2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(十八)数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-1．【答案】D【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}AB =-，故选D ．2.12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i1．【答案】C【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ．3.抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，）D ．116（0，） B4.若00x y >>，，则2x y +≤是224x y +≤的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断当2x y +≤时，两边平方后能判断224x y +≤成立，反过来，判断是否成立，再判断充分必要条件.【详解】当2x y +≤时，且0,0x y >>()222424x y x y xy ∴+≤⇒++≤， 22424x y xy ∴+≤-< ，∴若00x y >>，， 2224x y x y +≤⇒+≤，反过来，当x y ==时，满足224x y +≤，当此时2x y +> ，∴当00x y >>，，2242x y x y +≤⇒+≤/.故选：A5.若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故俯视图主视图左视图4 22 2选D ．6.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）经过点2(1,)2，过顶点(,0)a ，(0,)b 的直线与圆2223x y +=相切，则椭圆的方程为 （A ）2212x y += （B ）223142x y += （C ）224133x y += （D ）228155x y += A7．设0.60.3a =，0.60.5b =，3log 4c ππ=,则( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c b a >> 【答案】A8.我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示，则其体积为A ．83+4πB ．83+8πC ．8+4πD ．8+8πC9.函数ππ()sin()(0,)22f x A x ωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．π6-B ．π6C ．π3-D ．π39．【答案】D【解析】由题可知函数()f x 的最小正周期ππ2[()]π36T =--=，从而2ππ||ω=， 又0ω>，解得2ω=，从而()sin(2)f x A x ϕ=+．由π3x =为函数()f x 的单调递减区间上的零点可知2ππ2π3k ϕ+=+，k ∈Z ， 即π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，又π||2ϕ<，所以π3ϕ=．10.△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3B11.已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0，2）D. 50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值. 【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选D ．12.将函数()sin cos f x a x b x =+的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，若()g x 的对称中心为坐标原点，则关于函数()f x 有下述四个结论：①()f x 的最小正周期为2π ②若()f x 的最大值为2，则1a = ③()f x 在[],ππ-有两个零点 ④()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 其中所有正确结论的标号是（ ）A. ①③④B. ①②④C. ②④D. ①③【答案】A()(),tan b f x x aϕϕ=+=将()f x 图像向右平移3π单位长度可得()3g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 因为()g x 的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知()g x 过()0,0即03πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得,3k k Z则(),tan tan ,333b f x x k k k Z a πππππ⎛⎫⎛⎫=+++==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于①()f x 的最小正周期为221T ππ==,所以①正确;对于②若()f x的最大值为2,则2b a=⎨=⎪⎩,解得1a =±,所以②错误03x k ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,当[],x ππ∈-时,满足123x k k πππ++=,12,k k Z ∈.解方程可得3x π=-或23x π=,所以③正确;对于④, (),tan ,33b f x x k k Z a πππ⎛⎫=++=∈ ⎪⎝⎭,则其一个单调递增区间为,232x k k Z ππππ-≤++≤∈,解得5,66k x k k Z ππππ--≤≤-∈,当0k =时满足()f x 在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调,所以④正确. 综上可知,正确的为①③④ 故选:A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(一)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则MN =（ ）A. ∅B. {}2C. {}1D. {}1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的意义判断即可.【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 2.设复数12z i =+，则1zi=+（ ） A.3122i + B.3122i - C. 1322i -- D. 1322i -+ 【答案】C 【解析】 【分析】代入共轭复数z 再根据复数的除法求解即可.【详解】由题()()()()212112132131111222i i z i i i i i i i i ----+====--+++-. 故选：C【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念与复数除法的运算,属于基础题. 3.设a ，b 为非零向量，则“a b =”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等与模长相等的意义判定即可.【详解】由题,若a b =则必有a b =,但当a b =时因为向量有方向,故a b =不一定成立. 故“a b =”是“a b =”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量的辨析,属于基础题. 4.如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是OAB ，其中4OB AB ==，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A. 162B. 82C. 16D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测的画法计算原平面图形的边角关系再计算即可.【详解】根据斜二测画法可知,该图的直观图为'Rt A OB ,且22'224482A O AO ==⨯+=.故面积为14821622⨯⨯=.故选：A【点睛】本题主要考查了斜二测画法所得的直观图与原图形之间的关系,属于基础题. 5.下列命题中正确的是（ ）①已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=；②相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越大，相关性越弱； ③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高. A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】对①,根据正态分布的性质求解即可.对②③④根据相关系数与残差的性质判定即可. 【详解】对①,()()()()()02244240.50.3P P P P P ξξξξξ<-<<=<<==<<-=①对.对②, 相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,[]11r ,∈-且r 越大,相关性越强.②错.对③, 相关指数2R 用来刻画回归的效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越差.③错. 对④, 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄,其模型拟合的精度就越高.④对. 故①④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正态分布的性质与线性回归方程中相关系数、相关指数与残差的基础知识,属于基础题.6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ B. 