随机过程 马尔科夫过程
随机过程马氏过程
Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t 2 ,, t n ) P{ X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 ,, X (t n ) xn }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 , X (t n2 ) xn2 ,,
一、马尔可夫过程的数学定义
二、满足马氏性的随机过程
三、马氏过程的分类 四、马氏过程的有限维分布族
1
一、马尔可夫过程的数学定义
马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性 的一类特殊的随机过程.
1 马尔可夫特性
若当某随机过程{X(t),t ∈ T}在某时刻tk 所处的状态已知的条件下，过程在时刻t(t>tk) 处的状态只会与过程在tk时刻的状态有关，而与 过程在tk以前所处的状态无关。这种特性即称为 马尔可夫性,亦称之为无后效性。
19
例1.5 若每隔一分钟观察噪声电压，以X(n) 表示第n分钟观察噪声电压所得结果，则X(n) 为一随机变量，{X(n),n≥1}为一随机过程， 此过程是马氏过程吗？ 实际上,每隔一分钟观察所得噪声电压值 相互并不影响,且X(n)为一连续型随机变量, 因而{X(n),n≥1}是独立同分布的连续型随 机变量列,故知它为离散参数集,连续状态集的 马尔可夫过程.
X (t 2 ) x2 , X (t1 ) x1 }
P{ X (t1 ) x1 }P{ X (t 2 ) x2 | X (t1 ) x1 }
P{ X (t n ) xn | X (t n1 ) xn1 }
F ( x1 , t1 )F ( x2 , t2 | x1 , t1 )F ( xn , tn | xn1 , tn1 )
随机过程习题集-第四章马尔可夫过程
1第四章 马尔可夫过程内容提要1. 马尔可夫过程的概念 （1）马尔可夫过程给定随机过程{}(),X t t T ∈，如果对122,∀≥∀<<<∈n n t t t T ，有11221111{()|(),(),,()}{()|()}n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ----<====<=则称{}(),X t t T ∈为马尔可夫过程。
称(){}:,==∈E x X t x t T 为状态空间。
参数集和状态空间都是离散的马尔可夫过程称为离散参数马氏链. 参数连续、状态空间离散的马尔可夫过程称为连续参数马氏链. （2）k 步转移概率设{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数马氏链，称()(),(,){|},0,1=+==≥≥i j p n k P X n k j X n i n k为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率，称(),(,)((,)),P =∈i j n k p n k i j E为{}(),0,1,2,=X n n 在时刻n 的k 步转移概率矩阵. 特别地，当1k =时，在时刻n 的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别简记为()ij p n 和()n P . （3）初始分布、绝对分布称((0)),,==∈i p P X i i E 为离散参数马氏链{}(),0,1,2,=X n n 的初始分布，记为0P ，称()(){},,==∈j p n P X n j j E 为马尔可夫链{}0n X n ≥的绝对分布，记为P n . （4）离散参数齐次马氏链设{}(),0,1,2,=X n n 是一离散参数马氏链，如果其一步转移概率()ij p n 恒与起始时刻n 无关，记为ij p ，则称{}(),0,1,2,=X n n 为离散参数齐次马氏链。
若{}(),0,1,2,=X n n2是离散参数齐次马氏链，则其k 步转移概率记为(),i j p k ，一步转移概率矩阵和k 转移概率矩阵分别记为P 和().P k(5) 离散参数齐次马氏链的遍历性离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若对一切状态i ，j ，存在与i 无关的极限()()lim 0,ij j n p n i j E →+∞=π>∈则称此马氏链具有遍历性.0,1j j j Ej E ππ∈>∈=∑若且则称{},j j E π∈为离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }的极限分布，或称为最终分布，记为{},j j E ∏=∈π（6）离散参数齐次马氏链的平稳分布离散参数齐次马氏链{X (n ) ,n=0,1,2… }，若存在{v j , j ∈E } 满足条件：1)0,2)13)j jj Ej i iji Ev j E vv v p ∈∈≥∈==∑∑则称此马氏链是平稳的，称 { v j , j ∈E } 为此马氏链的平稳分布。
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
∑ = Pi j (t) ⋅ Pj j (Δt) + Pik (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
∑ = Pi j (t)[1 + q j j ⋅ Δt + o(Δt)] + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(Δt)] k≠ j
