第七章 无约束优化7(1)
无约束最优化方法直接搜索法课件
x2
S(1)
S2(1
)
(1)
X3 X2 (1)
X* X2 (2) X1 (2)
S(2)
X0 (1)
X 1 (1)
S1(1) x1
• 鲍威尔基本算法的缺点
鲍威尔基本算法仅具有理论意义，不要说对于一般的 函数，就是对于二次函数，它也可能失效。因为在迭代过程 中的n个搜索方向有时会变成线性相关，而不能形成共轭方向， 从而张不成n维空间，导致随后的迭代搜索在降维(“退化”) 的空间中进行，可能求不到极小点，故需进行改进。
x 2 XL X2
Xn+3 Xn+2
Xn+1
Xห้องสมุดไป่ตู้ XH
X1 XG x1
6)扩张：当 fn+2 < f L 时，取扩张点Xn+3 ，即
Xn+3 = Xn+1 + (Xn+2 – Xn+1)
( =1.2~2.0 )
并计算 fn+3 = f (Xn+3 ) 。 若 fn+3 < fn+2 ，则以Xn+3 代替 X H ， fn+3 代替 fH ，构造一个新的单纯形；否则，以 X n+2 代 替XH ， fn+2 代替fH ，构造新的单纯形；然后返回到 3)。
鲍威尔条件：
若 f 3 < f 1, ( f1 - 且2f2 + f3) (f1 - f2 - △m(k))2 < 0.5 △m(k) (f1 - f3 )2 同时成立，则用 S ( k ) 替代 S m ( k ) ；否则，仍用 就是鲍威尔修正算法，通常所说的鲍威尔算法就是指这一修正算法。
• 鲍威尔算法的计算步骤及算法框图
第7讲无约束优化方法
第七讲无约束优化一阶方法1.最速下降法的由来最速下降法考虑无约束问题其中，函数具有一阶连续偏导数.),(min x f ,n R x 人们在处理这类问题是，总希望从某一点出发，选择一个目标函数值下降最快的方法，以利于尽快达到极小点. 基于此愿望，1847年法国数学家Cauchy 提出了最速下降法. 后来，Curry 等人作了进一步的研究，得到现在众所周知的一种最基本的方法.最速下降法利用负梯度为方向作为搜索方向.设在附近连续可微，为搜索方向向量，，由泰勒展开式得那么目标函数在处沿着方向下降的变化率如下所示：)(k k x f d -∇=)(x f k x k d )(k k x f g ∇=,0),()()(>++=+ααααo d g x f d x f k Tk k k k )(x f k x k d其中为与夹角. 要使得变化率最小，只有当值为时才能达到，也就是取得负梯度方向.ααα)()(lim 0k k k x f d x f -+→αααα)(lim 0o d g k Tk +=→θcos k T k k T k d gd g ==θk g k d k d 1-)(x f ∇)(x f ∇-cos事实上，最速下降方向也可以这样来考虑。
因为目标函数在处沿方向的变化率为，故最速下降的单位方向是如下非线性规划问题的解.根据Schwartz 不等式，有去掉绝对值符号，可以得到.由上式知，当时等号成立. 因此负梯度方向为最速下降方向.d g T k )(x f k x d d dmin d g T k ..t s 1≤d kk T k g d g d g ≤≤k T kg d g -≥k k g g d -=3.最速下降法计算步骤1.给定初始点，容许误差，令2. 计算搜索方向;3. 若，则停止计算，输出作为近似最优解；否则从出发，沿进行一维线搜索，确定步长因子，使得4. 令，令，转步骤2.n R x ∈00>ε1:=k )(k k x f d -∇=ε≤k d k x k x k d k αk k k k d x x α+=+11:+=k k 0()min ()k k k k k k k f x d f x d ααα≥+=+4.最速下降法的锯齿现象由步骤3，为求出从出发沿方向的极小点，令由此得出.即方向与正交.这表明迭代产生的序列所循路径是“之”字形的。
第7章无约束优化问题
Matlab设计与优化
注意：
1．对于求解平方和的问题，fminunc函数 不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更 佳。
2．使用大型方法时，必须通过将options. GradObj设置为'on'来提供梯度信息，否 则将给出警告信息。
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2 ) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
f 0.298
搜索过程 minMaft(laxb1 设x计2 )与优10化0 (x2 x12 )2 (1 x1)2
x1 x2 f
-1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-5
第7章 无约束优化问题
最优化数学模型的不带约束条件形式；
优化问题一般指：寻找 x* (x1*, x2*, , xn* )T D
使 z f (x1*, x2*, , xn*)为目标函数f在可行域上的
最小值(或最大值).
