【通用版】2020高考数学突破专题《直击函数压轴题中零点问题》

2020【通编版】高考数学专题突破 《直击函数压轴题中零点问题》

一、解答题

1．已知函数()()()2

ln 10f x x a x a =+->.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：3

12

0e x e --<<.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知

()10

f =，若

()

f x 在区间

()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，

且0110,2x x ⎛⎫

=∈ ⎪⎝⎭，于是：()2

0010lnx a x +-=①，2002210ax ax -+=②

由①②得

000

1ln 0

2x x x --

=，设g(x)＝lnx −12x x -，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函

数的单调性证明即可．

（2）依题可知

()10

f =，若

()

f x 在区间

()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，

且

0110,2x x ⎛⎫

=∈ ⎪

⎝⎭ Z&X&X&K]

于是：

()2

0010

lnx a x +-=①

2002210

ax ax -+= ②

由①②得

0001ln 02x x x --

=，设()()()1ln ,0,12x g x x x x -=-∈，

则

()221

2x g x x '-=

，因此()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，

又3

3

2

2

402e g e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()11302e g e ---=<

根据零点存在定理，故

31

2

0e

x e -

-<<.

点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f(x)＝x2＋bx －1(b ∈R)．

(1)当b ＝1时证明：函数f(x)在区间1,12⎛⎫ ⎪

⎝⎭内存在唯一零点；

(2)若当x ∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）

(),1-∞

【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间1,12⎛⎫

⎪

⎝⎭单

调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为

对应函数最值问题：2

b x x <

- ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范

围．

(2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，

所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．

令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减，

所以b

点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点

3．已知函数

()()

210

f x ax mx m a

=++-≠

.

（1）若

()10

f-=

，判断函数

()

f x

的零点个数；

（2）若对任意实数m，函数

()

f x

恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；

（3）已知12,x x R

∈R 且

12

x x <，

()()

12f x f x ≠，求证：方程

()()()121

2f x f x f x ⎡⎤=

+⎣⎦

在区间

()12,x x 上有实数根.

【答案】⑴见解析;⑵01a <<;⑶见解析.

【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图

象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程

()()()121

2f x f x f x ⎡⎤=

+⎣⎦在区间()12

,x x 上有实数根，即()()()()121

2g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦有零点，结合零点存在定理可以证明.

试题解析： ⑴

()10,10,1

f a m m a -=∴-+-=∴=Q

()21

f x x mx m ∴=++-

()()

2

2412m m m ∆=--=-,

当2m =时，0∆=，函数()f x 有一个零点； 当2m ≠时，0∆>，函数

()

f x 有两个零点

⑶设()()()()121

2g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦，

则()()()()()()11121211

22g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦

()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦

()()

12f x f x ≠Q