浙江专用2020版高考数学一轮总复习专题12概率12.1随机事件及其概率课件
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2024年高考数学一轮复习(新高考版)《随机事件与概率》ppt课件
则甲、乙都入选的概率为__1_0___.
从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名，有 C35种情况，其中甲、乙都入选 有 C13种情况，所以甲、乙都入选的概率 P＝CC3513＝130.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
教材改编题
2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的
身高超过175 cm的概率为
A.0.2
知识梳理
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A， 因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(B__) _－__P_(A__∩__B_)_.
知识梳理
6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐 稳定于 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这 个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A).
知识梳理
(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形： 必然事件 、 不可能事件 .
知识梳理
2.两个事件的关系和运算
包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立
从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名，有 C35种情况，其中甲、乙都入选 有 C13种情况，所以甲、乙都入选的概率 P＝CC3513＝130.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 随机事件
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
教材改编题
2.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的
身高超过175 cm的概率为
A.0.2
知识梳理
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A， 因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1； 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_P_(_A_)_＋__P_(B__) _－__P_(A__∩__B_)_.
知识梳理
6.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率fn(A)会逐渐 稳定于 事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这 个性质为频率的稳定性. (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A).
知识梳理
(2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的 子集 称为随机事件，简称事件. ②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示. ③随机事件的极端情形： 必然事件 、 不可能事件 .
知识梳理
2.两个事件的关系和运算
包含关系 相等关系 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立
2020高考数学总复习随机事件的概率PPT课件
(4)概率的加法公式
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ．
若事件 A 与 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件．
P(A∪B)＝1，P(A)＝ 1－P(B) ．
1．概率和频率有什么区别和联系？
提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常 数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越 来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随 机事件的概率．
(3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有一只白球”不 可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．
(4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球”可 能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.
1．随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中， 可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也 成为近几年高考的命题热点．多以解答题的形式出现，有时也 会以选择、填空题的形式出现．多为容易题或中档题．
解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的 概率为12＋13＝56.
答案：56
5．给出下列三个命题： ①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件， 必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出 现的概率是37； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中错误的命题有________个． 解析：①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非 概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
2．高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度： (1)列出频率分布表； (2)由频率估计概率； (3)由频率计算某部分的数量．
[例 2] 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的 每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一 株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收 获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表 所示：
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ．
若事件 A 与 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件．
P(A∪B)＝1，P(A)＝ 1－P(B) ．
1．概率和频率有什么区别和联系？
提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常 数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越 来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随 机事件的概率．
(3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有一只白球”不 可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．
(4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球”可 能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.
1．随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中， 可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也 成为近几年高考的命题热点．多以解答题的形式出现，有时也 会以选择、填空题的形式出现．多为容易题或中档题．
解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的 概率为12＋13＝56.
答案：56
5．给出下列三个命题： ①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件， 必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出 现的概率是37； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中错误的命题有________个． 解析：①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非 概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
2．高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度： (1)列出频率分布表； (2)由频率估计概率； (3)由频率计算某部分的数量．
[例 2] 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的 每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一 株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收 获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表 所示：
浙江专用高考数学一轮总复习专题12概率12.2古典概型课件
例 (202X浙江镇海中学阶段测试(二),18)一个口袋中装有n个红球(n≥
4且n∈N*)和5个白球,从中摸2个球,2个球颜色相同则为中奖.
(1)若一次摸2个球,中奖的概率为 4 Nhomakorabea,求n的值;
9
(2)当n=4时,若先摸1个球,记下颜色后,把球放回,然后再摸1个球,并记下
颜色,求此时中奖的概率.
解析 (1)一次从(n+5)个球中摸2个球,有C2n5 种结果,其中两球不同色有 C1n C15种结果,
高考数学（浙江专用）
12.2 古典概型
考点清单
考点 古典概型
考向基础 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型: (1)实验中所有可能出现的基本事件① 只有有限个 ; (2)每个基本事件出现的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数
P(A)=②
基本事件的总数
.