若m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβ C. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ D. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】 分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项证明或举反例即可.【详解】对A,当m β⊥时也满足m α⊥,n β⊂,且m n ⊥,但此时//αβ,故A 错误. 对B,当l αβ=,且//,//m l n l 时也满足m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α,但此时l αβ=,故B 错误.对C, 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥成立.故C 正确. 对D, 当m n ⋂时也可以满足//m α,//n β,且//αβ.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.7.现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（ ） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 108种【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.【详解】由题,当去一中的只有甲教师时共有12234236236C C A ⋅⋅=⨯⨯=种.当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有13434624C A ⋅=⨯=种.故共有36+2460=种分配方法. 故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.8.已知()()cos 0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）A. 3π- B. 3π C. 6πD. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的值即可.【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯+=+⇒=-∈,又2πϕ<,故3πϕ=-. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.9.已知点()3,0M -，()3,0N ，动点A 满足4AM AN -=，则AM 的最小值是（ ） A. 7 B. 5C. 3D. 1，【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知动点A 的轨迹为双曲线的右支,再根据双曲线的性质判断AM 的最小值即可.【详解】由题, 动点A 的轨迹为以()3,0M -,()3,0N 为焦点, 42a AM AN =-=的双曲线的右支,此时双曲线方程为()221245x y x -=≥.故当A 在顶点()2,0时AM 取最小值325+=.故选：B【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求焦点到双曲线上距离的最值问题,属于基础题.10.若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.223c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】分析a ,b ,c 与1的大小关系,再根据幂函数的单调性判定即可. 【详解】由题, 113321log log 153a =<=,0.20.21313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭,0.20.22331322c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故a 最小.又0.20.2332⎛⎫> ⎪⎝⎭,故b c >.所以a c b <<.故选：A【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,一般做法是确定函数值的大致范围或根据函数单调性进行比较,属于基础题.11.函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，又函数()sin g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分别根据对称性与周期性画出()f x 的图像与()sin g x x π=的图像,再观察图像即可.【详解】因为()()f x f x -=,故()f x 为偶函数,关于y 轴对称.又()()2f x f x =+,故()f x 周期为2.故画出当[]0,1x ∈时,()2f x x =在根据对称性与周期性补全()f x 在[]1,3-上的图像.又()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数即为()()f x g x =在[]1,3-上的零点个数即()()f x g x =在[]1,3-上的交点个数.观察图像可得共有6个交点.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的对称性与周期性画图分析,属于中档题.12.在ABC 中，60ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D ，若1CD =，则4BC AC +的最小值是（ ） A. 33 B. 63C. 6D. 9【答案】A 【解析】 【分析】设AC b =,BC a =,利用ABCADCBDCSSS=+代入面积公式可得113a b+=,再利用基本不等式中“1的妙用”构造()11443a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图所示,ABC 中,60ACB ∠=︒, ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D , 且1CD =,设AC b =,BC a =, 由ABCADCBDCS SS=+,即111sin 60sin 30sin 30222ab b a ︒=︒+︒, 化为113a b+=,则)114444533b a BC AC a b a b a b a b ⎛⎫⎫+=+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ 452333b a a b ⎛≥+⋅=当且仅当23b a ==,取得等号, 则4BC AC +的最小值为33故选：A .【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式的运用与构造基本不等式求最小值的方法.属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以，所以它在处的切线的斜率.考点：导数的应用.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则异面直线BE 与AC 所成的角为________. 【答案】90︒. 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质证明直线BE 与AC 垂直即可.【详解】连接DB ,因为正方体1111ABCD A B C D -故AC BD ⊥,1DD ⊥平面ABCD .故1DD AC ⊥.又1DD BD D =,故AC ⊥平面11DBB D .故AC BE ⊥.所以异面直线BE 与AC 所成的角为90︒.故答案为：90︒【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题. 15.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.. 【解析】 【分析】分析已知的余弦值与所求的余弦值角度的关系可知2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再利用两角差的余弦函数求解即可.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭.又因为,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭. cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233339⨯+==.故答案为：9【点睛】本题主要考查了利用凑角求解三角函数值的问题,需要注意根据角度的范围求解正余弦函数的值,属于中档题..16.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… …… …… …… …… 【答案】171. 【解析】【分析】根据杨辉三角每行的各个数等于二项式展开项的系数求解即可.【详解】根据二项式()na b +展开项的通项公式1C r n r rr n T a b -+=可知, 第19行第18个数为当17r =时的项的系数1721919171C C ==.故答案为：171【点睛】本题主要考查了杨辉三角与二项展开式的关系,属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.18.哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求成绩在[)70,80的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数； （Ⅱ）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； （Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 4 30 女 30 合计60()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.0010k5.0246.635 7879 10.828【答案】（Ⅰ）直方图高度0.03，众数75，中位数2203；（Ⅱ）12；（Ⅲ）表格见解析，有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率和为1计算即可.（Ⅱ）利用组合数的方法分别求解总的情况数与满足条件的情况数即可. （Ⅲ）根据频率直方图补全表格,再计算2K 对照表格分析即可. 【详解】(Ⅰ)根据频率和为1,计算[)70,80的频率为：()1100.010.0150.0150.0250.0050.3-++++=,所以[)70,80对应的频率直方图高度0.03,如图所示；由频率分布直方图知众数为75；由0.10.150.150.40.5++=<,0.40.30.70.5+=>可知 中位数在[)70,80内,计算中位数为0.1220700.033+=； (Ⅱ)成绩在[)40,50内有600.16⨯=人,在[]90,100内有600.053⨯=人；从这9人中选2人,基本事件为2936C =(种),其中在同一分数段的基本事件为226318C C += (种), 故所求的概率为181362P ==；(Ⅲ)由题意填写列联表如下； 优秀 非优秀 合计 男 4 26 30 女 14 16 30 合计 184260计算()2260416147.937 6.6353030182426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十八)文科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B ⋂中元素的个数为 A.2 B.3C.4D.52．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=A B ．13C ．10D3．已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m = A. 1-B. 1C. 2D. 2-4．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）A．2020年6月B．2020年7月C．2020年8月D．2020年9月5．若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A.2y x= B.22y x=± C.3y x= D.23y x=±6．已知等比数列{}n a的各项都为正数，且3a，512a，4a成等差数列，则4635a aa a++的值是A．152+B．512C．352D．352+7.已知曲线cos(2)||2C y xπϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3xπ=，曲线C向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是A．6πB．4πC．3πD．12π8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为 A ． B ．C ．D ．9.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”)day π（昵称：，2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．π有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式61619141112π=++++ ，即为正整数平方的倒数相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T 值与2π非常近似，则①、②中分别填入的可以是A. 1,12+==i i i S B. 1,12+=+=i i i S S C. i i iS S 2,12=+= D. 1,)1(12+=++=i i i S S 10．定义在R 上的函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，则使(21)(3)f x f ->成立的x 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,1)D ．(,0)(2,)-∞+∞11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线20bx cy bc -+=相切，则C 的离心率为 A ．3B ．3 C ．12D ．2212．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE A C ⊥；②存在某个位置，使1A E BE ⊥；③若12CF FA =，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.设数列满足，，则__________．14.已知函数⎩⎨⎧≥-<=0),2(0,2)(x x f x x f x ，则)3(log 2f =________．15．某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．16．已知直线y ax =与圆222220:x y ax y C +--+=相交于A B ，两点（C 为圆心），且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=.(1) 求sin C 的值；(2) 若7a =，求ABC △的面积.18．（本小题满分12分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，21==AA AB ，D 是BC 的中点. （1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求三棱锥11C A AD -的体积.19 （本小题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图单位：厘米，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． （1） 求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2） 根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏 易倒伏矮茎 高茎(3) 根据(2)中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ 附：， 0.050 0.010 0.001 K3.8416.63510.82820.（本小题满分12分）已知F 是抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点，点()4,0x M 在抛物线上，且045x MF =． (1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 若B A 、是抛物线C 上的两个动点，且OB OA ⊥，O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点． 21.（本小题满分12分） 已知函数．（1） 讨论函数的单调性； （2） 若函数图象过点，求证：．请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 28πθρ. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 23.[选修4—5：不等式选讲] 设函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.（文科）数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CABCBACCBDDB二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.) 13. ________ 14. ___________15. ____206π+ ___． 16. 3三、解答题（本大题共7小题，共70分） 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=.(4) 求sin C 的值；(5) 若7a =，求ABC △的面积.17.答案：(1)在ABC △中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3333sin 7c A C a ===. (2)因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，得8b =或5b =-（舍）. ABC △的面积113sin 836322S bc A ==⨯⨯=19．（本小题满分12分） 已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点.（1) 求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求三棱锥11C A AD -的体积. 【详解】证明：（1）连结1A C ，设11AC AC M =，再连接DM ,如图，则M 是1A C 的中点，DM 是1A BC 的中位线，所以1A B ∥DM ， 又因为1A B ⊄平面1ADC ，MD ⊂平面1ADC ，所以1A B ∥平面1ADC （2）过点作DH AC ⊥，垂足为H ，如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，∴1A A AD ⊥，又∵DH AC ⊥，1A AAD A =∴CH ⊥平面11ACC A ，32DH =， ∴111111111332233223CA ADD AC A AC A V V SDH --==⨯=⨯⨯⨯⨯=. 