2019年人教版高考数学一轮复习5.8 三角函数的综合应用优质课教案
2019-2020年高三数学一轮复习 第一节 三角函数教案 新人教版
2019-2020年高三数学一轮复习第一节三角函数教案新人教版【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式多.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想方法丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】1． 化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ． 2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ． 3．已知角的终边过点，则= ， = ． 4．的符号为 ．5．已知角的终边上一点（），且，求，的值． 解：由三角函数定义知，，当时，，； 当时，，． 【范例解析】例1.如图，，分别是终边落在，位置上的两个角， 且，．（1）求终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合；第二或第四象限正（2）终边落在阴影部分，且在区间时所有角的集合； （3）求始边在位置上，终边在位置上所有角的集合． 解：（1）{6036030360,}k k k Z θθ-︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈； （2）{030}{300360}θθθθ︒≤≤︒⋃︒≤≤︒； （3），{270360,}k k Z θθ∴=︒+⋅︒∈．点评：三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化；第（3）问要注意角的方向． 例2.（1）已知角的终边经过一点，求的值； （2）已知角的终边在一条直线上，求，的值． 分析：利用三角函数定义求解． 解：（1）由已知，．当时，，，，则； 当时，，，，则．（2）设点是角的终边上一点，则； 当时，角是第一象限角，则； 当时，角是第三象限角，则． 点评：要注意对参数进行分类讨论． 例3.（1）若，则在第_____________象限．（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个． 解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．（2）由角是第二象限角，即，得，4224k k ππαππ+<<+，故仅有为正值． 点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例4. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+， 当时，面积最大，此时，，， 所以当弧度时，扇形面积最大25．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数． 【反馈演练】1．若且则在第_______象限． 2．已知，则点在第________象限．二三3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______．4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为．5．若，且与终边相同，则= ．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．已知，，则点在第象限．8．已知，角的终边与的终边关于直线对称，则角的集合为____________________．9．设是第二象限角，且满足，则是第_______象限的角．10．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积2；（2）2182r l yrl+=⎧⎪⎨=⎪⎩，得，当且仅当时取等号．此时，，．11．已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边在直线上，求1sin cos tantanαααα⋅+-的值．解：当角在第一象限时，，，，则189 sin cos tantan30αααα⋅+-=；当角在第三象限时，，，，则189 sin cos tantan30αααα⋅+-=．12．已知，且，判断的符号．解：由已知是第二象限，则，，，，故． .三三。
2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版
CABD2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理． 常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。
4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想 二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若是第三象限的角，且，那么的值为（ C ）A. 23B. －23C. 223D. －2232. 已知函数在［，］上单调递增，则实数的取值范围是（ A ） A ．（0， B ．（0，2 C ．（0，1 D ．3．先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则的解析式是（ C ） A ． B ． C ．D ．4．若为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 5．已知，，则（ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=，则=（C ） A ． B ． C ． D ．7．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2B ．C ．D ．8. 函数的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.函数()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为，则_5_______。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第五章三角函数、解三角形-第七节 正弦定理和余弦定理
4
π
2
π
2
15
,
8
解因为cos = − ,所以 < < π,故0 < < ,又sin =
sin 2 = 2sin cos =
cos 2 =
2cos2
−1=
15
2×
×
4
1
2× −1
16
1
−
4
=
=−
7
− .而sin
8
=
故sin 2 − = sin 2cos − cos 2 ⋅ sin = −
=− −
,
,
移项得 + = ,
所以△ 一定为直角三角形.
.又因为A, ∈ , ,
［对点训练2］（1）在△ 中,内角,,所对的边分别是,,,若
− cos = 2 − cos ,则△ 的形状为() D
A.等腰三角形
B.直角三角形
由
=
+
− ⋅ = + − × × × = ,得 = .故选D.
（2）在△ 中,角,,的对边分别为,,.若 = 2, = 30∘ , = 105∘ ,则 =()
A.1B. 2C.2 2D.2 3
[解析]∵ = ∘ , = ∘ , + + = ∘ ,∴ = ∘ ,∴由正弦定理可知
6 = 4 2 + 2 + 2 ,解得 = 1（负值舍）.
②求sin 的值；
解由①可求出 = 2,而0 < < π,所以sin = 1 − cos 2 =
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
高一数学必修第一册2019(A版)-三角函数的应用-教学设计(2)
【新教材】5.7 三角函数的应用教学设计（人教A版）本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.课程目标1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．数学学科素养1.逻辑抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；3.数学运算：实际问题求解；4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；难点：实际问题抽象为三角函数模型.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----5.7三角函数模型的简单应用。
要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本242-245页，思考并完成以下问题 1.解三角函数应用题的基本步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 四、典例分析、举一反三题型一 三角函数模型在物理学中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)． (1)用“五点法”作出这个函数的简图； (2)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (4)经过多长时间小球往复振动一次？【答案】（1）略（2）2 3 cm.（3）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm.（4）π s. 【解析】(1)列表如下：描点、连线，图象如图所示．(2)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm. (3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 解题技巧：（处理物理学问题的策略）处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 跟踪训练一1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s )的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (2)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)单摆来回摆动一次需多长时间？ 【答案】 (1)3 cm ；(2)6 cm ；(3) 1 s. 【解析】 (1)由s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6得 t ＝0时，s ＝6sin π6＝3(cm)，所以单摆开始摆动时，离开平衡位置的距离是3 cm ； (2)由解析式知，振幅为6，∴单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是6 cm ； (3)T ＝2πω＝2π2π＝1，即单摆来回摆动一次需1 s.题型二 三角函数模型的实际应用例2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式【答案】（1）；（2）∴。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二函数 第五章三角函数、解三角形-第三节 两角和与差的三角函数
4
3π
π,
2
,sin =
3
− ,则tan
5
+
π
4
=() D
1
7
A.1B. C. D.7
[解析]因为 ∈ ,
则 = −
可得 =
, = − ,
−
=
−
=
− ,
= ,所以 +
−
=
+
C.对于任意的,,都有cos + = cos cos + sin sin
D.不存在,的值,使cos + ≠ cos cos − sin sin
[解析]令 = = ,则 + = , + = ,此时
2
[解析] ∘ ∘ + ∘ ∘ = ∘ ∘ + ∘ ∘ =
∘
∘
∘
( − ) = =
.故答案为 .