称为最优解， x*
f (x1*, x2*, , xn* )
称为最优值.
Matlab设计与优化
Matlab设计与优化
关于fminbnd函数
算法： fminbnd是一个M文件。其算法基于黄金分割法和二次插值 法。 局限性： 1．目标函数必须是连续的。 2．fminbnd函数可能只给出局部最优解。 3．当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度 常常很慢。此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度 更高。 4．fminbnd函数只用于实数变量。 参见：
无约束常用优化方法
步长 ，作前进（或后退）试探．如试探成功（目
标函数值有所减小），则按步长序列
，加
大步长（注意每次加大步长都是由初始点算起），直
至试探失败（目标函数值比前一次的有所增加）时，
则取其前一次的步长作为沿这个坐标轴方向搜索的最
优步长，并计算出该方向上的终止点，而后以这个终
止点为始点再进行下一坐标轴方向的搜索，并重复上
处
显然 是二次函数，并且还是正定二次函数，所以 是凸函数且存在唯一全局极小点．为求此极小点，令
即可解得
即
（5.9）
对照基本迭代公式,易知，式（5.9）中的搜索方向
步长因子
方向
是直指点 处近似二次函数
的极小点的方向．此时称此方向为从点 出发的
Newton方向．从初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，
沿Newton方向并取步长 的算法称为Newton法．
另外，共轭梯度法不要求精确的直线搜 索．但是，不精确的直线搜索可能导致迭代 出来的向量不再共轭，从而降低方法的效 能．克服的办法是，重设初始点，即把经过 n次迭代得到的Xn作为初始点重新迭代．
五、坐标轮换法
在坐标轮换法中，沿各个坐标轴方向进行一维搜索
时，常选用最优步长法或加速步长法．加速步长法从
初始点出发，沿搜索（坐标轴）方向先取一个较小的
三、共轭方向法
1、概念
通常，我们把从任意点
出发，依次沿某组共轭
方向进行一维搜索的求解最优化问题的方法，叫做共
轭方向法．
2、特点
• 一般地，在n维空间中可以找出n个互相共轭的方向，对于n元正 定二次函数，从任意初始点出发，顺次沿这n个共轭方向最多作n 次直线搜索就可以求得目标函数的极小点．这就是共轭方向法的 算法形成的基本思想．
Mastercam课件教案第7章无约束优化问题
• [X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT ]=LSQNONLIN(FUN,X0,...)
• 8．调用格式8：
• [X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OU TPUT,LAMBDA]=LSQNONLIN(FUN,X0,...)
