常微分方程第二版答案第一章
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】
由上式与曲线族可消去 a、b 得
9．求与方程为
曲线族满足的微分方程为
解之得
所以与曲线族
正交的
这就是所求曲线族方程．
10．求二次曲线族
（c 是参数）的微分方程，并以微分方程本身证明这
曲线族是自正交曲线族，即这曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必正交．
图 1-1 （2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图 1-4 所示
图 1-2 （3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图 1-3 所示
3 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（4）所求的方向场及过点
图 1-3 的积分曲线如图 1-4 所示
解：对曲线
，两端关于 t 求导得
7 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
消去 c 得
这就是所要求的方程． 若这曲线族中任何两条曲线相交于（t，x）处，由方程本身知道：该方程是关于 的
二次方程，且关于 的二根积等于－1，这说明了在（t，x）处，两切线斜率乘积等于－1， 因而这两曲线正交．
2．求下列两个微分方程的公共解：
解：两方程的公共解满足条件 即
所以
或
代入检验可知
不符合．所以两方程的公共解为
2 / 130
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图 1-1 所示
应满足什么条件？
的等倾线
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
= 4x3 ° y sin x;
2
(2) (4) (6)
dy dx2 dy dx
3
+ cos y + 4x = 0;
dy + 3 dx ° 6y = 0.
dy 2 ° ( dx ) + 2xy ;
d y dx3
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. (1) y = 1 + x2 ,
dy dx
dx
z = x2 (C + x°1 y 2 = x2 (C + x°1 ) (6) y¥0 C y 6= 0 °y °2 dz 2z ln x = ° dx x x e°
R
2 x
z = y °1
dx
y °1 = x2 (C + 4
1 + 2 ln x ) 4x2
C (7) y=0 e
R
1 x
y 6= 0
x
x2 sin y + y 3 ex = C C (12) [ y2 x e ° 2ye2x ]dx + (ex y ° e2x )dy = 0 2 y2 x e ° ye2x = C 2 C (13) dy + dx + {x2 exy dy + [(1 + xy )exy ]dx} = 0
y + x + xexy = C C (14) (y sec2 x)dx + tan xdy + (sec x tan x)dx + 2ydy = 0
1
mc , m s Vc , V s , 8 < mc g ° ∏Vc = mc dVc + ΩVc g dt : m g ° ∏V = m dVs + ΩV g
常微分答案方程.doc
第一章初等积分法§1.1 微分方程和解习题简单，略。
§1.2 变量可分离方程(P14)1.求下列可分离变量方程的通解：(1)ydy = xclx : (2) y = y\n y : (3) y = e x~y : (4) tan ydx—colxdy = Q o解：(1)通解为/ =^2 + Co (2)通解为lny = C0L(3)通解为，=e'+C。
(4)通解为sinycosx = C。
2.求下列方程满足给定初始条件的解：(1))/ =)，(、—1),)，(0) = 1； (2)(疽―i)y +2勺，2 =(),贝())=1 ；(3) / = y(2) = 0; (4) (y2 + xy2)dx-(x2 + yr2)dy = 0,y(l) = -1«解:(1)y=1;(2) y(ln|x2 -1|+1) =1: (3) y, =0,y2 =(x-2)3; (4)-= -厂；。
- y3 .利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：⑴ y r = f(ax+by^c): (2)孚=二，(封);⑶牛="(易；ax x ax⑷ f(xy)y + g(xy)xy f = 0, /(w)丰 g("), /(w), g(")连续。
解：(1)令〃 = or + ” + c,则u f = a + by =a + hf\u)变量分离。
(2)令a = xy ,则/ = y +板=■ +『鼻f(u) = 〃 + '(")变量分离。
x x~ x(3)令〃 = 则_/= "/+ 2心=对*("), / = ~ 变量分离。
r x(4)令u = xy^ ,则 # = y + w，= y-虫少~ = )变量分离。
g(“) x g(u)4.求解方程xjl -y2dx + y\j\ - x2 dy = 0 o解:通解：Jl —b + Jl —y」=C(C>0)。
常微分方程课后答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》东师大第二版习题答案
y = 0 也是方程的解
y x dy y y 解：方程改写为 − = tan dx x x y du sin u 令 u = ，有 x = tan u = x dx cos u 积分，得 sin u = cx y 代回变量，得通解 sin = cx x
4
即 cot udu =
dx x
(sin u ≠ 0)
令⎨
⎧− 2α + 4β = 0 ，解得 α = 1, β = 2 ⎩α + β − 3 = 0
作变换 x = ζ + 1,
y =η + 2
有
dη 4η − 2ζ = dζ η +ζ du 4u − 2 = dζ 1+ u
(u ≠ 1,2)
再令 u =
η ζ
上方程可化为 u + ζ
整理为
u +1 dζ du = − (u − 1)(u − 2) ζ u−2 2 ) ζ =c u −1
q(5) = q0 e 5 k = 4 × 10 4
ln 4 2
3 ln 4 3k 比较两式得 k = ， 再由 q (3) = q 0 e = q 0 e 2
= 8q 0 = 10 4
得 q 0 = 1.25 × 10
3
3 1.3 习 题 1.
