八年级数学《直角三角形》知识点
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
03880_八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
45°-45°-90°三角形性质
角度关系
在45°-45°-90°三角形中，两个 锐角均为45°，还有一个直角为
90°。
边长关系
对于45°-45°-90°三角形，若设 直角边长度为a，则另一条直角 边长度也为a，斜边长度为√2a
。
应用场景
在解决与45°-45°-90°三角形相 关的问题时，可以利用这些性质
13
实例分析与解题技巧
2024/1/26
实例分析
通过具体题目分析，展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧，如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
14
04
直角三角形中特殊角度计算
2024/1/26
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30°-60°-90°三角形性质
等。
HL全等条件只适用于直角三角 形，不能用于其他类型的三角形
。
8
SAS与ASA在直角三角形中应用
要点一
SAS（Side-Angle-Side）全等 条件在直角…
如果两个直角三角形的两条边和它们之间的夹角对应相等 ，那么这两个直角三角形全等。
要点二
ASA（Angle-Side-Angle）全 等条件在直…
拓展到解三角形
学习如何使用已知信息（如角度或边长）来解三角形，包括使用正 弦定理、余弦定理等。
实际应用与问题解决
尝试将直角三角形的性质应用于实际问题解决中，如测量、建筑和 物理等领域。
26
THANKS
感谢观看
2024/1/26
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2 3
测量距离
在航海、地理等领域，可以利用直角三角形计算 两点之间的距离，如利用经纬度计算地球上两点 之间的距离。
华东师大版数学八年级上册14.1《直角三角形的判定》知识点解读
《直角三角形的判定》知识点解读 知识点1直角三角形的判别条件（重点）如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【例1】三角形三边之长分别为①3,4,5；②9,40,41；③7,24,25；④13,84,85.其中能构成直角三角形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个分析：若已知三角形三边长，要判断这个三角形是否为直角三角形，可利用直角三角形的判别条件，即是否有两个较小数的平方和等于大数的平方.①222345+=②22294041+=③22272425+=④222138485+=所以以上4组都能构成直角三角形，故选D.解：D【例2】在△ABC 中，22-,a m n =2,b mn =22+,c m n =其中m ，n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形.分析：本题已给出三角形的三边长，只需运用直角三角形的判别条件进行判断就可以，但关键是确定最大边.解：因为m ，n 是正整数，且m>n ，222(-)20,m n m n mn =+->所以22+2,m n mn >所以c>b.又222222222(+)()20,m n m n m n m n n --=+-+=>所以c>a.所以c 为最长边.因为2222224224222222()(2)24(),a b m n mn m m n n m n m n c +=-+=-++=+=所以△ABC 是直角三角形.知识点2 勾股数（了解）能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。
（1）3，4，7；（2）5，12，13；（3）111345，，（4）3，-4，5. 分析：判断的时候，要紧扣两个条件：（1）是否符合222a b c +=，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；（2）它们是不是正整数。
八年级数学三角形知识点总结归纳
八年级数学三角形知识点总结归纳单选题1、用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A．B．C．D．答案：D解析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．小提示：本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2、如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（）A．80°B．82°C．84°D．86°答案：A解析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．小提示：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．3、如图，已知a//b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是( )A．120°B．130°C．140°D．150°答案：D解析：延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a//b，∴∠4=180°−∠1=180°−120°=60°，由三角形的外角性质可得，∠3=90°+∠4=90°+60°=150°．故选：D．小提示：本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．4、三角形的三条高所在直线的交点一定在A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同．锐角三角形的三条高都在内部，交点在其内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部．A. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；B. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；C. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；D. 锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确.故选D.小提示：此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.5、如图所示的图形中具有稳定性的是（）A．①②③④B．①③C．②④D．①②③答案：B解析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，一个多边形从一个顶点出发引出的对角线将其分成(n−2)个三角形，此时这个多边形就具有稳定性了，图①③便具有稳定性，此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．6、△ABC中，它的三条角平分线的交点为O，若∠B＝80°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．130°C．110°D．150°答案：B解析：先根据角平分线的定义可得∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，再根据三角形的内角和定理可得∠AOC=180°−12(∠BAC+∠BCA)，然后根据三角形的内角和定理可得∠BAC+∠BCA=100°，由此即可得出答案．如图，∵AO，CO分别是∠BAC，∠BCA的角平分线∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA∴∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=180°−12∠BAC−12∠BCA=180°−12(∠BAC+∠BCA)又∵∠B=80°∴∠BAC+∠BCA=180°−∠B=180°−80°=100°∴∠AOC=180°−12×100°=130°故选：B．本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，掌握三角形的内角和定理是解题关键．7、下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓A．1B．2C．3D．4答案：A解析：用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边所以答案是：A．小提示：本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．8、下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．答案：D解析：根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．小提示：本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．填空题9、如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线．答案：6解析：首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．解：设此多边形的边数为n，由题意得：（n-2）×180=1260，解得；n=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，所以答案是：6．小提示：此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．