怎样讨论含参函数的单调性
用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。
利用导数可以研究含参函数的单调性。
考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。
我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。
首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。
要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。
记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。
根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。
我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。
具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。
例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。
我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。
当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。
接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。
要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。
记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。
根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。
如何运用导数法判断含参函数的单调性
思路探寻导数法是研究函数单调性的“利器”，判断含参函数的单调性是各类试题中的常见题目.含参函数的单调性问题一般较为复杂,需要灵活运用分类讨论思想和导数法进行求解.下面我们来探讨一下如何运用导数法来判断含参函数的单调性.一般地，运用导数法判断含参函数的单调性有如下几个步骤：1.讨论并确定函数的定义域.2.对函数进行求导，并进行适当的化简.3.求出导函数的零点.若函数的零点中含有参数，需讨论零点的符号.4.用零点将函数的定义域分为几个区间段.5.在各个区间段上讨论导函数与0之间的关系.若导函数大于0，则该函数在该区间上单调递增；若导函数小于0，则该函数在该区间上单调递减.下面举例说明.例1.已知函数f (x )=ln x -(a +1)x ，讨论f (x )的单调性．解：由已知得函数的定义域为(0,+∞)，且f '(x )=1-(a +1)x x.①当a ≤-1时，f '(x )>0，f (x )在(0,+∞)上单调递增；②当a >-1时，令f '(x )=0，得x =1a +1.当0<x <1a +1时，f '(x )>0；当x >1a +1时，f '(x )<0.所以f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.综合①②可知，当a ≤-1时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a >-1时，f (x )在(0,1a +1)上单调递增，在(1a +1,+∞)上单调递减.由此可见，讨论含参函数单调性的关键在于判断导函数与0之间的关系.解答本题的关键在于讨论1-(a +1)x 的符号.在求出导函数的零点后，用零点x =1a +1将函数的定义域分为两个区间段：(0,1a +1)、(1a +1,+∞)，再进一步讨论导函数与0之间的关系.例2.已知函数f (x )=ax -1x-ln x ，讨论f (x )的单调性．解：由题意知f '(x )=a +1x 2-1x =ax 2-x +1x 2(x >0).①当a =0时，f '(x )=1-xx2.由f '(x )>0得0<x <1，由f '(x )<0得x >1，即f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减．②当a ≠0时，令f '(x )=0，即ax 2-x +1=0，Δ=1-4a .若Δ≤0，即a ≥14，f '(x )≥0，则f (x )在(0,+∞)上单调递增.若Δ>0，即a <0或<14，由f '(x )=0得x 1=，x 2，当14时，x 2x 1>0，所以f (x )在，+∞)上单调递增，在上单调递减．当a <0时，x 1>0>x 2，所以f (x )在上单调递增，在+∞)上单调递减．在求出导函数的表达式后，我们就可以发现，只需讨论ax 2-x +1的符号，就可以确定函数的单调性.由于ax 2-x +1为二次函数，且二次项的系数含有参数，所以需运用分类讨论思想分别对二次项的系数、方程的判别式Δ进行讨论.当Δ>0时，方程有两个根，即导函数有两个零点，若为x 1,x 2，则需先比较两个零点的大小，然后再划分定义域[m ,n ]：m <n <x 1<x 2;x 1<m <n <x 2;x 1<x 2<m <n ;m <x 1<n <x 2;x 1<m <x 2<n ;m <x 1<x 2<n ,结合二次函数的图象判断导函数的符号，得出原函数的单调性.综上所述，运用导数法判断含参函数的单调性，不仅要熟练掌握上述步骤，还要明确分类讨论的对象、标准以及层级，学会灵活运用分类讨论思想，合理对参数进行分类讨论.本文系福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究（项目编号：Fjjgzx20-077）.（作者单位：福建省莆田第二中学）54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
含参单调性讨论 解析版
x 1 x)2 ，
令 g(x) ln x x 1，所以 g(x) 1 1 1 x ，
x
x
当
x
0,
1 2
时，
g ( x)
0，
g(x)
单调递增，
g( x)max
g(1 2
)
ln
2
1 2
0，
即 h(x)
0
，所以 h(x)
x 1 x ln x
在
0,
1 2
单调递减，所以
h(
x)
min
h( 1) 2
【分析】（1）求出函数的导数，讨论 a 的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论 a 的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求
得函数最小值.
