杭州电子科技大学ACM培训03 递推求解
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今天， 今天，
你
了吗？ 了吗？
2010-12-5
1
每周一星（ ）： 每周一星（2）：
Hoxily
2010-12-5
2
第三讲
递推求解
2010-12-5
3
先来看一个超级简单的例题:
有5人坐在一起，当问第5个人多少岁, 他说比第4个人大2岁，问第4个人多少 岁,他说比第3个人大2岁，依此下去， 问第一个人多少岁，他说他10岁，最 后求第5个人多少岁？ 如果所坐的不是5人而是n人，写出第 n个人的年龄表达式。
2010-12-5
26Baidu Nhomakorabea
附加题：1465不容易系列之一 附加题：1465不容易系列之一
某人写了n封信和n个信封，如果 所有的信都装错了信封。求所有 的信都装错信封,共有多少种不 同情况。
2010-12-5
27
分析思路： 分析思路：
N=1和 易得解～，假设F(N 1)和 ～，假设F(N1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和 F(N-2)已经得到 重点分析下面的情况： 已经得到， F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况： 当有N封信的时候，前面N 封信可以有N 2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1 或者 N-2封错装 前者，对于每种错装，可从N 3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任 意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1) 意取一封和第N封错装， =F(N-1)*(N4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封 后者简单，只能是没装错的那封和第N 交换信封，没装错的那封可以是前面N 交换信封，没装错的那封可以是前面N-1 封中的任意一个， F(N(N封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)
2010-12-5 11
思考:如何用递推解决? 思考:如何用递推解决?
结论—— 结论 F(n)=F(n-1)+4(nF(n)=F(n-1)+4(n-1)+1
2010-12-5
12
另外一种结论: 另外一种结论:
Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1
2010-12-5
24
结论： 结论：
所以，通过以上的分析， 所以，通过以上的分析，可以得到递推的通 项公式： 项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(nF(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3) 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然： 显然： 没有人也是合法的， F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
2010-12-5
7
简单思考题: 简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直线， 在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中每一条在圆内同其他直 线相交，假设没有3 线相交，假设没有3条直线相交于 一点， 一点，试问这些直线将圆分成多少 区域。 区域。
2010-12-5
8
是不是这个—— 是不是这个
2010-12-5
19
最后一个思考题（有点难度） 最后一个思考题（有点难度）
2010-12-5
20
分析过程（ 分析过程（1）
设：F(n)表示n个人的合法队列，则： F(n)表示n个人的合法队列， 表示
按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 要么是女，所以可以分两大类讨论： 要么是女，所以可以分两大类讨论： 如果n 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是 则对前面n 男，则对前面n-1个人的队列没有任何限 他只要站在最后即可，所以， 制，他只要站在最后即可，所以，这种情 况一共有F(n F(n况一共有F(n-1);
2010-12-5 21
分析过程（ 分析过程（2）
如果n 2、如果n个人的合法队列的最后一个 人是女，则要求队列的第n 人是女，则要求队列的第n-1个人务必 也是女生，这就是说， 也是女生，这就是说，限定了最后两 个人必须都是女生， 个人必须都是女生，这又可以分两种 情况： 情况：
2010-12-5
2010-12-5
15
简单分析—— 简单分析
14 2 1 1 2 4 3 5 3 4 7 8 1 2 10 11 6 9 6 3 2 1 4 8 7 12 5 13
n=1 n=1
n=2 n=2
n=3 n=3
n=4 n=4
F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(nF(n)=F(n-1)+2(n-1)
为什么? 为什么?
2010-12-5
13
总结：递推求解的基本方法： 总结：递推求解的基本方法：
首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 然后，假设：规模为N 的情况已经得到解决。 然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚 最后，重点分析：当规模扩大到N 举出所有的情况， 举出所有的情况，并且要确保对于每一种子 情况都能用已经得到的数据解决。 情况都能用已经得到的数据解决。 强调： 强调： 1、编程中的空间换时间的思想 并不一定只是从N 2、并不一定只是从N-1到N的分析
F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n; 化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;
2010-12-5 9
太简单了? 太简单了?