19 （本小题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图单位：厘米，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1） 求出易倒伏玉米茎高的中位数m ； （2） 根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏 易倒伏矮茎 高茎(6) 根据(2)中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？ 附：， 0.050 0.010 0.001 K3.8416.63510.828【答案】解：；抗倒伏 易倒伏 矮茎 15 4 高茎1016由于， 因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关． 【解析】根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数；根据茎叶图的数据，即可完成列联表： 计算K 的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论． 本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.已知F 是抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点，点()4,0x M 在抛物线上，且045x MF =． (1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 若B A 、是抛物线C 上的两个动点，且OB OA ⊥，O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．【答案】Ⅰ由题意得，，解得， 因为点在抛物线C 上， 则，解得， 又，所以，即得抛物线C 的标准方程为．Ⅱ设，，因为，所以，即得， 因为点A 、B 在抛物线C 上，所以，，代入得， 因为，则，设直线AB 的方程为，联立得，，则，所以，满足，所以直线AB的方程为，过定点．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图象过点，求证：．【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，．当时，，在上单调递增；当时，由，得．若，，单调递增；若，，单调递减综合上述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．Ⅱ证明：函数图象过点，，解得．即，令，．令，，函数在上单调递增，存在，使得，可得，．．成立．请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 28πθρ. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 22.答案：（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为：22880x y x y +--=；（2）直线l 的参数方程为：212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：27270t t --=，则121227t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩1212121111314t t PA PB t t t t -+=+==23.[选修4—5：不等式选讲]设函数()313f x x ax =-++.（1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.23．（10分）23.答案：(1) 1a =时，()|31|3f x x x =+++111311;.33342331353135x x x x x x x x ⎧⎧≥〈⎪⎪⇒≤≤⇒-≤〈⎨⎨⎪⎪-++≤-+++≤⎩⎩或 综上，得1324x -≤≤综上，原不等式的解集为13[,]24- (2) 1(3)2,()3()|31|31(3)4,()3a x x f x x ax a x x ⎧++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+〈⎪⎩函数()f x 有最小值，则303330a a a +≥⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(三)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{y ｜y ＝2x ，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －2x ）}，则M∩N 为（ ） A. （1，＋∞） B. （1，2）C. [2，＋∞）D. [1，＋∞）【答案】B 【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}{}22|lg(2)20N x y x x x x x ==-=- {}{}2|20|02x x x x x =-<=<<，∴(1,2)MN =．故选B ． 2.i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A. －15 B. －3C. 3D. 15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ．3.已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥， ∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A. 多1斤 B. 少1斤C. 多13斤D. 少13斤【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝ ，故选C5.设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．【详解】因为m ，n 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=， 所以向量m ，n 共线且方向相反， 所以0m n ⋅<，即充分性成立；反之，当向量m ，n 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<，但此时m ，n 不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分不必要条件． 故选B ．【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．6.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A. 26B. 4C. 23D. 22【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =， PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴22222PB =+=22222PD =+=22CD =2242026PC PA AC =+=+=∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．7.当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A.914B.514C.37D.928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A. ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >> D. ()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 9.数列{}n a 满足：3111,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为 A.1021B. 2021C. 919D. 1819【答案】A 【解析】分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121n a n =-，利用裂项相消法求和即可．详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n na a +-=，又∵31a =5，∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭，∴数列{}1n n a a +前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.10.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】C 【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，依次判断各选项的正确与否． 详解：因为5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭由222T ππωπ=== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫-⎪⎝⎭带入得 6π=ϕ ，所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭由此可得①错误，②正确，③当351212x ππ-≤≤时，0266x ππ≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．