中学数学常用数学思想[论文]

浅谈中学数学常用数学思想
掌握数学思想是学好数学的关键之一。

数学思想体系是不断充实、完善和发展的，各种数学思想之间也不是孤立的，而是相互联系、相互依存的，需要加以综合运用。

中学数学数学思想哲学思想数学家米山国藏指出，“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位。

”数学思想方法是数学宝库的重要组成部分，是数学科学赖以建立和发展的基础。

正所谓思想是统帅，是灵魂，在数学教育中，使学生掌握大量数学知识背后的思想方法内容，才能抓住数学的本质，真正学好数学。

一、整体思想
哲学中说不能“只见树木，不见森林”，说的是不能没有全局观念和整体意识。

同样，在数学的学习中，也要具有整体思想，它在整个数学思想体系中占有重要地位。

整体思想是将需解决的问题看作一个整体，由整体入手，通过研究问题的整体形式，洞察命题中的整体与局部的关系，实现等价化归使问题得到解决。

一般情况下，用整体思想解题的途径为：从整体特性上看问题；从整体到局部看问题。

整体思想可以培养思维的整体性、灵活性，开阔眼界、拓宽思路，寻找解题捷径。

1.数学公式中的字母在实际应用中往往具有整体性。

2.（）内的代数式具有整体性。

3.思考数学问题时要善于抓住主要矛盾，从整体上通盘考虑，而
不能只局限于细枝末节。

对于大信息量问题，要学会提炼有用信息，建立整体意义上的数学模型，同时注意细节的处理。

二、全面思想（分类讨论思想）
全面思想就是依据所研究对象的性质差异，对问题分各种不同的情况予以分析解决。

分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。

全面考虑问题是科学素养、人文素养的重要内容，这一点在数学上体现得尤为突出，很多数学问题都要多角度，全方位进行分析、思考。

1.当a，b为任意实数时，解不等式ax>b.
由于实数分为正数，零和负数，故需按a，b的正负分情况加以讨论.
2.运用比较法比较两个数a，b的大小，当a，b的大小关系不定时，需分ⅰ.a-b>0；ⅱ. a-b<0；ⅲ.a-b=0三种情况讨论。

3.等比数列有时须区分公比q=1和q≠1讨论。

4.一条线段的黄金分割点对称地有两个。

到三角形三边距离相等的点有四个，一个内心，三个旁心。

讨论这些问题时须全面，将视野放宽，否则稍有疏忽就会有纰漏。

三、转化思想（化归思想）
“化归”是转化、归结的简称，即把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结为已经能解决或者比较容易解决的问题。

对于化归思想，数学家罗莎·彼得作了如下的比喻：摆在你面前的有水龙头、水壶、煤气灶和火柴，任务是烧开水。

你将怎么办？
打开水龙头，把水壶注满水并放到煤气灶上，然后划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。

如果水壶里已经注满了水，你又将怎么办？一般人的回答是把水壶放到煤气灶上，划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。

罗莎说数学家的回答是，把水壶里的水倒掉，并声称把这一问题化归为最初提出的问题了。

数学家思维的独到之处，就是善于运用这种化归的思想。

有学者指出：“数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各种转化。

”利用化归思想，常常可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识。

另外，转化的方向不同，还可以开辟一题多解的新途径。

利用转化思想可以化未知为已知，化繁复为简洁，化腐朽为神奇。

如：讨论分式问题，可以联想转化到已知的分数问题；几何中证明两条线段相等、两个角相等，一般可以转化为证明两个三角形全等或相似；解方程的换元法也是利用了转化思想。

四、数形结合思想
中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，二者是有联系的，这个联系称之为数形结合。

一方面，借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，如应用曲线的方程来准确严密地探究曲线的几何性质；另一方面，借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，比如，应用函数的图像来形象直观地说明函数的性质。

故数形结合包含“以数解形”和“以形助数”两方面内容。

数与形的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径。

正如华罗庚所说：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”
笛卡尔开创的“解析几何”就是数形结合的光辉典范，用数轴表示不等式的解集，三角函数中的单位圆、三角函数线等也是数形结合的范例。

五、归纳思想
归纳思想是从特殊到一般，由具体到抽象的思想。

研究问题的目的之一便是从一个个特殊的、具体的实例总结、归纳出一般的、抽象的普遍规律。

数学证明方法中的数学归纳法便是很典型的例证，研究数列问题时也往往要用到归纳思想，做选择题时常用的特殊值法也可以认为是一种归纳思想。

六、演绎思想
有了一般规律，反过来还要应用于具体的实践，为实践服务，这就是从一般到特殊，由抽象到具体的演绎思想。

数学公式、定理在具体应用时就自觉地应用了演绎思想。

七、临界点思想
事物的发展是从量变到质变的，量积累到一定程度就会引起质的飞跃，这里面就有一个临界点问题。

物体运动中，当运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态过渡的转折点，这个转折点就是临界点。

确定各临界点，依据临界点划分运动过程和运动阶段，分别加以研究，求出各运动轨迹方程，进而研究其性质。

利用临界点思想可以使问题思路清晰，有章可循，而不致如一团乱麻，剪不断理还乱。

八、方程、不等式与函数思想（数学建模思想）
解决较复杂的数学问题时，直接思考较为困难，此时可设出相应的未知数，结合各种参数，构造数学模型，建立方程、不等式或函数等，进而解决问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

如著名的“鸡兔同笼”问题，借助二元一次方程组这一数学模型可以很方便地得以解决。

函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。

善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键。

另外，方程问题、不等式问题也可以转化为与其相关的函数问题，即可用函数思想解答非函数问题。

数学思想体系是不断充实、完善和发展的，各种数学思想之间也不是孤立的，而是相互联系、相互依存的，需要加以综合运用。

我们要将各种思想、方法内化、吸收，烂熟于心，这样才能得心应手，游刃有余。

人们常说数学是锻炼思维的体操，这项运动的参与者——无论是运动员，还是教练员——必须掌握好数学的精髓与灵魂——数学思想，这样才能锻炼好思维，学好数学。

另外需要指出的是，这些数学思想同时也是哲学思想、辩证法思想，不仅适用于数学本身，也适用于其他事物。

学好数学思想可以培养大局意识、细节意识，提高分析、解决问题的能力与技巧，有助于我们自身的发展。