【详解】（1）由题意得 f (x) 2x (2a 1) a (2x 1)(x a) ，
x
x
f (x) 定义域是{x | x 0} ，
当 0 a 1 时，由 f (x) 0 得 0 x a 或 x 1 ，
含参单调性讨论解析
一、解答题 1．讨论函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 的单调性
x
【答案】答案见解析
【分析】求导
f
x
ax
1 x
x2
1
，再分
a
0
，
a
0，1
，
a
1，
a
1，
讨论求
解.
【详解】解： f x 的定义域为 0， ，
f x a
1 x2
a 1 x
ax 2
a 1x 1
时，
f
x
0，
f
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。
含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。
首先，我们先回顾一下导数的定义。
对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。
导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。
如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。
对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。
我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。
求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明。
考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。
我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。
首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。
当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。
接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。
当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。
导数应用-含参函数的单调性讨论
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。
一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
用导数研究含参函数的单调性
用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。
含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。
研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。
一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。
此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。
然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。
这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。
2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。
这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。
3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。
若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。
4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。
通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。
二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。
这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。
含参型函数单调性求解技巧
含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。
当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。
要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。
下面介绍一些常见的求解技巧。
一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。
即 f'(x) > 0。
2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
即 f'(x) < 0。
判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。
根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。
二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。
1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。