10、如图，在ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于________ ．答案：130°解析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=70°，∠B=60°，∴∠ACD=∠A+∠B=70°+60°=130°．故答案为；130°．小提示：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11、如图，如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=________．答案：540°解析：连接BC、AD．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解．解：如图，连接BC、AD．在四边形BCEG中，得∠E+∠G+∠ECB+∠GBC=360°，又因为∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠F=180°，∠4+∠5+∠3+∠6=∠CAF+∠BDF，即∠1+∠2+∠5+∠6=∠CAF+∠BDF，所以∠CAF+∠B+∠C+∠BDF+∠E+∠F+∠G=540°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．所以答案是：540°．小提示：本题考查了四边形内角和定理以及三角形内角和定理，解题的关键是能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解．12、若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于________．答案：75°解析：根据三角形内角和定理计算即可．解：∵另一个锐角为15°，∴另一个锐角为180°-90°-15°=75°，所以答案是：75°．小提示：本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余．13、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．答案：180°解析：解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°解答题14、（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C ＞∠B ，其他条件不变，请你求出∠EAD 与∠B 、∠C 之间的数列关系？并说明理由．答案：（1）20°；（2）∠EAD=12∠C ﹣12∠B ．理由见解析. 解析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠CAD ，代入∠EAD=∠CAE-∠CAD 求出即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠CAD ，代入∠EAD=∠CAE-∠CAD 求出即可．（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12∠BAC=30°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°-∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°；（2）∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12∠BAC=12（180°-∠B-∠C ）， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C ，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=12（180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12∠C-12∠B ． 小提示：本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出∠CAE 和∠CAD 的度数.15、如图，矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿边AB 以1cm/s 的速度向点B 移动，同时点Q 从点B 沿边BC 以2cm/s 的速度向点C 移动，当P 、Q 两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，求点P 运动的时间．答案：当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，点P 经过了12秒．解析：设运动时间为x 秒，根据题意，列方程求解即可．解：设当ΔDPQ 的面积比ΔPBQ 的面积大19.5cm 2时，点P 运动了x 秒．根据题意得：12×8×x +12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8，化简得：2x 2−10x +92=0，解得：x1=12，x2=92∵当x2=92时，8−2x=−1<0，∴x2=92舍去．答：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．小提示：此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．。
八年级三角形知识点归纳
八年级三角形知识点归纳三角形是中学数学中比较基础的一个概念，也是数学中常见的一种图形。
在初中数学中，三角形是一个非常重要的知识点，今天我们来回顾一下八年级阶段所学的三角形知识点。
一、三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段的交点被称为一个顶点。
三角形是由三个顶点和三个边组成的，且三角形的边和顶点是一一对应的。
根据三角形的边长关系和角度关系，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长关系：等边三角形：三边相等的三角形。
等腰三角形：至少有两边相等的三角形。
普通三角形：三边均不相等的三角形。
2. 根据角度关系：锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
直角三角形：其中一个角是直角的三角形。
钝角三角形：至少有一个角是钝角的三角形。
二、三角形的基本性质1. 三角形的内角和等于180度。
即三角形的三个角的度数之和为180度。
可以用以下公式表示：a + b + c = 180其中，a、b、c分别表示三角形的三个角的度数。
2. 等边三角形的三个角都是60度。
因为等边三角形的三边相等，所以三个角都必须相等。
而三个相等的角的度数之和必须为180度，因此每个角的度数都是60度。
3. 等腰三角形的两个底角相等。
等腰三角形的两边相等，所以两个底角也必须相等。
4. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边的长度，c为直角三角形的斜边长度。
5. 三角形的面积可以用海伦公式和正弦定理来计算。
海伦公式：若a、b、c分别为三角形的三个边长，p为三角形半周长，则三角形面积S可以用以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) ×(p - c))正弦定理：若a、b、c分别为三角形的三个边长，A、B、C分别为三角形的三个角，则有以下公式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。
人教版八年级数学上《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
《直角三角形全等的特殊条件》课堂笔记
一、定义与条件
1.HL判定：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，
那么这两个三角形全等。
2.ASA判定：在两个三角形中，如果两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个
三角形全等。
二、应用与实例
1.HL判定应用：在解决实际问题时，如果已知两个直角三角形的斜边和一条直角
边分别相等，那么可以直接使用HL判定来证明这两个三角形全等。
2.ASA判定应用：当已知两个三角形中的两个角和它们的夹边分别相等时，可以
使用ASA判定来证明这两个三角形全等。
三、注意事项
1.HL判定注意事项：在使用HL判定时，必须确保两个直角三角形的斜边和一条
直角边分别相等，不能出现其他条件的不符合。
2.ASA判定注意事项：在使用ASA判定时，必须确保两个角和它们的夹边分别
相等，不能出现其他条件的不符合。
四、练习与巩固
为了巩固所学知识，可以进行以下练习：
1.给出两组条件，判断是否能够使用HL或ASA判定证明两个三角形全等。
2.给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们全等。
五、总结与回顾
本节课学习了直角三角形全等的特殊条件，包括HL判定和ASA判定。
通过学习，我们掌握了这些判定方法的应用和注意事项。
在今后的学习中，我们将继续运用这些方法来解决实际问题。
八年级数学人教版(上册)第4课时用“HL”判定直角三角形全等
BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). ∴DA＝CB．
3.如图，点 C，E，B，F 在同一条直线上，AB⊥CF 于点 B， DE⊥CF 于点 E，AC＝DF，AB＝DE.求证：AC∥DF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC＝∠DEF＝90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， AC＝DF， AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴∠C＝∠F. ∴AC∥DF.