方法技能
方法 古典概型概率的计算方法
1.求古典概型概率的基本步骤
2.古典概型中基本事件个数的探求方法 (1)列举法:合适基本事件个数较少且易一一列举的问题; (2)树状图法:适用于较为复杂的问题中基本事件个数的探求,尤其是有 序问题; (3)排列、组合法:在求解一些较为复杂的问题时,可利用排列、组合知 识求出基本事件个数. 3.较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概 率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的概 率加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件A的对峙事件 A的概率, 再由P(A)=1-P( A)求事件A的概率.
2025高考数学一轮复习课件 随机事件的概率
4. (2024·邢台市第二中学期末)如图所示，A，B，C 表示 3
个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为 0.9，
0.8，0.8，则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常工作
即可靠)为( )
A．0.504
B．0.994
C．√0.996
D．0.964
解析 由题意知，所求概率为 1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝1－0.004＝ 0.996.故选 C.
C√．“恰有 1 个白球”和“恰有 2 个白球”
D．“至多有 1 个白球”和“都是红球”
【解析】 对于 A，“至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件，不 符合题意；对于 B，“至少有 2 个白球”表示取出的 2 个球都是白色的，而“至 多有 1 个红球”表示取出的球 1 个是红球，1 个是白球，或者 2 个都是白球， 二者不是互斥事件，不符合题意；对于 C，“恰有 1 个白球”表示取出的 2 个 球 1 个是红球，1 个是白球，与“恰有 2 个白球”是互斥而不对立的两个事件， 符合题意；对于 D，“至多有 1 个白球”表示取出的 2 个球 1 个是红球，1 个 是白球，或者 2 个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故 选 C.
并事件 (和事件)
若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发
生，称此事件为事件 A 与事件 B 的 __并__事__件__(或__和__事__件__)___
符号表示
___B_⊇__A___
(或 A⊆B)
_A__＝__B_
A∪B (或 A＋B)
交事件 (积事件) 互斥事件
对立事件
若某事件发生当且仅当 _事__件__A_发__生__ 且___事__件__B_发__生_____，则称此事件为
高考数学大一轮复习专题12概率与统计课件理
①互斥事件研究的是两个（或多个） 事件之间的关系；②所研究的事件 是在一次试验中涉及的
8
9
10
600分基础 考点&考法
考点70 古典概型与几何概型
考法3 求古典概型的概率
考法4 几何概型的概率计算
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考点70 古典概型与几何概型
(1)任何两个基本事件是互斥的; 1.基本事件的特点 (2)任何事件(除不可能事件)都 可以表示成基本事件的和．
1.频率与概率
2.互斥事件 与对立事件 3.互斥事件 与对立事件 的概率公式
考法1 频率估计概率
事件 A发生的频率 f n A nA n
随着试验次数的增多，它在A 的概率附近摆动幅度越来越小
概率是频率的稳定值
在试验次数足够的情况下
利用频率估计概率
6
考法2 求互斥事件、对立事件的概率
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率
分析该事件是互斥还是对立，然后代入相应的概率公式
2.求复杂的互斥事件的概率的方法
直接法 将所求事件分解为彼此互斥的事件的和 利用公式分别计算这些事件的概率 运用互斥事件的概率求和公式计算概率 间接法 判断是否适合用间接法 计算对立事件的概率 运用公式P(A)＝1－P(A)求解 把一个复杂事件分解为若干 个互斥或相互独立的既不重 复又不遗漏的简单事件是解 决问题的关键. 7
考法1 求离散型随机变量的分布列
一般步骤
【说明】求概率和分布列时，要注意离散型 随机变量分布列性质的应用，具体如下：
（1）利用“分布列中所有事件的概率和为1”
求某个事件的概率、求参数的值； （2）利用分布列求某些个事件的和的概率.