1 解下列方程： (2) ( y − 2 xy ) dx + x dy = 0 解：方程改写为
dy = 0
积分，得
1 − x 2 + 1 − y 2 = c(c > 0)
6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成 一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2). 解：设所求曲线为 y = y ( x) 对其上任一点 ( x, y ) 的切线方程：
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
(完整版)常微分方程基本概念习题及解答
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_1
∂y
∂x
∂y ∂x
２． (x + 2 y)dx + (2x + y)dy = 0
解： P(x, y) = x + 2 y, Q(x, y) = 2x − y,
∂P
则
=
2,
∂Q
=
2,
所以 ∂P = ∂Q ，即
原方程为恰当方程
∂y ∂x
∂y ∂x
则 xdx + (2 ydx + 2xdy) − ydy = 0,
解： P(x, y = ye x + 2e x + y 2 , Q(x, y) = e x + 2xy ，
则 ∂P = e x + 2 y, ∂Q = e x + 2 y, 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
则 2e x dx + [( ye x + y 2 )dx + (e x + 2xy)dy] = 0,
两边积分得： (2 + y)e x + xy 2 = C.
７． ( y + x2 )dx + (ln x − 2 y)dy = 0 x
解： P(x, y) = y + x2 Q(x, y) = ln x − 2 y, x
则 ∂P = 1 , ∂Q = 1 , 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
(１) dy = x 2 dx y 解：原方程即为： ydy = x 2dx 两边积分得： 3y 2 − 2x3 = C, y ≠ 0 ．
dy
(２)
dx
=
x2 y(1 + x3 )
[理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答
![[理学]常微分方程教程_丁同仁第二版_习题解答](https://img.taocdn.com/s3/m/9130f7b5763231126fdb11b9.png)
∂y x ∂x x
∂y ∂x
则 ( y dx + ln xdy) + x2dx − 2 ydy = 0 x
两边积分得： x3 + y ln x − y 2 = C. 3
８． (ax2 + by 2 )dx + cxydy = 0 (a,b和c为常数)
解： P(x, y) = ax2 + by 2 , Q(x, y) = cxy,
两边积分得： (2 + y)e x + xy 2 = C.