知识点 2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( C ) A．一个锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等 C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
∴∠APE＝∠BPF. ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠BPF＋∠BPE＝∠EPF＝90°. ∴PA⊥PB．
(2)若点 A 的坐标为(8，0)，则点 B 的坐标为 (0，－4) . (3)OA－OB 的值为 4 .
(4)如图 2，当点 B 在 y 轴正半轴上运动时，求 OA＋OB 的值. 解：过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PF⊥y 轴于点 F， 同(1)可得，Rt△APE≌Rt△BPF， ∴AE＝BF. ∵AE＝OA－OE＝OA－2，BF＝OF－OB＝2－OB， ∴OA－2＝2－OB． ∴OA＋OB＝4.
又∵∠BCD＝∠EDC＝90°，
∴∠BCD－∠ACF＝∠EDC－∠ADF， 即∠BCA＝∠EDA．
BC＝ED， 在△ABC 和△AED 中，∠BCA＝∠EDA，
AC＝AD，
湘教版数学八年级下册_《直角三角形的性质和判定》要点及典例分析
直角三角形的性质和判定
一、知识要点解析:
1.直角三角形的判定:
(1)定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.
(2)定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.当然后面学了勾股定理后还可以运用勾股定理的逆定理进行判定.
注意:判定直角三角形要灵活运用定义和定理,根据具体题目具体分析.
2.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角互余。
（2）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
二.典例分析
例1、在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC中点. 如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持AN=BM,请证明△OMN是直角三角形.
分析:要证明△OMN是直角三角形,只要证明∠MON=900即可.
证明：连接OA。
AN=BM，OA=OB，∠OAC=∠B=45°
△OAN≌△OBM,得ON=OM，∠AON=∠BOM
又∠AOM+∠BOM=90°
所以∠AON+∠AOM=90°,即∠MON=90°.
所以△OMN是直角三角形.
专项练习：
1、若一个三角形三内角之比为1:2:3,则该三角形一定是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
2、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边上的中线的长是（）
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
参考答案:
1.B
2.A。
2023八年级数学上册第十二章全等三角形12
在Rt△ABC和Rt△BAD中,ቊ
= ,
= ,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴∠CBA=∠DAB.
∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEB=∠DFA=90°.
∠ = ∠,
在△BCE和△ADF中,ቐ∠ = ∠,
= ,
课时4
直角三角形全等的判定(HL)
知识点1 斜边、直角边(HL)
1. [2022韶关期末]如图,已知∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定
Rt△ABC≌Rt△ABD.以下给出的条件适合的是 (
A.∠ABC=∠ABD
B.∠BAC=∠BAD
C.AC=AD
D.AC=BC
)
答案
= ,
B.①②③
D.①②③④
答案
7.D ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠CFD=90°.选择①,可利用“AAS”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF;选择②,由AB∥CD,可得∠A=∠D,可利用“AAS”证明
Rt△ABE≌Rt△DCF;选择③,可利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF;选择④,由AF=DE,可
1.C 当添加AC=AD时,在Rt△ABC和Rt△ABD中,ቊ
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
= ,
知识点1 斜边、直角边(HL)
2. [2022长春绿园区期末]如图,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB.若∠B=28°,则
∠AEC= (
)
A.28° B.59° C.60° D.62°
∴△BCE≌△ADF(AAS),∴CE=DF.
Rt△ABC中,
∵∠ABC+∠BCA=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.
冀教版八年级数学上册17.2《直角三角形》 (共22张PPT)
么PD等于( )
4 A．1
5 B．2
6 C．4 7 D．8
〔来自?点拨?〕
知3－练
2在Rt△ABC中，∠A＝30°，那么以下结论正确 的是( D ) A．BC＝ 1 AB B．BC≠ 2AB C．当∠B1＝90°时，BC＝ AB D．当∠C2＝90°时，BC＝ 1 AB 2 1 2
〔来自?典中点?〕
C
又∠A+∠B=90º，且∠A=30º，
∴∠B=60º，
∴△BCD是等边三角形， ∴ BC CD BD 1 AB.
2
60º B
30º A
直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30º，那么它所对的直角边等于斜边的 一半.
用几何语言表示为：
C
在Rt△ABC中，∠C=90º，
∵ ∠A=30º，
直角三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形.
小试牛刀
(1)在直角三角形中,有一个锐角为52°,那么另一 个锐角度数为 38° .
(2)在Rt △ ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=30°,那么 ∠A= 60 ° ,∠B= 30 ° .
(3)如下图,在△ ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,
D
C
A
E
B
知识点 3 含30°角的直角三角形的性质
知3－导
证明：在直角三角形中，30°角所对的直角边 等于斜边的一半.
动脑筋？
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，假设 ∠A=30º那么BC与斜边AB有什么关系呢？
取线段AB的中点D，连接CD，
即CD是Rt△ABC斜边上的中线.
那么CD=AD=BD.