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考法2 超几何分布的求解
人教版高三数学一轮复习优质课件1：12.1 随机事件的概率
nA 数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ n 为事件 A 出现的频率．
2．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A) 随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A) 来估计概率 P(A)．
二、事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
如果事件 A_发__生_，则事件 B_一__定__发__生_，
∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)设 A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶 到火车站；B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内 赶到火车站． 由频数分布表知，40 分钟赶往火车站，选择不同路径 L1， L2 的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5. ∴估计 P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则 P(A1)＞P(A2)， 因此，甲应该选择路径 L1，
命中 7～10 环的概率如下表所示：
命中环数 10 环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次： (1)射中 9 环或 10 环的概率； (2)命中不足 8 环的概率．
【解答】 记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak(k∈N， k≤10)，则事件 Ak 彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得
2．概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发 生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来 越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率．
对点训练 假设甲乙两种品牌的 同类产品在某地区市场上销售量相 等，为了解它们的使用寿命，现从这 两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如图所示：(1) 估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的 概率；
2．对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A) 随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A) 来估计概率 P(A)．
二、事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
如果事件 A_发__生_，则事件 B_一__定__发__生_，
∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)设 A1，A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时，在 40 分钟内赶 到火车站；B1，B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时，在 50 分钟内 赶到火车站． 由频数分布表知，40 分钟赶往火车站，选择不同路径 L1， L2 的频率分别为(6＋12＋18)÷60＝0.6，(4＋16)÷40＝0.5. ∴估计 P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.5，则 P(A1)＞P(A2)， 因此，甲应该选择路径 L1，
命中 7～10 环的概率如下表所示：
命中环数 10 环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次： (1)射中 9 环或 10 环的概率； (2)命中不足 8 环的概率．
【解答】 记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak(k∈N， k≤10)，则事件 Ak 彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A，那么当 A9，A10 之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得
2．概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发 生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来 越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率．
对点训练 假设甲乙两种品牌的 同类产品在某地区市场上销售量相 等，为了解它们的使用寿命，现从这 两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如图所示：(1) 估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的 概率；
高考数学一轮复习 12-1 随机事件的概率课件 新人教A版
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13
课堂总结
规律方法 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可 以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事 件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着 试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定 的值，该值就是概率．
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课堂总结
【训练1】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上 销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌 的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所 示．
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15
课堂总结
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计 该产品是甲品牌的概率． 解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5＋ 10020＝14， 用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于 200 小时的概
答案 B
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9
课堂总结
4．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机 抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”， 则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析 ∵P(A)＝512，P(B)＝1532，且 A 与 B 是互斥事件．
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋1532＝1542＝276.
事件 相对于条件S的不可能事件 随机 在条件S下，_可__能__发__生__也__可__能__不__发__生__的事件叫 事件 做相对于条件S的随机事件
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2
课堂总结
2. 频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否 出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的
答案
高三数学第一轮复习 第十二章《概率和统计》课件
• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不 是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所 包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、 中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺 序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过 一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三 辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析 分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取 法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】 每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以 每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析 基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用， 数值表示解)析． 任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，
高考数学一轮总复习课件：随机事件的概率
学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( A )
A．0.14
B．0.20
C．0.40
D．0.60
解析 本题考查互斥事件的概率．由于23人成绩为A，故抽到 C的概率为1－2530－0.4＝0.14.
6.(2021·邢台市第二中学期末)如图所示，A，B，C表示3个
开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，
符号表示 ____B__⊇_A___
(或A⊆B)
___A_＝__B____
A∪B (或A＋B)
交事件 (积事件)
若某事件发生当且仅当_事__件__A_发__生__ 且__事__件__B__发__生___，则称此事件为事 A∩B(或 AB) 件 A 与事件 B 的_交__事__件__(或__积__事__件__)_
②甲、乙两人同在第3号车站下车的概率．
【解析】 ①用有序数对(x，y)表示甲在x号车站下车，乙 在y号车站下车，则甲下车的站号记为2，3，4，共3种结果，乙 下车的站号也是2，3，4，共3种结果．甲、乙两人下车的所有 可能结果有9种，分别为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)， (3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．
(2)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2， 3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面 出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( D )
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96， 所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝ 0.46. 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总 数的比例为46%.故选C.