• 9．调用格式9：
7.3.2 MATLAB工具箱中的函数介绍
• 在MATLAB优化工具箱函数中，用函数 LSQNONLIN来求解非线性最小二乘问题。
• 具体调用格式介绍如下： • 1．调用格式1： • X=LSQNONLIN(FUN,X0) • 2．调用格式2： • X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB) • 3．调用格式3： • X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTION
• 在MATLAB优化工具箱函数中，有以下两个 函数用来求解上述问题：
• Fminunc • fminsearch
7.2.3 应用实例分析
• 例：利用MATLAB优化工具箱中的函数求
函数 y 2x13 4x1x32 10x1x2 x22 最
的小值点。
7.3 最小二乘优化问题
• 7.3.1 数学原理及模型 • 1．数学模型 • 2．算法介绍
第7章 无约束优化问题
7.1 一维优化问题
• 7.1.1 数学原理及模型 • 1．数学模型 • 2．算法介绍
7.1.2 MATLAB工具箱中的基本函数
• 1．调用格式1： • X = FMINBND(FUN,x1,x2) • 2．调用格式2： • X = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS) • 3．调用格式3： • [X,FVAL] = FMINBND(...) • 4．调用格式4： • [X,FVAL,EXITFLAG] = FMINBND(...) • 5．调用格式5： • [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] =
凸优化之无约束优化（一维搜索方法：二分法、牛顿法、割线法）
凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：⼆分法、⽜顿法、割线法）1、⼆分法（⼀阶导）⼆分法是利⽤⽬标函数的⼀阶导数来连续压缩区间的⽅法，因此这⾥除了要求 f 在 [a0,b0] 为单峰函数外，还要去 f(x) 连续可微。
（1）确定初始区间的中点 x(0)=(a0+b0)/2 。
然后计算 f(x) 在 x(0) 处的⼀阶导数 f'(x(0))，如果 f'(x(0)) >0 , 说明极⼩点位于 x(0)的左侧，也就是所，极⼩点所在的区间压缩为[a0,x(0)]；反之，如果 f'(x(0)) <0，说明极⼩点位于x(0)的右侧，极⼩点所在的区间压缩为[x(0)，b0]；如果f'(x(0)) = 0，说明就是函数 f(x) 的极⼩点。
（2）根据新的区间构造x(1)，以此来推，直到f'(x(k)) = 0，停⽌。
可见经过N步迭代之后，整个区间的总压缩⽐为（1/2）N，这⽐黄⾦分割法和斐波那契数列法的总压缩⽐要⼩。
1 #ifndef _BINARYSECTION_H_2#define _BINARYSECTION_H_34 typedef float (* PtrOneVarFunc)(float x);5void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc fi, float epsilon);67#endif1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include "BinarySection.h"45using namespace std;67void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc tangent, float epsilon)8 {9float a0,b0,middle;10int k;11 k = 1;12 a0 = a;13 b0 = b;14 middle = ( a0 + b0 )/2;1516while( abs(tangent(middle)) - epsilon > 0 )17 {18 #ifdef _DEBUG19 cout<<k++<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;20#endif2122if( tangent(middle) > 0)23 {24 b0 = middle;25 }26else27 {28 a0 = middle;29 }30 middle =( a0+b0)/2;31 }3233 cout<<k<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;34 }1 #include<iostream>2 #include "BinarySection.h"345float TangentFunctionofOneVariable(float x)6 {7return14*x-5;//7*x*x-5*x+2;8 }910int main()11 {12 BinarySectionMethod(-50, 50, TangentFunctionofOneVariable, 0.001);13return0;14 }1th iteration:x=0,f'(0)=-52th iteration:x=25,f'(25)=3453th iteration:x=12.5,f'(12.5)=1704th iteration:x=6.25,f'(6.25)=82.55th iteration:x=3.125,f'(3.125)=38.756th iteration:x=1.5625,f'(1.5625)=16.8757th iteration:x=0.78125,f'(0.78125)=5.93758th iteration:x=0.390625,f'(0.390625)=0.468759th iteration:x=0.195312,f'(0.195312)=-2.2656210th iteration:x=0.292969,f'(0.292969)=-0.89843811th iteration:x=0.341797,f'(0.341797)=-0.21484412th iteration:x=0.366211,f'(0.366211)=0.12695313th iteration:x=0.354004,f'(0.354004)=-0.043945314th iteration:x=0.360107,f'(0.360107)=0.041503915th iteration:x=0.357056,f'(0.357056)=-0.001220716th iteration:x=0.358582,f'(0.358582)=0.020141617th iteration:x=0.357819,f'(0.357819)=0.0094604518th iteration:x=0.357437,f'(0.357437)=0.0041198719th iteration:x=0.357246,f'(0.357246)=0.0014495820th iteration:x=0.357151,f'(0.357151)=0.0001144412、⽜顿法（⼆阶导）前提：f 在 [a0,b0] 为单峰函数，且[a0,b0] 在极⼩点附近，不能离的太远否则可能⽆法收敛。
无约束优化课稿PPT课件
(1) Display: 显示水平.取值为’off’时,不显示输出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值为’final’ 时,显示最终结果.默认值为’final’. (2) MaxFunEvals: 允许进行函数评价的最大次数,取 值为正整数. (3) MaxIter: 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.