11.设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A.B.1C.D.1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量运算可得220OA F P ⋅=，即2OA F P ⊥，由OA 为12PF F ∆的中位线，得到12PF PF ⊥，所以()222122PF PF c +=，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取2PF 的中点A ，则由()220OP OF F P +⋅=得220OA F P ⋅=， 即2OA F P ⊥；在12PF F ∆中，OA 为12PF F ∆的中位线， 所以12PF PF ⊥， 所以()222122PF PF c +=；由双曲线定义知122PF PF a -=，且12PF =，所以)12c a =，解得1e =， 故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般. 12.已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A. e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B. e,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C. e,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭ D. [)1,e -【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为160-，则a =__________． 【答案】2 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160-求得实数a 的值．【详解】二项式61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项公式为()662161r rr r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令620r -=，求得3r =，可得常数项为336160C a -⋅=-，2a ∴=，故答案为2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.若实数,x y 满足不等式组40,2380,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数3z x y =-的最大值为__________．【答案】12 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由402380x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得()4,0A目标函数3y x z =-，当3y x z =-过点()4,0时，z 有最大值，且最大值为12． 故答案为12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr=__________．【答案】41 【解析】 【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出412R =，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出R r． 【详解】四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，()222221616941R AB AD AP ∴=++=++=， 412R ∴=， 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆， ∴内切球半径为21PADPADS r L ∆∆==， 故41R r =． 故答案为41．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D ，所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是__________. 【答案】123【解析】 【分析】根据Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似，2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，利用体积公式求解OP 最值，根据勾股定理得出223348144h x x =-+-，06x ≤≤，利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，又90ADP MCP ∠=∠=， ∴Rt ADP ∆与Rt MCP ∆相似 ∴2AD PDMC PC==，即2PD PC =，过P 作PO CD ⊥于O ，设DO x =，PO h =， ()222226x h x h +=-+223348144h x x =-+-，06x ≤≤，根据函数单调性判断，6x =时，23h 取得最大值36，max 23h = 在正方体中PO ⊥平面ABCD . 三棱锥P BCD -体积的最大值为11662312332⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且cos cos 33sin B C Ab c C+=. （1）求b 的值；（2）若cos 32B B +=,求a c +的取值范围.【答案】（1）3b =（2）33a c +∈⎝ 【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos ,cos B C 分别用边表示，再根据正弦定理可以将sin sin AC转化为a c ，于是可以求出b 的值；（2）首先根据sin 2B B +=求出角B 的值，根据第（1）问得到的b 值，可以运用正弦定理求出ABC ∆外接圆半径R ，于是可以将a c +转化为2sin 2sin R A R C +，又因为角B 的值已经得到，所以将2sin 2sin R A R C +转化为关于A 的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角B 的值后，应用余弦定理及重要不等式222a c ac +≥，求出a c +的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.试题解析：（1）由cos cos B C b c +=应用余弦定理，可得222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=化简得2b =2b =（2）cos 2B B +=1cos 122B B ∴+=即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈ 62B ππ∴+=所以3B π=法一.21sin bR B== 则sin sin a c A C +=+=2sin sin 3A A π⎛⎫+-⎪⎝⎭=3sin cos 22A A +6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭又20,3A π<<33a c ∴<+≤ 法二 因为32b =由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得()2334a c ac =+-， 又因为22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时“=”成立.所以()2334a c ac =+- ()()222324a c a c a c ++⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭3a c ∴+≤又由三边关系定理可知3a cb +>=综上3,3a c ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝18.在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】 分析】（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C EBE E '=，∴EF ⊥平面BEC '.而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF 为平行四边形.∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()13C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()132AC ='-，，，()201AF =-，，，∴20320x zx y z-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()132n=，，.2cos,2m nm nm n⋅==⋅，由图形观察可知，平面AFC'与平面BEC'所成的二面角的平面角为锐角.∴平面AFC'与平面BEC'所成的二面角大小为45°.【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中a的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望()E X．