届高考数学一轮复习讲义课件：随机事件的概率与古典概型(共59张PPT)精选全文
第一节 随果机事可件的能概率不与古相典概同型.
第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型
变式迁移 1 指出下列两个随机事件中的一次试验是什么？一共进行了几 次试验？ (1)同一枚质地均匀的硬币抛 10 次，有 10 次正面朝上； (2)姚明在本赛季共罚球 87 次，有 69 次投球命中．
解析 (1)抛一次硬币就是一次试验，一共进行了 10 次试验． (2)罚一次球就是一次试验，一共进行了 87 次试验.
典例对对碰
题型一 对随机实验的理解 例 1.下列随机事件中，一次试验是指什么？它们各有几次试验？ (1)一天中，从北京开往沈阳的 7 列列车，全部正点到达； (2)抛 10 次质地均匀的硬币，硬币落地时 5 次正面向上． 分析 关键看这两个事件的条件是什么．
解析 (1)一列列车开出，就是一次试验，共有 7 次试验．(2)抛
4．事件与集合的关系 (1)包含事件． 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时我们就说事件 B 包含事件 A，记作 B⊇A(A⊆B)． ①与集合比，B 包含 A，可用图所示．
②不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 为任一事件)． ③事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A. 例如：在投掷骰子的试验中，{出现 1 点}⊆{出现的点数为奇数}．
第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型
变式迁移 1 指出下列两个随机事件中的一次试验是什么？一共进行了几 次试验？ (1)同一枚质地均匀的硬币抛 10 次，有 10 次正面朝上； (2)姚明在本赛季共罚球 87 次，有 69 次投球命中．
解析 (1)抛一次硬币就是一次试验，一共进行了 10 次试验． (2)罚一次球就是一次试验，一共进行了 87 次试验.
典例对对碰
题型一 对随机实验的理解 例 1.下列随机事件中，一次试验是指什么？它们各有几次试验？ (1)一天中，从北京开往沈阳的 7 列列车，全部正点到达； (2)抛 10 次质地均匀的硬币，硬币落地时 5 次正面向上． 分析 关键看这两个事件的条件是什么．
解析 (1)一列列车开出，就是一次试验，共有 7 次试验．(2)抛
4．事件与集合的关系 (1)包含事件． 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时我们就说事件 B 包含事件 A，记作 B⊇A(A⊆B)． ①与集合比，B 包含 A，可用图所示．
②不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 为任一事件)． ③事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A. 例如：在投掷骰子的试验中，{出现 1 点}⊆{出现的点数为奇数}．
2020届高考数学一轮复习第十二章概率12.1随机事件及其概率课件
支付金额 支付方式
仅使用A 仅使用B
不大于2 000元
27人 24人
大于2 000元
3人 1人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1 人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月 支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.
4 50
队以4∶1获胜的概率为P= 235
9 50
×0.6=0.18.
疑难突破 采用七场四胜制,由题意分析得若甲队以4∶1获胜,则甲队在第5场比赛中必胜,且
前4场比赛中胜3场.
2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一
次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为 40 ×1 000=400.
100
(2)记事件C为付金额大于2 000
元”,则P(C)= 1 =0.04.
25
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以认为有变化. 理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1= C12
2020届高考数学(文)总复习课件：随机事件的概率
返回
(2)1 张奖券的中奖概率；
[解] 1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设
“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
因为 A，B，C 两两互斥，
所以 P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋11000＋0 50＝1
60100.故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
上年度出险 次数
保费
0 0.85a
12
3
4 ≥5
a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得
到如下统计表：
出险次数 0
1
2
3
4 ≥5
频数
60 50 30 30 20 10
返回
(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保 费”．求 P(A)的估计值；
返回
[典例] 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券， 多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等 奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； [解] P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1010， P(C)＝1 50000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为1 0100，1100，210.