当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。
2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。
例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。
其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。
三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。
怎样讨论含参函数的单调性
如何解决与函数单调性相关的参数问题陈今碧函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。
在解答题里面，经常看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。
学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。
本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：先设y=f x,x∈A,令y′=f′x,a=0,解出x0,令x0∉A，求出x0的范围，再依以下顺序讨论：1°看f′x=0在定义域内是否有解.若无解，则f′x定号，否则进入2°.2°若有解，则比较跟的大小.例1.讨论函数y=ax2−2x+1,x∈−1,1的单调性.解:1°当a=0时:y=−2x+1在−1,1↗2°当a>0时:函数的对称轴为x=1>01)当0<1a≤1即a≥1时:y在 −1,1a↘,1a,1↗2)当1a>1即0<a<1时:y在−1,1↘,3°当a<0时:,函数的对称轴为x=1a<01)当−1≤1<0即a≤−1时:y在 −1,1↗,1,1↘2)当1<−1即−1<a<0时:y在−1,1↘.综上…例2.讨论f x=1+x1−xe−ax a>0的单调性.解:定义域为:x x≠1,f′x=ae−ax2x2+2−a,令2−a≥0得:0<a≤21°当0<a≤2时:∵x2≥0,2−a≥0∴f′x≥0∴y=f x在−∞,1↗,1,+∞↗2°当a>2时:令f′x=0得x1=−a−2,x2=a−2a >2→0<1a <12→−1<−2a <0→0<1−2a <1→ a −2a<1→x 2<1练1.讨论f ′ x =ax 3+3x +1的单调性.解:1°当a ≥0时:y =f x 在R ↗;2°当a <0时:y =f x 在 −∞,− −1a ↘, − −1a , −1a ↗, −1a,+∞, ↘. 练2.讨论f ′ x =x +a x的单调性. 解:1°当a ≤0时:y =f x 在 −∞,0 ↗, 0,+∞ ↗;2°当a >0时:y =f x 在 −∞,− a ↗, − a,0 ↘, 0, a ↘, a,−∞ ↗.2.求含参函数的值域（最值）：依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），2°再讨论极值点与定义域的关系. 例6.求值域：1)y =2x 2−ax −3,x ∈ −1,1 ;2)y = x 2− a +1 x +1 e x ,x ∈ −1,1 .解：1)函数的对称轴为：x =a ，结合图像可知： 1°当a <−1即a <−4时:f max x =f 1 =−a −1,f min x =f −1 =a −1; 2°当−1≤a <0即−4≤a <0时:f max x =f 1 =−a −1,f min x =f a =−18a 2−3; 3°当0≤a <1即0≤a <4时:f max x =f −1 =a −1,f min x =f a =−1a 2−3; 4°当a ≥1即a ≥4时:f ma x x =f −1 =a −1,f min x =f 1 =−a −1. 2)令y ′= x +1 x −a e x =0,得：x ==−1或x =a1°当a ≤−1时：y ′>0⇒y 在 −1,1 ↗⇒y ∈ f −1 ,f 1 = a +3e , 1−a e ;2°当a≥1时：y′<0⇒y在−1,1↘⇒y∈f1,f−1=1−a e,a+3;3°当−1<a<1时：列表如下：∴y min=1−a e a,y max=max,1−a e=M⇒y∈1−a e a,M.综上所述：……注：当−1<a<1时:还可因1−a e与a+3e的大小关系,进一步分类讨论为：1°当−1<a≤e2−3e2+3时：y∈1−a ea,1−a e;2°当e2−3e2+3<a<1时：y∈1−a e a,a+3e.总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.。
含参函数的单调性讨论
1
f，(x) + — +
+ —+
f (x)
综上：
( 1 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1, 1 a , ； 1 ,1 a 。
( 2 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1 a， 1， ； 1 a ,1 。
( 3 ) a 0， y f ( x ) 在 R ；
2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 是讨论 f ， ( x ) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) ln x a , (a R)
若函数
f
(x)
在
x
1，e上的最小值是
3Байду номын сангаас
，求
a
的值.
2
解： f ， ( x )
1 x
a x2
xa x2
xa 1 e1
a e1 e a
f，(x )
+
—+
—
f (x)
综上： a 1
f
(1)
a
3 2
a
1 a e
f
(a)
ln
作业布置 请同学们认真完成导学案的自主练习
谢谢！