X1
X2
x1
第2页/共21页
唯一极小 (全局极小)
f 0.298
f 0
f (x1 x2 ) 2x12 2x1x2 x22 3x1 x2
多局部极小
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f 0.298
搜索过程 min f (x1 x2 ) 100 (x2 x12 )2 (1 x1)2
x1 x2 f
-1 1 4.00 -0.79 0.58 3.39 -0.53 0.23 2.60 -0.18 0.00 1.50 0.09 -0.03 0.98 0.37 0.11 0.47 0.59 0.33 0.20 0.80 0.63 0.05 0.95 0.90 0.003 0.99 0.99 1E-4 0.999 0.998 1E-5
0.9997 0.9998 1E-8
第4页/共21页
最优点 (1 1) 初始点 (-1 1)
返回
无约束优化问题的基本算法
1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
⑴ 给定初始点 X 0 E n ，允许误差 0 ,令 k=0；
⑵ 计算f X k ；
⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则：
f X k ，
(x k )T k )T x k
x k (f k )T H k H k f k (x k )T (f k )T x k
《无约束优化方法》课件
分析迭代点是否收敛到最优解，以及收敛速度的快慢。
04 算法实现和案例 分析
MATLAB实现
介绍MATLAB在无约束优化方 法中的应用，包括函数优化工 具箱的使用和自定义算法的实
现。
演示如何使用MATLAB求解无 约束优化问题，如最小二乘问
题、非线性规划问题等。
介绍MATLAB中常用的优化算 法，如梯度下降法、牛顿法、 拟牛顿法等，并给出相应的代 码实现。
04
总结Python在无约束优化方法中的优缺点，并给出相应的改进建议 。
案例分析：简单的二次函数优化
介绍二次函数优化的基本 概念和方法，包括最优解 的求解和性质分析。
演示如何使用MATLAB或 Python求解该问题，并 给出相应的代码实现和结 果分析。
ABCD
给出具体的二次函数优化 问题，如最小化f(x)=x^2 在区间[a,b]上的最小值。
深度学习优化
结合深度学习技术，对高维非线性问题进行 优化，解决复杂的问题。
目标函数
需要最小化或最大化的函数
约束条件
对目标函数的限制条件，无约束优化问题没有约束条件
02 无约束优化方法 简介
梯度法
总结词
基本、直观、简单
详细描述
梯度法是最早的无约束优化方法之一，它基于函数的梯度信息，通过沿着负梯 度的方向搜索来寻找最优解。由于其简单直观，被广泛应用于各种优化问题。
牛顿法
控制工程
用于系统优化、控制器设计和系统稳 定性分析，提高控制系统的性能。
无约束优化方法的未来发展方向
混合整数优化
将整数约束和连续变量优化结合起来，解决 更复杂的优化问题。
多目标优化
考虑多个目标函数，寻求多目标之间的平衡 ，满足多方面的需求。
第7章无约束优化问题
Fminunc fminsearch
Matlab设计与优化
fminunc函数
功能：求多变量无约束函数的最小值。 语法格式： x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,options) x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...) [x,fval] = fminunc(...) [x,fval,exitflag] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...) 描述：
MFamtilanbb设n计d与（优）化 语法
1. 一元函数无约束优化问题: min f（x） x1 x x2
常用格式如下：
（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)
返回区间{x1，x2}上fun参数描述的标量函数的最小值x。
（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
Matlab设计与优化
缺省时的一维搜索算法，当options. LineSearchType设置为'quadcubic'时,将采用 二次和三次混合插值法。将options.Line SearchType设置为'cubicpoly'时，将采用三 次插值法。第二种方法需要的目标函数计算 次数更少，但梯度的计算次数更多。这样， 如果提供了梯度信息，或者能较容易地算得， 则三次插值法是更佳的选择。
无约束优化方法PPT课件-PPT精选文档
等式两边同乘 d
0
T
得
d Gd 0
0 T 1
fxa fx fx 0
k k T k k
k f x f x 0 k 1 T
d
k 1 T
dk 0
由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上 的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方 向，因此相邻两个搜索方向互相垂直。
第四章
无约束优化方法
第一节 概述
从第一章列举的机械设计问题，大多数实际问题 是约束优化问题。 约束优化问题的求解——转化为一系列的无约束 优化问题实现的。
因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法 的基本组成部分，也是优化方法的基础。
无约束优化问题的极值条件
f x* 0
解析法(间接解法)
4.3.2 阻尼牛顿法 牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿 下降方向搜索的概念。因此对于非二次型函数，在迭代过 k 1 k 程中，可能出现 f( X )f( X )
的现象。为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。
令
k d H ( X ) f ( X ) k
1 k
以上二种经典方法中，人们不断努力，发掘，提出了不
同的改进方法。
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展 了一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。
一、共轭方向的概念 共轭方向的概念是在研究二次函数
1T T f x x bx c xG 2
时引出的。 首先考虑二维情况
数值法(直接解法)
无约束问题的最优化条件PPT课件
.
