高考导数专题(含详细解答)

导数及其应用

导数的运算

1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n

(x

)'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、

x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .

2. 求导数的四则运算法则：

()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2

)(v v u v u v u '-'=' )0(2'''

≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u

注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'•'=' 或 '

•'='x u x u y y

一、求曲线的切线（导数几何意义）

导数几何意义：0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率；

函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=-

1.曲线

在点处的切线方程为（ ）。

A:

B:

C:

D:

答案详解B 正确率: 69%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。 对求导得

，代入

得

即为切线的斜率，切点为

，所以切线方

程为

即

。故本题正确答案为B 。

2.

变式一：

3.设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))

f 处切线的斜率为

( )

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．1

2-

4.已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是

( )

A.21y x =-

B.y x =

C.32y x =-

D.23y x =-+

变式二：

5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的

斜率为2，则点P 的坐标为 .

6.设曲线1

*()n y x

n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++L 的

值为 .

7.已知点P 在曲线y =

4

1

x

e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A 、[0,4

π

) B 、[,)42ππ C 、3(,]24ππ D 、3[,)4ππ

变式三：

8. 已知直线y =x ＋1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )

A.1

B. 2

C.－1

D.－2

9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3

y x =和215

94

y ax x =+-都相切，则a 等于

( )

A ．1-或25-

64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74

-或7

10.若曲线1

2

y x -=在点1

2,a a -⎛

⎫ ⎪⎝⎭

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =

A 、64

B 、32

C 、16

D 、8

11.（本小题满分13分） 设1

()(0)x

x

f x ae b a ae =+

+>.（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值； （II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3

2

y x =；求,a b 的值.

12.若曲线

()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(x f y =在某个区间D 内可导， 如果)(x f '＞0，则)(x f y =在区间D 上为增函数； 如果)(x f '＜0，则)(x f y =在区间D 上为减函数； 如果)(x f '=0恒成立，则)(x f y =在区间D 上为常数.

2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(x f '＞0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的增区间；不等式)(x f '＜0的解集与函数)(x f y =定义域的交集，就是)(x f y =的减区间. 1、函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是

( )

A. )2,(-∞

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ),2(+∞

2.函数3

2

()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .

3.已知函数

，

，讨论的单调性。

答案详解由题意，

的定义域是，所以有。设

，

二次方程的的判别式 。 当，即

时， 对一切

都有。此时，在上

是增函数； 当

时，，此时在上也是增函数；