７． ( y + x2 )dx + (ln x − 2 y)dy = 0 x
解： P(x, y) = y + x2 Q(x, y) = ln x − 2 y, x
则 ∂P = 1 , ∂Q = 1 , 所以 ∂P = ∂Q ，即 原方程为恰当方程
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-对恰当方程求解：
１． (3x2 −1)dx + (2x + 1)dy = 0
解： P(x, y) = 3x2 −1， Q(x, y) = 2x + 1 ，
则 ∂P = 0 ， ∂Q = 2 ，所以 ∂P ≠ ∂Q 即，原方程不是恰当方程．
则 ∂P = 2by, ∂Q = cy, 所以 当 ∂P = ∂Q ，即 2b = c 时， 原方程为恰当方程
∂y
∂x
∂y ∂x
-2-
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
则 ax2dx + (by 2dx + cxydy) = 0
两边积分得： ax3 + bxy 2 = C. 3
∂y
∂x
常微分方程教程丁同仁第二版解答完整版
习题2-1判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x 2 −1)dx +(2x +1)dy =0 解：P (x , y ) =3x 2 −1，Q (x , y ) =2x +1 ，则∂∂P y =0 ，∂∂Q x =2 ，所以∂∂P y ≠∂∂Q x即，原方程不是恰当方程．２．(x +2y )dx +(2x +y )dy =0 解：P (x , y ) =x +2y , Q (x , y ) =2x −y , 则∂∂P y =2, ∂∂Q x =2, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则xdx +(2ydx +2xdy ) −ydy =0,2 2两边积分得：x +2xy −y =C . 2 23．(ax +by )dx +(bx +cy )dy =0 (a,b 和c 为常数)．解：P (x , y ) =ax +by , Q (x , y ) =bx +cy , 则∂∂P y =b , ∂∂Q x =b , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则axdx +bydx +bxdy cydy =0,（）+两边积分得：ax 2 +bxy +cy 2=C . 2 24．(ax −by )dx +(bx −cy )dy =0(b ≠0) 解：P (x , y ) =ax −by , Q (x , y ) =bx −cy ,则∂∂P y=−b , ∂∂Q x =b , 因为 b ≠0, 所以∂∂P y ≠∂∂Q x ，即，原方程不为恰当方程５．(t 2 +1)cos udu +2 t sin udt =0 解：P (t ,u ) =(t 2 +1)cos u , Q (t ,u ) =2t sin u 则∂∂P t =2t cos u , ∂∂Q x =2t cos u , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则(t 2 cos udu +2t sin udt ) +cos udu =0,两边积分得：(t 2 +1)sin u =C .６．( ye x +2e x +y 2)dx +(e x +2xy )dy =0 解：P (x , y =ye x +2e x +y 2, Q (x , y ) =e x +2xy ，则∂∂P y =e x +2y , ∂∂Q x =e x +2y , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则2e x dx +[(ye x +y 2)dx +(e x +2xy )dy ] =0,两边积分得：(2 +y )e x +xy 2 =C .７．( y +x 2)dx +(ln x −2y )dy =0 x 解：P (x , y ) =y +x 2 Q (x , y ) =ln x −2y ,x则∂∂P y =1 x , ∂∂Q x =1 x , 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程则( ydx +ln xdy ) +x 2 dx −2ydy =0 x 3两边积分得：x 3+y ln x −y 2 =C .８．(ax 2+by 2)dx +cxydy =0(a ,b 和c 为常数) 解：P (x , y ) =ax 2 +by 2, Q (x , y ) =cxy ,则∂∂P y =2by , ∂∂Q x =cy , 所以当∂∂P y =∂∂Q x，即2b =c 时，原方程为恰当方程则ax 2 dx +(by 2 dx +cxydy ) =0 3两边积分得：ax +bxy 2 =C .3而当2b ≠c 时原方程不是恰当方程．９．2s −1 ds +s −2 s 2 dt =0 t t解：P (t , s ) =2s −1, Q (t , s ) =s −2 s 2,t t则∂∂P t =1−t 22s , ∂∂Q s =1−t22s , 所以∂∂P y =∂∂Q x ，即原方程为恰当方程,两边积分得：s −s 2=C ．t10．xf (x 2 +y 2)dx +yf (x 2 +y 2)dy =0, 其中f (⋅)是连续的可微函数．解：P (x , y ) =xf (x 2 +y 2 ), Q (x , y ) =yf (x 2 +y 2 ), 则∂∂P y =2xyf ′, ∂∂Q x =2xyf ′, 所以∂∂P y =∂∂Q x，即原方程为恰当方程,两边积分得：∫f (x 2 +y 2)dx =C ,即原方程的解为F (x 2 +y 2) =C (其中F 为f 的原积分)．习题2-2 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dy x 2(１) dx =y解：原方程即为：ydy =x 2 dx 两边积分得：3y 2 −2x 3 =C , y ≠0 ．