4) 校正 Hk 产生 H k 1 ，计算 Hk1 Hk Ek , Ek 称为 Hk 的第 k 次校正矩阵.
5) k : k 1， 转 2）
37
.
三、拟牛顿条件
拟牛顿法设计关键在于 Hk 的构成 为保证 Hk 与 2 f (xk )1 近似并有容易计算的特点， Hk 应该满足如下条件： 1） Hk 对称正定，因为只要 Hk 对称正定，即可保证迭代
方向是下降方向。
38
.
dk Hkf (xk ) T f (xk )dk T f (xk ) Hk f (xk ) 0 T f (xk ) Hk f (xk ) 0 只要 Hk 正定，可保证迭代是下降的。
似程度越好，应加大 hk ，否则相反。
31
.
二. 信赖域算法基本步骤
1）给出初始点 x0 ，令 h0 g0
2）给出 xk 和 hk ，计算 gk 和 Gk 3）解信赖域模型（子问题），求出 dk 4）求 f (xk dk ) 和 rk 的值
5）如果 rk 0.25 ，令 hk1
dk 4
（缩减信赖域半径）
注：按照这种方法选取搜索方向，再加上一维搜索（精确
或非精确）算法的总体收敛性一般可以得到保证，但当 Gk
非正定时候较多时也可能失去牛顿法快速收敛的特点。
26
.
5.4 信赖域法
自动化学院
27
.
一、信赖域算法
1．牛顿法的基本思想
在当前迭代点 xk 附近用二次函数
(k) (d)
f
(xk ) gkT d
)
12 12
12
1
2)方向 d (0 ) (G (x (0 ))) 1 f(x (0 )) 1 , 3 2 T
无约束优化算法总结
STEP4 令 x (k +1) = x (k) + α k d (k) , k := k + 1, 转 STEP2 。
3
牛顿算法
x ( k +1) = x ( k ) + d ( k ) (k ) −1 d = −Gk g k
拟牛顿算法 y(k)= gk+1 – gk s(k)=x(k+1)-x(k) Hk+1=Hk+…… d(k+1)=－Hk+1 gk+1
控制参数opt的 控制参数opt的设置 参数opt
Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下: Options中常用的几个参数的名称、含义、取值如下: 中常用的几个参数的名称
(1) Display 显示水平.取值为’off’时,不显示输 Display: 出; 取值为’iter’时,显示每次迭代的信息;取值 为’final’时,显示最终结果.默认值为’final’. (2) MaxFunEvals: MaxFunEvals 允许进行函数评价的最大次数,取 值为正整数. (3) MaxIter: MaxIter 允许进行迭代的最大次数,取值为正整数.
