八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点

一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=2

1AB ∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

可表示如下： ⇒CD=

2

1AB=BD=AD D 为AB 的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+

5、射影定理(了解)

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的

射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边

的比例中项

∠ACB=90° BD AD CD •=2

⇒ CD ⊥AB 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC

二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

三、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c

（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3）边角之间的关系：

AB

AD AC •=2AB

BD BC •=2

练习：

一、选择题

1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ）

A 、4 cm

B 、8 cm

C 、10 cm

D 、12 cm

2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A 、25

B 、14

C 、7

D 、7或25

3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )

A 、13

B 、8

C 、25

D 、64

4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A 、 钝角三角形

B 、 锐角三角形

C 、 直角三角形

D 、等腰三角形.

5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）

A.12

B.7

C.5

D.6

6.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

7.如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正

确的是（ ）

A 、TQ ＝PQ

B 、∠MQT ＝∠MQP

C 、∠QTN ＝90°

D 、∠NQT ＝∠MQT 8.在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4

a D.以上结果都不对 二、解答题

1、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC. 求证： BE=DF

2.已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。

3、已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°， 求BC ，CD 和DE 的长

N T Q P M A

B C D

E F 1 2 A B

C D