中国西部数学奥林匹克试题及其解答

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2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克第一天 11月10日上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a ab bc c ++−+−+−+1≤．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ．M广西南宁第二天 11月11日上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足⎩⎨⎧=++=++.,022211ny x x x x n n L L七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．解答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？,A T A ⊆≠∅()S A ()S A 解对于空集∅，定义.令()0S ∅=012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于，令，则A T ⊆001I I 122,,A A T A A T A A T ===I 01212()()()()(mod 3)S A S A S A S A A A =++≡−，因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨=====⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩= 从而满足3(的非空子集A 的个数为)S A 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++−＝87.若3(，)S A 5(，则)S A 15.()S A =由于S T ，故满足()363(，)S A 5(的S A 的可能值为15，30.而)S A ()15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3(，)S A 5(，)S A A ≠∅的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.二、如图，⊙O 与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙O ,⊙O 相交于点A ，B ，点P 在⊙O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 的12O 1212弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．MN ⊥证设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 . ②22R MA MC MO +⋅=因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅，④ 由①，②，③，④得MP MD NQ ND MO NO ⋅−⋅=−22)()(DP MD MD DQ ND ND +−+=,)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅−⋅+−=所以， ODMN ⊥⇔2222MD ND MO NO −=−DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤．证若a ，b ，c 都小于95，则可以证明211(3)541124a a a ≤−−+．（*）事实上，（*）⇔2(3)(5411)24a a a −−+≥ ⇔ 32519239a a a 0−+−≤⇔2(1)(59)0a a −−≤ 95a ⇐<同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+111(3)(3)(3)2424244a b c ≤−+−+−=1．若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则 2454115(15a a a a 1−+=−+ 9945()112555≥⋅⋅−+=0，故 211541120a a ≤−+．由于 2222454115()4()111110555b b −+≥−⋅+=−>，所以21154111b b <0−+，同理，211541110c c <−+，所以 222111541154115411a a b b c c ++−+−+−+11120101041<++=．因此，总有 2221115411541154114a a b b c c ++−+−+−+1≤，当且仅当时等号成立．1a b c ===四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<uuu r uuu r uuu r ．证法一先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数1,2p p 和,使得,且q 21q N ≤≤1211,q p q p N N αβ−<−< 同时成立.引理的证明：考虑平面个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…, },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 21N +2N 2N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N 1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N N αβ−<−<．如果p 1≤0,那么N1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证. 回到原题，由条件知存在正实数α，β使得0=++OC OB OA βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得 1211,q p q p N Nαβ−<−< 同时成立，于是，由=++q q q βα可得|)()(|||2121q p q p q p p βα−+−=++≤|)(||)(|21q p q p βα−+−<N 1(||||+). 取N 充分大即可知命题成立.=++γβ证法二由条件可知存在正实数β,γ使得,于是对任意正整数k ,都有0=++OC k OB k OA k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此， |}{}{||)()(|kT kT kT n kT m kT γβ−−=++ ≤||}{||}{OC kT OB kT γβ+≤||||OC OB +.这表明有无穷多个向量OC kT n OB kT m OA kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||OC OB +为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071.于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。

2013年中国西部数学奥林匹克试题及其解答

次操作，变为状态
1， 0，0，0， … ，0 ，且第一步操作是将最右边的一枚硬币翻面。此时再经一次操作变
个
为 0， 1，1，1， … ，1 ，这种状态可以看作2m枚硬币的状态。根据归纳假设，再经
个
次操作，可以调整为状态 0，0，0， … ，0 ，即所有硬币都正面朝下。这种情况共
个
计经过
+1+
=
次操作。命题成立。
二、设整数n ≥ 2，且实数x 、x 、x 、 … 、x ∈ 0，1 ，求证：∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。证明：我们用数学归纳法。当n = 2时，命题即为x x ≤ (x + 2x ) ⇔ 3x x ≤ x + 2x 。而注意到x 、x ∈ 0，1 ，所以3x x = x x + 2x x ≤ x + 2x ，不等式成立。假设当n = t时，命题成立，即∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。下面我们证明，当 n = t + 1时，命题也成立，即∑ ＜ kx x ≤ · ∑ kx 。根据归纳假设，并注意到x 、x 、x 、 … … 、x ∈ 0，1 ，所以 ∑ ＜ kx x = ∑ ＜ kx x + (∑ kx )x ≤ · ∑ kx + (∑ kx )x = · ∑ kx + (∑ kx )x + (∑ kx )x ≤ · ∑ kx + (∑ kx ) + (∑ k)x = · ∑ kx + ( ) · x = · ∑ kx 当n = t + 1时，不等式也成立。根据数学归纳法知，不等式恒成立。三、如图，⊙P、⊙Q、⊙R 为△ABC 的三个旁切圆，⊙P 切 BC 于点 D，E、F 分别为 AC、 AB 中点，点 Q 关于点 E 的对称点为点 M，点 R 关于点 F 的对称点为点 N，求证：AD⊥MN。（2013 年中国西部数学奥林匹克试题）

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日）第一天 11月10日上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<．广西南宁第二天 11月11日上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,，满足⎩⎨⎧=++=++.,022211ny x x x x n n七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为{}1,2,,n ．解答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？解对于空集∅，定义()0S ∅=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ⊆，令001122,,A A T A A T A A T === ，则01212()()()()(mod 3)S A S A S A S A A A =++≡-，因此，3()S A 当且仅当12(mod 3)A A ≡.有以下几种情况：1111112222220,0,3,3,1,2,0,3,0,3,1,2,A A A A A A A A A A A A ⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨======⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎩⎩ 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87.若3()S A ，5()S A ，则15()S A .由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1.故满足3()S A ，5()S A ，A ≠∅的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70. 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．证设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 22R MA MC MO +⋅=. ② 因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅， ④由①，②，③，④得MP MD NQ ND MO NO ⋅-⋅=-22)()(DP MD MD DQ ND ND +-+= )(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=, 所以， O D M N ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+．证若a ，b ，c 都小于95，则可以证明211(3)541124a a a ≤--+．（*）事实上，（*）⇔ 2(3)(5411)24a a a --+≥ ⇔ 325192390a a a -+-≤ ⇔ 2(1)(59)0a a --≤95a ⇐<同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得222111541154115411a ab bc c ++-+-+-+1111(3)(3)(3)2424244a b c ≤-+-+-=．若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则2454115()115a a a a -+=-+9945()1120555≥⋅⋅-+=，故 211541120a a ≤-+．由于 2222454115()4()111110555b b -+≥-⋅+=->，所以211541110b b <-+，同理，211541110c c <-+，所以 222111541154115411a a b b c c ++-+-+-+11112010104<++=．因此，总有 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+，当且仅当1a b c ===时等号成立．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<．证法一先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数12,p p 和q ,使得21q N ≤≤,且1211,q p q p N Nαβ-<-< 同时成立.引理的证明：考虑平面21N +个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…,2N },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为2N 个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 2,使得|{i α}-{j α}|<N1，|{i β}-{j β}|<N1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N Nαβ-<-<．如果p 1≤0,那么N1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证.回到原题，由条件知存在正实数α，β使得0=++OC OB OA βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得1211,q p q p N Nαβ-<-< 同时成立，于是，由=++q q q βα可得|)()(|||2121q p q p q p p βα-+-=++≤|)(||)(|21q p q p βα-+- <N1(||||OB OA +). 取N 充分大即可知命题成立.证法二由条件可知存在正实数β,γ使得=++γβ,于是对任意正整数k ,都有0=++OC k OB k OA k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此，|}{}{||)()(|kT kT kT n kT m kT γβ--=++≤||}{||}{OC kT OB kT γβ+≤||||OC OB +.这表明有无穷多个向量OC kT n OB kT m OA kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||+为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(OC T k n OB T k m OA T k )()(222++)－(OC T k n OB T k m OA T k )()(111++)|<20071.于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。

2014年中国西部数学奥林匹克邀请赛试题及其解答

= ∠=
∠
DP · DQ。
∠ = ，所以△APD∽△BQC，所以 = = ，所以CP · CQ =
∠
C
D
P
Q
A
O
B
三、设A 、A 、A 、 …是一列集合，满足：对任意正整数j，只有有限个正整数i，使得A ⊆ A 。证明：存在一列正整数a 、a 、a 、 …，使得对任意正整数i、j，a |a ，当且仅当A ⊆ A 。
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文武光华
综上所述，上述定义的数列 a 即满足条件。
四、给定正整数n，设a 、a 、 … 、a 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”。已知a 、a 、 … 、a 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求 ∑ a 的最小值。
综上所述，命题得证。
六、给定整数n ≥ 2，设实数x 、x 、 … 、x 满足：（1）∑ x = 0；（2）|x | ≤ 1。求 min |x − x |的最大值。
解答：（1）当n为偶数时，因为|x − x | ≤ |x | + |x | ≤ 2，故 min |x − x | ≤ 2。另一方面，令x = −1，x = 1（i = 1，2， … ，），则 min |x − x | = 2。故
的最大值为。
七、如图，平面上点 O 是正△ABC 的中心，点 P、Q 满足OQ⃑ = 2PO⃑，证明：|PA| + |PB| + |PC| ≤ |QA| + |QB| + |QC|。
A
PO Q
B
C
证明：如图，取 BC、CA、AB 的中点 D、E、F，则△DEF 与△ABC 关于点 O 以1: −2位似，又 P、Q 关于点 O 以1: −2位似，所以|QA| + |QB| + |QC| = 2|PD| + 2|PE| + 2|PF|。

2001年第1届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

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第二天
1.求所有的实数 x ，使得 ⎡⎣x3 ⎤⎦ = 4x + 3 ，这里[ y] 表示不超过实数 y 的最大整数.
2 . P 为 O 外一点，过 P 作 O 的两条切线，切点分别为 A 、B .设Q 为 PO 与 AB 的交点，过Q 作圣才学习网学习网www. O 的任意一条弦CD .证明： ΔPAB 与 ΔPCD 有相同的内心.
圣才学习网www.100xue 学习网www.100xuexi.co 合
Ai
（1
≤
i
≤
14
），在
Ai
中有两个元素
a
、
b
满足
b
<
a
≤
4 3
b
.
， A14 才圣
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2001 年第 1 届中国西部数学奥林匹克竞赛
第一天
{ } 1.设数列
xn
满足
x1
=
1 2
，
xn+1
=
xn
+
xn 2 n2
，证明：
x2001
< 1001.
才学习网www.100xuex 网 2 .设 ABCD 是面积为2 的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为 ΔPAB 的内切圆与边 AB 的切点，乘圣学习积 PA⋅ PB 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的变化而变化，当 PA⋅ PB 取最小值时，
4 .我们称 A1 ， A2 ，， An 为集合 A 的一个 n 分划，如果

历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2008年中国西部数学奥林匹克解答

2008年中国西部数学奥林匹克(2008年11月1日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分1．实数数列}{n a 满足：1,00≠a ，011a a -=，)(11n n 1n a a a --=+，n=1，2，…．证明：对任意正整数n ，都有 )111(n1010a a a a a a n +++ =1．证明：由条件可知1-a n+1=a n (1-a n )=a n a n-1(1-a n-1)=…=a n …a 1(1-a 1)=a n …a 1a 0,即a n+1= 1-a 0a 1…a n ,n=1,2,…. 下面对n 归纳来证明当n=1时,命题显然成立.假设n ＝k 时,命题成立,对n=k+1的情形有 )1111(1k k 101k 10++++++a a a a a a a =k 2101k10k 210)111(a a a a a a a a a a a a k +++++ =k 2101a a a a a k ++=1. 故命题对n=k+1成立.所以,对任意正整数n,2．在ABC ∆中，AC AB =，其内切圆⊙I 切边AB CA BC ，，于点F E D ，，，P 为弧EF (不含点D 的弧)上一点．设线段BP 交⊙I 于另一点Q ，直线EQ EP ，分别交直线BC 于点N M ，．证明：(1) M B F P ，，，四点共圆； (2)BPBDEN EM =．证明： (1) 连EF,由条件可知EF//BC,故∠ABC=∠AFE=∠AFP+∠PFE=∠PEF+∠PFE=180︒-∠FPE. 所以，P,F,B,M 四点共圆.(2) 利用正弦定理，EF//BC 及P,F,B,M 四点共圆可知EMN ENM EN EM ∠∠=sin sin =)sin(sin PFB FEN∠-∠π=PFB FPB ∠∠sin sin =BPBF . 结合BF=BD 即可知命题成立.3．设整数2≥m ，m 21,,a a a ，都是正整数．证明：存在无穷多个正整数n ，使得数n n n m a a a ⋅++⋅+⋅m 2121 都是合数．证明：取数a 1+2a 2+…+ma m 的质因子p,由Fermart 小定理可知对任意1≤k ≤m,都有k p ≡k(mod p),所以，对任意正整数n,都有a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m ≡a 1+2a 2+…+ma m ≡0(mod p), 从而，数a 1⋅np 1+a 2⋅np 2+…+a m ⋅np m (n=1,2,…)都是合数.4．设整数2≥m ，a 为正实数，b 为非零实数，数列｝｛n x 定义如下：b x =1， ,2,1,1=+=+n b x a x mn n ．证明：(1) 当b <0且m 为偶数时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab ≥-2； (2) 当b <0且m 为奇数，或b >0时，数列｝｛n x 有界的充要条件是1-m ab≤mm m m 1)1(--．证明：(1) 当b<0且m 为偶数时，如果ab m-1<-2，那么首先有ab m +b>-b>0，于是a(ab m +b)m +b>ab m +b>0,即x 3>x 2>0.利用ax m +b 在(0,+∞)上单调增可知数列｝｛n x 的每一项都比前一项大,并且从第二项起每一项都大于-b. 考察数列｝｛n x 中的连续三项x n ,x n+1,x n+2,n=2,3,…,我们有x n+2-x n+1=a(x n+1m -x n m )=a(x n+1-x n )(x n+1m-1+x n+1m-2x n +…+x n m ) >amx n m-1(x n+1-x n )>am(-b)m-1(x n+1-x n )>2m(x n+1-x n )>x n+1-x n ，这表明数列｝｛n x 中相邻两项的差距越来越大,因此是无界的. 若ab m-1≥-2,我们用归纳法证明数列｝｛n x 的每一项都落在区间[b,-b]中. 第一项b 已经在区间[b,-b]中，如果某项x n 满足b ≤x n ≤-b ，那么0≤x n m ≤b m ，从而b=a ⋅0m +b ≤x n+1≤ab m +b ≤-b.所以,此时数列｝｛n x 有界的充要条件为ab m-1≥-2. (2) 当b>0时，数列｝｛n x 的每一项都是正数．我们先来证明，数列{x n }有界的充要条件是方程ax m +b=x 有正实根．如果方程ax m +b=x 无正实根，那么函数p(x)= ax m +b-x 在(0,+∞)上的最小值大于0，不妨设其为t ．那么对于数列中的任意连续两项x n 与x n+1，有x n+1-x n =a m n x -x n +b ，故数列｝｛n x 中后一项至少比前一项大t ，因而此时无界．如果ax m +b=x 有正实根，设其一正根为x 0，下面利用归纳法证明数列｝｛n x 中的每一项都小于x 0．首先第一项b 显然小于x 0,假设某项x n <x 0，由ax m +b在[0,+∞)上是增函数知x n+1=a m n x +b<a m 0x +b=x 0，因此数列有界．而ax m +b=x 有正根的充要条件是ax m-1+xb在(0,+∞)上的最小值不大于1，而ax m-1+xb的最小值可以由平均值不等式给出，即axm-1+x b =ax m-1+xm b x m b )1()1(-++- ≥m m m m ab m 11)1(---. 此时数列{x n }有界的充要条件是m m m m ab m 11)1(---≤1，即1-m ab ≤mm m m 1)1(--．当b<0,m 为奇数时,令y n =-x n ,则y 1=-b>0,y n+1=ay n m +(-b),注意到{x n }有界的充要条件是{y n }有界,故可转化为上述情形.综上可知(2)成立.2008年中国西部数学奥林匹克第二天(2008年11月2日 8：00-12：00)贵州省贵阳市每题15分5. 在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上．证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008．证明：将青蛙放在数轴上讨论,不妨设最初四只青蛙所在的位置为1,2,3,4.注意到，处于奇数位置上的青蛙每次跳动后仍处在奇数位置上,处于偶数位置上的青蛙每次跳动后仍处在偶数位置上.因此,任意多次跳动后,四只青蛙中总是两只处于奇数位置上,另两只处在偶数位置上.如果若干次跳动后,青蛙所在位置中每相邻两只之间的距离都是2008,则要求它们处在具有相同奇偶性的位置上,不可能.6. 设)1,0(∈z y x ，，，满足：2111=-+-+-xyzzx y yz x ，求xyz 的最大值．解：记u=6xyz ,则由条件及均值不等式可知 2u 3=2xyz =∑-)33(31x x ≤∑-+2)33(31x x =233-31(x+y+z) ≤233-33xyz ⋅=233-3u 2.故4u 3+23u 2-33≤0,即(2u-3)(2u 2+23u+3)≤0,所以,u ≤23.依此可知,xyz ≤6427,等号在x=y=z=43时可以取到.因此，所求最大值为6427.7. 设n 为给定的正整数，求最大的正整数k ，使得存在三个由非负整数组成的k 元集}{21k x x x A ，，， =，}{21k y y y B ，，， =和}{21k z z z C ，，， =满足：对任意1≤j ≤k ，都有n z y x j j j =++．解：由条件可知kn ≥∑=++ki i i i z y x 1)(≥3∑-=1k i i =2)1(3-k k ,因此，k ≤[32n]+1. 下面给出k=[32n]+1的例子若n=3m,对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j-1,z j =2m-2j+2;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j-1,y j =j-m-2,z j =4m-2j+3即可；若n=3m+1, 对1≤j ≤m,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+2;对m+1≤j ≤2m,令x j =j+1,y j =j-m-1,z j =4m+1-2j;而x 2m+1=m,y 2m+1=2m+1,z 2m+1=0即可；若n=3m+2, 对1≤j ≤m+1,令x j =j-1,y j =m+j,z j =2m-2j+3;对m+2≤j ≤2m+1,令x j =j,y j =j-m-2,z j =4m-2j+4;而x 2m+2=2m+2,y 2m+2=m,z 2m+2=0即可. 综上可知，k 的最大值为[32n]+1.8. 设P 为正n 边形n A A A 21内的任意一点，直线P A i 交正n 边形n A A A 21的边界于另一点i B ，i =1，2，…，n ．证明：∑∑==≥ni i ni i PB PA 11．证明：记t=[2n]+1,并设A n+j =A j ,j=1,2…,n. 注意到,正n 边形的任意一个顶点与边界上任意一点之间的距离不大于其最长的对角线的长度d,因此,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PB i =A i B i ≤d ①另一方面,由三角形两边之和大于第三边可知,对任意1≤i ≤n,都有 A i P+PA i+t ≥A i A i+t =d ②对①,②分别对i=1,2,…,n 求和可得∑∑==++≥≥+ni i i ni t i i PB P A nd PA P A 11)()(,即2∑∑∑===+≥ni i n i i n i i PB P A PA 111,依此可知命题成立.。

2023年中国西部数学奥林匹克试题解答

2023年中国西部数学奥林匹克试题解答全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年中国西部数学奥林匹克是全国中学生瞩目的盛事，吸引了数百所学校的优秀学子参加。

今年的数学竞赛题目设计精妙，考察了学生的数学思维能力和解题技巧。

下面将为大家详细解答一些关键题目。

一、选择题1. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0的两个根为a和b，则ab的值为多少？解析：根据韦达定理，a+b=5且ab=6，所以ab=6。

2. 若a\%b=c，且a=12,b=3，则c的值为多少？解析：a\%b=12\%3=0，所以c=0。

3. 设f(x)=x^2+2x+1，g(x)=x^2-2x+1，则f(x)g(x)的展开结果为什么？4. 若等差数列\{a_n\}的前三项依次为9，12，15，则a_n的通项公式是什么？解析：根据等差数列的性质，设公差为d，则a_1=9，a_2=12，a_3=15，解得d=3，所以a_n=6+3(n-1)。

5. 若a，b，c是一个等比数列，且a^2=3bc，求a的值。

解析：根据等比数列的性质，设公比为r，则a=br，c=br^2，代入a^2=3bc得到r=\sqrt3，所以a=b\sqrt3。

二、填空题1. 若x=3时，方程2x-4y=5的解为y=\_\_\_。

解析：代入x=3，得y=\frac{2(3)-5}{4}=1。

2. 若\log_a(\frac{5}{2})=2，求a的值。

解析：根据对数的定义，\log_a(\frac{5}{2})=2等价于a^2=\frac{5}{2}，解得a=\sqrt{\frac{5}{2}}。

3. 若\sin\theta=\frac{3}{5}，则\cos\theta=\_\_\_。

解析：根据三角函数的互余关系，\sin^2\theta+\cos^2\theta=1，代入\sin\theta=\frac{3}{5}得到\cos\theta=\frac{4}{5}。

2001-2012中国西部数学奥林匹克CWMO试题与解答

5 4
或
-
1.
2. 如图 1 ,记 R 为
线段 OP 与 ⊙O 的交
点 , E 为 PD 与 ⊙O 的
交点 (不同于 D) .
∵CQ·QD
= AQ·QB = AQ2 ,
PQ·QO = AQ2 ,
图1
∴CQ·QD = PQ·QO.
于是 , P、C、O 、D 四点共圆.
故 ∠OPC = ∠ODC = ∠OCD = ∠OPD ,即 PO 为
x2
+ y2 + xyz
z2
=
3.
下面证明 x2
+ y2 + xyz
z2 的最小值为
3.
事实上 ,有
x2
+
y2
+
z2
≥1 3
(x+
y+
z) 2
≥
1 3
( xyz) 2
≥ 3 xyz ,如果
xyz ≥3
3,
3 3 ( xyz) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz < 3 3 .
故 x2
+ y2 + xyz
∏ n - 1
x ,则 2 n - m
i= m
x2i + 1 2
.
而
x2 i + 2
1
,
x2j + 2
1
= 1 ,故必须 2| ( n - m) ,矛盾.
综上可知 ,所求的整数 x 只有一个 ,即 x = 0.
4. 注意到 ,当 x = y = z = 3时 , x + y + z = xyz ,而
当 PA·PB 取最小值时 ,

