第2章习题答案

a 时，E A 1
2 圆柱体是由导体材料制成的，表面上又电荷 ρ nε E| 2ε Acosφ。 2‐11 求一点电荷q放在无限大、均匀、线性、各向异性电介质中，介质相对介电常数为ε 。 求电介质中的D，E，P。又问D，E，P是否均匀？其极化电荷体密度ρ 如何？ 解：E D P ε εE ε ε 1 E r， r， r，
（2）两导体内电压 Vab
b r r b r r b ρ a b ρ ab1 Vab = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ρ ⋅ dρ = ∫ E ρ dρ = s1 ∫ dρ = s1 ln ε0 a ρ ε0 a a a a
当r
时，E
0；当a
时，E
S
S
r，U
E ·wenku.baidu.comdr
ρS a
ρS b ε ln 。
Q S
V V
r，计算： 1 球内电荷分布； 2 球
V
· dV · r
r r，得
V
· dV · r
； ρS r · dS ρS r · 4πa ，
；
Q
r 。
；
a， 1 求圆柱内外的电场强度； 2 这个圆柱是什么材料制成的？表面
有电荷吗？试求之。 解： 1 因为 当r E 0，r · cosφ A r ； A r cosφ，r ， sinφ a，所以 r 时，E 0；
S
∫∫
侧
E 2 dS =E 2 ∫∫ dS =E 2 2πρ l
侧
=
Q
ε0
r
=
ρ s1 2πal ε0
ρ s1a ˆ ρ ε0ρ
∴ E2 =
③ E3 ( r＞b，外导体壳外) E32 π ρ l =
r
ρ s 1 2 π al + ρ s 2 π bl ε0
∴ E3 =
r
ρ s1a + ρ s 2 b ˆ ρ ε0ρ
√
，
第 2 章习题答案（毕岗编写）
2‐5 两无限长的同轴圆柱壳面， 半径为a和b， 内外导体上均匀分布电荷， 密度分别为ρS ， ρS ， 求r ，a ，r 时各点的电场及两导体间的电压。 r ﹢∞ 解：用高斯定理求 E 。做高斯面（闭合面） ， b ˆ n a ∵轴对称∴高斯面为圆柱闭合面，为左图所示 ① E 1（r＜a,内导体内） 设导体为理想导体，则 E1=0； ② E 2（a＜r＜b，内导体与外导体之间圆柱空间） ∵同轴无限长,∴圆柱侧面 （高斯面） 上 E2 处处相等， 且 E 只有 ρ 方 向分量 d s = n ds , n 为高斯封闭面的外法线 矢量
S
1 ε
ρ · dV
V
E
。
对于小球，由高斯通量定理，得 E ‘ · dS
S
1 ε
ρ · dV
V
E‘ E E
。 E‘ 。
若ρ换成非均匀的ρ r a⁄r r 为从 Q 出发的球半径 ，不能借助高斯定理。 2‐21 一带电量为q，质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下，与平面相距为h，应 用镜像法理论求电荷q的值， 使带电体上受到的静电力恰好与重力想平衡。 设m 2 10 kg， h 0.02m。 解： 2 q q mg， 10 ，
S
ρ · rdφdr
r · dr ·
dφ
。
2‐3 无限薄的导电面放置于z 正弦规律分布于该面内，在x
0平面内的0 0.05 的区域中，流向y方向的5A电流按 0和x 0.05m处线电流密度为0，在x 0.025m处线电流密
度为最大，求JS 的表达式。 解：电流分布如下图所示：
z
y
Js =5A/m Js x 0 0.025 0.05
第 2 章习题答案（毕岗编写）
第 2 章 2‐1 半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρ r ，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求 圆盘上的总电量。 解：Q 2‐2 半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度ω绕其自身的任意 中轴旋转，求球体内的体电流密度。 解：JV φ。