15∘
5.计算
1−tan
3+tan 60∘ tan 15∘
+ = + ,故A正确；令 = = ∈ ,则
+ = , + = ,此时
+ = + ,故B错误；由两角和的余弦公式可知,对于任
+ 2 sin
+ ,其中tan =
.注意:因为
,所以当 > 0时,cos > 0,故为第一、第四象限角;当 < 0时,
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.7三角函数的应用教学设计
5.7 三角函数的应用教材分析：会用三角函数解决简单的实际问题．体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．本单元内容建议用2课时完成. 第1课时，通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数A ω ϕ，，从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解A ω ϕ，，的物理意义．第2课时，会通过已知的函数模型及图象，确定参数A ω ϕ，，的值，并能应用函数Asin y x ωϕ=+()的图象与性质解决简单的实际问题.本节选择了4个具体实例介绍三角函数模型的应用：弹簧振子问题，交变电流问题，温度随时间呈周期性变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．前两个实例中的模型是物理学中比较理想化的模型，后两个实例中的模型是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的模型．由于实际问题常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用信息技术处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．问题1是研究弹簧振子（简称振子）随时间呈周期性变化的问题，题目给出了某个振子在完成一次全振动的过程中，时间t 与位移y 之间的对应数据，并要求根据数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．学生可以根据已知数据作出散点图，并由数据表和散点图得到振子的位移关于时间的函数解析式．振子的运动原理是教学的一个难点．在教学前，教师可以让学生查阅资料，了解振子的运动原理．在教学中，教师可以利用物理学中的课件使学生有直观的感受，从而突破难点． 在此问题的基础上，教科书联系其他类似弹簧振子的运动给出了“简谐运动”的概念，并介绍了简谐运动的函数模型Asin y x ωϕ=+()中参数A ω ϕ，，的物理意义．问题2是研究交变电流i 随时间t 变化的问题．题目给出某次实验测得的交变电流i 随时间t 变化的图象，并要求学生求交变电流；随时间t 变化的函数解析式，以及当t 取特殊值时交变电流i 的值．教学中可以引导学生观察图象，并由图象得到sin =i t A ωϕ+()中参数，，的值，进而求出当t取特殊值时交变电流i的值．A ωϕ例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题，题目给出了某个时间段的温度变化曲线，要求学生求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式．其实就是利用函数的模型（函数图象）解决问题（求这一天的最大温差），并根据图象建立解析式．第（1）小题，虽然也可以先求出函数解析式，再根据解析式来解决这一问题，但不如直接根据函数图象看出结果方便．第（2）小题的函数模型类型已经给出，只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定其解析式．其中，A为最大值减去最小值的差的一半；ω是利用半周期为（14-6)，通过建立方程得解；ϕ可以利用特殊值求得．例2是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．教学中，可以引导学生将表中的数据输入信息技术，画出它的散点图，然后观察散点图，选择恰当的函数模型．需要说明的是，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析，本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义，例如，由模型解出的凌晨进港时间约等于0.3975时，如果考虑到安全因素，在稍后的0.5时，即0时30分进港是合适的．正因为有这个考虑，所以教科书在例题的后面给了一个“思考”．实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．基于以上分析，确定本单元的教学重点及难点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．学情分析：弹簧振子的运动原理是教学的一个难点．在教学前，教师可以让学生查阅资料，了解振子的运动原理．在教学中，教师可以利用物理学中的课件使学生有直观的感受，从而突破难点．例2是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题．这个问题只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．教学中，可以引导学生将表中的数据输入信息技术，画出它的散点图，然后观察散点图，选择恰当的函数模型．教学目标：1. 会用三角函数解决简单的实际问题，重点提升学生的数学抽象．2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．3. 能够从已知的数学模型及图象，确定函数Asin y x ωϕ=+()中各参数A ω ϕ，，的值，提高学生数学运算和数学建模素养.教学重点：利用三角函数刻画简弹簧振子的运动．教学难点：将生活中与周期性现象有关的实际问题转化成与三角函数有关的数学问题． 教学过程：（一）问题引入展示弹簧振子的运动过程视频．设计意图：学生通过直观的观察，了解弹簧振子运动的原理，为问题１的解决做好准备，促进难点的突破．（二）三角函数在物理学中的应用问题1 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y (单位：mm)之间的对应数据如表（教材P242表5.7-1）所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．师生活动：教师引导学生思考，根据时间与位移之间的对应数据，画出散点图，观察图象从而进行函数拟合获得具体的函数模型，再结合数据表及散点图确定出相应的参数A ω ϕ，，的值，从而确定出函数解析式．设计意图：通过物理学中的弹簧振子振动原理，体会三角函数的应用，并为“简谐振动”概念的给出做以铺垫．sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中 A ω ϕ，，的物理意义： 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是 2πT =ω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率是由公式 2π1ωf ==T ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x ωϕ+称为相位；=0x 时的相位ϕ称为初相．设计意图：给出“简谐振动”定义，明确在“简谐振动”中 A ω ϕ，，，的物理意义. 问题2 （教科书P243页图5.7-2（1））是某次实验测得的交变电流i （单位：A ）随时间t (单位：s) 变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7-2（2）.（1）求电流 i 随时间 t 变化的函数解析式；（2）当 1171=060015060060t ，，，， 时，求电流 i . 师生活动：教师引导学生观察图象，依据问题中给出的函数图象拟合函数模型，再依据图象及sin =i t ω φ A ωϕA +()中参数 ，，的值，进而求出当ｔ取特殊值时交变电流i 的值．设计意图：再次体会三角函数在物理学中的应用，及根据函数图象拟合函数模型确定解析式的过程．（三）三角函数在现实生活中的应用例1 如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数sin +y x A ωϕ=+()b. （1）求这一天614时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.