最新现代控制理论知识点复习

第一章 控制系统的状态空间表达式

１． 状态空间表达式 n 阶

Du

Cx y Bu Ax x

+=+=&1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:

A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；

Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况； C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系， D 直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点

①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：

a 选择状态变量；

b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；

c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）

已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立

① 由系统框图建立状态空间表达式：

a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；

b 每个积

分器的输出选作i x ，输入则为i x &；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作

为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。

注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。

5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。

特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。

状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，

各特征矢量按列排。b 有重根时，设3阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。

系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。

6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W

D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。

状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。

第二章 控制系统状态空间表达式的解

一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x =&）的解：0)(x e t x At = 二．矩阵指数函数——状态转移矩阵

1．At e t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。 2．At e 的计算：

a 定义；

b 变换为约旦标准型 AT T J 1)(-=Λ或,11--Λ=T Te T Te e Jt t At 或

c 用拉氏反变换])[(11---=A sI L e At 记忆常用的拉氏变换对

2

222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1

)(1;1)(ωωωωωδ+↔

+↔+↔↔+↔↔

↔↔-+-s s t s t a s te s n t a s e s t s t t at

n n at d 应用凯莱-哈密顿定理

三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x +=&）的解：τττφφd Bu t x t t x t

)()()0()()(0

⎰-+

=。可由

拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。

第三章 线性控制系统的能控性和能观性

一．能控性及能观性定义（线性连续定常）

二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）

判别方法（一）：通过线性变换 Bu Ax x +=& Bu T ATz T z

11--+=→& 1．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能控性充要条件：B T 1-没有全为0的行。 变换矩阵T 的求法。

2．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的B T 1-中最后一行元素没有全为0的。 ②B T 1-中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、B T 1-。 判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别

Bu Ax x +=& 能控的充要条件是 能控性判别矩阵),,,(12B A B A AB B M n -=Λ的秩为n 。

在单输入系统中，M 是一个n n ⨯的方阵；

而多输入系统，M 是一个nr n ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM = 三．线性定常系统的能观性判别

判别方法（一）：通过线性变换 Cx y Ax x ==& →TCz

y ATz T z ==-1&

１．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1-=Λ，能观性充要条件：TC 中没有全为0的列。 变换矩阵T 的求法。

２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1-=，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。 ②对应于互异

特征根部分，对应的TC 中各列元素没有全为０的。变换矩阵T 的求法。

这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1-T 、TC 。 判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别

能观性的充要条件是 能观性判别矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=-1n CA CA C N M

的秩为n 。 在单输入系统中，N 是一个n n ⨯的方阵；

而多输入系统，N 是一个n nm ⨯的矩阵，可通过)(T MM rank rankM = 六．能控性与能观性的对偶原理

１．若T A A 12=，T C B 12=，T B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。

对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。 ２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。

七．能控标准型和能观标准型

对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。

１． 能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）