消防站最佳位置

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1. 槐妮妮

2. 张小平

3. 范晗琳

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

消防站的最佳位置

摘要

消防支队接到报警后消防车会以最快的速度抵达火场,但是现在的车辆越来越多，也没有多少人会主动地给消防车让路。导致消防车到达火场时间与距离不能成正比。本题我们建立模型来研究消防站的最佳位置问题。

对于问题一我们提出了“障碍常数”，即将消防车行驶的路况进行分类。对于时间距离公式加以修订，让我们的模型更贴近实际。得出的行驶时间与距离的模型为() 1.56440.7322d r r =±。

对于问题二，我们用点化模型，将题中给出的区域和将新消防站的位置均用每个区域中心的点来代替，将该区域进行简化，并运用了物理知识，便可很容易得出平均行驶时间的模型。该模型为

即

362311231i p

i p

p d z r

α====∑∑ （1） 对于问题三,借助MATLAB 软件可对问题二进行计算，找到平均行驶时间最小的点，便是我们要建新消防站的位置。计算得消防站的位置应该建立在（1.5，2.5）的位置上。

通过对该题目的求解，找出了消防站的最佳位置，使得救火效率得到提高，使

得更多的财产得到保障。

关键词：“障碍常数”点化模型最佳位置

一、问题重述

一个城郊的社区计划更新消防站. 原来的消防站在旧城中心. 规划要将新的消防站设置得更科学合理. 消防队员到达火灾现场的时间（行车时间）依赖于火灾现场的距离. 行车时间的资料列于附录1）。在前一个季度收集了火警行车时间的资料：平均行车时间为3.2分钟；从社区的不同区域打来的求救电话频率的数据列于附录2。其中每一格代表一平方英里，格内的数字为每年从此区域打来的紧急求救电话的数量.

现需解决如下问题：

1）求行车时间。消防队对离消防站r英里处打来的一个求救电话需要的行车时间估计为d分钟。求解出消防队对求救电话的行车时间的模型d(r).

2）求平均行车时间。设社区位于区域[0,6]×[0,6]内，(x,y)是新的消防站的位置。根据求救电话频率，确定消防队对求救电话的平均行车时间z = f(x,y).

3）求新的消防站，使平均行车时间最小.

二、问题分析

对于问题一，需要求解消防站对求救电话的行车时间模型()

d r。若用MATLAB进行拟合，效果不佳且误差很大。故我们可根据距离和时间成反比的关系来建立模型。考虑到行车过程中路况的好坏和各种突发状况，我们在初步建立的模型中添加一个“误差常数”—— ，使得模型效果达到最佳。

对于问题二，题目要求求解平均行车时间。根据物理学知识，平均时间等于总

位移和平均速度的比值，我们依据此建立模型。

对于问题三，在模型二的基础上，要求新的消防站平均行车时间最少。只需将每个区域时间算出作比较即可。

三、 符号说明 1.v :平均行车速度；

2.ε：“障碍常数”；

3.i N ：消防站到第i 个区域的距离(1,2,...,36)i =；

4.i α：第i 个区域的报警频率(1,2,...,36)i =；

5.i a ：第i 个区域的横坐标(1,2,...,36)i =；

6.i b ：第i 个区域的纵坐标(1,2,...,36)i =。

四、 模型假设

（1）题中给出的23个数据具有代表性。

（2）当消防站接到报警到出警的时间是可以忽略的一个常量。

（3）计算平均时间时两地间的位移即为路程。

（4）在每个1平方英里的区域范围内，各地区位置坐标都可以用该区域中心点的坐标来表示.

五、模型建立及求解

5.1 问题一：行车时间()

d r

通过对问题的分析，我们可根据题目中所给23组数据计算得出平均速度，并根据平均速度计算得到“障碍常数”，最后根据物理知识可建立模型。

1）计算平均行车速度v：

2）计算“障碍常数”——ε：

则行车时间的模型()r

d r

v ε

=±。当路况条件好时，ε取负；路况条件差时，ε取正。

将数据输入MATLAB计算得

0.65

v=，0.7322

ε=.

则消防队对求救电话的行车时间的模型

() 1.56440.7322

d r r

=±。

5.2 问题二：平均行车时间(,)

z f x y

=

通过对问题的分析，我们首先需要求出消防站到每个区域的距离，再根据每个区域的报警频率，求出总距离。在运用总位移和平均速度的比值确定模型。

1）计算消防站到每个区域的距离

i

N：

2）计算总距离R：