师生活动：学生思考，依据函数模型（函数图象）可直接确定这一天614的最大温差， 从而解决第（1）小题．第（2）小题的函数模型类型已经给出，利用待定系数法求出解析式中的未知参数，从而确定解析式．其中，Ａ为最大值减去最小值的差的一半；ω 是利用半周期为(14-6)，通过建立方程得解；ϕ可以利用特殊值求得．设计意图：学习通过给出一段三角函数模型（图象），求未知参数的基本方法．例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在潮落时返回海洋．教材中表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.001m ）．（2）一条货船的吃水深度（船底与水面距离）为4m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?（3）某船的吃水深度为4m ，安全间隙为1.5m ，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3m/h 的速度减少，如果这条船停止卸货需0.4h 才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域?师生活动：教师引导学生分析观察表格数据，难以确定函数模型，可引导学生画出其散点图，然后观察图象，选择恰当的函数模型sin +y x h A ωϕ=+()来刻画港口的水深与时间的关系．根据数据确定参数 A ω φ h ，，，的值．再依据实际问题解决第（2）、第（3）小题．五、单元小结、布置作业教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：1.三角函数在物理中的应用．2.sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中各参数的物理意义. 3.三角函数在现实生活中的应用．4.三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．(3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．布置作业：教科书p249 习题 5.7 1，2，3．六、目标检测设计1． 已知简谐振动的振幅是 32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点304(，)，则该简谐振动的频率和初相是( )A ．16， π6B ．18， π6C ．18， π3D ．16， π32．振动量0y x ωϕϕ>(-)，()的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是_______． 3．已知某种交流电流I （A ）随时间t （s ）的变化规律可以拟合为函数π100π2I t t ∈∞(-)，[0,+)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动________次．。
2019年高中数学三角函数过关必备教案人教版
2019年高中数学三角函数过关必备教案人教版一、内容与要求（摘自高中数学课程标准必修4）1．三角函数（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。
⑤结合具体实例，了解y=Asin的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
2．三角恒等变换（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二、考试内容与要求（摘自xx年北京市高考数学理科考试说明）三、高考真题展示 1、（北京市xx 年高考理科试题）在△ABC 中 ，若b = 1 ，c =，，则a = 。
2、（北京市xx 年高考理科试题）（15）（本小题共13分） 已知函数22cos 2sin 4cos x x x =+-。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。
3、（北京市xx 年高考文科试题）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （A ）； （B ）（C ） （D ） 4、（北京市xx 年高考文科试题）（15）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值 5、（北京市xx 年高考理科试题）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6、（北京市xx 年高考理科试题）（15）在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积. 7、（北京市xx 年高考文科试题）“”是“”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8、（北京市xx 年高考文科试题）若，则 . 9、（北京市xx 年高考文科试题）（15）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 四、必备的重要基础知识1、任意角的三角函数的定义；2、三角函数诱导公式；3、正、余弦函数，正切函数的图像和性质。
高三数学一轮复习 三角函数教案示例 人教版 教案
三角函数教案示例教学目标:进一步强调三角函数知识，方法体系重点难点:（1）三角公式的综合应用，化简，求值及证明；（2）三角形中有关问题；（3）三角函数的性质的应用典型题目例1．求下列各函数的值域(1) y=sin(cosx) (2)y=cos 2x-cosx (3)y=arcsin(cosx) (4) ],2[,1cos 2cos sin 322ππ∈+-=x x x x y 解:(1) 函数的定义域为R ，令u=cosx, x ∈R ，则y=sinu,∵ x ∈R, ∴ u ∈[-1,1]，而y=sinu 在[-1，1]上单调递增，∴y ∈[-sin1,sin1]. (2)函数的定义域为R ，令u=cosx(x ∈R), 则y=u 2-u, ∵x ∈R ∴ u ∈[-1,1], 而y=u 2-u 的对称轴为21=u ， ]1,1[21-∈=u ， ∴ ]2,41[-∈y . (3)函数的定义域为R ，令u=cosx(x ∈R),则y=arcsinu, ∵ x ∈R, ∴ u ∈[-1,1], ∴ ]2,2[ππ-∈y . (4)函数的定义域为],2[ππ∵ 1cos 2cos sin 322+-⋅=x x x y )62sin(22cos 2sin 3π-=-=x x x∵π≤≤πx 2， ∴ π≤≤π22x ,π=π-π≤π-≤π-π=π6116262665x ，∴ 21)62sin(1≤π-≤-x , ∴ y ∈[-2,1].小结:三角函数的值域问题，一般有三种处理途径:一是用三角变形为y=Asin(ωx+ϕ)+B 型，利用sin(ωx+ϕ)的值域处理如例1（4）； 二是用换元法转化为代数函数，再用代数函数求最值的不同方法处理，如例1（2）； 三是用复合规律分好内外层函数，再用各层函数处理，如例1①③. 在各种处理方法中，一定要注意函数的定义域．．．．．．．．. 例2．函数)21()(xtg tgx x f ⋅+=sinx 是（ ）. A 、周期为2π的奇函数； B 、周期为2π的偶函数； C 、周期为π的奇函数； D 、周期为π的偶函数 解:∵)21()(x tg tgx x f ⋅+=sinx ，∴ 222π+π≠π+π≠k x k x 且, ∴ π+π≠π+π≠k x k x 22且, ∴ 函数f(x)的定义域D 为},,22|{R x Z k k x k x x ∈∈π+π≠π+π≠且，可知其关于原点对称. 又 )21()(x tg tgx x f ⋅+=sinxtgx xx x x x x x x x x x xxx ==⋅+=+=⋅⋅+=cos sin sin cos 2sin 2cos sin )cos 2sin 21(sin )2cos2sincos sin 1(22 其图象如下:∴ 选A.小结:处理三角函数的周期，一般（一）需先把函数解析式化简为Asin(ωx+ϕ)，Acos(ωx+ϕ), Atg(ωx+ϕ)或Actg(ωx+ϕ)的形式，然后再利用周期公式求周期；或（二）利用函数图象求周期.在应用上述各法处理周期问题时，应注意函数的定义域，否则易错，如例2，若不考虑定义域，则可能错选C.例3．