∑ = Pi j (t) + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
马尔可夫过程
¾ 1 马尔可夫过程概论 6 1.1 马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2 马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3 参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4 马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5 确定马尔可夫过程 Q 矩阵 跳跃强度、转移概率 Q 矩阵
渐进分析：确定当 t → ∞ 时，在各个状态上的概率分布；
典型问题：机器维修问题
设某机器的正常工作时间是一负指数分布的随机变量，平均正常工作时间为 1/λ，它损 坏后的修复时间也是一个负指数分布的随机变量，它的平均修复时间为 1/μ。 如机器在 t=0 时是正常工作的，问在 t=10 时机器正常工作的概率如何？
随机过程中的马尔可夫过程
随机过程中的马尔可夫过程在随机过程中的马尔可夫过程马尔可夫过程是在随机过程中常见且重要的一种形式。
它具有一定的数学特性和模型结构，能够描述在离散或连续时间段内状态的转移以及相关的概率。
本文将对马尔可夫过程的基本概念、特性和应用进行详细介绍。
一、概述马尔可夫过程是一种随机过程，其状态转移满足马尔可夫性质。
马尔可夫性质是指在给定当前状态下，未来和过去的转移概率仅与当前状态有关，与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫过程具有简化模型和简单计算的优势，被广泛应用于各个领域。
二、基本概念1. 状态空间：马尔可夫过程的状态空间是指所有可能取值的集合。
例如，一个骰子的状态空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 转移概率：马尔可夫过程中的状态转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。
用P(Xt+1 = j | Xt = i)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移矩阵：将所有状态之间的转移概率整合到一个矩阵中，称为转移矩阵。
转移矩阵是一个方阵，大小为n×n，其中n是状态空间的数量。
4. 平稳分布：在马尔可夫过程中，如果某个状态的概率分布在经过无限次转移后保持不变，那么该概率分布称为平稳分布。
平稳分布可以通过解线性方程组来计算。
三、特性1. 马尔可夫链：马尔可夫过程可以看作是离散时间的马尔可夫链。
马尔可夫链是指具有无记忆性质的随机序列，即未来状态只依赖于当前状态。
2. 齐次马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的转移概率与时间无关，那么称为齐次马尔可夫过程。
齐次马尔可夫过程的转移概率矩阵在时间上保持不变。
3. 连续时间马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的时间是连续的，则称为连续时间马尔可夫过程。
连续时间的马尔可夫过程可以用微分方程来描述。
四、应用领域1. 金融学：马尔可夫过程常用于金融市场的建模和分析，例如股票价格的预测和风险管理。
2. 信号处理：马尔可夫过程可以用于信号和图像的分析与处理，包括语音识别和图像识别等领域。
随机过程中的马尔可夫过程理论
随机过程中的马尔可夫过程理论马尔可夫过程理论是随机过程中的一种重要理论，它描述了一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在随机过程中，马尔可夫过程是指一个系统在给定当前状态下，其未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程在实际应用中具有广泛的应用，尤其在可靠性分析、排队论和金融领域等方面发挥重要作用。
一、马尔可夫过程的基本概念马尔可夫过程由状态空间、转移概率矩阵和初始概率分布三要素构成。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫过程中可能出现的所有状态的集合。
通常用S表示，状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述了一个当前状态到下一个状态的转移概率。
假设状态空间S有n个状态，转移概率矩阵P的元素P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
转移概率矩阵满足非负性和归一性条件，即每个元素都大于等于零，每行元素之和等于1。
3. 初始概率分布初始概率分布是指系统在初始状态下各个状态出现的概率分布。
假设初始状态概率分布为π，其中π(i)表示系统初始状态为i的概率。
二、马尔可夫链马尔可夫过程中的马尔可夫链是指一个没有时间限制的马尔可夫过程，也就是说，它在任意时刻都遵循马尔可夫性质。
马尔可夫链可以是有限的，也可以是无限的。
1. 不可约性不可约性是指一个马尔可夫链中的所有状态都可以通过一系列转移概率到达任何其他状态。
具有不可约性的马尔可夫链被称为不可约马尔可夫链。
2. 遍历性遍历性是指一个不可约马尔可夫链中的任意状态都能在有限步内返回到自身。