八年级数学上册教学课件《含30°角的直角三角形的性质》
∴∠B=60°，∠A=30°. ∴ AB=2BC.
随堂演练
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°， AD=2cm，则AB的长度是（ C ） A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm 2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则 等腰三角形的顶角为（ D ）
（2）能运用30°角的直角三角形的性质 解决相关问题.
推进新课
知识点1 直角三角形的性质
探究
将两个全等的含30°角的直 角三角尺摆放在一起.你能借助这 个图形，找到Rt △ABC 的直角边 BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
E
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．
B
C
在△ACE 中，
A
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．
A
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
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知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
八年级数学上第二章《直角三角形》
第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半.（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G，求证：（1）点G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2）， 则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中 点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量 关系和BF ，AE 的位置关系：； （2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发， 沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边 的等腰三角形时候，则运动时间t 的值为多少？例8.已知，如图点D 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），CD ⊥AB 于D ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD.（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，（1）中的结论 是否发生变化？写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（ ） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（ ） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件 ，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED ＝90°∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高， 又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。
八年级数学上册直角三角形知识点总结
八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。
第14课直角三角形全等的判定(学生版)八年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版)
第14课直角三角形全等的判定目标导航学习目标1.掌握两个直角三角形全等的判定定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.3.探索并证明定理:角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.知识精讲知识点01 直角三角形全等的判定1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.直角三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL知识点02 角平分线性质定理的逆定理角平分线的性质定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上能力拓展考点01 直角三角形全等的判定【典例1】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF．求证：AB＝AC．【即学即练1】如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点A在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．考点02 角平分线性质定理的逆定理【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝BC．求证：AB平分∠EAD．【即学即练2】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．分层提分题组A 基础过关练1．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA2．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．AD＝BD3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt △ABE≌Rt△DCF的是（）①∠B＝∠C ②AB∥CD ③BE＝CF ④AF＝DEA．①②B．①②③C．①③④D．①②③④4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝6cm，AD ＝9cm，则BE的长是（）A．6cm cm C．3cm cm5．在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，有如下几个条件：①AC＝A'C'，∠A＝∠A'；②AC＝A'C'，AB＝A'B'；③AC＝A'C'，BC＝B'C'；④AB＝A'B'，∠A＝∠A'．其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'“的条件的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使Rt△ABC≌Rt△DCB，需添加的条件是（不添加字母和辅助线）．7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分△BAC交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥AB 交AB于点F．若BF＝BE，AC＝4，DF＝3．则AE的长为．8．如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE长．9．已知：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D、F分别在边CB和AC上，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝DF，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）当∠CAB＝40°时，求∠FDC的度数．题组B 能力提升练10．下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE ＝4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有（）A．3对B．2对C．1对D．没有14．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝4，则BE＝．15．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，EF＝8，BG＝4，DH＝6，计算图中阴影部分的面积S＝．16.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．17.如图所示，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD．（2）写出DM与AM的位置关系，并说明理由．（3）线段CD，AB，AD间有怎样的数量关系？18.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B＝∠D＝90°，AC＝AE，BC＝DE，延长BC，DE交于点M．（1）求证：点A在∠M的平分线上；（2）若AC∥DM，AB＝12，BM＝18，求BC的长．题组C 培优拔尖练19.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等．则：①若斜边上的高对应相等．那么这两个直角三角形全等；②若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图，△BDC为等腰直角三角形，延长BD至A，连接AC，作∠ABC的角平分线BE交DC于F，且BE⊥AC于E．若AE＝12，△ABC的面积为360，则EF的长度为（）A．6 B．7 C．8 D．921．如图，已知点C是∠F AE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，点E，F为垂足，点B在AE的延长线上，点D在AF上，若AB＝20，AD＝8，BC＝DC，则AE的长为（）A．14 B．15 C．16 D．1722．已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分别为点D，E．（1）如图①，求证：AD＝BE+DE；（2）如图②，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系，并说明理由．23.如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．（1）求证：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的长．24.如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）求证：BM＝CN；（2）若AB＝8，AC＝4，求BM的长．25.（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABDC中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB 于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．。