× 10 −7
2.3943
× 10 −8
2.6223
DFP
× 10 −7
0.0192 (-1.1634， 1.3610) 4.6859
最速下降
混合二、三次插值
(0.9446，0.8920) （0.9959，0.9916 (1.0000,1.0000)
0.0031 1.8543
× 10 −5
单纯形法 1.9151
T
习题1 习题1－1 给定函数f(x)=(6+x1+x2)2+(2-3x1-3x2-x1x2)2 点x=(-4,6)T （1）给出X处的最速下降方向； （2）给出X处的牛顿方向，并判断此方向是否为下降方向； （3）设H0 ＝I（单位阵），利用拟牛顿法，从X开始迭代， 给出下一个迭代点处的搜索方向； （4）利用共轭梯度法，从X开始迭代，给出下一个迭代点处 的搜索方向。
实验七(无约束优化)
s(32)=(d(32)-((x(1,10)-x(1,13))^2+(x(2,10)-x(2,13))^2)^0.5);
s(33)=(d(33)-((x(1,10)-x(1,19))^2+(x(2,10)-x(2,19))^2)^0.5);
s(7)=(d(7)-((x(1,2)-x(1,16))^2+(x(2,2)-x(2,16))^2)^0.5);
s(8)=(d(8)-((x(1,2)-x(1,17))^2+(x(2,2)-x(2,17))^2)^0.5);
s(9)=(d(9)-((x(1,2)-x(1,25))^2+(x(2,2)-x(2,25))^2)^0.5);
x0=0*ones(2,25);
[x,norms]=lsqnonlin(@yuanzif,x0,[],[],[],d);
for i=1:1:25
plot(x(1,i),x(2,i),'bo');
s(37)=(d(37)-((x(1,11)-x(1,25))^2+(x(2,11)-x(2,25))^2)^0.5);
s(38)=(d(38)-((x(1,12)-x(1,15))^2+(x(2,12)-x(2,15))^2)^0.5);
s(39)=(d(39)-((x(1,12)-x(1,17))^2+(x(2,12)-x(2,17))^2)^0.5);
s(46)=(d(46)-((x(1,17)-x(1,18))^2+(x(2,17)-x(2,18))^2)^0.5);
无约束优化算法
无约束优化算法无约束优化算法问题，是指优化问题的可行集为，无约束的标准形式为：∙最优性条件∙极小值点的一阶必要条件设为连续可微函数，如果为局部极小值点，则为驻点，即梯度。
∙极小值的二阶必要条件设为二阶连续可微函数，如果为局部极小值点，则为驻点，即梯度，二阶半正定。
∙极小值点的二阶充分条件设为二阶连续可微函数，如果梯度，二阶正定，则为的局部极小值点，。
以上三个定理为搜索最优点以及判断一个点是否为最优点的基本依据。
经典的优化算法的停止条件为，例如在程序中，即在导数范数小于某特定误差限时停止。
误差限较大，则算法迭代次数减少，计算时间缩短，但解得质量降低；误差限较小，则算法迭代次数增加，计算时间增加，但解的质量提高；误差限一般为，可以根据实际情况设定合适的误差限。
当然，还有极小值点的二阶必要条件与极小值点的二阶充分条件，对的判断，由于目标函数比较复杂，二阶导数矩阵的计算量极大，所以一般算法都在迭代过程中对进行修正，得到，在修正的过程中始终保持的正定性，以此方法解决极小值点的二阶条件问题。
一、最速下降法(1) 算法原理最速下降法是早期的优化算法，其理论根据函数的一阶泰勒展开：由得到根据下降要求故实际中要求根据上式选取合适的，得。
最速下降法取。
由于近似的有：取，则由知：最速下降法有全局收敛性，并且是线性收敛的，算法比较简单。
一般来说，在实际计算中，最速下降法在开始迭代时效果较好，有时能很快地找到最优解得附近，但是当局继续迭代时，常常发生扭摆现象，以致不能达到最优解。
(2) 算法步骤给定控制误差。
步骤1：取初始点，令步骤2：计算。
步骤3：若，则，停止计算；否则，令，由一维搜索步长，使得步骤4：令，，转步骤2。
二、黄金分割法(1) 算法思想通过不断缩小区间的长度来搜索目标函数的极小值点,且是按照可行域全长的0.618(及0.382)选取新点,而不断更新区间进行的.(2) 算法流程步骤ε>.设函数发f(x),初始区间为[a,b],0步骤1：取两点x1,x2(x1<x2),x2=a+0.618(b-a),x1=a+b-x2或x1=a+0.382(b-a),x2=a+b-x1 计算f(x1),f(x2);步骤2: 若f(x1)<f(x2);则去掉[x2,b],则a=a,b=x2,x2=x1,x1=a+b-x2,步骤3: 若f(x1)>f(x2);则去掉[a,x1],则a=x1,b=b,x1=x2,x2=a+b-x1,步骤4: 若f(x1)=f(x2);则去掉[a,x1]和[x2,b],则a=x1,b=x2,重复步骤1.步骤5: 在每一次缩小区间时,判断|b-a|≤ε是否成立,若成立则结束.三、共轭梯度法(1) 算法思想共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。
优化设计 约束和无约束优化
无约束优化方法1.坐标轮换法2.鲍威尔法3.梯度法4.牛顿法5.变尺度法1.坐标轮换法坐标轮换发是一种不计算函数梯度,而是通过函数值本身,即可求出寻优方向,因而也称为直接寻优法.在以后提到的鲍威尔法(Powell)法也属于直接寻优法。
对于坐标轮换法，我们做个比喻：如果我们在北京的老城区找一个地方，我们可以沿着经纬线去找。
这个比喻为我们提供了一种思路，既可以取坐标的方向为寻优的方向，这就是坐标轮换法。
它在每次搜索中，只允许一个变量的变化，其余量保持不变，即沿着坐标方向轮流进行搜索的方法。
该方法把多变量的优化问题轮流转化成一系列单变量的优化问题。
对应于n 个变量的寻优函数，若在第轮沿第k 个坐标第i 个坐标方向ki i S e =进行搜索，则迭代公式为1(0,1,...,1,2,...,)k k k k i i i i X X S k i n α-=+==其中搜索方向取坐标方向，即k i i S e =（1,2,...,i n =）。