dy x 2(２) dx =y (1+x )3 2解：原方程即为：ydy =1+x x 3dx 两边积分得：3y 2 −2ln1+x 3=C , y ≠0,x ≠−1 ．(３) dy +y 2 sin x =0dx解：当y ≠0时原方程为：dy +sin xdx =0y2 两边积分得：1+(c +cos x ) y =0 ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1+(c +cos x ) y =0 ．dy 22(４) dx=1+x +y +xy ；解：原方程即为：1+dy y 2=)(1+x dx 2两边积分得：arctgy =x +x 2+c ，即y =tg (x +x 22+c ) ．(５) dy =(cos x cos 2y )2 dx解：①当cos 2y ≠0 时原方程即为：(cos dy 2y )2 =(cos x )2 dx 两边积分得：2tg 2y −2x −2sin 2 x =c ．②cos 2y =0，即y =k π+π也是方程的解.( k ∈N )2 4 (６) x dy =1−y 2 dx解：①当y ≠±1时dydx 原方程即为：1−y 2 =x两边积分得：arcsin y −ln x =c ．②y =±1也是方程的解. dy x −e −x(７)．dx =y +e y解．原方程即为：( y +e y )dy =(x −e −x )dx 2 2两边积分得：y +e y =x +e −x +c ，22原方程的解为：y 2 −x 2 +2(e y −e −x ) =c .2. 解下列微分方程的初值问题．(１) sin 2xdx +cos3ydy =0, y (π) =π；2 3解：两边积分得：−cos 22x +sin 33y =c ，即2sin 3y −3cos 2x =c 因为y (π2) =π3,所以 c =3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin 3y −3cos 2x =3．x (２)．xdx +ye −dy =0 ，y (0) =1；解：原方程即为：xe x dx +ydy =0 ，两边积分得：(x −1)e xdx +y 22dy =c ，因为y (0) =1，所以c =−12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x −1)e x dx +y 2 dy +1 =0 ．(３)．dr =r ，r (0) =2 ；d θ解：原方程即为：dr =d θ，两边积分得：ln r −θ=c ，r因为r (0) =2 ，所以c =ln 2 ，所以原方程满足初值问题的解为：ln r −θ=ln 2 即r =2e θ．dy ln x (４)．dx =1+y2, y (1) =0;解：原方程即为：(1+y 2)dy =ln x dx , 两边积分得：y 3x x ln y ++−x =c ,3因为y (1) =0 ，所以c =1， 3 所以原方程满足初值为：y x x ln y ++−x =1 3 2 dy 3(５)．1+x dx=xy ，y (0) =1；dy x 解：原方程即为：y 3 =1+x 2 dx ，2两边积分得：−12y −2 =1+x +c ，因为y (0) =1，所以c =−3 ，2 所以原方程满足初值问题的解为：21+x 2 +y1 =3 ．2 3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．(１)．dy =cos x dx解：两边积分得：y =sin x +c ．积分曲线的简图如下：(２)．dxdy =ay ，(常数a ≠0 )；解：①当y ≠0时，原方程即为：aydy =dx 积分得：a 1ln y =x c +，即y =ce ax (c >0) ②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：y(３)．dy =1−y 2 ；dx解：①当y ≠±1时，1+y 原方程即为：(1−dy y 2)=dx 积分得：ln =2x +c ，1−y 即y =ce 2 x −1 ．ce 2 x +1②y =±1也是方程的解．积分曲线的简图如下：dy n 1(４)．dx=y ，(n =3,1, 2) ；解：①当y ≠0时，1 dy ⅰ) n =3, 2 时，原方程即为yn =dx ，积分得：x +1y 1−n =c ．n −1ⅱ) n =1时，原方程即为dy y=dx 积分得：ln y =x +c ，即y =ce x(c >0) ．②y =0也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为y =y (x ),由题意及导数的几何意义，则有dy y dx b 2 −y2 ，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足y (0) =b 的解．=−解之得：x =12 b ln b b +−b b 22 +−y y 22 −b 2 −y 2 ．5. 设微分方程dy =f ( y ) (2.27)，其中f(y) 在y =a 的某邻域(例如，区间y −a <ε)dx 内连续，而且f ( y )=0 ⇔y =a ，则在直线y =a 上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，±εdy 当且仅当瑕积分=∞(发散)．∫a a f ( y )证明：( ⇒)首先经过域R 1：−∞<x <+∞, a −ε≤y <a 和域R 2：−∞<x <+∞,a <y ≤a +ε内任一点( x 0, y 0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定dy =x −x 0 . (*)∫y y 0 f ( y )这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R 1( R 2)内的所有积分曲线∫f dy ( y )=x +c 都可由其中一条，比如∫f dy ( y ) =x +c 0 沿着x 轴的方向平移而得到。
常微分方程第一章
分别是一阶, 二阶和n阶常微分方程.它们都是 微分方程.
