考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理)

(2)(, )内可导
则∃ξ ∈ (a, b)，
使得 f(b)-f(a)= f ′ (ξ)(b-a),或者写成f ′ (ξ)=
f(b)−f(a)
b−a
柯西中值：
(1)[, ]上连续
设 f(x),g(x)满足{(2)(, )内可导
则∃ξ ∈ (a, b)，
(3)′ () ≠ 0.
f(b)−f(a)
3
(1 + ) =1+αx+
−…+(−1)
(−1)
2!
+1
+1
2 + ⋯ +
+ο( +1 )
(−1)⋯(−+1)
!
+ο( )
函数性态
单调判定：
若 y=f(x)在区间 I 上有f ′ (x)>0,则 y=f(x)在 I 上严格单调增加；
若 y=f(x)在区间 I 上有f ′ (x)<0,则 y=f(x)在 I 上严格单调减少。
f′ (ξ)
使得g(b)−g(a)=g′ (ξ).
泰勒公式：
(1)带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式
设 f(x)在点x0 的某个领域内 n+1 阶导数存在，则对该邻域内的任意点 x 均有
1
f(x)=f(x0 )+f ′ (x0 )(x − x0 )+…+n! f (n) (x0 )(x − x0 )n +
为()在[a,b]上的最小值和最大值.
介值定理：如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，m,M 是 f(x)在该区间上的最小
值和最大值，则对任意的∈[, ],∃ξ ∈ (a, b),使得()=μ.
零点定理：如果函数 f(x)在闭区间[, ]上连续，且满足 f(a)⋅f(b)<0,∃ ∈ (, ),
计算
极限四则运算：设 ()=A(∃), ()=B(∃),则
→0
→0
1 [() ± ()]=A±B.
○
→0
2 [()()]=A⋅B.
○
→0
3
○
()

= (B≠0).
→0 ()
等价无穷小（9）
1
sin
1 − cos x ~ 2 x 2
使得()=0.
费马引理：
设 f(x)满足在x0 点处{
(1) 可导
(2)取极值
则f ′ (x0 )=0.
罗尔：
(1)[, ]上连续
设 f(x)满足{(2)(, )内可导
则∃ξ ∈ (a, b),使得f ′ (ξ)=0
(3)() = ()
拉格朗日中值：
设 f(x)满足{
(1)[, ]上连续
sin
− 1~ ⋅
(1 + x)α − 1~αx

~

ln(1+x)
− 1


√ = 1 , √ = 1, (a>0) ,
→∞
→∞
( ) = 0 , − = 0 ( > 0, > 0)
零点问题（方程根问题）：
1 零点定理（存在性）
○
2 单调性（唯一性）
○
3 几何意义
○
4 罗尔中值（构造辅助函数→F ′ (ξ)=0）
○
5 拉格朗日、柯西中值（ξ即为定理方程的根）
○
6 费马定理（取原函数 F(x)→找极值→f(x)=0）
○
7 罗尔原话 若f (n) (x)=0 至多 k 个根，则f (n−1) (x)=0 至多 k+1 个根
1−
[极限]
定义
函数极限 x→• ：（6）
()=A: ∀>0,∃>0,当 0<|x- x0|< 时，恒有|f(x)-A|< .
→0
()=A: ∀>0,∃>0,当 0<(x- x0)< 时，恒有|f(x)-A|< .
→0 +
()=A: ∀>0,∃>0,当 0<( x0- x)< 时，恒有|f(x)-A|< .
○
3
○
′()
=A 或为∞.
→ 0 ′()
则
→0
()
=
()
′()
→0 ′()
∞
1 ()=∞, ()=∞;
“∞”型：○
→0
→0
2 f(x),g(x)在 x0 的某去心领域内可导,且 g’(x)≠0
○
3
○
则 limf(x)存在，且 limf(x)=A.
1 max{ }≤∑=1 ≤n∙max{ };
两种典型放缩：○
2 n∙min{ }≤∑=1 ≤n∙max{ }
○
选取的依据是谁在和式中去决定性作用
海涅定理（归结原则）：设 f(x)在
(0 , )内有定义，则
()=A 存在⟺对任何以x0 为极限的数列{ }（ ≠0 ），极限 ( )=A
fn+1 (ξ)
(x
(n+1)!
− x0 )n+1,其中ξ介于x, x0 之间，
(2)带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式
设 f(x)在点x0 处 n 阶可导，则存在x0 的一个邻域，对于该邻域中的任一点，
1
f(x)=f(x0 )+f ′ (x0 )(x − x0 )+…+n! f (n) (x0 )(x − x0 )n +ο((x − x0 )n ).
[基础知识]
因式分解公式： - =(-b)( −1 +−2 b+…+ −2 + −1 )
( n 为正偶数时) - =(+b)( −1-−2b+…+ −2 - −1 )
( n 为正奇数时) + =(+b)( −1 -−2 b+…- −2 + −1)
○
极值判定：（3）
第一充分条件：设 f(x)在 x=x0 处连续，在x0 某去心领域
{
(x0 ,δ)可导
在x0 的左邻域f ′ (x) < 0, 右邻域f ′ (x) > 0, 则 f(x0 )是极小值
(0 +)−(0 )

→0
=
→0
()−(0)
−0
微分定义式：若y=A+o(),则 dy=A.
可导的判别:
(1) 必要条件:若函数 f(x)在点x0 处可导,则 f(x)在点x0 处连续.
′
′
′
+(
, ′ 都存在，且+(
=−(
.
0 ) −(0 )
1+ 2 = 2
2= 2 -2 =1-22 =2 2 -1
cot( ± ) =
1∓cot cot
cot +cot
)
)
)
1−
tan =
2

=

1+
=±√
1−
1+

cot =
−
sinαsinβ=- (cos
2
−
)(sin
1
sinαcosβ= (sin
)
2
)(co
)
2
)
−
+cos
+cos
2
−
2
−
-cos
2
)
重要三角公式
1+2 = 2
2 = 2
±
tan( ± )=1∓ tan
二项式定理：( + ) =∑=0 −
不等式：
(1) a,b 位实数，则
1 |ab| ≤ 2 + 2 ；○
2 | ± | ≤ || + ||；○
3 || − ||≤| − |.
○
(2) , ,…, >0, 则
1 1 +2 +⋯+≥ √1 2 ⋯
0)
0)
(2) 充要条件: ′ (0 )存在
[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这
点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断.
可微的判别：

→0
Δ−Δ
Δ
=0，则 f(x)可微。（一元函数可微即可导）
计算
1
几个不常见的求导公式：(arccos x)’=-√1− 2
数列极限 n→∞ ：
lim ()=A: ∀>0, ∃N>0,当 n>N 时,恒有|Xn-A|< .
→∞
性质
(1)唯一性:设 lim ()=A， lim ()=B，则 A=B.
→x0
→x0
(2)局部有界性：若 lim ()存在，则存在>0,使 f(x)在 U={x｜0<｜x-x0｜<
麦克劳林：（9）
1
1
2!
!
=1+x+ 2 +…+ +ο( )
3
2+1
sinx=x− +…+(−1) (2+1)!+ο( 2+1 )
3!
3
2+1
arcsinx=x+ …+(2+1)!+ο( 2+1 )
3!
3
2
3
15
tanx=x+ + 5 +ο( 5 )
1
(arccot x)’=-1+ 2