x ln( 2 a ) 0 1 0 ln( 2 a ) 1 0 1 ln( 2 a )
f，(x )
+
—+
—
f (x)
含参数的函数单调性
含参数的函数单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。
具体而言，如果对于定义域内的任意两个不同的实数a和b，当a小于b时，函数值f(a)小于f(b)，则称函数在该区间内为递增函数；当a小于b时，函数值f(a)大于f(b)，则称函数在该区间内为递减函数。
当函数有参数时，其单调性可以根据参数的取值范围和函数表达式来确定。
设函数为f(x;a)，其中a为参数，则函数f的单调性可分为以下几种情况：1.a为固定值的情况：当a为固定值时，可以将其视为一个常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。
即只关注函数f(x)在定义域内的增减性质。
2.a为可变参数的情况：当a为可变参数时，需要根据参数a的取值范围和函数表达式来分析函数的单调性。
具体分析方法如下：a)当参数a的取值范围与函数的自变量x无关时，可以将a视为常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。
b)当参数a的取值范围与函数的自变量x相关时，需要通过函数表达式来分析函数的单调性。
可以通过以下几种方法来确定函数的单调性：-方法一：通过求导数来分析函数的单调性。
-方法二：通过构造不等式来分析函数的单调性。
-方法三：通过绘制函数图像来分析函数的单调性。
以下以具体的例子来说明含参数的函数单调性的分析方法。
例1：考虑函数f(x;a) = ax^2 + 1，其中a为参数。
首先，当a为固定值时，函数f(x;a) = ax^2 + 1可以视为一个二次函数。
我们知道，二次函数的单调性与其二次项的系数a有关。
当a>0时，二次函数f(x)是开口向上的，是递增函数；当a<0时，二次函数f(x)是开口向下的，是递减函数。
因此，不考虑a的取值范围时，函数f(x;a)在整个定义域上的单调性与a无关。
接下来，考虑a为可变参数的情况。
直接观察函数表达式f(x;a) =ax^2 + 1，可以发现函数f(x;a)关于自变量x是一个二次函数，函数的单调性与参数a无关。
因此，无论参数a的取值范围如何，函数f(x;a)在整个定义域上都具有相同的单调性。
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性在数学中，单调性是指函数随着自变量的变化而变化的趋势。
如果函数在区间上递增，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果函数在区间上递减，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。
利用导数研究含参函数的单调性，是一种非常常用且有效的方法。
对于含参函数，其导数是关于自变量的函数，通过研究导数的符号来判断函数的单调性。
具体来说，如果导数在区间上恒大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果导数在区间上恒小于0，那么函数在该区间上是递减的。
这可以通过导数的定义和性质来证明。
下面以一个简单的例子来说明如何利用导数研究含参函数的单调性。
假设我们要研究含参函数 f(x;a) = ax^2 的单调性，其中 a 是参数。
首先，我们计算函数f的导数。
由于a是参数，我们将其视为常数。
根据导数的定义，有：f'(x;a) = lim[h->0] (f(x+h;a) - f(x;a)) / h= lim[h->0] (a(x+h)^2 - ax^2) / h= lim[h->0] (2axh + ah^2) / h= lim[h->0] (2ax + ah)= 2ax因此，函数 f 的导数是 f'(x;a) = 2ax。
接下来，我们通过研究导数的符号来判断函数f的单调性。
当 a > 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 < 2ax2，即 f'(x1;a) <f'(x2;a)。
因此，函数 f 在区间上是递增的。
当 a < 0 时，当 x1 < x2 时，有 2ax1 > 2ax2，即 f'(x1;a) >f'(x2;a)。
因此，函数 f 在区间上是递减的。
当a=0时，函数f(x;a)=0，因此函数f在任意区间上是常数，既不递增也不递减。
综上所述，当 a > 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递增的；当 a < 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 在任意区间上都是递减的；当a = 0 时，函数 f(x;a) = ax^2 是常数。
含参单调性的讨论
4a
2a
4a 4a
2a 2a
设g(x) ln x x 1,则g'(x) 1 1. x
当x (0,1)时，g'(x) 0;当x (1， )时，g'(x) 0.
所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，在x 1处g(x)有最大值g(1) 0. 所以当x 0时，g(x) 0.
【2017】解：(1) f (x)的定义域为(0,), f '(x) 1 2ax 2a 1 (x 1)(2ax 1)
x
x
若a 0,则当x (0,)时，f '(x) 0,故f (x)在(0,)上单调递增；
若a 0，则当x (0, 1 )时，f '(x) 0；当x ( 1 ,)时，f '(x) 0.
令f
'(x)
0得x1
0,
x2
2 a
.
（1）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当0 x 2 时，f '(x) 0.
a
a
f (x)的增区间是(,0),( 2 ,);减区间是(0, 2).
a
a
（2）a 0时，当x 0或x 2 时，f '(x) 0;当 2 x 0时，f '(x) 0.