本课程我们只讨论常微分方程.常微分方程的一般形式是: F ( x, y, y, y, y ( n ) ) 0, (1) n阶隐式方程 如果能从方程(1)中解出最高阶导数, 就得到微分方程
y ( n ) f ( x, y, y, , y (n 1) ). (2)
微分方程的概念
联系着自变量、未知函数及未知函数导数(或微分) 注意:未知函数可 的方程称为微分方程. 方程中出现的未知函数最高阶导 以不出现, 但其导 数的阶数称为该方程的阶. 未知函数为一元函数的微分 数不可以不出现哦! 方程称为常微分方程. 未知函数为多元函数的微分方程 称为偏微分方程. 例如,
主讲：肖 萍
数学与计量经济学院
第一章 微分方程的基本概念
教学要求 例1 例2
引 言
结束
实际问题中的一些常微分方程
例3
例5 例6
例4
微分方程的概念 微分方程的解的概念
微分方程的积分曲线的概念 例7 例8
返回
教学要求
(1) 了解微分方程，了解微分方程的阶、 线性和非线性，微分方程的解、通解、 初始条件和特解等概念. (2) 会建立一些简单的几何和物理问题的微分方程模型.
返回
通解: u ua ce kt 特解: u 24 126e (4)本问题的温度与时间的关系——确定k 的值 (3)求解
1 126 由 k ln 0.051 得 u 24 126e0.051t 10 100 24
(5)答案
u20 70 C
完
物体运动过程的数学模型 一质量为m的物体以初速度v0在距地面为H的高处 自由落体,不记空气阻力, 试求 (a) 物体在t时刻的位移 s(t); (b)物体落地时间T. 解: (1)物理依据——Newton第二运动定律:F=ma o (2)数学模型——二阶常微分方程 例2
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案_0
常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。
常微分方程答案 一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解；(3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈ ；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12y d x =⎰即得53c =，故满足条件12ydx =⎰的解是25y x =+； (5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
数学必修二：常微分方程习题答案
数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。
解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。
这是一个一阶线性常微分方程。
首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。
解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。
2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。
这是一个一阶线性齐次微分方程。
首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。
解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。
3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。
解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。
这是一个一阶非齐次线性微分方程。
首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。
然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。
将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。
因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。
微分方程数值解第一章答案
31
总结：基本步骤
① 对区间作分割： I : t0 t1
tn T
求 y(x) 在xi 上的近似值yi。 目的 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。 这个方程应该满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容
关键 ③ 解差分方程，求出格点函数
32
为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值， 需要知道如下几个结论： ① 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近 问题得真解；即收敛性问题 ② 误差估计 ③ 产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会 无限制扩大；稳定性问题
问题1.2 世界上生物种类多种多样, 对特定生物种群的
数量进行预测,是制定对该生物实施保护还是控制的 依据. 设t时刻某种群的数量为x(t),单位时间内种群数 量的增加量Δ x和当时数量的比值为a-bx(t),其中a, b>0为常数. 这样得到方程
x ( a bx )t x
x ' ax bx
27
相容性和相容的阶
• 相容性针对的是建立差分格式时由差商代 替微商所引起的局部截断误差. • q阶相容: 若一个离散变量方法的局部截断 误差对任意n满足：
Rn O(h
q 1
) (q 1)
28
收敛性与收敛的阶
• 收敛性研究的是误差累积产生的整体截 断误差. • 收敛：对任意的t∈(t0,T] ，成立
例y e x满足方程y y，是方程的一个解
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. （微分方程的绝大部分解） 特解 — 不含任意常数的解.