高中数学-组合-训练题-西部数学奥林匹克2001-2017精选全文完整版

组合训练题_西部数学奥林匹克1.若集合A的n个子集A1, A2, …, A n同时满足：①A1∪A2∪…∪A n= A；②A i∩A j≠∅(1≤i< j≤n)，则称A1, A2, …, A n为A的一个n划分.求最小的正整数m，使得对集合A = {1, 2, …, m}的任意一个14划分A1, A2, …, A14，一定存在某个集合A i (1≤i≤14)，在A i中有两个元素a, b满足b < a≤!! ! .2.设n为正整数，集合A1, A2, …, A n+1是集合{1, 2, …, n}的n + 1个非空子集.证明：存在{1, 2, …, n + 1}的两个不交的非空子集{i1, i2, …, i k}和{j1, j2, …, j m}，使得A!!∪A!!∪…∪A!!= A!!∪A!!∪…∪A!!.3.设S = (a1, a2, …, a n)是一个由0, 1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续的5项不同，即对任意1≤i < j≤n – 4，a i, a i+1, a i+2, a i+3, a i+4与a j, a j+1, a j+2, a j+3, a j+4不相同. 证明：数列S最前面的4项与最后面的4项相同.4.将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10. 求每一个面上四个数之和的最小值.5.1650个学生排成22行、75列. 已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对. 证明：男生的个数不超过928.6.将m×n棋盘（由m行n列方格构成，m≥3, n≥3）的所有小方格都染上红蓝二色之一. 如果两个相邻（有公共边）的小方格异色，则称这两个小方格为一个“标准对”. 设棋盘中“标准对”的个数为S. 试问：S是奇数还是偶数由哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S 为偶数？说明理由.7.设n个新生中，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不认识. 试求n的最大值.8.给定正整数n (n≥2)，求|X|的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集B1, B2, …, B n，都存在集合X的一个子集Y，满足：(1) |Y| = n；(2) 对i = 1, 2, …, n，都有|Y∩B i|≤1.这里|A|表示有限集合A的元素个数.9.设O为△ABC内部一点. 证明：存在正整数p, q, r，使得| p·OA+ q·OB+ r·OC| <! !""#.10.将n个白子与n个黑子任意地放在一个圆周上. 从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2, …, n. 再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1, 2, …, n. 证明：存在连续n个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为1, 2, …, n.11.在一直线上相邻两点的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.12.设n为给定的正整数，求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集A = {x1, x2, …,x k}，B = {y1, y2, …, y k}和C = {z1, z2, …, z k}满足：对任意1≤j≤k都有x j + y j + z j = n.13.给定整数n≥3，求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n个两两不同的实数x1, x2, …, x n，满足x1 + x2, x2 + x3, …, x n–1 + x n, x n + x1均属于A.14. 有n (n > 12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由15个填空题组成，每答对1题得1分，不答或答错得0分. 分析每一种可能的得分情况，发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少3个同样的题. 求n 的最小可能值.15. 求所有的正整数n ，使得集合{1, 2, … , n }有n 个两两不同的三元子集A 1, A 2, … , A n ，满足对任意1≤i < j ≤n ，都有| A i ∩A j |≠1.16. 有n (n ≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场. 如果选手A 的手下败将不都是B的手下败将，则称A 不亚于B . 试求所有可能的n ，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.17. 已知集合M ⊆{1, 2, … , 2011}，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元素a , b ，使得a |b 或b | a . 求|M |的最大值（其中|M |表示集合M 的元素个数）.18. 给定整数n ≥2.(1) 证明：可以将集合{1, 2, … , n }的所有子集适当地排列为A 1, A 2, … , A !!，使得A i 与A i +1的元素个数恰相差1，其中i = 1, 2, … , 2n 且A !!!! = A 1；(2) 对于满足(1)中条件的子集A 1, A 2, … , A !!，求−1!S (A !)!!!!!的所有可能值，其中S (A i ) =x !∈!!，S (∅) = 0.19. 证明：在正2n – 1 (n ≥3)边形的顶点中，任意取出n 个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形.20. 设E 是一个给定的n 元集合，A 1, A 2, … , A k 是E 的k 个两两不同的非空子集，满足：对任意的1≤i < j ≤k ，要么A i 与A j 的交集为空集，要么A i 与A j 中的一个是另一个的子集. 求k 的最大值.21. 一张n ×n 的方格表，称有公共边的方格是相邻的. 开始时每个方格中都写着+1，对方格表进行一次操作是指：任取其中一个方格，不改变这个方格中的数，而将所有与这个方格相邻的方格中的数都改变符号. 求所有的正整数n ≥2，使得可以经过有限次操作，将所有方格中的数都变成–1.22. 把n (n ≥2)枚硬币排成一行. 如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作. 当所有硬币正面朝下时，停止操作. 若开始时硬币全部正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行[!!!!!]次操作？23. 若非空集合A ⊆{1, 2, 3, … , n }满足|A |≤min !∈!x ，则称A 为n 级好集合. 记a n 为n 级好集合的个数. 证明：对一切正整数n ，都有a n +2 = a n +1 + a n + 1.24. 将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1, 2, … , n . 求所有的整数n ≥4，使得可以用n –3条在内部不交的对角线将这个n 边形分成n – 2个三角形区域，并且在这n – 3条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等.25. 给定正整数n ，设a 1, a 2, a 3, … , a n 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”.已知a 1, a 2, a 3, … , a n 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求a !!!!!的最小值.26. 对平面上的100条直线，用T 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合. 求|T |的最大可能值.27. 对数列a 1, a 2, … , a m ，定义集合A = {a i | 1≤i ≤m }, B = {a i + 2a j | 1≤i , j ≤m , i ≠j }. 设n 为给定的大于2的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列a 1, a 2, … , a n ，求集合A △B 的元素个数的最小值.（其中，A △B = (A ∪B )\(A ∩B ).）28.定义n元整数组的一次变换为(a1, a2, …, a n) →(a1 + a2, a2 + a3, …, a n + a1)，求所有的正整数对(n, k) (n, k≥2)，满足：对于任意的n元整数组(a1, a2, …, a n)，在有限次变换后所得数组中的每一个数都是k的倍数.29.给定整数n, k，n≥k≥2. 甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n×n的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行. 如果某个人染色后，每个k×k的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束，此人获胜. 问谁有必胜策略？30.设9个正整数a1, a2, …, a9（可以相同），满足：对任意1≤i < j < k≤9，都存在与i, j, k不同的l (1≤l≤9)，使得a i + a j + a k + a l = 100. 求满足上述要求的有序9元数组(a1, a2, …, a9)的个数.。