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形必考知识点归纳单选题1、两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AB与DF交于点M．若BC//EF，则∠BMD的大小为（）A．60°B．67.5°C．75°D．82.5°答案：C分析：根据BC//EF，可得∠FDB=∠F=45°，再根据三角形内角和即可得出答案．由图可得∠B=60°，∠F=45°，∵BC//EF，∴∠FDB=∠F=45°，∴∠BMD=180°−∠FDB−∠B=180°−45°−60°=75°，故选：C．小提示：本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．2、如图，图中直角三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形.解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C.小提示：本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏.3、如果一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这个多边形有（）条对角线．A．20B．27C．35D．44答案：C分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解，多边形对角线的条数可以表．示成n(n−3)2解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=4×360°，解得n=10．10×（10-3）÷2=35（条）．故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．4、如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（）A．41°B．51°C．42°D．49°答案：A分析：先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解．解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°，∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°，∴∠ABD=101°-60°=41°∵光线是平行的，∴∠2=∠ABD=41°，故选A小提示：本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键．5、将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°，∠F=45°)，使点E落在AC边上，且ED//BC，则∠AEF的度数为( )A．145°B．155°C．165°D．170°答案：C分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等求出∠2，然后根据∠CEF=∠DEF -∠2计算出∠CEF，即可求出∠AEF．解：∵∠A=60°，∠F=45°，∴∠1=90°-60°=30°，∠DEF=90°-45°=45°，∵ED∥BC，∴∠2=∠1=30°，∠CEF=∠DEF-∠2=45°-30°=15°，∴∠AEF=180°-15°=165°.故选C.小提示：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质是基础题，熟记性质是解题的关键．6、如图，在△ABC中，AB=20，AC=18，AD为中线．则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．∵在△ABC中，AD为中线,∴BD=CD．∵C△ABD=AB+BD+AD，C△ACD=AC+CD+AD，∴C△ABD−C△ACD=AB−AC=20−18=2．故选：B．小提示：本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．7、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5答案：A分析：根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，本选项说法正确；B、∵AD与AB不平行，∴∠2≠∠3，本选项说法错误；C、∵AD与CB不一定平行，∴∠3≠∠4，本选项说法错误；D、∵CD与CB不平行，∴∠1≠∠5，本选项说法错误；故选：A．小提示：本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．8、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°答案：D分析：先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得第三个角(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则第三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘综上所述，必有一个角等于90°故选D.小提示：本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.9、下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．答案：D分析：利用三角形具有稳定性直接得出答案．解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．小提示：本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．10、如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC的面积为75，则图中阴影部分的面积是（）A．25B．26C．30D．39答案：B分析：正ΔABC中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最小的正三角形的组合，最后正ΔABC全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为：13×6=78（个）；较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为：26×4=104（个）；平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为：5×6=30（个）；小正三角形个数为13个；∴一共有小正三角形个数为：78+104+30+13=225（个），∴图中阴影部分面积为：75×78=26，225故选：B．小提示：题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．填空题11、如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=______．答案：2.4分析：根据面积相等可列式12AB·AC=12BC·AD，代入相关数据求解即可．解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，∴12AB·AC=12BC·AD∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AD=AB·ACBC =125=2.4故答案諀：2.4小提示：此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．12、如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将△PFC沿PF折叠，使点C落在点E处．若∠DCF=62°，当点E到点A的距离最大时，∠CFP=_____．答案：59°##59度分析：利用三角形三边关系可知：当E落在AB上时，AE距离最大，利用AB∥CD且∠DCF=62°，得到∠CFA=62°，再根据折叠性质可知：∠EFP=∠CFP，利用补角可知∠EFP+∠CFP=118°，进一步可求出∠EFP=∠CFP=59°．解：利用两边之和大于第三边可知：当E落在AB上时，AE距离最大，如图：∵AB∥CD且∠DCF=62°，∴∠CFA=62°，∵△PCF折叠得到△PEF，∴∠EFP=∠CFP，∵∠EFP+∠CFP=118°，∴∠EFP=∠CFP=59°．所以答案是：59°小提示：本题考查三角形的三边关系，平行线的性质，折叠的性质，补角，角平分线，解题的关键是找出：当E落在AB上时，AE距离最大，再解答即可．13、三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．答案：重分析：根据三角形的重心的定义即可求解．三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；所以答案是：重．小提示：本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．14、如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，BC＝3cm，那么△ABD的周长比△CBD的周长多_____．答案：2cm分析：根据三角形的中线的概念得到AD=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=DC，∴△ABD的周长-△CBD的周长=（AB+AD+BD）-（BC+DC+BD）=AB-BC=5-3=2（cm），∴△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，所以答案是：2cm．