（参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】(1) 0.005a=；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，()E X=3【解析】【分析】（1）由频率和为1，列出方程求a的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写22⨯列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a+++⨯=，解得0.005a=；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=，所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人），填表如下：假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关； （3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=， 将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 所以X 可视服从二项分布，即34,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，4431()44kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3,4)k =，故0404311(0)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13143112(1)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22243154(2)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 313431108(3)44256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4443181(4)44256P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为：数学期望为3()434E X =⨯=.或（1125410881()012343256256256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）． 【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量(),XB n p ，则()()(),1E X np D x np p ==-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为120y -=过椭圆C 的右焦点F ,过F 的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l于点Q ，试判断()FP FQ MN +⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）定值为0.【解析】 【分析】（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简()FP FQ MN +⋅，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果. 【详解】（10y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=，因为离心率为12，所以2212,1243c x y a b a =∴==+=，（2）(2,0)A ，设直线:1m x ty ，1122(,)(,)M x y N x y则11112:(2)(4,)22y y AM y x P x x =-∴--22222:(2)(4,)22y y AN y x Q x x =-∴-- 因此1221211222()(33,)(,)22y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅---- 12212112226()()()22y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()()6()]()6]11()1y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由221431x x y ty ，得22(34)690t y ty ++-=，所以12122269,3434t y y y y t t --+==++， 因此2221221222122122236122442()3434346496()11343434t t t ty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 21.已知函数221()22x x f x e ae a x =--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增；（2）341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>讨论求出函数()f x 的单调性；（2）对a 分三种情况0,0,0a a a =<>，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1）()()22'()22x x x x f x eae a e a e a =--=+-， 当0a =时，2'()0xf x e =>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0a >时，'()0f x <，ln(2)x a <，'()0f x >，ln(2)x a >，∴()f x (,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，'()0f x <，ln()x a <-，'()0f x >，ln()x a >-，∴()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.综上：当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.（2）由（1）可知：当0a =时，2()0x f x e =>，∴0a =成立.当0a >时，2ln(2)ln(2)2min 1()(ln(2))2ln(2)2a a f x f a e ae a a ==--22ln(2)0a a =-≥， ln(2)0a ≤，∴102a <≤.当0a <时，2ln()ln()2min 1()(ln())2ln()2a a f x f a e ae a a --=-=--- 2232ln()02a a a =--≥， 3ln()4a -≤，∴34a e ≥-，即340e a -≤<. 综上341,2a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.22.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON面积.【答案】(1) 直线l ＋y －4＝0. 曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4. (2)4【解析】【分析】（1）将直线l 参数方程中的t 消去，即可得直线l 的普通方程，对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，利用222sin cos x y y x ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）求出点O 到直线的距离，再求出MN 的弦长，从而得出△MON 的面积．【详解】解：(1)由题意有(1)1(2)x t y ⎧=----⎪⎨=+---⎪⎩，()()12⨯+得，＋y ＝4，直线l x ＋y －4＝0.因为ρ＝4sin +3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以ρ＝2sin θ＋θ，两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsin θ＋cos θ，因为222sin cos x y y xρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，所以x 2＋y 2＝2y ＋x，即(x 2＋(y －1)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程是圆：(x 2＋(y －1)2＝4.(2)∵原点O 到直线l 的距离2d ==直线l过圆C 的圆心1)，∴|MN |＝2r ＝4，所以△MON 的面积S ＝12|MN |×d ＝4. 【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用222cos x y x y sin ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2f x x =++x a -.（1）设1a =，求不等式()7f x ≤的解集；（2）已知1a >-，且()f x 的最小值等于3，求实数a 的值.【答案】(1) 82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2) 2a = 【解析】【分析】（1）把f （x ）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论． （2）把f （x ）去绝对值写成分段函数，画出f （x ）的图像，找出()min f x ，利用条件求得a 的值．【详解】（1）1a =时，()121f x x x =++-.当1x <-时，()7f x ≤即为317x -+≤，解得21x -≤<-.当11x -≤≤时，37x -+≤ ，解得11x -≤≤.当1x >时，317x -≤ ，解得813x <≤. 综上，()7f x ≤的解集为82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）1a >-.()()321(1)21(1)321x a x f x x a x a x a x a ⎧-+-<-⎪∴=-++-≤<⎨⎪-+≥⎩，由()y f x =的图象知，()()min 13f x f a a ==+=，2a ∴=.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷(十八)理科数学