2
2
所以f (x)在(0, a )递增，在( a ,)递减。
2
2
例2 讨论f (x) (a 1) ln x x a 的单调性。 x
不要只顾着比较两根1与-a大小,而要注意定义域大于0 的限制！
思考题2 f (x) 1 x2 ax (a 1) ln x 2
解：x 0. f '(x) x a a 1 x2 ax (a 1) (x 1)[x (a 1)]
利用导数研究含参函数的单调性
利用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数的重要工具之一，通过对函数的导数进行研究，可以得到函数的单调性信息。
含参函数是指函数中包含一个或多个参数，通过改变参数的取值可以得到一组函数。
接下来，我们将讨论如何利用导数研究含参函数的单调性。
首先，我们先来回顾一下单调性的概念。
若函数在其定义域上单调递增，则函数的值随自变量的增加而增加；若函数在其定义域上单调递减，则函数的值随自变量的增加而减小。
简而言之，单调性描述了函数随自变量变化的趋势。
对于含参函数，我们首先可以将参数视为常数，通过对函数关于自变量的导数进行研究，来探究函数的单调性。
然后，我们再考虑参数的变化对函数单调性的影响。
以一元含参函数为例，设函数为f(x;a)，其中x为自变量，a为参数。
我们首先对自变量x求导，得到导函数f'(x;a)。
然后，通过研究导函数的单调性来推导出原函数f(x;a)的单调性。
在研究导函数的单调性时，我们可以采用以下几种方法：1.部分导数法：对于多元含参函数，我们可以先固定参数a，然后对自变量中的一些变量求导，得到该变量的偏导数。
通过研究偏导数的单调性，可以推导出原函数的部分单调性。
然后，再逐个固定其他变量，对其他变量求导，从而得到更完整的原函数的单调性。
2.极值点法：对于导函数f'(x;a)，我们可以求出其零点，即f'(x;a)=0的解，也就是导函数的临界点。
通过研究导函数在临界点附近的变化情况，可以推导出原函数的单调性。
具体而言，如果导函数在临界点附近从正变负，那么原函数在临界点左边单调递增，在临界点右边单调递减；反之，如果导函数在临界点附近从负变正，那么原函数在临界点左边单调递减，在临界点右边单调递增。
3.导数符号法：对于导函数f'(x;a)，如果在整个定义域上恒大于0或者恒小于0，则可以推导出原函数在整个定义域上单调递增或者单调递减。
具体而言，如果f'(x;a)>0，那么原函数单调递增；如果f'(x;a)<0，那么原函数单调递减。
导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。
讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
利用导数讨论含参函数的单调性
利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。
在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。
函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。
含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。
在此，我们将提出三种方法。
一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。
（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。
若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。
1.（2012年全国卷文科21题） 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ； 所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题） 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题） 设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性； 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增； 若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。
专题10 分类讨论法解决含参函数单调性问题(解析版)
专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程3．口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓．因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负．首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中．题型一可求根或因式分解1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )4．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x ．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，1)②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x (1，＋∞)时，f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )(1，＋∞)综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )(1，＋∞)5．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )6．已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析：易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x f ′(x )＞0，所以f (x )综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解析：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．8．已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解析：(1)g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )(1，＋∞)若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )减，在(1，＋∞)上单调递增．10．函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1，当a ≠0时，求f (x )的单调区间与极值．解析：因为f ′(x )＝－2ax 2＋2(a 2－1)x ＋2a (x 2＋1)2＝－2a(x 2＋1)2·(x －a (1)a >0时x (－∞，－a －1)(－a －1，a )(a ，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.(2)当a <0时，x (－∞，a )(a ，－a －1)(－a －1，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.综上，当a >0时，f (x )的递增区间是(－a －1，a )，递减区间是(－∞，－a －1)，(a ，＋∞)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.