定义 同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有 法 且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事 件一定是互斥事件 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为
集合 空集，则事件互斥． 法 (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是 全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集
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n
数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
4.一次试验连同其中可能出现的每一个事件称为一个基本事件.
5.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,
而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
1 n
;如果事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=①
4.对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事
件.事件A的对立事件通常记作 A .
对立事件的概率的和为1,即P(A)+P( A )=1.它的变形形式为P(A)=③1-P( A ) .
5.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率, 等于事件A、B分别发生的概率的和,即P(A+B)=④ P(A)+P(B) . 一般3;A2+A3+…+An发 生(即A1、A2、…、An中恰有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生 的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例1 (2017浙江名校协作体联考,15)一个口袋里装有大小相同的6个小
球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰
有2个小球同颜色的概率是
;若取到红球得1分,取到黄球得2分,
取到绿球得3分,记变量ξ为取出的三个小球得分之和,则ξ的期望为
.
解题导引
(1)
(2)
解析
先取出两个同色小球有 C
解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生” “恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意 义.已知两个事件A、B,它们发生的概率分别为P(A)、P(B),那么 (1)A、B中至少有一个发生为事件(A B )∪( A B)∪(AB); (2)A、B都发生为事件AB; (3)A、B都不发生为事件 A B ; (4)A、B中恰有一个发生为事件(A B )∪( A B); (5)A、B中至多有一个发生为事件(A B )∪( A B)∪( A B ).
…·P(An).
2.独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中这
个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)= C
k n
pk(1-p)n-k.
3.互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事
件叫做互斥事件.
如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件A 1、A2、…、An彼此互斥.
1 2
=C
1 2
,P4(ξ=6)=
20 20
20 2 0
C
1 2
=C
1 2
,P4(ξ=8)=
=C
1 2
,2
20 2 0
20 20
因此Eξ=4×2 +5×4 +68×
+47×
+2 8×
20 20 20 20 20
=C
1 2
C
,12PC (12ξ=78 )=
20 2 0
=6.
答案 3 ;6
5
方法2 互斥、对立事件的概率的计算方法
高考数学（浙江专用）
专题十二 概率
12.1 随机事件及其概率
考点清单
考向基础
考点 随机事件及其概率
一、随机事件及其概率
1.在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.
2.在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下
可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
3.在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 m 总是接近于某个常
方法技巧
方法1 随机事件及其概率的计算方法
在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I,这n个结果就是集 合I的n个元素,各基本事件均对应集合I的含有一个元素的子集.包含m 个结果的事件A对应集合I的含有m个元素的子集.于是事件A的概率为P
card ( A ) m
(A)= c a r d=( I ) . n
例2 (2018浙江镇海中学阶段测试,12)已知某台纺纱机在1小时内发生
0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05,则这台纺纱机在1小
时内断头超过两次的概率为
.
解析 纺纱机断头不超过两次的概率P1=0.8+0.12+0.05=0.97, 于是,断头超过两次的概率P=1-P1=1-0.97=0.03. 答案 0.03
1 3
种取法,再从剩余的4个小球中取一个,
有4种取法,所以从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的取法
共有12种,而6个小球中取3个共有 C
3 6
=20种取法,所以恰有2个小球同颜
色的概率是 1 2 =3 .
20 5
ξ所有可能的取值是4,5,6,7,8,
可知P(ξ=4)= C
1 2
=
2
,P(ξ=5)=C
m n
.