小提示：本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．15、如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶200米到B处，向左转45°．继续向前行驶同样的路程到C 处，再向左转45°．按这样的行驶方法，回到点A总共行驶了 __．答案：1600米##1600m分析：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可．解：根据题意得：360°÷45°=8，则他走回点A时共走的路程是8×200=1600（米)．故回到A点共走了1600米．所以答案是：1600米．小提示：本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°．解答题16、如图，已知在△ABC中，∠B=30°,∠C=50°，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．答案：10°分析：先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数即可得到答案．解：∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=1∠BAC=50°，2∵AE是BC边上的高，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=60°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．小提示：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键．17、如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．(1)若2∠1+∠EAB=180°，求证：EF∥BC；(2)若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．答案：(1)见解析；(2)24°分析：（1）先根据AD是△ABE的角平分线得出∠EAB=2∠GAF，，再由2∠1+∠EAB=180°得出∠AGF+∠GAF=90°，进而可得出结论；（2）根据三角形内角和定理及外角的性质求解即可．（1）证明：∵AD是△ABE的角平分线，∴∠EAB=2∠GAF，∵2∠1+∠EAB=180°，∴2∠1+2∠GAF=180°，∵∠1=∠AGF，∴2∠AGF+2∠GAF=180°，∴∠AGF+∠GAF=90°，∴∠AFG=90°，∵BC⊥AB，∴∠AFG=∠ABC==90°，∴EF∥BC；（2）解：∵∠C＝72°，∠ABC==90°，∴∠CAB==90°-∠C==90°-72°==18°，∴∠EAB=2∠CAB=36°，∵∠AEB＝78°，∴∠ABE==180°-（∠AEB+∠EAB）==90°-（78°+36°）==66°，∴∠CBE=90°-∠ABE==90°-66°==24°．小提示：此题考查了平行线的判定及三角形的内外角性质，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18、在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°．（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？答案：（1）9；（2）1080º或1260º或1440º．分析：（1）设多边形的一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，根据内角与其相邻的外角的和；是180°列出方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°x（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理即可求出答案．解：（1）设每一个外角为x，则与其相邻的内角等于3x+20°，∴180°−x=3x+20°，∴x=40°，即多边形的每个外角为40°，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数为：360°=9，40°∴这个多边形的边数为9；（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，①若剪去一角后边数减少1条，即变成8边形，∴内角和为(8−2)×180°=1080°，②若剪去一角后边数不变，即变成9边形，∴内角和为(9−2)×180°=1260°，③若剪去一角后边数增加1，即变成10边形，∴内角和为(10−2)×180°=1440°，∴将这个多边形剪去一个角后，剩下多边形的内角和为1080°或1260°或1440°．小提示：本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
八年级数学三角形基础知识点归纳总结
八年级数学三角形基础知识点归纳总结单选题1、用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（）A．B．C．D．答案：D解析：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高线的定义即可得出结论．解：A、作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B、作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项正确；C、不能作出△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D、作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；故选D．小提示：本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2、已知一个多边形的内角和与外角和的和为2160°，这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12答案：D解析：依题意，多边形的外角和为360°，该多边形的内角和与外角和的总和为2160°，故内角和为1800°．根据多边形的内角和公式易求解．解：该多边形的外角和为360°，故内角和为2160°-360°=1800°，故（n-2）•180°=1800°，解得n=12．故选：D．小提示：本题考查的是多边形内角与外角的相关知识，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．3、如图，三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据三角形的定义可直接进行解答．解：由图可得：三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；故选B．小提示：本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．4、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．5、下列图形为正多边形的是（）A．B．C．D．答案：D解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．故选D．小提示：本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．6、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．7、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．8、如图，AE是△ABC的中线，已知EC=4，DE=2，则BD的长为()A．2B．3C．4D．6答案：A解析：试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4，∴BE=EC=4，∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2．故选A．填空题9、如果三角形的三条边长分别为2、x、6，那么x的取值范围是______．答案：4<x<8解析：根据三角形的三边关系列出不等式组，解不等式组即可求解解：根据题意得：6−2<x<6+2，即4<x<8．所以答案是：4<x<8．小提示：考查了三角形三边关系，本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围．10、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°解析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．11、如图，将三角尺ABC和三角尺DFF (其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°)摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于_____．答案：105°解析：利用直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC与∠FDE的度数，然后在△MDB中，利用三角形内角和定理求得∠DMB，再依据对顶角相等即可求解．解：∵∠ABC＝90°−∠C＝90°−60°＝30°，∠FDE＝90°−∠F＝90°−45°＝45°，∴∠DMB＝180°−∠ABC−∠FDE＝180°−30°−45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．所以答案是：105°．小提示：本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理以及对顶角的性质，正确求得∠DMB的度数是关键．12、如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．答案：6解析：设此多边形有n条边，则一个顶点可以引出(n－3)条对角线，根据题意得n＝2(n－3)，解的n=6.设此多边形有n条边，根据题意得:n＝2(n－3)，解得n=6.故答案为6.13、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．答案：180°解析：解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°解答题14、如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？