《极值点偏移问题的处理策略及探究》

极值点偏移问题的处理策略及探究

所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使

得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202

x x

x +≠.如下图所示.

极值点没有偏移

此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】

【处理策略】

一、不含参数的问题.

例1.（2010天津理）已知函数()()x

f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2.

x x +>

【解析】法一：()(1)x

f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时，

()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函

数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1

(1)f e

=

,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则21

()(1)(1)(1)0x x x

F x f x f x e e

+'''=++-=

->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，

所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.

x x +>

法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =， 故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明

()0H x <对(0,1)x ∈恒成立.

由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e

--'''=+-=

->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立.

法三：由12()()f x f x =，得1

212x x x e

x e --=，化简得212

1

x x x e x -=

… ，

不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11t

t x e x +=

，反解出11t t x e =-，则121221

t t

x x x t t e +=+=+-，故要证：122x x +>，即证：

221

t

t

t e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②， 构造函数()2(2)(1),(0)t

G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t

t

G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，即证②式成立，也即原不等式122x x +>成立. 法四：由法三中①式，两边同时取以e 为底的对数，得2

21211

ln

ln ln x x x x x x -==-，也即21

21

ln ln 1x x x x -=-，从而2

2121212121222121111

1

ln ln ()

ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+==---， 令21(1)x t t x =

>，则欲证：122x x +>，等价于证明：1ln 21

t t t +>-…③， 构造(1)ln 2()(1)ln ,(1)11

t t M t t t t t +==+>--，则22

12ln ()(1)t t t M t t t --'=-， 又令2

()12ln ,(1)t t t t t ϕ=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=-+=--，由于1ln t t ->对(1,)t ∀∈+∞恒成立，故()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，从而()0M t '>，故()M t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，由洛比塔法则知：

1

111(1)ln ((1)ln )1

lim ()lim

lim lim(ln )21(1)x x x x t t t t t M t t t t t

→→→→'+++===+='--，即证()2M t >，即证

③式成立，也即原不等式122x x +>成立.

【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利

用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 二、含参数的问题.

例2.已知函数x

ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .