第一课时 基本不等式
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2.2基本不等式
第一课时
基本不等式
课标要求素养要求
1.掌握基本不等式ab≤
a＋b
2(a>0，b>0).
2.能灵活应用基本不等式解决一些证
明、比较大小问题.
通过学习掌握基本不等式及其简单应
用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
新知探究
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会
的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦
图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.
1.∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.特别地，如果a>0，
b>0，我们用a，b分别代替上式中的a，b，可得ab≤
a＋b
2，当且仅当a＝b
时等号成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，a ＋b
2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.
2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
拓展深化
[微判断]
1.a ＋b
2≥ab 对任意实数a ，b 都成立.(×)
提示 只有当a >0且b >0时，a ＋b
2≥ab 才能成立. 2.若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .(√) 3.若a >0，b >0，则ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
.(√) [微训练]
当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号). ①b a ＋a
b ≥2；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .
解析 根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b
2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 答案 ③ [微思考]
1.不等式a 2＋b 22≥ab 和a ＋b
2≥ab 中“＝”成立的条件相同吗？ 提示 不相同.前者仅需a ＝b 即可，后者要求a ＝b ≥0. 2.“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示 a ＝b ⇔a 2＋b 22＝ab ；a ＝b >0⇔a ＋b
2＝ab .
题型一 与基本不等式有关的比较大小问题
【例1】 设0