当a <0时，f (x )的递增区间是(－∞，a )，(－a －1，＋∞)，递减区间是(a ，－a －1)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.11．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝x (x －(a 2－2a ))(x ＋1)(x ＋a )2.①当a 2－2a <0时，即1<a <2，又a 2－2a ＝(a －1)2－1>－1.②当a ＝2时，f ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋2)2≥0，f (x )在(－1，＋∞)上递增．③当a 2－2a >0时，即a >2时，x (－1,0)(0，a 2－2a )(a 2－2a ，＋∞)f ′(x )＋－＋综上，当1<a <2时，f (x )的递增区间是(－1，a 2－2a )，(0，＋∞)，递减区间是(a 2－2a,0)；当a >2时，f (x )的递增区间是(－1,0)，(a 2－2a ，＋∞)，递减区间是(0，a 2－2a )；当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上递增．12．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝当x ∞，f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.故f (x )∞，13．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析：f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x 1f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x －a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)－a ＋22，＋14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ·(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R)的单调性．解析：(1)g ′(x )＝(e x )′·(cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (cos x －sin x ＋2x －2)′＝e x (cos x －sin x ＋2x －2－sin x －cos x ＋2)＝2e x (x －sin x )．记p (x )＝x －sin x ，则p ′(x )＝1－cos x ．因为cos x ∈[－1，1]，所以p ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数p (x )在R 上单调递增．而p (0)＝0－sin 0＝0，所以当x <0时，p (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >0时，p (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h (x )＝g (x )－af (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )，所以h ′(x )＝2e x (x －sin x )－a (2x －2sin x )＝2(x －sin x )(e x －a )．由(1)知，当x >0时，p (x )＝x －sin x >0；当x <0时，p (x )＝x －sin x <0．当a ≤0时，e x －a >0，所以x >0时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x <0时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．当a >0时，令h ′(x )＝2(x －sin x )(e x －a )＝0，解得x 1＝ln a ，x 2＝0．①若0<a <1，则ln a <0，所以x ∈(－∞，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(ln a ，0)时，e x －a >0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(0，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．②若a ＝1，则ln a ＝0，所以x ∈R 时，h ′(x )≥0，函数h (x )在R 上单调递增．③若a >1，则ln a >0，所以x ∈(－∞，0)时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(0，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a <1时，函数h (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减；当a ＝1时，函数h (x )在R 上单调递增；当a >1时，函数h (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．题型二导函数不可因式分解1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析：由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞2．已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )－k 3，∞k3，＋3．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．解析：由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增；②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a，－1综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a ，－14．已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.所以f (x )综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )5．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解析：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1.(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a －14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )－23，－a 的取值范围．解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.①当Δ≤0⇒－3≤a ≤3，f ′(x )≥0，且在R 的任给一子区间上，f ′(x )不恒为0，所以f (x )在R 上递增；②当Δ>0⇒a <－3或a > 3.由f ′(x )＝0⇒x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33.x(－∞，x 1)(x 1，x 2)(x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋所以f (x )的单调递增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)；单调递减区间是(x 1，x 2)．(2)因为f (x )－23，－－23，－(x 1，x 2)．所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≤0－23，－所以2a ≥－3x －1x在－23，－a ≥2.7．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0，讨论f (x )的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.由f ′(x )>0，得0<x <x 1或x >x 2.由f ′(x )<0，得x 1<x <x 2.所以f (x )在。