（1）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A ≠0, ω>0, 22π<ϕ<π-)的图象关于π=32x 对称，且周期为π，则: A 、f(x)的图象过点)21.0(； B 、f(x)在]32,125[ππ上为减函数；C 、f(x)的一个对称中心为)0,125(π D 、f(x)的最大值为A.（2）已知函数f(x)=tg(2x+ϕ)的图象的一个对称中心是)0,6(π-，则绝对值最小的ϕ的值为:A 、12π-B 、6π-C 、6πD 、3π解:（1）∵ T=π， ∴ π=ωπ=2T ，∴ ω=2, 又∵f(x)=Asin(2x+ϕ)的图象关于π=32x 对称，∴ )34sin(ϕ+π=±A A 又A ≠0，∴ 1)34sin(±=ϕ+π， ∴ 234π+π=ϕ+πk ，∴ π-π=ϕ65k ， 又∵ 22π<ϕ<π-，∴ k=1, 6π=ϕ,∴ )62sin()(π+=x A x f ,∵A ≠0决定了单调区间，最值，过的定点，但不影响对称中心，故选C. （2）∵ f(x)=tg(2x+ϕ)的图象的一个对称中心为），（06π-， ∴ 当6π-=x 时，tg(2x+ϕ)=0或无意义 即 0)3(=ϕ+π-tg 或无意义 ∴ )(23Z k k ∈π=ϕ+π-∴ )(32Z k k ∈π+π=ϕ∵ |ϕ|最小的是所求，∴ k=-1, 6π-=ϕ, 故选B.小结:y=sinx 图象的对称轴为)(2Z k k x ∈π+π=，对称中心为(k π,0)(k ∈Z);y=cosx 图象的对称轴为x=k π(k ∈Z),对称中心为)0,2(π+πk (k ∈Z)；y=ctgx 及y=tgx 的图象的对称中心为))(0,2(Z k k ∈π.在处理图象的对称中心问题时，注意不在图象上的对称中心是易错点，如例3（2）易忘选B ，错选D.例4．求值:0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ⋅-⋅+. 解:0000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ⋅-⋅+000000008sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(⋅--⋅+-= .322123130sin 30cos 1158cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin 000000000000000000-=-=-===-+⋅+⋅-⋅=tg 小结:化简，求值问题，一般的想法是合并同类项，约分消项(a-a,aa)或找特殊角的三角函数值，常用技巧是化同角，化同名（切割化弦），降次，运算形式间的互化即:和差化积，积化和差等.如例4，观察角间的关系，7︒，15︒，8︒，而15︒=7︒+8︒，则可建立它们的联系，把7︒=15︒-8︒，再注意名的关系，则可以消项，之后可分约分，15︒又是30︒的半角，则可以选公式求值了. 例5．已知ctgxx x x f ++-=112cos 2sin )(①化简f(x);②若53)4sin(=π+x ，且π<<π434x ，求f(x)的值；解:①分析:注意此处角，名的关系，所以切化弦化同角，2x 化x ，化同角.ctgxx x x f ++-=112cos 2sin )(xx x x x sin cos 11sin 21cos sin 22+++-⋅=x xx x x x 22sin 2cos sin )sin (cos sin 2=++⋅=②求f(x)即求sinx,此处未知角x ，已知角4π+x ，而4)4(π-π+=x x ，∴可把x 化成已知.∵π<<π434x , ∴ π<π+<π42x ,∴ 54)4(sin 1)4cos(2-=π+--=π+x x , ∴ ]4)4sin[(sin π-π+=x x 21074sin )4cos(4cos )4sin(=ππ+-ππ+=x x∴ 2549sin 2)(2==x x f .小结:在处理三角函数的求值及由值出角时，要注意角的范围；在求值问题中，也要注意角间的相互关系. 例6．已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且A<B<C ，tgA ·tgC 32+=,①求角A 、B 、C 的大小；②如果BC 边的长等于34，求ΔABC 的边AC 的长及三角形的面积. 解:（1）法1，∵tgA ·tgC 32+=,∴32cos cos sin sin +=CA CA ，即C A C A cos cos )32(sin sin ⋅+=⋅∴)]cos()[cos(232)]cos()[cos(21C A C A C A C A -+++=--+-∵A+B+C=180︒ 且2B=A+C ， ∴B=60︒， A+C=120︒， ∴21)cos(-=+C A ， ∴)cos(232432)cos(2141C A C A -+++-=-+ ∴ 23)cos(=-C A ∵A<60︒<C, 且A+C=120︒, ∴ 0<A<60︒, 60︒<C<120︒, ∴ -120︒<A-C<0︒,∴ A-C=-30︒, 又A+C=120︒∴ A=45︒, C=75︒. 法2:∵A+B+C=180︒， 2B=A+C ， ∴B=60︒， A+C=120︒， ∴ 3)(-=+C A tg 又32,1)(+=-+=+tgAtgC tgAtgCtgCtgA C A tg∴ 3213--+=-tgC tgA ∴ 33+=+tgC tgA又32+=tgAtgC 且0︒<A<60︒<C<120︒, ∴ tgA=1, 32+=tgC , ∴ A=45︒, ∴ C=120︒-45︒=75︒ (2) 由正弦定理:045sin ||60sin ||BC AC =， ∴ 26||=AC ，∴ S ΔABC C BC AC sin ||||21⋅⋅=.3618)3045sin(21275sin 34262100+=+=⨯⨯⨯=小结:三角形中存在的各种关系①A+B+C=π ②正余弦定理 ③各种面积公式；常见问题有化简，求值，证明及三角形形状的判定，要注意入手公式的选择，并注意由三角函数关系出角关系时，角的范围的影响. 课外练习1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA ·sinB 为（ ）.A 、有最大值21和最小值0 B 、有最大值21，但无最小值C 、既无最大值，也无最小值D 、有最大值1，但无最小值2．函数)323)(arccos(sin π<<π-=x x y 的值域为（ ）. A 、)65,6(ππ B 、)65,0[π C 、)32,3(ππ D 、)32,6(ππ3．函数y=sinx+cosx+2的最小值为（ ）. A 、22-B 、22+C 、0D 、14．函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值是（ ）. A 、2 B 、0 C 、41-D 、6 5．如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线8π-=x 对称，那么a=（ ）. A 、2 B 、2- C 、1 D 、-16．函数)22cos(π+=x y 的图象的一条对称轴方程为（ ）. A 、2π-=x B 、4π-=x C 、8π=x D 、x=π 7．已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0≤θ≤2π},F={θ|tan θ<sin θ},那么E ∩F 是区间（ ）.A 、),2(ππB 、)43,4(ππ C 、)23,(ππ D 、)45,43(ππ 8．使arcsinx>arccosx 成立的x 的取值范围是（ ）. A 、)22,0( B 、]1,22( C 、)22,1[- D 、[-1,0) 9．设θ是第二象限角，则必有（ ）. A 、2tan 2cotθ>θ B 、2cot 2tan θ>θ C 、2cos 2sin θ>θ D 、2cos 2sin θ<θ 10．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）.A 、tan αtan β<1B 、2sin sin <β+αC 、cos α+cos β>1D 、2tan)tan(21β+α<β+α 11．已知点P(sin α-cos α, tan α)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是（ ）.A 、)45,()43,2(ππππ B 、)45,()21,4(ππππ C 、)23,45()43,2(ππππ D 、),43()21,4(ππππ 12．