具有遍历性的马尔可夫链被称为遍历马尔可夫链。
3. 非周期性非周期性是指一个马尔可夫链中不存在周期性循环。
如果一个状态经过若干步后又返回到自身的最小步数是1，则称该状态为非周期状态。
具有非周期性的马尔可夫链被称为非周期马尔可夫链。
三、马尔可夫过程的稳定性马尔可夫过程的稳定性是指在经过一段时间后，随机过程的状态分布不再发生显著变化。
随机过程-正态马尔可夫过程
所以， 是马尔可夫过程。 所以， ξ(t) 是马尔可夫过程。
例3.6
图示电路，输入为零均值平稳正态白噪声， 图示电路， 输入为零均值平稳正态白噪声，求
输出过程的特性。 输出过程的特性。
R
ξ(t)
C
η(t)
解：系统传递函数的模平方为
α2 H( jf ) = 2 α + (2π f )2
2
1 α 其中， 输入平稳正态白噪声， 1。 其中， = 。输入平稳正态白噪声，即Sξ ( f ) = 1。于 RC
2 n
设 a= C(1)/C(0)，由于 C(1) ≤C(0)，故|a|≤1 ，因此 ， ，
C(n) = anC(0)(n ≥ 0)
充分性：如果 C(n)/C(0)=an，设n=n1+n2，则 充分性：
C(n1) C(n2 ) C(n1)C(n2 ) C(n) = an1 an2 = ⇒ C(n) = C(0) C(0) C(0) C(0)
C(τ ) = eaτ C(0)
因为|C(τ)|<C(0)，故τ >0 时，a<0 ， 因为 充分性：如果 充分性：如果C(τ)=eaτC(0) ，则
C(τ + s) C(τ ) C(s) = ea(τ +s) = eaτ eas = C(0) C(0) C(0)
即
C(τ )C(s) C(τ + s) = C(0)
是输出为
α2 Sη ( f ) = H( jf ) Sξ ( f ) = 2 α + (2π f )2
2
由此可得
Rη (τ ) =
α
2
e
−α τ
由E{ξ(t)}=0得E{η(t)}=0 ，因此 得
马尔可夫过程收敛性判定准则构造
马尔可夫过程收敛性判定准则构造马尔可夫过程（Markov process）是一类具有“无记忆性”的随机过程，其转移概率仅与当前状态有关，与之前的状态无关。
在实际应用中，我们常常关注马尔可夫链的收敛性质，即随着时间的推移，该过程是否趋于稳定。
本文将介绍马尔可夫过程收敛性判定的准则构造方法。
马尔可夫链（Markov chain）是马尔可夫过程的离散形式，在离散状态空间上进行转移。
为了判定马尔可夫链的收敛性，我们需要构造相关的准则。
下面将从马尔可夫链的不可约性、遍历性和正则性三个方面进行详细探讨。
一、不可约性（Irreducibility）马尔可夫链的不可约性是指状态空间中的任意两个状态都可以互相转换，即任意状态到达任意状态的转移概率大于0。
我们可以通过构建状态转移矩阵来判断马尔可夫链的不可约性。
如果状态转移矩阵是不可约的，则该马尔可夫链是不可约的。
二、遍历性（Aperiodicity）马尔可夫链的遍历性是指从任意状态出发，经过有限步骤后回到该状态的概率大于零。
遍历性与状态的周期有关，周期为1的状态是遍历的基本单位。
如果马尔可夫链中不存在周期大于1的状态，则该马尔可夫链是遍历的。
三、正则性（Regularity）马尔可夫链的正则性是指从任意状态出发，经过若干步骤后达到其他所有状态的概率大于零。
正则性与状态的连通性有关，连通性是指任意两个状态之间存在有限步骤的转移路径。
如果马尔可夫链是不可约的且存在一步骤可达到任意状态的状态，则该马尔可夫链是正则的。
根据上述准则，我们可以通过以下步骤来构造马尔可夫过程收敛性判定的准则：步骤一：构建状态转移矩阵根据问题的具体场景，我们确定马尔可夫过程的状态和状态转移概率，并将其表示为一个状态转移矩阵。
状态转移矩阵的元素表示从某一状态到达另一状态的概率。
步骤二：判断不可约性对状态转移矩阵进行分析，判断是否存在任意两个状态之间的转移概率都大于0。
如果存在，则该马尔可夫链是不可约的，否则需要重新构造状态转移矩阵。
第五章 随机过程中的马尔可夫过程
p(k m) ij
(n)
p(k il
)
(n)
p(m lj
)
(n
k
),
i, j S,
n, k, m 0
l
或
P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
2006年9月
p(k ij
m)
(n)
P{X
nk
m
j|
Xn
i}
P{U( X nk l), X nkm j | X n i} l
i
P( X 0 i)P( Xt1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i, X t1 i1)L i
• P( X tn in | X 0 i, X t1 i1, X t2 i2 ,L , X tn1 in1)
P( X 0 i)P( X t1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i)P( X tn in | X tn1 in1)
i
qi0
pt1 ii1
(0)
pt2 i1i2
t1
(t1
)L
p (t ) tn tn1
in1in
n1
i
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
3) 绝对分布
称q(jn) P(Xn j), n 0, j S为马尔可夫链{Xn，n 0}的绝对分布。
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
一种最简单的形式:
P{X (t1) i1, X (t2 ) i2,L , X (tn1) in1, X (tn ) in} P{X (t1) i1}P{X (t2) i2}L P{X (tn ) in}
工程随机过程_3_马尔可夫过程(Markov)
College of Science, Hohai University
Stochastic Processes
定理2 若随机变量序列{X(n)，n0}对任何n 均满足下式，则该序列为马氏链。
P{ X (0) i0 , X (1) i1 ,, X ( n) in }
P { X ( 0) i 0 } P{ X (1) i1 | X (0) i0 } P{ X ( 2) i2 | X (1) i1 } P { X ( 3 ) i 3 | X ( 2) i 2 } P{ X ( n) in | X ( n 1) in1 }
Pn ( P1 )
n
College of Science, Hohai University
Stochastic Processes
初始概率分布： 马氏链在初始时刻（即零时刻）取各状态 的概率分布 p0 ( i0 ) P{ X (0) i0 } i E 0 称为它的初始概率分布。 绝对概率分布： 马氏链在第n时刻（n 0）取各状态的概 率分布 p ( j ) P{ X (n) j } j E
第三章
马尔可夫过程 (Markov)
College of Science, Hohai University
Stochastic Processes
Markov过程是一个具有无后效性的随机过程. 无后效性: 当过程在时刻tm所处的状态为已知时, 过程在 大于tm的时刻t所处状态的概率特性只与过程在 tm时刻所处的状态有关, 而与过程在tm时刻之前 的状态无关. (1)参数和状态都离散 -----马氏链 (2)参数离散, 状态连续 -----马氏序列 (3)其余皆为马氏过程.
马尔可夫链和马尔可夫过程
马尔可夫链和马尔可夫过程
马尔可夫链和马尔可夫过程是概率论中的两个重要概念。
马尔可夫链是一个离散随机过程，其状态之间的转移概率只与前一状态有关，而与过去的状态无关。
马尔可夫过程是一个连续时间的随机过程，其状态之间的转移概率也只与前一状态有关，而与过去的状态无关。
在实际应用中，马尔可夫链和马尔可夫过程被广泛用于建模和预测各种现象，如金融市场变化、气象预测、生态系统演化等。
其中，马尔可夫链还常用于解决机器学习中的一些问题，如概率图模型、隐马尔可夫模型等。
马尔可夫链和马尔可夫过程在数学理论和实际应用中都具有广
泛的研究价值。
但同时也需要注意，在使用中需要严格考虑模型的假设和限制，并进行合理的模型选择和参数估计，以获得更准确和可靠的模拟和预测结果。
- 1 -。
马尔可夫过程
马尔可夫过程 、独立 增量过程及独立随机过程
牛慧芳 2010-122010-12-25
1
7.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，它具有如下特性：当随机过程 在时刻ti所处的状态已知时，过程在时刻t(t>ti)所处的状态仅与过程在ti时刻的 状态有关，而与过程在ti时刻以前所处的状态无关。此特性称为随机过程的 无后效性或马尔可夫性。此特性也可理解为：随机过程X(t)在“现在”状态 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况无关。或者说，过去 只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在} 马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表7-1)。 讨论的内容： 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
j =1
N
ij
=1
k=n时，n步转移概率pij(n)为： pi j ( n ) = pij ( m , m + 1) = P { X m + n = a j | X m = a i } , n ≥ 1 对应的n步转移概率矩阵为：
11
显然具有如下性质：
0 1、 ≤
N
pij ( n ) ≤ 1
ij
2、
2、马氏链的转移概率及其转移概率矩阵 (1)马氏链的转移概率 (1)马氏链的转移概率 马氏链“在tm时刻出现的状态为ai的条件下，tm+k时刻出现的 状态为aj”的条件概率可用pij(m,m+k)表示，即
齐次马氏链：若pij(m,m+k)与m无关，即pij(m,m+k)= pij (k) k=1时，一步转移概率pij为：
2
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
马尔科夫过程
一、马尔可夫过程的概念
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下，过程在时刻 t ( ti ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 ti 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。
分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称
为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
马尔可夫序列
一、马尔可夫序列的定义
设 X1, X 2 , , X n , 表示随机过程X (t)在 t 为整数时刻的取样的随机序
列，记为 {X (n), n 1,2,, n （} 简记为 X (n)或 X n ），则可按以下方式定义马 尔可夫序列。