若0k k n X X -‖‖<ε，则*kn X X ←，否则10k kn X X +←，进行下一轮的搜索，一直到满足精度要求为止。
其搜索路径如图所示这种方法的收敛效果与目标函数等值线形有很大关系。
如果目标函数为二元二次函数，其等值线为圆或长轴平行于坐标轴的椭圆时，此方法很有效，经过两次搜索即可以达到最优点，如图所示。
如果等值线为长轴不平行于坐标轴的椭圆，则需多次迭代才能达到最优点，但因坐标轮换法是坐标方向搜索而不是沿脊线搜索，所以就终止到脊线上而不能找到最优解。
从上述分析可以看出，采用坐标轮换法只能轮流沿着坐标的方向搜索，尽管也能使函数值步步下降，但经过曲折迂回的路径才能达到极值点；尤其极值点附近步长很小，收敛很慢，所以坐标轮换法不是一种很好的搜索方法。
但是可以构造很好的搜索策略，下面讨论的鲍威尔法就是这种情况。
例题：已知22121212()10460f X x x x x x x =+---+，设初始点：(0)[0,0]T X=，精度0.1=ε，用最优步长法的坐标轮换法求目标函数的最优解。
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4、非线性最小二乘拟合
例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)
1、编写M-文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入M文件myprg3.m如下: x0 = [-1, 1]; x=fminunc('fun1',x0) y=fun1(x)
用Matlab解无约束优化问题
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8) f1='-2*exp(-x).*sin(x)'; [xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
例2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形 以后制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
2、多元函数无约束优化问题
下界与上界
解
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval 运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的 边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
[x,fv,ef.out,grad,hess]=fminunc(@f,x0,opt,P1,P2,…) [x,fv,ef.out,]=fminsearch(@f,x0,opt,P1,P2,…)
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2016-5-1
3、 fminunc和fminsearch的基本用法
•fminsearch是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明： [1] fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法. 由options中的参数LargeScale控制： LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法 LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法 [2] fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了3种算法，由 options中的参数HessUpdate控制： HessUpdate=’bfgs’（默认值），拟牛顿法的BFGS公式； HessUpdate=’dfp’，拟牛顿法的DFP公式； HessUpdate=’steepdesc’，最速下降法 [3] fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法， 由options中参数LineSearchType控制： LineSearchType=’quadcubic’(缺省值)，混合的二次和 三 次多项式插值； •使用fminunc和 fminsearch可能会得到局部最优解. LineSearchType=’cubicpoly’，三次多项式插
Iteration Func-count f(x) Step-size optimality 0 3 1.1 2 1 6 0.081 0.5 0.18 2 9 0.0654004 1 0.162 3 12 3.76325e-005 1 0.0118 4 15 1.90948e-007 1 0.000874 5 18 7.12429e-013 1 5.14e-007 6 21 6.21616e-017 1 2.99e-008 Line search cannot find an acceptable point along the current search direction. out = iterations: 7 funcCount: 27 x = 1.0e-008 * stepsize: 1 -0.7852 0.7483 firstorderopt: 2.9867e-008 algorithm: 'medium-scale: f = 6.2162e-017 Quasi-Newton line search' ef = -2 message: [1x80 char]
• • • • • • • • • • • •