答案：他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．解析：根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．小提示：本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．15、如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A沿边AB以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q从点B沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，求点P运动的时间．答案：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．解析：设运动时间为x秒，根据题意，列方程求解即可．解：设当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒．根据题意得：12×8×x+12×2x(6−x)+12×6(8−2x)+[12×2x(6−x)+19.5]=6×8，化简得：2x2−10x+92=0，解得：x1=12，x2=92∵当x2=92时，8−2x=−1<0，∴x2=92舍去．答：当ΔDPQ的面积比ΔPBQ的面积大19.5cm2时，点P经过了12秒．小提示：此题考查了一元二次方程的应用，涉及了三角形面积的计算，理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．。
直角三角形全等的判定(1个知识点+5大题型+18道强化训练)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
第09讲 直角三角形全等的判定（1个知识点+5大题型+18道强化训练）知识点01：HL 证明三角形全等定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【即学即练1】1．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，D 是AC 上一点，DE AB ^于点E ，BE BC =，连接BD ，若8cm AC =，则AD DE +等于（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．10cm【即学即练2】2．如图所示，已知在△ABC 中，∠C =90°，AD =AC ，DE ⊥AB 交BC 于点E ，若∠B =28°，则∠AEC =（ ）A ．28°B ．59°C ．60°D ．62°题型01 用HL 证明三角形全等1．如图，O 是BAC Ð内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE OF =，则AEO AFO ≌△△的依据是（ ）A ．HLB ．AASC ．SSSD ．ASA2．如图，AB BC ^，AD DC ^，要根据“HL ”证明Rt Rt ABC ADC ≌△△，还应添加一个条件是（ ）A ．12Ð=ÐB ．24ÐÐ=C ．AB AD =D ．AB AC=3．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，90A D Ð=Ð=°，AB DE =，若用“HL ”判定ABC DEF ≌△△，则添加的一个条件是 ．4．如图，AC AB ^，AC CD ^，要使得ABC CDA △△≌，若以“HL ”为依据，需添加条件 ．5．已知：如图，45ABC Ð=°，AD 为ABC V 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F 且有BF AC =．求证：Rt Rt BFD ACD △≌△．题型02 利用直角三角形全等的判定求角度1．如图，已知DB AN ^于点B ，交AE 于点O ，OC AM ^于点C ，且OB OC =．若54ADB Ð=°，则OAB Ð的大小为（ ）A ．15°B ．18°C ．22°D ．30°2．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°3．如图，已知PA ON ^于点A ，PB OM ^于点B ，且PA PB =，50MON Ð=°，20OPC Ð=°，则PCA Ð= ．4．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．5．如图，AC 平分BAD Ð，CE AB ^，CF AD ^交AD 的延长线于点F ，在AB 上有一点M ，且CM CD =，(1)若12AF =，4DF =，求AM 的长．(2)试说明CDA Ð与CMA Ð的关系．题型03 利用直角三角形全等的判定求长度1．如图，在Rt ABC △中，90,C BAC Ð=°Ð的平分线AE 交BC 于点,E ED AB ^于点D ，若ABC V 的周长为12,BDE V 的周长为6，则AC =（ ）A ．4B ．3C ．6D ．82．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 与BC 交于点D ，DE AB ^，垂足为E ，则BE 为（ ）A ．3B ．4C ．4.5D ．53．如图，ABC V 的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ．若6cm AB =，10cm AC =，则AD 的长是 ．4．如图，在ABC V 中，DE AC ^于点D ，且AD CD =，180ABE CBE Ð+Ð=°，EF BC ^于点F ，若7AB =，1BF =，则BC = ．5．已知：如图，BAC Ð角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ．(1)求证：BE CF =；(2)若8AB =，6AC =，求BE 的长．题型04 直角三角形全等证明的常见辅助线添加1．如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ^于点F ，且DE DG =，26ADG S =△，18AED S =△，则DEF V 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．如图，在四边形ABCD 中，DE BC ^，BD 平分ABC Ð，AD CD =，4BE =，3DE =，1CE =，则ABD △的面积是（ ）A ．4.5B ．6C ．9D ．123．如图，AE 是CAM Ð的角平分线，点B 在射线AM 上，DE 是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AM ^．若23,21ACB CBE Ð=°Ð=°，则BEF Ð= ．4．如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD Ð，BC DC CE AD =^，于点E ，127AD AB ==，，则DE 的长为 ．5．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．题型05 全等的性质和HL 综合1．如图，在ABC V 中，P 为BC 上一点，PR AB ^，垂足为R PS AC ^，，垂足为S AQ PQ PR PS ==，，，下面结论：①AS AR =；②QP AR ∥；③△≌△ARP ASP ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．如图，在等边ABC V 中，AD BC ^于D ，延长BC 到E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，连接EF 并延长EF 交AB 于G ，BG 的垂直平分线分别交BG AD ，于点M ，点N ，连接GN CN ，，下列结论：①ACN BCN Ð=Ð；②12GF EF =；③120GNC Ð=°；④GM CN =；⑤EG AB ^，其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图所示，在ABC V 中，P Q ，分别是BC AC ，上的点，作PR AB ^，PS AC ^，垂足分别为点R S ，，若AQ PQ =，PR PS =，QD AP ^．现有下列结论：①AS AR =；②AP 平分BAC Ð；③BRP CSP △≌△；④PQ AR ∥．其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）4．如图，ABC V 的两条外角平分线AP CP ，相交于点P ，PH AC ^于点H ．若60ABC Ð=°，则下面的结论：①30ABP Ð=°；②60APC Ð=°；③2PB PH =；④APH BPC Ð=Ð．其中正确的结论是 ．（填序号）5．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，4AC =，8BC =，D 是AC 上的一点，32CD =．点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ，连接AP ．(1)当3t =秒时，求AP 的长度；(2)当点P 在线段AB 的垂直平分线上时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ^于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？请直接写出t 的值．1．如图，在ABC V 中，AC BC =，90C Ð=°，AD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ．若1CD =，则AB 的长为（ ）A B ．1C ．2D ．22．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，AD 平分CAB Ð，交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，且6cm AB =，则DEB V 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm 3．如图， 在Rt ABC V 中，90C Ð=°，BAC Ð的平分线AE 交BC 于点E ，ED AB ^于点 D ， 若 ABC V 的周长为12，则 BDE V 的周长为 4 ，则AC 为 （ ）A ．3B ．4C ．6D ．84．