已知α是第三象限角，并且2524sin -=α，则2tan α=（ ）.A 、34B 、43C 、43-D 、34-13．方程33)32tan(=π+x 在区间[0，2π）上解的个数是（ ）. A 、5 B 、4 C 、3 D 、214．若20π≤α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于（ ）. A 、2π B 、2π- C 、α-π22 D 、α-π-2215．函数x x y 2cos )23sin(+-π=的最小正周期是（ ）.A 、2πB 、πC 、2πD 、4π16．下列命题中正确的命题是（ ）.A 、若点P(a, 2a)(a ≠0)为角α终边上一点，则552sin =α. B 、同时满足23cos ,21sin =α=α的角α有且只有一个 C 、当|α|<1时，tan(arcsin α)的值恒正D 、三角方程3)3tan(=π+x 的解集为{x|x=k π, k ∈Z} 17．已知21)(),,2(,53sin =β-πππ∈α=αtg ，求tg(α-2β).[参考答案]1.B2.B3.A4.B5.D6.B7.A8.B9.B 10.D 11.B 12.D 13.B 14.A 15.B 16.D17. ∵ ),,2(,53sin ππ∈α=α ∴ 54cos -=α, ∴ 43-=αtg , 又21)(=β-πtg , ∴ 21-=βtg , ∴ 342-=βtg ,∴ 2472127)34)(43(13443212)2(==--++-=β⋅α+β-α=β-αtg tg tg tg tg .。
(word完整版)高三一轮复习、三角函数教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类 深度剖析 题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】 已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】 已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。
高三数学一轮复习 第九节 三角函数的应用教案 新人教版
例1第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x的值为_______________km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 60 ，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东154．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的大小关系为_______________．5．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴AC =答：线段AC ． 【范例解析】例 1.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：构造三角形，根据正弦定理或余弦定理解决问题． 解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．A BCD第5题23或3 340021d d <1A2A例2（1）在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．答：塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ+·．点评：有关测量问题，构造三角形结合正弦定理或余弦定理求解． 例2.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船 位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结12A B，由已知22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠， 在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=60=（海里/小时）答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，122060AA ==112105B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=- 4=，1A2A例2（2）1A2A例2（3）sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+4=．在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=．由正弦定理1112111221sin sin A B A A B B A A A B ===∠∠ 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，cos15sin1054==．在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B A B A B A B A B =+-22210(1210(1=+-⨯⨯200=．12B B ∴=6020⨯=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程． 例3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南θ（cos 10θ=）方向300km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始 受到台风的侵袭？分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件， 解法一：如图(1)，设经过t 小时后台风中心为Q ，此时台风 侵袭的圆形区域半径为1060t +()km ．若在t 时刻城市O东O 例3(1)受到台风的侵袭，则1060OQ t ≤+．在OPQ △中，由余弦定理得：2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅⋅∠． 又300PO =，20PQ t =，cos cos(45)OPQ θ∠=-︒， 故22400960090000OQ t t =-+．因此，22400960090000(1060)t t t -+≤+，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤．答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解法二：如图（2）建立坐标系以O 为原点，正东方向为在时刻t 时台风中心Q （y x,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.点评：本题的设计抓住“台风中心的运动”以及“运动过程中台风半径的匀速扩张”两个主要特点.解法二是建立坐标系，转化为点和圆的位置关系求解. 【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m 45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距m ． 2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是海里． 4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一东O例3（2）经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=6．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）． 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．7．发电机发出的三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，sin A I t ω=，sin(120)B I t ω=+︒，sin(240)C I t ω=+︒，则A B C I I I ++= 0 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ，其中[0,60]t ∈．