工程力学第十六章

16.2 临界力的计算
1、两端铰支杆
M ( x) F w( x)
根据挠曲线近似微分方程，有 图示坐标系，考察 微弯状态下任意一 段压杆的平衡,杆件 横截面上的弯矩:
d 2 w( x) F w( x) M ( x) EI 2 dx F 2 取 k EI
d 2 w( x) 2 k w( x) 0 2 dx
F k2 EI
x F x EI x O y F M(x)
w w ( x) y O
d 2 w( x) 2 k w( x) 0 2 dx
解微分方程得到通解为
w( x) C1 sin kx C2 coskx
C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 界条件来确定，在两端铰支的情况下， 边界条件为
π Fcr cr A 301 10 (45 10 3 ) 2 10 3 kN 478.71kN 4
6
16.4 压杆稳定校核
求出压杆的临界力 Fcr ，只是压杆能够承受的最大压力， 工程中需要根据实际情况留一定安全余量，即：
取[nst ] 1
Fcr F [ nst ]
π 2 EI π 2 200 103 108 104 Fcr N 85187N 85.19kN 2 2 (l ) (2 2500 )
1、临界应力与柔度
16.3 欧拉公式的适用范围 及经验公式
Fcr π 2 EI cr A ( l ) 2 A
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力 对应的应力为
( n 0 ,1, 2 ,......)
上式表明，使杆件保持为曲线平衡 的压力，理论上是多值的。在这些压力 中，使杆件保持为曲线平衡的最小压力， 才是临界压力。
取n = 1
2 EI Fcr 2 l
两端铰支压杆的欧拉公式
(a)
F (b)
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
π2E cr 2
2、欧拉公式的适用范围
在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程，
这就决定了材料必须符合胡克定律。 材料符合胡克定律 工作应力（临界应力）小于比例极限p
π2E

取 P
2
P

π2E
P
π2E P
则只有当 P 欧拉公式才是有效的。
通常将 P 的杆称为大柔度杆(细长杆)。大柔度杆的临 界应力可以采用欧拉公式来进行计算。
l 0.7 7 4.9 l 0.9 2 4.5
5m
7m
9m
最易失稳： A
最难失稳： C
A
B
C
例16-2
空气压缩机的活塞杆（圆形截面）两端铰支，由 45号钢制成，s=350MPa ， p=280MPa ， E=210GPa ，长 l =700mm ，直径 d = 45mm。求临界 压力。
1、计算柔度
活塞杆为圆形截面，故其惯性半径 属于中柔度杆
d i 4

l 0.7 3500 4 81.6 i 120
2、计算临界应力及临界压力
cr a b 460 2.568 81.6 250 .45MPa
π Fcr cr A 25.045 10 0.12 2 2831 .1kN 4
空气压缩机的活塞杆（圆形截面）两端铰支，由45号钢制成，s=350MPa ， p=280MPa ，E=210GPa ，长 l =700mm ，直径 d = 45mm。求临界压力。
1、计算s, p
p
π2E
p
π 2 210109 86 6 28010
查表优质碳钢的 a、b a s 461 350 43.2 s 2.586 b 2、计算柔度 活塞杆为圆形截面，故其惯性半径 属于 中 柔度杆
按照 Iy计算临界压力。
按照 Iy计算临界压力。
F
3 4
Fcr
若
π EI π 20010 4810 N 2 2 (l ) (2 2500 ) 37860N 37.86kN h b 60mm
2 2
b z
h l
y
bh3 604 Iy Iz mm 108 104 mm 12 12
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
I i2 A
Fcr π2 E cr A ( l ) 2 i
1、临界应力与柔度
Fcr π2 E cr A ( l ) 2 i
柔度（长细比）
引入记号
l i
l i
式中 是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反应 了压杆的长度 l、约束条件 、截面尺寸和形状 i 等因素对临界 应力cr 的影响。 则压杆的临界应力可表示为
第十六章 压杆稳定
16.1 相关概念
在外力作用下的杆件，当应力达到屈服极限或强度极限时， 将发生塑性变形或断裂，这种破坏是由于强度不足引起的。长 度很小的粗杆受压也有相同的现象。 但是在工程中有些构件具有足够的强度和刚度，却不一定 能安全可靠地工作。 稳定性问题。
1、稳定平衡和不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
3、中柔度杆的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 公式已经不适用。 工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式是根据试验 数据整理后得到的，这里介绍工程中常用的直线公式 ，即
cr a b
a、b 是和材料有关的常数，单位是MPa
cr a b
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳定，简称 失稳。
Fcr
临界状态 稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力: Fcr
不 稳 度 定 平 衡
当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
l
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力:
π 2 EI Fcr ( 2l ) 2
2l
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端铰支， 一端固定 一端固定 ＝2.0 ＝0.7
两端固定 ＝0.5
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综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
F b z
h l
y
一端固定，一端自由，长度因数
2
F b z
h l
在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取 较小的I值。
hb3 90 403 mm4 48104 mm4 Iy 12 12
bh3 40 903 Iz mm4 243 104 mm4 12 12
y
Iy Iz
l 1 700 4 62 i 45
d i 4
空气压缩机的活塞杆（圆形截面）两端铰支，由45号钢制成，s=350MPa ， p=280MPa ，E=210GPa ，长 l =700mm ，直径 d = 45mm。求临界压力。
3、计算临界应力及临界压力
62
cr a b 461 2.568 62MPa 302 MPa
4、临界应力总图
cr
s
p
cr s
cr a b
cr
π2E
2
0
s
p