V
ρ · dv
0，E
0；
b 时，
V
E · dS 当r E U b 时， a ρS E · dl
ρ · dv
S
，E
S
r，
E · dS b ρS ，
S
4πa ρS
4πb ρS ，
。
2‐8 一个半径为b的球体内充满密度为ρ 度和电位。 解：当r 当r 时，q 时，E
V
b
r 的电荷。计算球内和球外任一点的电场强
a验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。 | ，ε θsin θsin ε ， ，
rcosθ rcosθ
P·n
ε E cosθ。
0平面是两种介质分界面，在y
0的区域内，ε
5ε 而在y
0的区域内，
3ε 。如果已知E 10x 20y，求D ，D 和E 。 ε 解：如果ε 3ε ，ε 5ε ε E x50ε y100ε ， D E E x10， D D y100ε ， D D D ε E D x30ε y100ε 。E 假设ε 5ε ，ε 3ε ε E x30ε y60ε ， D E E x10， D D y60ε ， D D D ε E D x50ε y60ε 。E
36 10 πεh 0.012√πε。
2‐22 一点电荷q放置在一个半径为b的导体球附近，与球心相距为R，球未接地，原先也未充 电。证明球对点电荷的吸引力为 F =
q 2a3 2R 2 − a 2 4πε 0 R 3 R 2 − a 2 2
(
)
第 2 章习题答案（毕岗编写）
解：由于导体球不带电，则镜像电荷有两个，一个位于 P2 点上的 q’,它离球心 O 的距离为
| |
。
2‐18 两靠近地面的带等量异号电荷的导体小球， 球心在垂直地面的一直线上， 两球心相距h， 下面球的球心与地面相距H，两球半径分别为r 和r ，设r ，r 比h，H小得多，即带电小球 在产生场时近似看成点电荷，求两小球的电容。 解： ，C 4πh， ，C 4πh。
2‐19 接地导体球，半径为a，其外P点处有一点电荷q，P点与球心距离为h。试求P点可见的 那部分球面上的感应电荷与剩余部分球面上的感应电荷之比。 解：求导体上任一点的电位中，且 q q 0 4πr ε 4πr ε 由余弦定理，得 0 接地
，E ρ · dv r。
V
ρ · dv
r；
第 2 章习题答案（毕岗编写）
2‐9 一个半径为a的薄球体壳内表面涂履了一层薄的绝缘膜， 球内充满总电量为Q的电荷， 球 壳上又冲了电量为Q的电荷。已知内部的电场为E 的外表面电荷分布； 3 球壳的电位； 4 球心的电位。 解： 1 E 即 ρV r 2 Q ρS 3 4 2‐10 电场中有一个半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位为 A r cosφ，r 0，r a；
d=
a2 ,另一个位于球心 O 处的 q’’。 R
a a q ， q' ' = q R R
a q'’ θ P2 d q' P1 R q
这两个镜像电荷值分别为
q' = −
根据库仑定律 球受到点电荷的作用力为
平行板电容器下面板的自由电荷面密度为 ρdown=0 3） 平行板电容器的电容量为 Q ρ S , C
U
2‐17 一点电荷q放在成60° 导体角内的x 1，y 1点， 1 求出所有镜像电荷的位置和大小； 2 求x 2，y 1点的电位。 解： 1 1， 1 ， √2sin75° ，√2cos75° ， √2sin75° ， √2cos75° ， 2 r 1，0 ，r 1，2 ，r 2 √2sin75° ，1 √2cos75° ，r 2 √2sin75° ，1 √2cos75° ， ∑
JS 5sin
.