'---case2: dfp, hybrid 2,3 poly-------' fopt=optimset(opt1,'HessUpdate','dfp'); [x2,v2,exit2,out2]=fminunc(@exam0704fun,x0,fopt) pause '---case3: steep, hybrid 2,3 poly-------' fopt=optimset(opt1,'HessUpdate','steepdesc'); [x3,v3,exit3,out3]=fminunc(@exam0704fun,x0,fopt) pause '---case4: bfgs, 3rd poly-------' opt2=optimset(opt1,'LineSearchType','cubicpoly'); [x4,v4,exit4,out4]=fminunc(@exam0704fun,x0,opt2) pause
2016-5-1
实验目的
1、了解无约束最优化基本算法 2、掌握用数学软件包求解无约束最优化问题
实验内容
1、无约束优化基本思想及基本算法 2、MATLAB优化工具箱简介 3、用MATLAB求解无约束优化问题 4、实验作业
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2016-5-1
最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：
最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最 速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛 慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值 点时，宜选用别种收敛快的算法.
例4
min
a=10;b=1;x0=[1,1]; %initial value opt=optimset(‘fminunc’); %读取 fminunc缺省的参数 opt=optimset(opt,‘Disp’,‘iter’); %设定输出中间结果，由‘final’变成‘iter’ opt=optimset(opt,‘tolx’,1e-10,‘tolf’,1e-10); %设置控制精度，解和函数值的精度提高到10-10 [x,f,ef,out]=fminunc(@exam0701fun,x0,opt,a,b)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854 ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...） 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或 （2）的等式右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它 要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。
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2016-5-1
function f=exam0704fun(x) f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
• format short e • x0=[-1.9,2]; • '---case1: bfgs, hybrid 2,3 poly-------' opt1=optimset('LargeScale','off', 'MaxFunEvals',1000); • [x1,v1,exit1,out1]=fminunc(@exam0704fun,x0,opt1) • pause
控制参数options可以通过函数optimset创建或修改。命 令的格式如下： (1) options=optimset(‘optimfun’) 创建一个含有所有参数名,并与优化函数optimfun相关 的默认值的选项结构options. （2） options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,...) 创建一个名称为options的优化选项参数,其中指定的参数具有 指定值,所有未指定的参数取默认值. (3)options=optimset(oldops,‘param1’,value1,’param2’, value2,...) 创建名称为oldops的参数的拷贝,用指定的参数值修改oldops 中相应的参数. 例：opts=optimset(‘Display’,’iter’,’TolFun’,1e-8) 该语句创建一个称为opts的优化选项结构,其中显示参数设 为’iter’, TolFun参数设为1e-8.
• • • • • • • • • • • •
'---case5: dfp, 3rd poly-------' fopt=optimset(opt2,'HessUpdate','dfp'); [x5,v5,exit5,out5]=fminunc(@exam0704fun,x0,fopt) pause '---case6: steep, 3rd poly-------' fopt=optimset(opt2,'HessUpdate','steepdesc'); [x6,v6,exit6,out6]=fminunc(@exam0704fun,x0,fopt) pause '++++ results of solutions ++++++' solutions=[x1;x2;x3;x4;x5;x6]; funvalues=[v1;v2;v3;v4;v5;v6]; iterations=[out1.funcCount;out2.funcCount;out3.funcC ount;out4.funcCount;out5.funcCount;out6.funcCount]; • [solutions,funvalues,iterations]