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A． 1 1 4 2
B． 1 1 2
C． 4
D． 1 2
10．我每天带给你惊喜和希望，思念就像正弦曲线无尽延展……已知函数 f x Asin x （其中
A 0, 0 ）的图象与直线 y b 0 b A 的三个相邻交点的横坐标分别为 2,4,8，则 f x 的
A x N |1 x log2 k ，集合 A 中至少有 3 个元素，则
A． k 8
B． k 8
C． k 16
D． k 16
2．读了高中才知道，数绝对不止 1,2,3 啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！
已知 i 为虚数单位， z 为复数 z 的共轭复数，若 z 2z 9 i ，则 z
的方程
x2 4

y2 5
1 ，其左、右焦点分别是 F1, F2
，已知点 M
坐标为 2,1 ， C
上点
P x0, y0
x0 0,
y0
0
，满足 PF1 MF1 PF1

F2FBaidu Nhomakorabea MF1 F2 F1
，则 SPMF1
SPMF2

．
16．真的好想你，在每一个雨季你选择遗忘的，是数学老师最不舍的题短情长，又要考你求导啦！若
(1)求证： Sn 3n 是等比数列；
(2)若an 为递增数列，求 a1 的取值范围．
18．(12 分)人生的发展，也会遵从空间几何学：“点”——人生的定位，“线”——
人生的轨迹，“面”——观察的视野，“体”——生存的空间. 如图，点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上， PA 垂直与圆 O 所在平面， G 为 AOC 的垂心. (1)求证：平面 OPG 平面 PAC ；
值为
．
14．从高中到大学，你的人生,如一幅渐渐展开的画卷．已知 a 0 ， ( a x)6 展开式的常数项为 15，则 x
a (x2 x 4 x2 )dx a
．
15．如果你是双曲线，我就是那渐近线，让我慢慢靠近你，懂你，激励你，直到静静地看着你走向理想中的大学校园.
已知双曲线 C
x
y
z
27.429 81.286 3.612
n
(xi x)(zi z)
i 1
40.182
n
(xi x)2
i 1
147.714
表中
zi

ln
y, z

1 7
7
zi
(1)根据散点图判断, y a bx 与 y cedx (其中 e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平 均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数 据,求出 y 关于 x 的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)