p11 p12 p1N
P
p21
p22
p2N
p
N1
pN2
p NN
称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。
（1） 0 pij 1
N
（2）
pij 1
j 1
（二）n步转移概率
在齐次条件下， k n 时，可得到 n 步转移概率
P{Xn1 j | Xn in}
(i 1,2, , N)
则称 {X n} 为马尔可夫链（简称马氏链）。
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有
pij (1) pij (m, m 1) pij
随机过程-马尔可夫
实际中常常碰到具有下列性质的运动体系 Σ，如果已知它在 t = n 时 的状态，则关于它在 n 时以前所处的状态的补充知识，对预言 Σ 在 n 时 以后所处的状态不起任何作用。或者说， 在已知“现在”的条件下，“将 来”与“过去”是独立的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性” （简称“马氏性”） 或称“无后效性”。具有马氏性的随机过程称为马尔 可夫过程。 马尔可夫过程在理论上和实际应用中都十分重要，在工程、统计、物 理、生物学、数字计算方法、经济管理和市场预测等领域中 都有十分重要 的作用和广泛应用。
(k + l ) (k )
(m) =
证明：
r ∈E
r ∈E (k ) (l ) Pir (m)Prj (m +
Pir (m)Prj (m + k ) k)
(k )
(l )
=
r ∈E
P {X (m + k ) = r|X (m) = i}P {X (m + k + l) = j |X (m + k ) = r}
j1 ,··· ,jk ∈E
即： K -步转移矩阵由 1 步转移矩阵决定。 设P {X (0) = j } = pj , pj ≥ 0,
j ∈I
pj = 1， 称{pj }j ∈E 为 马 氏 链 的 初 始 分 pj n) = 1
(
布。 (n) (n) 称pj = P {X (n) = j }为绝对概率，满足pj ≥ 0,
(n+1) 由pj
j
= P {X (n + 1) = j } =
k
P {X (n + 1) = j |X (0) = k }P {X (0) = k }
马尔可夫过程
马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。
关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。
1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。
1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。
50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。
随机过程与马尔可夫决策过程
随机过程与马尔可夫决策过程随机过程和马尔可夫决策过程是概率论和数学建模中常见的两个概念。
它们在各自领域中都扮演着重要的角色。
本文将分别介绍随机过程和马尔可夫决策过程的基本概念、特性以及应用。
一、随机过程随机过程是概率论中的重要概念，也是描述随机现象随时间演变的数学工具。
随机过程可以看作是随机变量在时间上的推广，它描述了一个或多个随机变量在时间轴上的变化。
随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。
离散随机过程的状态空间是有限或可列的，而连续随机过程的状态空间是连续的。
常见的离散随机过程有泊松过程、马尔可夫链等，而连续随机过程有布朗运动、随机微分方程等。
随机过程具有许多重要特性，如平稳性、马尔可夫性、鞅性等。
平稳性表示在不同的时间间隔内，随机过程的统计特性保持不变。
马尔可夫性表示在给定当前状态下，未来的状态与过去的状态无关，只与当前状态有关。
鞅性是随机过程的一种重要性质，它可以看作是一种未来无法预测的随机变量的平衡状态。
随机过程在金融工程、通信系统、信号处理等领域有广泛的应用。
例如，在金融工程中，随机过程可以用来建模股票价格的变动；在通信系统中，随机过程可以用来描述信道的噪声；在信号处理中，随机过程可以用来建模信号的随机变动。
二、马尔可夫决策过程马尔可夫决策过程是决策论中的一个基本模型，用于描述一个决策者在一系列状态和行动中进行决策的过程。
在马尔可夫决策过程中，决策者根据当前的状态选择一个行动，然后转移到下一个状态，并获得一定的奖励或代价。
马尔可夫决策过程的基本要素包括状态空间、行动空间、状态转移概率、即时奖励以及策略等。
状态空间表示决策者可能处于的各种状态；行动空间表示决策者可以选择的各种行动；状态转移概率表示在给定当前状态和行动下，转移到下一个状态的概率；即时奖励表示在给定当前状态和行动下，获得的奖励或代价；策略表示决策者在不同状态下选择行动的规则。
马尔可夫决策过程是人工智能、机器学习、控制论等领域中的重要工具。
随机过程在信号检测中的应用
随机过程在信号检测中的应用一、引言在现代通信系统中，信号检测是一个非常重要的问题，它涉及到对接收到的信号进行判断和决策。
而随机过程作为一种严密的数学模型，被广泛应用于信号处理与通信领域。
本文将介绍随机过程在信号检测中的应用，探讨其在提高检测性能和解决实际问题中的优势。
二、随机过程的基本概念随机过程是一类随机变量的集合，它表示了随机事件在时间或空间上的演变过程。
在信号检测中，我们常将待检测的信号和背景噪声视为随机过程，并寻找一种方法来区分它们。