例y Ce x 是方程y y的通解.
例y 2e 是方程y y的特解.
x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常微分方程第二版答案第一章【篇一：常微分方程第一章】程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,dy2dyd2ydy()?t?y?0. ?b?cy?f(t)例如 , dtdtdtdt2(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏?2t?t?2t?2t?2t?4微分方程. 例如 , . ???02222?t?x?x?y?z本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程.3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数.例如，d2ydy?b?cy?f(t) 是二阶常微分方程； 2dtdt?2t?t?2t?2t?2t?4与是二阶偏微分方程. ???02222?t?x?x?y?z4. n阶常微分方程的一般形式：dydnyf(t,y,,...,n)?0,dtdtdydnydydnydnyn)是t,y,,...,n的已知函数，而且一定含有n的这里f(t,y,dtdtdtdtdt 项；y是未知函数，t是自变量. 5. 线性与非线性：dydnydydny,...,n)?0的左端是y及,...,n的一次有理式，（1）如果方程f(t,y,dtdtdtdtdydny,...,n)?0为n阶线性微分方程. 则称f(t,y,dtdt（2）一般n阶线性微分方程具有形式：dnydn?1ydy?a(t)?...?a(t)?an(t)y?f(t)1n?1nn?1dtdtdt这里a1(t),…, an(t),f(t)是t的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4）举例：d2ydy?cy?f(t)是二阶线性微分方程；方程2?bdtdtd2?g方程2?sin??0是二阶非线性微分方程；ldt方程(dy2dy)?t?y?0是一阶非线性微分方程. dtdt6. 解和隐式解：dydny,...,n)?0后，能使它变为恒等式，则如果将函数y??(t)代入方程f(t,y,dtdt）?0决定的隐函数y??(t)是称函数y??(t)为方程的解. 如果关系式?（t,y方程的解，则称?（t,y）?0为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n个独立的任意常数c1,c2,...,cn的解 y??(t,c1,c2,...,cn)称为n阶方程dydnyf(t,y,,...,n)?0的通解. 其中解对常数的独立性是指，对?及其 n?1阶导数dtdtd?dn?1?,...,n?1关于n个常数 c1,c2,...,cn的雅可比行列式不为0, 即 dtdt ???c1????c1???(n?1)?c1???c2????c2???(n?1)?c2??????cn????cn??0.??(n?1)??cn为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.dydny,...,n)?0的初始条件是常见的定解条件是初始条件, n阶微分方程f(t,y,dtdtdydn?1y(1)(n?1)?y0,...,n?1?y0指如下的n个条件：t?t0，y?y0,，这里dtdt(1)(n?1)是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓t0,y0,y0,...,y0定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程形如dy?f(t)?(y)的方程为变量分离方程，其中f(t),?(y)分别为t,y的连续函数.dt方程解法如下：若?(y)?0，则dy?f(t)dt?(y)dy??(y)??f(t)dt?c上式确定方程的隐式通解. 如果存在y0，使得??y0??0，则y?y0也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程dyy?g()的方程为齐次方程，g?u?为u的连续函数. dttydydu?t?u，从而原方程变为解法如下：做变量替换u?，即y?ut，有tdtdtdudug(u)?ut?u?g(u)，整理有?