2007中国西部数学奥林匹克

2 2 2 2 故 OD ⊥MN Ζ NO - MO = ND - MD Ζ ND・ DQ = MD ・ DP Ζ P、 Q、 M、 N 四点共圆 .
的三角形 ,满足以下条件 : 最短边长为 2 007 , 且最大的角等于最小角的两倍 ? ( 赵继源提供) ( 15 分 ) 求所有的正整数 n , 使得存六、在非零整数 x1 , x2 , …, x n , y ,满足
1
N
( | OA | + | OB | ) .
β- p2 | < ,| q
1
N
同时成立 . 2 引理的证明 : 考虑平面 N + 1 个点组成的集合
取 N 充分大即知命题成立 . γ ,使得证法 2 :由条件知存在正实数 β、 OA + βOB + γ OC = 0 . 于是 ,对任意正整数 k ,都有 βOB + k γ OC = 0 . k OA + k γ] . β] , n ( k ) = [ k 记 m ( k) = [ k γ 都是正实数知 , m ( kT ) 、 Τ) 由 β、 n( k 都是关于正整数 k 的严格递增数列 ,这里 , T
2 而 x n = xn - 1 +
( 15 分) 设实数 a 、三、 b、 c 满足 a + b + c = 3. 求证 : 1 1 1 ≤1 . + 2 + 2 2 5 a - 4 a + 11 5 b - 4 b + 11 5 c - 4 c + 11 4 ( 王建伟提供) ( 15 分) 设 O 是 △ABC 内部一点 . 证四、明 : 存在正整数 p 、 q、 r ,使得 1 | p OA + q OB + r OC| < . 2 007

历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2012年西部数学奥林匹克解答

EF r ≥ ，并确定等号成立时 P 的位置。 B1C1 R
证明：设 AP 与 ω 交于 A1 ， P 在 BC 上的投影为 D 。设 ∆DEF 的外心为 Q ，外接圆半径为 R′ 。由于 A, E , P, F 共圆，所以 ∠PEF = ∠PAF = ∠A1 AB = ∠PB1 A1 ，同理
F
故= MD
1 = AO AF 。又因 2
M H E B D
O
为 FM AH ⇒ FM AD ，所以 AFMD 是等腰梯形，因
C
此 A, F , M , D 共圆，由于
∠AFE = ∠ADE = 90° ，所
以 A, F , E , D 共圆，因此
∆ADE 是外接圆过 OH 的中点。
P = { B1 , B2 ,..., Br } 是 F 中若干个元素，满足 E = B j ，且r 最小。由 r 的最小性可知，Bi
j =1
r
两两不相交。由于 F 中没有 E ，所以 r ≥ 2 。任取 F 中一个不属于 P 的 Ai ，由 r 的最小性，而 Ai ⊆ Ai 不可能包含任何一个 Bi ，
因此 R′ ≥ r ，因此
EF r = PE = PF ，因此当 ≥ ，等号成立当且仅当 Q = P ，且 PD B1C1 R
且仅当 P 是 ∆ABC 内心时等号成立。
A
B1
A
C1 F P
E
E F Q
B
D A1
C
B
D
C
上
善
若
水
蕴
秀
斋
5、O, H 分别是锐角 ∆ABC 的外心和垂心（ A, O, H 不共线），A 在 BC 上的投影为 D ，AO 的中垂线与 BC 交于 E 。求证： ∆ADE 是外接圆过 OH 的中点。证明：设 M 是 OH 中点，则 M 是 ∆ABC 的九点圆 ω 圆 A 心，由于 D 在九点圆 ω 上，因此 MD 是九点圆 ω 的半径，