导数之含参函数的单调性的分类讨论
高考数学微专题第 1 页 导函数三种含参的单调性讨论类型一：导函数为含参一次型的函数单调性针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。
这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。
例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间变式训练3：已知函数2ln )(-+=x xa x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由 类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。
接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。
接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。
也会省去求不等式解集的麻烦。
例2：求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间 变式1：已知函)(11ln )(R a xa ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性 变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。
讨论f(x)的单调性变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x（1）求曲线y=f(x)在点))(,(ππf 处的切线方程（2）令))(()()(R a x af x g x h ∈-=，讨论会h(x)的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值类型三：导函数为含参二次型不可因式分解的函数单调性导数含参二次型不可因式分解是我们遇到的第三种情况，我们依然遵循求导通分定义域的步骤书写大题过程。
用导数法判断含参函数单调性的步骤
对于简单的函数单调性问题，通常可直接根据函数单调性的定义进行求解，而对于较为复杂的含参函数的单调性问题，如函数式中含有指数式、对数式、根式、高次幂，就需运用导数法来判断函数的单调性.用导数法判断含参函数的单调性的步骤为：1.根据题意和函数的解析式确定函数的定义域；2.对函数求导，并将其化简，通常需将其分解为几个因式的积；3.令导函数为0，求得其零点.若零点中含有参数，需讨论参数是否为0；4.由导函数大于0，求得函数的单调递增区间，即可确定函数在该区间上为增函数；由导函数小于0，求得函数的单调递减区间，即可确定函数在该区间上为减函数.若导函数中含有参数，则需分别讨论参数大于0、小于0、等于0，以及零点之间的大小情况，以确定导函数的符号，进而根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.下面举例加以说明.例1.判断f (x )=ax -3ln x +1的单调性.解：由函数f (x )=ax -3ln x +1可知函数的定义域为(0,+∞)，可得f ′(x )=a -3x =ax -3x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，则f (x )在(0,+∞)上单调递减.若a >0，由f ′(x )=0，可得x =3a ，当x ∈æèöø0,3a 时，f ′(x )<0，则f (x )在æèöø0,3a 上单调递减；当x ∈æèöø3a ,+∞时，f ′(x )>0，则f (x )在æèöø3a ,+∞上单调递增.我们需首先根据对数函数的定义确定函数的定义域；然后对函数求导，并将导函数分解因式；再令导函数为0，求得函数的零点；再用零点将函数的定义域划分为两个区间æèöø0,3a 、æèöø3a ,+∞，在每个区间上讨论导函数的符号，即可根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.例2.判断函数f (x )=ln 2x +a 2x 2-2x -1的单调性.解：由题意可知函数的定义域为(0,+∞)，对函数求导可得f ′(x )=1x +ax 2-2=ax 2-2x +1x ，令f ′(x )=0，由x ≠0可得ax 2-2x +1=0，（1）当a =0时，-2x +1=0，得x =12，则当x ∈æèöø0,12时，f ′(x )>0，则f (x )在区间(0,12)上单调递增；当x ∈æèöø12,+∞时，f ′(x )<0，则f (x )在区间æèöø12,+∞上单调递减.（2）当a ≠0时，方程ax 2-2x +1=0根的判别式为Δ=4-4a ，x 1·x 2=1a ，x 1+x 2=2a ，其中x 1、x 2为方程的两根.当a <0时，Δ=4-4a >0，因为x 1·21a ，所以两根异号，可得x 1=<0，x 2=0，由图1可知，当x ∈æèçø时，f ′(x )>0，则f (x )在æèçø上单调递增.图2图1当a >0时，若Δ=4-4a ≤0，即a ≥1，f ′(x )>0，f (x )在区间()0,+∞上单调递增.若Δ=4-4a >0,即a <1，所以x 1，x 2.由图2可知，f (x )在æèçøèöø÷+∞上单调递增；在èø上单调递减.本题中导函数为含参二次函数，且二次项的系数中含有参数，需在参数大于、小于、等于0三种情况下讨论二次函数的根的分布情况，以判定二次函数值的正负，运用导数法判断出函数的单调性.在二次函数的二次项系数不为0时，需讨论二次函数的开口方向，根据根的判别式和韦达定理讨论零点的正负、大小关系，以确定导函数的正负.总之，运用导数法解答含参函数的单调性问题，不仅需熟练掌握导数运算公式、求根公式，明确函数与方程之间的关系，还需灵活运用分类讨论、方程思想、数形结合思想来辅助解题.（作者单位：江苏省盐城市大丰区新丰中学）王爱春O O 46Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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如何解决与函数单调性相关的参数问题
陈今碧函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。
在解答题里面，经常
看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。
学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。
本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：
综上…
x（-))()(1,+) x’y+0-0++ y’y’
2.求含参函数的值域（最值）：
依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），
2°再讨论极值点与定义域的关系.
例6.求值域：
x-1(-1,a)a(a,1)1 y’-0+
y↘↗(1-a)e
综上所述：……
总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：
1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.。