课堂讨论 如图所示3根压杆的材 料及截面都相同，那一种情 况的压杆最容易发生失稳？ 说明理由（时间:1分钟）。
F F F
5m
A
7m
B
9m
C
F F F
A: B: C:
l 1 5 5
π EI Fcr ( l ) 2
上式即为欧拉公式的一般形式。
2
l为相当长度， 为长度因数，
与压杆两端的支 承情况有关。其 数值为
两端铰支 一端固定一端自由 两端固定
1 2 0.5
一端固定一端铰支
0.7
例 16-1
如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？ （压杆满足欧拉公式计算条件*）
3、压杆失稳的特点
压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著 增大，从而使杆件丧失承载能力。但是压杆失稳时，杆内 的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。可见， 压杆失稳并非强度不足。由于压杆稳定是突然发生的，因 此所造成的后果是很严重的。
4、压杆失稳造成的灾难 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到26～28轴 时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。
sin kl 0
kl nπ
(n 0,1,2,....)
(a)
F (b)
F n 2 k k EI l n 2 π 2 EI F ( n 0 ,1, 2 ,......) 2 l
n 2 π 2 EI F l2
x F x EI x O y F M(x)
w w ( x) y O
经验公式也有一个适用的范围，即使用经验公式得到的临界 应力不允许超过材料的极限应力，对于塑性材料，不能超过其屈 服极限，而对于脆性材料，不能超过其强度极限。当临界应力超 过极限应力后，压杆已经因为强度不足而破坏，这样经验公式计 算的结果是毫无意义的。 对于塑性材料: 令 cr s 对于Q235钢:
a s s b
（中长杆）。
304 235 s 61 .6 1 .12 工程中将柔度介于s 和p 之间的这一类压杆称为中柔度杆
3、小柔度杆 对于 < s的压杆，小柔度杆将因压缩引起 屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将 屈服极限 s（塑性材料）和强度极限 b（脆性 材料）作为极限应力。
6
3、校核压杆的稳定性
Fcr 2831 .1 nst 4.71 F 600
nst [nst ]
稳定！
求压杆临界压力的基本步骤 求压杆的临界压力是本章的重点内容。而压杆的临界压力的 计算是由其柔度决定的，不能简单地套用欧拉公式。可以将压杆 临界压力的计算步骤归纳如下: 1) 根据压杆的长度、截面、约束情况确定其柔度。 2) 根据计算得到的柔度确定其压杆类型，是属于大柔度杆、中柔 度杆还是小柔度杆； 3) 大柔度杆采用欧拉公式，中柔度杆采用经验公式，小柔度杆采 用材料的极限应力来确定其临界应力； 4) 根据临界应力计算临界压力。
Fcr nst [nst ] F
图示立柱，上端铰支，下端固定，柱高 l =3.5m ，直径 d = 120mm。材料 低碳钢， p 100 , S 60, E 200GPa, a 460MPa, b 2.568MPa 承受压力F=600KN，安全稳定系数 [nst ] 4 ，校核立柱稳定性。
应用实例 武进奔牛洪力液压启闭机 厂（www.wjhongli.com） 生产的冷拔机的撑杆问题
D FT
d
l
应用实例
FT
w(0) w(l ) 0
(a)
F (b)
C2 0, C1 sin kl 0
w( x) C1 sin kx C2 coskx
x F x EI x O y F M(x)
w w ( x) y O
C2 0, C1 sin kl 0
若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于 微弯平衡状态不符。