三、随机过程在信号检测中的数学模型1. 马尔可夫链马尔可夫链是一种最基本的随机过程，它具有记忆性质。
在信号检测中，我们可以利用马尔可夫链来描述信号的变化过程，从而实现对信号的检测和识别。
2. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种基于时间的随机过程，它的状态在不同时刻之间是相互依赖的。
在信号检测中，马尔可夫过程被广泛应用于噪声建模，可以帮助我们更好地理解和处理复杂的背景噪声。
四、随机过程在信号检测中的应用1. 信号检测与判决随机过程提供了一种有效的方法来进行信号检测与判决。
通过对接收到的信号进行建模和分析，我们可以基于统计推断方法进行判断和决策，降低了误判率和漏判率，提高了系统的性能。
2. 最优检测理论随机过程在最优检测理论中扮演着重要的角色。
通过对随机过程进行数学建模和分析，我们可以得到最优检测准则，并设计出具有最佳检测性能的检测器。
3. 自适应信号检测随机过程还广泛应用于自适应信号检测中。
通过对信号和噪声进行建模和估计，我们可以根据环境变化来实时调整检测器的参数，从而提高检测性能和适应性。
五、随机过程在实际应用中的案例研究1. 随机过程在无线通信中的应用无线通信是一个复杂的系统，信号检测在其中起着至关重要的作用。
利用随机过程对信号和噪声进行建模，可以帮助我们了解信道特性，设计出更优化的通信方案。
2. 随机过程在雷达信号处理中的应用雷达信号处理也是一个典型的信号检测问题，随机过程在其中的应用非常广泛。
n阶马尔可夫随机过程
n阶马尔可夫随机过程
n阶马尔可夫随机过程是一种随机过程，具有马尔可夫性质，其状态空间具有n个元素。
马尔可夫性质是指在给定当前状态的情况下，下一个状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
在n阶马尔可夫随机过程中，状态的转移概率由一个n阶转移矩阵表示。
该转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率分布。
对于n阶马尔可夫链，转移矩阵的每一行表示当前状态，每一列表示下一个可能的状态。
每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
n阶马尔可夫随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如在信号处理、自然语言处理、金融市场分析等领域。
通过建立状态转移矩阵，可以对系统的状态演化进行建模和预测，从而提供有关未来状态的信息。
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
满足：
∑ Pi j (τ ) ≥ 0 ， Pi j (τ ) = 1 j∈I
跳跃强度
Pij (Δt) = Pij (0) + qij ⋅ Δt + 0(Δt) = δ ij+ qij ⋅ Δt + 0(Δt)
qij
=
lim
Δt→o
Pij (Δt) − Δt
Pij (0)
其中 Pij (0) = δ
2 前进方程和后退方程
2.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
k
由此得到关于状态转移概率的一个方程：
柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程：
∑ j
初始条件：
Pi
j
(0)
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j) (i ≠ j)
考虑矩阵柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程中的第 i 行，将矩阵 P(t) 的第 i 行记作 pi (t)
d dt
pi
从任意状态转移到特定状态的转移概率矩阵：
记作 s j (τ ) ，为 P(τ ) = ⎡⎣Pi j (τ )⎤⎦ 的第 j 行的列矢量
t 时刻系统状态的概率分布律矩阵：
w(t) = [wi (t)] = [w0(t), w1(t),"wk (t),"]
从实际物理问题，确定马尔可夫过程描述，相应的 Q 矩阵 根据 Q 矩阵，确定某一时刻在各个状态上的概率分布； 根据 Q 矩阵，确定经过一段时间的状态转移概率；
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4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为 马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移 概率，简称转移概率，其中i,jI。
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫过程通常分为三类：
(1)时间、状态都是离散的，称为马尔可 夫链
(2)时间连续、状态离散的，称为连续时间 马尔可夫链
(3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫 过程
Hale Waihona Puke 4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
P Xmn
j
|
Xm
i
P Xm i, Xmn PXm i
j
kI
P Xm i, Xml PXm i,
k, Xml
Xmn
k
jPXm i, Xml k PXm i
P Xmn j | Xml kPXml k | Xm i kI
p(nl) kj