2002年第二届中国西部数学奥林匹克试题及解答

综上可知
３１Ｓ（ｘ，二：，一，二。），且Ｓ（ｘ，－，．，二。）００，
ＩＳ（ｘｘ２，－－，ｘ６）Ｉ｝３ｘ７２８．显然２００３与３互素．假若有２００３整除Ｓ（ｘｘｚ，．．．，ｘ，），则Ｓ（ｘ，
ｘ２，．．．，－ｓ）二３ｘ，ｔ为整数，且ｌ｝－ｌｔ１｝－７２８．于是，
所以，匕ＦＤＥ＜（９００一乙ｃ）十艺ＰＣＥ
二９０一ＬＰＣｂ）二／ＣＥＤ．
从而，式 ①成立．命题获证．３．依题意，可知方程的４个根只能是下面的两种情形：２个实根与１对共扼虚根；２对共扼虚根．（１）若方程的４个根是２个实根与１对共扼虚
明；数列Ｓ最前面的４项与最后面的４项相同．
合分别相等，不妨设Ａ；二Ａ＿，Ａ３二Ａ；，这时ＡＡ，中恰有一个含有Ｉ＋１，ＡＡ‘中也恰有一个含有１
４．对。归纳，用数学归纳法证明．
＋Ｉ．不妨设Ｉ＋１ＥＡＩ＋ＩＥＡ，，而１＋１茫Ａ１＋ｌ
当ｎ＝１时，必有Ａ，＝Ａ，二｛１４，命题获证．
ｉｔＡ＜，此时，得到Ａ，ＵＡａ＝Ａ，ＵＡ．命题获证－
川Ｃ１１，２．－－－，ＩＩ，ｉ＝１，２，一，１＋２．
同的集合（指同一组内）＿这时，利用（１）的处理方法，
（１）Ａ：两两不同．此时，考虑４１，Ａ，，· －，Ａｉ，，可知命题成立．
运用归纳假设，可得分组
综上可知，命题对一切正整数。成立．
１７，ｕ．Ａ；１ＵＡ；Ｕ．ＵＡ，＇＝Ａ，＇，ｕＡＵＡ＂＇２Ｕ二ＵＡ，＂＂Ｌｒ，．
均有１＋１彭人
＝２（１８００一／Ａ）
图２

2023西部数学奥林匹克试题

2023西部数学奥林匹克试题一、选择题1.设x、y、z为实数，且满足以下条件：xyz=1。

若x+y+z=0，则xyz的最小值是A. 1B. 0C. -1D. -2E.无法确定2.在直角坐标系中，平面α过点A(1,1)和点B(2,3)，平面β过点A(1,1)和点C(3,2)。

若平面α和平面β的夹角为45度，则平面β的方程为A. x+y-z=0B. x-y+z=0C. x+y+z=0D. -x-y+z=0E.无法确定3.若正方形ABCD的顶点分别为A(2,a)、B(2,-a)、C(-2,a)、D(-2,-a)，则该正方形的边长为A. 2aB. 2a-1C. 2a+2D. 4aE.无法确定二、填空题4.若abc=1，且a、b、c都是正整数，那么abc的最小可能值是__________。

5.已知平面α过点A(3,1,2)和点B(-1,2,1)，且与平面β的夹角为60度，平面β的方程为x+y+z=0，则平面α的方程为__________。

6.在直角坐标系中，平面α过点A(1,2,3)和点B(2,3,1)，平面β过点A(1,2,3)和点C(-1,4,-2)。

若平面α和平面β的夹角为45度，则平面β的方程为__________。

三、解答题7.设数列{an}满足a1=1，an+1=an+2^n-1，其中n∈N*。

求数列{an}的通项公式，并写出前5项的值。

8.已知函数f(x)=|x-2|+2x-5。

若g(x)为f(x)的反函数，求g(7)。

四、证明题9.证明：任意一个整数的平方模7的剩余类只能是0、1、2、4。

10.设多项式f(x)=a(x-1)(x-2)...(x-2019)，其中a为常数。

若f(2020)=1，求a的值。

五、应用题11.将一个圆形花坛分成三等份，如何将一边长度为L的木条围成三段长度相等的圆弧？12.已知正整数n是某个3位数除以3的商，且n的每个数位都是素数，求n的值。

以上是2023年西部数学奥林匹克竞赛的试题。

第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答

1
⎧β 2 + dβ + a = 0, b−a 其次，若（1）与（2）有公共实根 β ，则 ⎨ 2 两式相减，得 β = >0， d −c ⎩ β + cβ + b = 0,
这时， β 2 + dβ + a > 0 ，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而 k = 4 符合要求. 综上，问题的答案为 k = 4 . 三. （熊斌供题）如图，在△PBC 中， ∠PBC = 60° ，过点 P 作△PBC 的外接圆ω的切线，与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆ω上，使得 ∠DBE = 90° ， PD＝PE. 连接 BE，与 PC 相交于点 F. 已知 AF，BP，CD 三线共点． (1) 求证：BF 是 ∠PBC 的角平分线； (2) 求 tan ∠PCB 的值．解（1）当 BF 平分 ∠PBC 时，由于 ∠DBE = 90° ，所以，BD 平分 ∠PBA ，于是
另一方面，设 a, b, c, d 是不小于 4 的 4 个不同实数，不妨设 4 ≤ a < b < c < d ，考察方程
x 2 + dx + a = 0,
（1）（2）
和
x 2 + cx + b = 0 .
首先， d 2 − 4a > 4(d − a) > 0, c 2 − 4b > 4(c − b) > 0 ，故（1）、（2）都有两个不同实根.
= 2
4 6 6 2
≤ 23 ⋅
2
= 23
所以
1 ( a i + 1 − a i +1 + 2 ) 6 1 ⋅ ( a i − a i + 1 + 3 ), 6