二、互斥、对立事件的概率 1.相互独立事件及其发生的概率 (1)事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个 事件叫做相互独立事件. (2)事件A、B是相互独立事件,它们同时发生记作A∩B.两个相互独立事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A∩B)=② P(A)·P(B) . 一般地,如果事件A1、A2、…、An相互独立,那么这n个事件同时发生的 概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·
数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
4.一次试验连同其中可能出现的每一个事件称为一个基本事件.
5.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,
而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是
1 n
;如果事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=①
4.对立事件:不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事
件.事件A的对立事件通常记作 A .
对立事件的概率的和为1,即P(A)+P( A )=1.它的变形形式为P(A)=③1-P( A ) .
5.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率, 等于事件A、B分别发生的概率的和,即P(A+B)=④ P(A)+P(B) . 一般3;A2+A3+…+An发 生(即A1、A2、…、An中恰有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生 的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
例1 (2017浙江名校协作体联考,15)一个口袋里装有大小相同的6个小
球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰
有2个小球同颜色的概率是
;若取到红球得1分,取到黄球得2分,
取到绿球得3分,记变量ξ为取出的三个小球得分之和,则ξ的期望为
.
解题导引
(1)
(2)
解析
先取出两个同色小球有 C
解题过程中,要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生” “恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意 义.已知两个事件A、B,它们发生的概率分别为P(A)、P(B),那么 (1)A、B中至少有一个发生为事件(A B )∪( A B)∪(AB); (2)A、B都发生为事件AB; (3)A、B都不发生为事件 A B ; (4)A、B中恰有一个发生为事件(A B )∪( A B); (5)A、B中至多有一个发生为事件(A B )∪( A B)∪( A B ).
…·P(An).
2.独立重复试验
如果在一次试验中某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中这
个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)= C
k n
pk(1-p)n-k.
3.互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事
件叫做互斥事件.
如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都是互斥事件,那么就说事件A 1、A2、…、An彼此互斥.
1 2
=C
1 2
,P4(ξ=6)=
20 20
20 2 0
C
1 2
=C
1 2
,P4(ξ=8)=
=C
1 2
,2
20 2 0
20 20
因此Eξ=4×2 +5×4 +68×
+47×
+2 8×
20 20 20 20 20
=C
1 2
C
,12PC (12ξ=78 )=
20 2 0
=6.
答案 3 ;6
5
方法2 互斥、对立事件的概率的计算方法
高考数学（浙江专用）
专题十二 概率
12.1 随机事件及其概率
考点清单
考向基础
考点 随机事件及其概率
一、随机事件及其概率
1.在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.
2.在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定的条件下
可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
3.在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 m 总是接近于某个常
方法技巧
方法1 随机事件及其概率的计算方法
在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I,这n个结果就是集 合I的n个元素,各基本事件均对应集合I的含有一个元素的子集.包含m 个结果的事件A对应集合I的含有m个元素的子集.于是事件A的概率为P
card ( A ) m
(A)= c a r d=( I ) . n
例2 (2018浙江镇海中学阶段测试,12)已知某台纺纱机在1小时内发生
0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05,则这台纺纱机在1小
时内断头超过两次的概率为
.
解析 纺纱机断头不超过两次的概率P1=0.8+0.12+0.05=0.97, 于是,断头超过两次的概率P=1-P1=1-0.97=0.03. 答案 0.03
1 3
种取法,再从剩余的4个小球中取一个,
有4种取法,所以从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的取法
共有12种,而6个小球中取3个共有 C
3 6
=20种取法,所以恰有2个小球同颜
色的概率是 1 2 =3 .
20 5
ξ所有可能的取值是4,5,6,7,8,
可知P(ξ=4)= C
1 2
=
2
,P(ξ=5)=C
m n
.
二、互斥、对立事件的概率 1.相互独立事件及其发生的概率 (1)事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个 事件叫做相互独立事件. (2)事件A、B是相互独立事件,它们同时发生记作A∩B.两个相互独立事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A∩B)=② P(A)·P(B) . 一般地,如果事件A1、A2、…、An相互独立,那么这n个事件同时发生的 概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·