(ml)
p(l) ik
(m)
p p (l) (nl) ik kj
•
n步转移矩阵
Pn
p(n) ij
其中 pi(n j)0, pi(n j)1,i,jI j I
P(n)也为随机矩阵
当n1时,
p(1) ij
pij
,
P(1)
P
当n0时，规p定 i(j0) 10,,iijj
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn，nT }为马尔可夫链， 则对任意整数n0,0l<n和i,jI，n步转
kI
kI
4.1 马尔可夫链与转移概率
(2)在(1)中令l=1,k=k1,得
p(n) ij
p p (1) (n1) ik1 k1j
由此可递推出公式
k1I
(3)矩阵乘法
(4)由(3)推出
说明：
(1)此为C-K方程(切普曼-柯尔莫哥洛夫)
(2) n步转移概率由一步转移概率确定，
n步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵确 定(n次幂)
证(1)
pj(n)P{Xn j} P{X0 i,Xn j} iI
P{Xn j| X0 i}P{X0 i} iI
pi
p(n) ij
iI
4.1 马尔可夫链与转移概率
(2)
pj(n)P{Xn j} P{Xn1 i,Xn j} iI
P{Xn j| Xn1 i}P{Xn1 i} iI
P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1} = P{Xn=in|Xn-1=in-1}
P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
=P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
移概率 p i(j具n ) 有性质
(1)
p(n) ij
p p (l) (nl) ik kj
kI
(2)
p pp p (n ) ij
i1 kk 1 k2
kn 1j
(3) P(n)=PPk 1 ( nI -1) kn 1 I
(4) P(n)=Pn
4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
p(n) ij
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质 P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
pi(n1)pij iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
4.1 马尔可夫链与转移概率
•定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链，则
对P 任{ X 意1 整i 1 数, i1, , X i2,n ,i in n} I和np i 1p ，i1 i p 有i 1 i2 性 质p in 1 in
P
pm1 pm2 pmn
• 转移概率性质
(1) pij 0,i, jI (2) pij 1,iI
P称为随机矩阵
jI
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义
称条件概率
p
( ij
n)
=
P{Xm+n=j|Xm=i}
为马尔可夫链{Xn，nT }的n步转移概
率(i,jI, m0, n1)。
定理4.2 •设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数jI和n1 ，绝对概率pj(n)具有性质
(1) pj(n) pipi(n j) iI
(2) pj(n) pi(n1)pij i I
(3) PT(n)=PT(0)P(n)
(4) PT(n)= PT(n-1)P
4.1 马尔可夫链与转移概率
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义
• 初始概率 pj P{X0j}
• 绝对概率 pj(n)P{Xnj}
• 初始分布 pj , jI • 绝对分布 pj(n),jI
• 初始概率向量 pT(0)(p1,p2, ) • 绝对概率向量 pT(n )(p 1(n )p ,2(n ) ,)
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则称马 尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
• 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率， 状态空间I={1, 2, 3, }，一步转移概率为
4.1 马尔可夫链与转移概率
p11 p21
p12 p22
p1n p2n
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对 任意正整数n及t1< t2<< tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分 布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}= P{TX}(为tn)马 尔xn|可X(夫tn-过1)=程xn。-1}，则称{X(t)，t ☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn 表示将来，马尔可夫过程表明：在已知 现在状态的条件下，将来所处的状态与 过去状态无关。