。
2‐4 三根长度为l、电荷均匀分布、线密度分别为ρ ，ρ 和ρ 的线电荷构成的等边三角形， 设ρ 2ρ 2ρ ，计算三角形中心处的电场。 解：E 由电荷密度关系可知： 2|E | |E | |E |， 2E，|E | E，|E | 因此，E E E 0。 |E | 2E，
第 2 章习题答案（毕岗编写）
a h 2hacosθ， r r a h 2adcosθ， 对球外任一点电位为 r r h 2hrcosθ， r r h 2rdcosθ， 导体球面内的感应电荷面密度ρS ρS 感应电荷之比
见 余
，
。
2‐20 两个偏心球面，半径分别为a和b，球心分别为Q和Q´，其偏心距QQ´ d d b ， 两球面之间分布着均匀的体密度为ρ的自由电荷。求小球面内 r´ 的场分布。若ρ换成非 均匀的ρ r a⁄r r 为从 Q 出发的球半径 ，问r´ 内的场还能借助高斯通量定理求解吗？ 解：设大球内的电荷分布为ρ，小球体电荷为 ρ， 对于大球，由高斯通量定理，得 E · dS
E、D、P是按照离 q 的距离变化的，是不均匀的。 · P 0 r 0， · P 0 。 2‐12 证明在均匀、线性、各向同性电介质的任何一点上，若自由电荷ρ 0，则束缚电荷
第 2 章习题答案（毕岗编写）
ρ 0。 ql 0，P Np 0，ρ ·P 0。 a⁄r 的自由电荷，求电场
r
1 ∂ 2 (r Er ) r 2 ∂r
ρ = ε0 ρ=
1 ∂ 2 3 r ( r + Ar 2 ) = ε 0 (5r 2 + 4 Ar ) 2 r ∂r
[
]
⑵在 r＞a 的区域
1 ∂ 2 5 r ( a + Aa 4 ) / r 2 = 0 r 2 ∂r
[
]
⑶求 r=a 处的 ρ s 。 直接利用边界条件
证明：p
2‐13 半径分别为a和b a 的同心导体球壳之分布着密度为ρ 和电位分布。如果外导体球壳接地，问电位电场有无变化？ 解： E E · dS ，
V
dv
，
接地后： E · dr E · dr a ln ，
接地前，无穷处电位为零
∞
E · dr
发散。
2‐14 电场中有一半径为a的介质求，已知 a E 解：边界条件： E P ρ 2‐15 设y ε · 1 ε E | E ，r E rcosθ a E ，r a，
E
E
x10
y33.3
E
E
x10
y12
第 2 章习题答案（毕岗编写）
2‐16 平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d。电容器的一半厚度 0~ d⁄2 用电介 质ε填充。板外加电压U，求板上的自由电荷面密度、极化电荷密度和电容器的电容量。 解：ε ,ε ε ε E =ε E ， d1 E1+ d2 E2 =U 1 = , = , = U E1 E2
r
r
ˆ n r E2
r E 1
ι
r
高斯面
ˆ n
－∞
r
)
)
r r r r r r E 2·d s : 上下底面： E 2·d s =0（∵ E 2⊥d s ，cos90°=0）
侧面： E 2·d s =E2·ds（∵ E 2∥d s ，cos0°=1）
r
r
r
r
v v ∴ ∫∫ E 2 ⋅ d S =
1） 平行板电容器上面板的自由电荷面密度为 ρup= ρup= · = , ,
平行板电容器下面板的自由电荷面密度为 ρdown= · = ,
2） 平行板电容器上面板的极化电荷面密度为 ρupp= ρupp= · = , ,
ρs
r =a
= Dr + − Dr − = ε 0 (a 3 + Aa 2 ) − ε 0 (a 3 + Aa 2 ) = 0
·D ε ·E ε · E 0。 5ε r 4Ar；
结论：当r a时，ρ 当r 时，ρ ·D
2‐7 半径为a和b a 的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别ρS 、ρS ，应 用高斯定理求任意r点的电场及两导体间的电压。 解：当 r E · dS 当a r 时，
第 2 章习题答案（毕岗编写）
2‐6 半径为a的球中充满密度为ρ r 的电荷，已知电场为E 荷密度ρ r 。 解：利用高斯定理的微分形式，即▽ ⋅ E = r a Ar ，r Aa ⁄r ，r a ，球电
r
ρ / ε 0 ，在球坐标系中，可得
ρ = ε0 ⋅∇ ⋅ E = ε0
⑴在 r≤a 的区域