如图，ABC V 中，ABC Ð的平分线与AC 边的垂直平分线交于点D ，过D 作DE BC ^于点E ，连接CD ，若35BAC Ð=°，30ACD Ð=°，则DCE Ð的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．65°D ．70°5．如图，在ABC V 中，延长BA 到点E ，延长BC 到点F ．,ABC EAC ÐÐ的角平分线,BP AP 交于点P ，过点P 分别作,PM BE PN BF ^^，垂足为,M N ，则下列结论正确的有（ ）①CP 平分ACF Ð；②2180ABC APC Ð+Ð=°；③2ACB APB =∠∠；④PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，CA AB ^，垂足为点A ，8AB =，4AC =，射线BM AB ^，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2/秒的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 运动t 秒时，DEB V 与BCA V 全等．则符合条件的t 值有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，1,AC BC AD ==是BAC Ð的平分线且交BC 于点D ，DE AB ^于点E ，则BDE V 的周长为 ．8．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC Ð，AD CD =，DE BC ^，垂足为点E ，ABD △的面积为38，BCD △的面积为50，则CDE V 的面积为 ．9．如图，ABC V 中，90ACB Ð=°，222AC BC AB +=，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，DE DB =，DEC B Ð=Ð，若3CE =，15AB =，则四边形ABDE 的面积是 ．10．如图，在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ^，180ACE BCE Ð+Ð=°，EF BC ^交BC 于F ，8AC =，12BC =，那么BF = ．11．如图，在ABC V 中，AB AC =，过点A 作AD BC ∥，连接DC ，点E 是AB 边上一点，DE DC =，过点D 作DF AC ^于F ，若6BE =，则AF = ．12．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．13．如图，CB CD =，180D ABC Ð+Ð=°，CE AD ^于E ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若10AE =，4DE =，求AB 的长．14．如图，180CB CD D ABC CE AD =Ð+Ð=°^，，于E ，CF AB ^交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AC 平分DAB Ð；(2)若82AE DE ==，，求AB 的长．15．如图，四边形ABDC 中，90D ABD Ð=Ð=°，点O 为BD 的中点，且OA 平分BAC Ð．(1)求证：OC 平分ACD Ð；(2)求证：OA OC ^；(3)猜想AB 、CD 与AC 的关系，并说明理由．16．如图，四边形ABCD 中，90B Ð=°，连接对角线AC ，且AC AD =，点E 在边BC 上，连接DE ，过点A作AF D E ^，垂足为F ，若AB AF =．(1)求证：①DAC FAB ÐÐ=；②DF CE EF =+；(2)若AB BC =，20CDE Ð=°，求CAF Ð的度数．17．图，已知CD BE =，DG BC ^于点G ，EF BC ^于点F ，且DG EF =．(1)求证：DGC EFB ≌△△；(2)OB OC =吗？请说明理由；(3)若30B Ð=°，ADO △是什么三角形？18．已知：点P 为EAF Ð平分线上一点，PB AE ^于B ，PC AF ^于C ，点M 、N 分别是射线AE 、AF 上的点，且PM PN =．(1)当点M 在线段AB 上，点N 在线段AC 的延长线上时（如图1）．求证：BM CN =；(2)在（1）的条件下，求证：2AM AN AC +=；(3)当点M 在线段AB 的延长线上时（如图2），若:2:1AC PC =，4PC =，则四边形ANPM 的面积为_______．。
数学人教版八年级上册《第三节 直角三角形的性质》
数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一，它具有一些独特的性质。
本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》，包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。
通过学习本节内容，读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。
直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，有一个特殊的定理，被称为勾股定理。
勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
例如，在一个直角三角形中，较短的直角边为3，较长的直角边为4，那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出，即斜边的长度为5。
勾股定理是直角三角形的重要性质，我们可以通过它解决一些实际问题，比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。
除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质。
我们先来看一下等腰直角三角形。
等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出，即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。
比如，如果等腰直角三角形的直角边长为3，那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出，即斜边的长度为3√2。
另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。
45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。
在45度角三角形中，两条直角边长度相等，即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。
比如，如果45度角三角形的斜边长度为2，那么两条直角边的长度也为2的平方根。
45度角三角形经常在实际问题中出现，比如在建筑和几何图形设计中的应用。
了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后，我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。
通过解答这些问题，我们可以更深入地理解直角三角形的性质。
例如，题目如下：已知一个直角三角形的直角边为3，斜边为5，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出，即直角边的长度为4。
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八年级数学《直角三角形》知识点
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=2
1AB ∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下： ⇒CD=
2
1AB=BD=AD D 为AB 的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+
5、射影定理(了解)
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的
射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边
的比例中项
∠ACB=90° BD AD CD •=2
⇒ CD ⊥AB 6、常用关系式
由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC
二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
三、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
AB
AD AC •=2AB
BD BC •=2
练习：
一、选择题
1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ）
A 、4 cm
B 、8 cm
C 、10 cm
D 、12 cm
2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
A 、13
B 、8
C 、25
D 、64
4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A 、 钝角三角形
B 、 锐角三角形
C 、 直角三角形
D 、等腰三角形.
5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）
A.12
B.7
C.5
D.6
6.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
7.如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正
确的是（ ）
A 、TQ ＝PQ
B 、∠MQT ＝∠MQP
C 、∠QTN ＝90°
D 、∠NQT ＝∠MQT 8.在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4
a D.以上结果都不对 二、解答题
1、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC. 求证： BE=DF
2.已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
3、已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°， 求BC ，CD 和DE 的长
N T Q P M A
B C D
E F 1 2 A B
C D。