来个稍微麻烦一些的☺ 来个稍微麻烦一些的☺
2010-12-5
10
2050） 例:（2050）折线分割平面
问题描述： 问题描述： 平面上有n条折线， 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割 成多少块? 成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7
2010-12-5
25
附加题（看看效果～）： 附加题（看看效果～）：
不容易系列之(3) 不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题 LELE的RPG难题
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉 有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、 (Red) (Pink)、 (Green)三色涂每个格子 三色涂每个格子， (Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂 一色，要求任何相邻的方格不能同色， 一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法. 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
2010-12-5
17
再思考题： 再思考题：
有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺 的一个长方形， 满方格。例如当n=3时为1 n=3时为 的方格（如图）， ），此时用 满方格。例如当n=3时为1×3的方格（如图），此时用 的骨牌铺满方格，共有四种铺法。 1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。
201003《ACM程序设计》在线作业 《 程序设计》 程序设计 （3）——递推求解 ） 递推求解
2010-12-5
30
2010-12-5 16
思考题（2046）： 思考题（2046）：
在2×n的长方形方格中,用n个1×2的骨牌铺满方格, 的长方形方格中, 的骨牌铺满方格, 例如n=3 n=3时 方格，骨牌的铺放方案有三种( 例如n=3时,为2×3方格，骨牌的铺放方案有三种(如 输入n ,输出铺放方案的总数 图), 输入n ,输出铺放方案的总数
2010-12-5 4
显然可以得到如下公式: 显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
2010-12-5 5
数列： Fibnacci 数列：
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
2010-12-5 6
思考: 思考:
递推公式的意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
22
分析过程（ 分析过程（3）
2.1、如果队列的前n 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队 则显然后面再加两个女生， 列，则显然后面再加两个女生，也一定 是合法的，这种情况有F(n F(n是合法的，这种情况有F(n-2);
2010-12-5
23
分析过程（ 分析过程（4）
2.2、但是，难点在于，即使前面n 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个 人不是合法的队列， 人不是合法的队列，加上两个女生也有 可能是合法的，当然，这种长度为n 可能是合法的，当然，这种长度为n-2 的不合法队列，不合法的地方必须是尾 的不合法队列， 就是说，这里说的长度是n 巴，就是说，这里说的长度是n-2的不 合法串的形式必须是“F(n-4)+男 合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”， 这种情况一共有F(n F(n这种情况一共有F(n-4).
2010-12-5 14
思考题： 思考题：平面分割方法
问题的提出： 问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上， 设有n条封闭曲线画在平面上，而任 何两条封闭曲线恰好相交于两点， 何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何 三条封闭曲线不相交于同一点， 三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封 闭曲线把平面分割成的区域个数。 闭曲线把平面分割成的区域个数。
输入： 输入： 0<=n<=30） n（0<=n<=30）; 输出： 输出： 铺法总数
2010-12-5
18
典型例题
分析过程： 分析过程：
仔细分析最后一个格的铺法, 仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用1 1,1×2,1× 现无非是用1×1,1×2,1×3三种铺 很容易就可以得出： 法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(nf(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4
2010-12-5 28
得到如下递推公式： 得到如下递推公式：
基本形式：d[1]=0; d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])
这就是著名的错排公式☺ 这就是著名的错排公式☺
2010-12-5
29
课后任务： 课后任务：
DIY在线作业: DIY在线作业: 在线作业
你
了吗？ 了吗？
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每周一星（ ）： 每周一星（2）：
Hoxily
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第三讲
递推求解
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3
先来看一个超级简单的例题:
有5人坐在一起，当问第5个人多少岁, 他说比第4个人大2岁，问第4个人多少 岁,他说比第3个人大2岁，依此下去， 问第一个人多少岁，他说他10岁，最 后求第5个人多少岁？ 如果所坐的不是5人而是n人，写出第 n个人的年龄表达式。
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26Baidu Nhomakorabea
附加题：1465不容易系列之一 附加题：1465不容易系列之一
某人写了n封信和n个信封，如果 所有的信都装错了信封。求所有 的信都装错信封,共有多少种不 同情况。
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分析思路： 分析思路：
N=1和 易得解～，假设F(N 1)和 ～，假设F(N1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和 F(N-2)已经得到 重点分析下面的情况： 已经得到， F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况： 当有N封信的时候，前面N 封信可以有N 2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1 或者 N-2封错装 前者，对于每种错装，可从N 3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任 意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1) 意取一封和第N封错装， =F(N-1)*(N4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封 后者简单，只能是没装错的那封和第N 交换信封，没装错的那封可以是前面N 交换信封，没装错的那封可以是前面N-1 封中的任意一个， F(N(N封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)
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思考:如何用递推解决? 思考:如何用递推解决?