9．如图，某人在高出海面600m 的山上P 处，测得海面上的航标A 在正东，俯角为30︒，航标B 在南偏东60︒，俯角为45︒，则这两个航标间的距离为___600___m ．10．如图，隔河看两目标A ，B ，但不能到达，在岸边选相距3km 的C 、D 两点，并测得75ACB ∠=︒， 45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，30ADB ∠=︒（A ，B，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距 离． 解：在ACD中，CD =，120ACD ∠=︒，30ADC∠=︒得AC =，则3AD =．在BCD 中，45BCD ∠=︒，CD =，60BDC ∠=︒，由正弦定理sin 75sin 45BD=︒︒得：3BD =在ABC 中，由余弦定理229(323(3cos30AB =+-⨯⨯⨯︒，CDBA第10题PCA45︒30︒第9题72510sin60tπ第6题解得2AB =．答：两目标A ，Bkm ．11．在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距离A处1)海里的B 处有一走私船，在A 处北偏西75︒方向，距离A 处2海里C处的缉私艇奉命以/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私艇沿什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私艇用t 小时在D 处追上走私船，则有CD =，10BD t =，在ABC中，1AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得：BC在ABC中，由正弦定理：sin sin AC ABC BAC BC ∠=∠=45ABC ∴∠=︒，即BC 与正北方向垂直，在BCD 中，由正弦定理：1sin sin 2BD BCD CBD CD ∠=∠=， 30BCD ∴∠=︒答：缉私艇沿东偏北30︒方向能最快追上走私船．12．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？解：设( 1.4)BC am a =≥，CD bm =，连结BD ．则在CDB ∆中，2221()2cos60.2b b a ab -=+- 214.1a b a -∴=- 21422.1a b a a a -∴+=+- 设 2.81,10.4,2t a t =-≥-=则21(1)3422(1)347,4t b a t t t t+-+=++=++≥ 等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低．BACD 地面 第12题C A B D第11题。
2019-2020学年高考数学一轮复习《三角函数》教案
第六章 三角函数1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点： 1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综知识网络 考纲导读高考导航 任意角的三角函数三角函 数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质 角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系 诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切y ＝sin x , y ＝cos x 的图象和性质y ＝tanx 的图象和性质 y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象已知三角函数值求角合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．2019-2020－ ＋ － + cos x , ＋ ＋ －－ sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x y O x y Ox y O αx y O2α,2α ,3α的终边所在位置. 解： ∵α是第二象限的角，（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k∈Z ）， 当k=2n （n∈Z ）时， n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°； 当k=2n+1（n∈Z ）时， n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. （3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k∈Z ）， 当k=3n （n∈Z ）时， n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°； 当k=3n+1（n∈Z ）时， n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°； 当k=3n+2（n∈Z ）时， n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°. ∴3α是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ 解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ）， 60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°. ①当k=3m (m∈Z )时，可得 60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z )时，可得 180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m∈Z ). 故3α的终边在第三象限. 典型例题③当k=3m+2 （m∈Z ）时，可得 300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m∈Z ）. 故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ， 则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k∈Z . （2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα. 变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）. 解：（1）∵2cosx -1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ). 例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|, 当t ＞0时，r=5t,sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P 2(3,)(0),sin 4m m m θ-≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值． 解：由题意，得 2223,,0,543m r m m m m =+∴=≠∴=±+ 故角θ是第二或第三象限角． 当5m =时,22r =，点P 的坐标为(3,5)-，36515cos ,tan 43223x y r x θθ-∴===-===-- 当5m =-时,22r =，点P 的坐标为(3,5)，36515cos tan 43223x y r x θθ--∴===-===- 例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-解答题专项(二)三角函数中的综合问题
cos −cos
sin cos −sin cos
解由正弦定理可得
− =
cos +cos
sin cos +sin cos
（2）若
=
sin − −sin
sin +
sin −
sin
=
−
sin +
sin +
解得cos =
2
（负值舍去）.