，此为变量分离方程，可求解. dtdtt形如 (2) 形如dya1t?b1y?c1的方程, 其中a1??a2,?b1,?b2,?c1,?c2为常数. ?dta2t?b2y?c2?a1b1c1???k的情形. a2b2c2此时方程化为dy?k,可解得y?kt?c. dt?a1a2b1b2?0,即a1b1??k的情形: a2b2ku?c1dudy?a2?b2?a2?b2dtdtu?c2令 u?a2t?b2y, 则有此为变量分离方程. ?a1b1a2b2?0的情形y. t对c1?c2?0的情况, 直接做变量替换u?当c1,c2不全为零, 求 ? ?a1t?b1y?c1?0的解为?a2t?b2y?c2?0?t??. ??y???t?t??令 ? , 则方程组化为y?y???原方程化为3．一阶线性微分方程?a1t?by1?0. ?at?by?0?22dya1t?byy??g()的齐次方程可求解. dta2t?byt(1) 一般形式：a(t)dy?b(t)y?c(t)?0，若a(t)?0，则可写成 dtdy?p(t)y?qt(的形式). dtp(t)dtdy,?c为任意常数. ?p(t)y，通解为ce?(2) 一阶齐次线性微分方程：dtdy?p(t)y?q(t)，q(t)?0. (3) 一阶非齐次线性微分方程：dt性质1 必有零解 y?0;性质2 通解等于任意常数c与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 p(t) 为常数, 此时方程为(4) 齐次线性微分方程的性质dy?ay?q(t), a为常数. dt对应齐次方程的通解为ce, 只需再求一个特解, 这时根据q(t)为特定的函数,bt可猜测不同的形式特解. 事实上, 当q(t)?ae, a,b为给定常数, 且b?a 时at可设待定特解为ce, 而当b?a时, 可设特解形式为cte, 后代入方程可确定待定常数c. 当q(t)为cosat,??sinat或它们的线性组合时, 其中a为给定常数. 这时可设待定特解为bcosat?csinat代入方程后确定b,?c的值. 当btbtq(t)具有多项式形式a0tn?a1tn?1???an?1t?an, 其中a0,?a1,??an 为给定常数且a0?0, 这时可设待定特解为b0t?bt1nn?1???bn?1t?bn代入方程可求得bi,?i?0,1?,??,n的值. 对于q(t)有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令y?c(t)e?p(t)dt，代入方程，求出c(t)后可求得通解为【篇二：常微分课后答案2.1】>1.dy?2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx解：对原式进行变量分离得1dy?2xdx,两边同时积分得：lny?yc?1,故它的特解为y?ex。
2x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得22.ydx?(x?1)dy?0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：2?1111dx?2dy,当y?0lnx???c,即y?x?1yc?lnx?y当y?0时显然也是原方程的解。
当x?0,y?1时，代入式子得c?1,故特解是1y?。
1?ln?x23y dy?dxxy?x3y1?1?解：原式可化为：dy?dxy2y?1x?x显然31?y2yy1?0,dy?dx23x?x1?y1ln?2y212?lnx?ln?x?lnc(c?0),即(1?2(1?x)?cxy）222y222)(1?x)?cx故原方程的解为（1?4：(1?x)ydx?(1?y)xdy?01?x1?y解：由y?0或x?0是方程的解，当xy?0dx?dy?0 xy两边积分lnx?x?lny?y?c,即lnxy?x?y?c,故原方程的解为lnxy?x?y?c;y?0;x?0.5:(y?x)dy?(y?x)dx?0dyy?xydydu?,令?u,y?ux,?u?xdxy?xxdxdxduu?1u?11则u?x?,变量分离，得：?2du?dxdxu?1xu?1两边积分得：arctgu?12ln(1?u)??lnx?c。
22dy2?y?x?ydxydydu解：令?u,y?ux,?u?x,则原方程化为：xdxdx6：xdu?dxx2(1?u)x211,du?sgnx?dx2x?u?两边积分得：arcsinu?sgnx?lnx?c?y代回原来变量，得arcsin?sgnx?lnx?cx另外，y?x也是方程的解。
227：tgydx?ctgxdy?0解：变量分离，得：ctgydy?tgxdx两边积分得：lnsiny??lncosx?c.y2dy8:??dxy?3xey13xdy??e?c23y9:x(lnx?lny)dy?ydx?0yy解：方程可变为：?ln?dy?dx?0xxy1lnu令u?,dx??dlnuxx1?lnuy代回原变量得：cy?1?ln。