结论—— 结论 F(n)=F(n-1)+4(nF(n)=F(n-1)+4(n-1)+1
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另外一种结论: 另外一种结论:
Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n^2 – n + 1
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结论： 结论：
所以，通过以上的分析， 所以，通过以上的分析，可以得到递推的通 项公式： 项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(nF(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4) (n>3) 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 然后就是对n<=3 的一些特殊情况的处理了， 显然： 显然： 没有人也是合法的， F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊 处理，就像0的阶乘定义为1一样) 处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4
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简单思考题: 简单思考题:
在一个平面上有一个圆和n条直线， 在一个平面上有一个圆和n条直线， 这些直线中每一条在圆内同其他直 线相交，假设没有3 线相交，假设没有3条直线相交于 一点， 一点，试问这些直线将圆分成多少 区域。 区域。
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是不是这个—— 是不是这个
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最后一个思考题（有点难度） 最后一个思考题（有点难度）
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分析过程（ 分析过程（1）
设：F(n)表示n个人的合法队列，则： F(n)表示n个人的合法队列， 表示
按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 按照最后一个人的性别分析，他要么是男， 要么是女，所以可以分两大类讨论： 要么是女，所以可以分两大类讨论： 如果n 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是 则对前面n 男，则对前面n-1个人的队列没有任何限 他只要站在最后即可，所以， 制，他只要站在最后即可，所以，这种情 况一共有F(n F(n况一共有F(n-1);
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分析过程（ 分析过程（2）
如果n 2、如果n个人的合法队列的最后一个 人是女，则要求队列的第n 人是女，则要求队列的第n-1个人务必 也是女生，这就是说， 也是女生，这就是说，限定了最后两 个人必须都是女生， 个人必须都是女生，这又可以分两种 情况： 情况：
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简单分析—— 简单分析
14 2 1 1 2 4 3 5 3 4 7 8 1 2 10 11 6 9 6 3 2 1 4 8 7 12 5 13
n=1 n=1
n=2 n=2
n=3 n=3
n=4 n=4
F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(nF(n)=F(n-1)+2(n-1)
为什么? 为什么?
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总结：递推求解的基本方法： 总结：递推求解的基本方法：
首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 首先，确认：能否容易的得到简单情况的解？ 然后，假设：规模为N 的情况已经得到解决。 然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。 最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚 最后，重点分析：当规模扩大到N 举出所有的情况， 举出所有的情况，并且要确保对于每一种子 情况都能用已经得到的数据解决。 情况都能用已经得到的数据解决。 强调： 强调： 1、编程中的空间换时间的思想 并不一定只是从N 2、并不一定只是从N-1到N的分析
F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n; 化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;
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太简单了? 太简单了?
来个稍微麻烦一些的☺ 来个稍微麻烦一些的☺
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2050） 例:（2050）折线分割平面
问题描述： 问题描述： 平面上有n条折线， 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割 成多少块? 成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7
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附加题（看看效果～）： 附加题（看看效果～）：
不容易系列之(3) 不容易系列之(3) —— LELE的RPG难题 LELE的RPG难题
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉 有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、 (Red) (Pink)、 (Green)三色涂每个格子 三色涂每个格子， (Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂 一色，要求任何相邻的方格不能同色， 一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法. 尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
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再思考题： 再思考题：
有1×n的一个长方形，用1×1、1×2、1×3的骨牌铺 的一个长方形， 满方格。例如当n=3时为1 n=3时为 的方格（如图）， ），此时用 满方格。例如当n=3时为1×3的方格（如图），此时用 的骨牌铺满方格，共有四种铺法。 1×1，1×2，1×3的骨牌铺满方格，共有四种铺法。
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思考题（2046）： 思考题（2046）：
在2×n的长方形方格中,用n个1×2的骨牌铺满方格, 的长方形方格中, 的骨牌铺满方格, 例如n=3 n=3时 方格，骨牌的铺放方案有三种( 例如n=3时,为2×3方格，骨牌的铺放方案有三种(如 输入n ,输出铺放方案的总数 图), 输入n ,输出铺放方案的总数
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显然可以得到如下公式: 显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
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数列： Fibnacci 数列：
即：1、2、3、5、8、13、21、34…
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思考: 思考:
递推公式的意义——？ 有了公式，人工计算的方法？ 常见的编程实现方法？（优缺点？）
22
分析过程（ 分析过程（3）
2.1、如果队列的前n 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队 则显然后面再加两个女生， 列，则显然后面再加两个女生，也一定 是合法的，这种情况有F(n F(n是合法的，这种情况有F(n-2);
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分析过程（ 分析过程（4）
2.2、但是，难点在于，即使前面n 2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个 人不是合法的队列， 人不是合法的队列，加上两个女生也有 可能是合法的，当然，这种长度为n 可能是合法的，当然，这种长度为n-2 的不合法队列，不合法的地方必须是尾 的不合法队列， 就是说，这里说的长度是n 巴，就是说，这里说的长度是n-2的不 合法串的形式必须是“F(n-4)+男 合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”， 这种情况一共有F(n F(n这种情况一共有F(n-4).
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思考题： 思考题：平面分割方法
问题的提出： 问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上， 设有n条封闭曲线画在平面上，而任 何两条封闭曲线恰好相交于两点， 何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何 三条封闭曲线不相交于同一点， 三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封 闭曲线把平面分割成的区域个数。 闭曲线把平面分割成的区域个数。
输入： 输入： 0<=n<=30） n（0<=n<=30）; 输出： 输出： 铺法总数
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典型例题
分析过程： 分析过程：
仔细分析最后一个格的铺法, 仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用1 1,1×2,1× 现无非是用1×1,1×2,1×3三种铺 很容易就可以得出： 法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(nf(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4
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得到如下递推公式： 得到如下递推公式：
基本形式：d[1]=0; d[2]=1 递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])
这就是著名的错排公式☺ 这就是著名的错排公式☺
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课后任务： 课后任务：
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