3
5
+ cos 2
4
= 1,
（2）若 = 3, = 3cos ,求△ 的周长.
解由 = 3cos 及正弦定理,可得sin = 3sin cos .
在△ 中, + + = π,则sin + = 3sin cos ,
求的最小值.
1
2
解因为 = 4, = 3,所以△ 的面积为 × 4 × 3 ×
3
2
= 3 3,
3 3
.
2
所以△ 的面积为
设 = , = ,所以
3
4
=
3 3
,
2
即 = 6.
在△ 中，由余弦定理知
=
2
+ 2
−
π
2cos
3
当且仅当 = 时等号成立.
∴ 2sin cos − 2cos sin = sin cos + cos sin ,
∴ sin cos = 3cos sin ,
∴ sin = 3cos ,
即tan = 3.又∵ 0 < <
∴ sin =
高考总复习一轮数学精品课件 第5章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位
用符号 rad表示,读作弧度.
(2)公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式
扇形面积公式
|α|=__________
π
1°=__________
180 180
(l表示弧长)
rad;
1 rad=__________°
-50°
角是__________.
310°
(2)若α是第一象限角,则 2 是第__________象限角.
一或三
解析 (1)与角1 030°终边相同的角可以表示为α=1 030°+k·
360°,k∈Z,
当k=-3时,α=-50°;当k=-2时,α=310°,
所以在与角1 030°终边相同的角中,最大的负角是-50°,最小的正角是310°.
π
|α|r
弧长l=__________
1
1
2
lr
S=__________=
|α|r
2
2
利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度
微点拨有关弧度制的注意点:(1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互
化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.(2)注意扇形圆心
角弧度数的取值范围是(0,2π],实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
1
√3
弦与半径所围成的三角形面积为 S1=2 ×2×2× 2 = √3
2π
扇形的弧所在的弓形的面积为 S-S1=( 3 − √3)cm2.
cm2.
(3)因为扇形的周长为 20 cm,l=αR,所以 l=20-2R,
2019届高考数学一轮复习：《三角函数图象与性质》教学案(含解析)
第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数(1)周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠－π4，x ∈RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈RD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R解析：选D ∵x －π4≠k π＋π2，∴x≠k π＋3π4，k ∈Z.2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选C 作出函数y ＝|sin x|的图象观察可知，函数y ＝|sin x|在⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2上递增．4．比较大小，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：>5．(教材习题改编)y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________. 解析：当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z.答案：5 34π＋2k π，k ∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是不为零的常数．如果只有个别的x 值满足f(x ＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x 值不满足f(x ＋T)＝f(x)，都不能说T 是函数f(x)的周期．典题导入[例1] (1)(2018·湛江调研)函数y ＝lg(sin x)＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，cos x≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π，－π3＋2k π≤x≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. [答案] (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[0,1]．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2018·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x≥0，x>0，tan x≥0，x≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤4，k π≤x<k π＋π2∈利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<π2，或π≤x≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x<π2，或π≤x≤4 (2)B典题导入[例2] (2018·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答] 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z)求得函数的减区间．(2)形如y ＝Asin(－ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－Asin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z)得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z)得到函数的增区间．(3)对于y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝Asin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x|的增区间为________．(2)已知函数f(x)＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a解析：(1)作出y ＝|tan x|的图象，观察图象可知，y ＝|tan x|的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z.(2)f(x)＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c<a<b.答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2018·广州调研)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，给出下面四个 ①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos 2x 的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. [答案] C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2018·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 (2)(2018·遵义模拟)若函数f(x)＝sin ax ＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数． (2)选C 由条件得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.1．函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cosx －12≥0，得cos x≥12，∴2k π－π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z.2．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( )A ．函数f(x)的最小正周期为2πB ．函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 C ．函数f(x)的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f(x)是奇函数解析：选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数．3．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析：选C 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则f(x)的对称轴为2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z)，所以x ＝5π12为f(x)的一条对称轴．4．(2018·山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A 当0≤x≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.5．已知函数f(x)＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8解析：选C 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x≤k π＋π8，k ∈Z.6．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3ω，π4ω，要使函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32. 7．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x－π4≤2k π＋π(k ∈Z)， 故k π＋π8≤x≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 8．已知函数f(x)＝5sin (ωx ＋2)满足条件f(x ＋3)＋f(x)＝0，则正数ω＝________.解析：f(x ＋3)＋f(x)＝0⇒f(x ＋6)＝f(x)，故f(x)以6为最小正周期，故2π|ω|＝6.又ω>0，∴ω＝π3.答案：π39．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z)， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π－13π6(k ∈Z)．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6. 答案：π610．设f(x)＝1－2sin x. (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3， ∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f(x)取得最大值． 11．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝2sin(π－x)cos x ＝2sin xcos x ＝sin 2x ， ∴函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x≤π2，∴－π3≤2x≤π，则－32≤sin 2x≤1. 所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32.12．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝－sin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间．解：(1)由sin x≠0得x≠k π(k ∈Z)， 故f(x)的定义域为{x ∈R|x≠k π，k ∈Z}． 因为f(x)＝－sin x＝2cos x(sin x －cos x) ＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)． 由2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，x≠k π(k ∈Z)，得k π－π8≤x≤k π＋3π8，x≠k π(k ∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z)．1． (2018·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4 解析：选A 由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)， 又0<φ<π，所以φ＝π4. 2．函数y ＝f(cos x)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z)，则函数y ＝f(x)的定义域为________． 解析：由2k π－π6≤x≤2k π＋2π3(k ∈Z)， 得－12≤cos x≤1. 故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 3． (2018·汕头模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x＋π6≤76π， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， 又∵a>0，－5≤f(x)≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2a ＋b ＝－5，a ＋2a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5.(2)f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 由－π2＋2k π≤2x＋π6≤π2＋2k π得 －π3＋k π≤x≤π6＋k π，k ∈Z ， 由π2＋2k π≤2x＋π6≤3π2＋2k π得π6＋k π≤x≤23π＋k π，k ∈Z ， ∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)．1．(2018·湖南高考)函数f(x)＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2]B ．[－3， 3 ]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：选B 因为f(x)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫ 32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f(x)的值域为[－3， 3 ]． 2．(2018·温州模拟)已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 解析：选A 由函数为偶函数知φ＝π2＋k π(k ∈Z)，又因为0<φ<π所以φ＝π2，从而y ＝2cos ωx.又由条件知函数的最小正周期为π，故ω＝2，因此y ＝2cos 2x.经验证知A 满足条件．3．设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称图形； ④在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个答案：①②⇒③④(或①③⇒②④)4．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值； (2)若f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间． 解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x≤k π＋π12，k ∈Z. ∴f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.。
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5.8 三角函的综合应用
典例精析 题型一 利用三角函的性质解应用题
【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR 分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.
【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M.
设∠PAM ＝α，0≤α≤π2
，[] 则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，
所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α，
于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR
＝(100－90cos α)(100－90sin α)
＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 设t ＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝
t2－12
. S 四边形PQCR ＝8 100·t2－12
－9 000t ＋10 000[] ＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t≤2).
当t＝2时，(S四边形PQCR)max＝14 050－9 000 2 m2；
当t＝10
9
时，(S四边形PQCR)min＝950 m2.
【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函求最值时，可设sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，从而把问题转成关于t的二次函的最值问题.注意t的取值范围.
【变式训练1】若0＜x＜π
2
，则4x与sin 3x的大小关系是( )
A.4x＞sin 3x
B.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3x
D.与x的值有关
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)
＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函.又0＜x＜π
2
，所以f(x)＞f(0)
＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故选A.
题型二函y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度据.
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上据，求出函y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时
间可供冲浪者进行运动？[]
【解析】(1)由表中据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6
. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，
所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6
t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，
所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6
t ＞0， 所以2kπ－π2＜π6t ＜2kπ＋π2
，即12k －3＜t ＜12k ＋3.① 因为0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.
故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【点拨】用y ＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给据准确求出函解析式.
【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针
方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d
m(P 在水面下则d 为负)，则d(m)与时间t(s)之间满足
关系式：d ＝Asin(ωt＋φ)＋k(A ＞0，ω＞0，－π2
＜φ＜π2
)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6
；④k ＝5.其中正确结论的序号
是 . 【解析】①②④.
题型三 正、余弦定的应用
【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.
【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯
角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)
在△ABM 中 ，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定得
BM ＝ABsin φsin ∠AMB ＝asin φsin(φ＋β)
，[] 同在△BAN 中，BN ＝ABsin θsin ∠ANB ＝asin θsin(θ＋γ)
， 所以在△BMN 中，由余弦定得
MN ＝
MBN BN BM BN BM ∠-+∙cos 222
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos (γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ)
. 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10
海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时
.
【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，
即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC
＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC
＝tan ∠OCA ＝tan 75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC (tan 75°－tan 60°)，即有
OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°
＝10tan(30°＋45°)－tan 60°
＝10tan 30°＋ta n 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13
－3＝5. 由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.
总结提高
1.解三角形的应用题时应注意：[]
(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)将所有已知条件入同一个三角形中求解；
(3)方程思想在解题中的运用.
2.解三角函的综合题时应注意：
(1)与已知基本函对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；
(2)将已知三角函为同一个角的一种三角函，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)换元方法在解题中的运用.。