2021届全国百所名校新高三原创预测试卷（十八）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.2.已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.7D. 0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4XN ，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题. 3.已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A. {}1A B x x ⋂=< B. {}A B x x e ⋃=<C. {}1A B x x ⋃=< D. {}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B ，计算出A B 和A B ，即可得出结论.【详解】{}1A x x =<，{}{}10x B x e x x =<=<，{}0A B x x ∴⋂=<，{}1A B x x ⋃=<.故选：C.【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 4.已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.718 B.79C. 718-D. 79-【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】1sin 3α=，cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222222211cos sin cos sin cos sin 12sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2117122318⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件.6.函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域. 【详解】50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，72,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 因此，函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.7.在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A.12B.14C.2D.【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=相交，1<，解得44k -<<.因此，所求概率为2424P ==. 故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.8.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则1052n ==，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则1682n ==，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则842n ==，314i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则422n ==，415i =+=；1n =不成立，n 是偶数成立，则212n ==，516i =+=；1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 9.设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A. m n mn m n ->>+ B. m n m n mn ->+> C. m n mn m n +>>- D. m n m n mn +>->【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈， 所以m n mn +>，m n m n +>-， 又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e-=-=-=>=, 即1m nmn->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->，故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.10.过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）B.C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程解得M (3，，根据MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【详解】依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y x －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x＝3.由M 在x 轴的上方得M (3，，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形 点M 到直线NF的距离为42⨯=故选：C【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11.在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A. 4711B. 4712C. 4713D. 4715【答案】B 【解析】 【分析】计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N *+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}n a 的前2020项和.【详解】由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，31284a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，202036731=⨯+，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=. 故选：B.【点睛】本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12.已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f xg x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A. 1B.1eC.21eD.【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：13.已知向量()2,6a =-,()3,b m =,若a b a b +=-,则m =______． 【答案】1 【解析】 【分析】先分别计算出a b +和a b -,利用向量的模的运算求出a b +和a b -,根据等式即可求出m 的值.【详解】解：因为()2,6a =-,()3,b m =,则()5,6a b m +=-==()1,6a b m -=---==,因为a b a b +=-,所以2212611237m m m m -+=++, 解得：1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查向量的加法和减法,考查向量模的运算,属于基础题.14.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_______． 【答案】24 【解析】由分层抽样的知识可得2400903624002000n⨯=++，即1600n =，所以高三被抽取的人数为16009024240020001600⨯=++，应填答案24．15.点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的离心率为________.【答案】53【解析】 【分析】画出图形，由条件可得2122PF F F c ==，OA a =，190F AO ∠=︒，设线段1PF 的中点为M ，则22MF a =，然后求出14PF b =，然后利用双曲线的定义即可建立出方程求解.【详解】由线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F 可得2122PF F F c == 因为直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A 所以OA a =，190F AO ∠=︒设线段1PF 的中点为M ，则22MF a = 在直角三角形2PMF 中可得22442PM c a b =-=所以14PF b =由双曲线的定义可得：122PF PF a -=即422b c a -=，即2b a c =+，即()224b a c =+，即()222242c aaac c -=++，解得35a c =所以离心率为53c a =故答案为：53【点睛】本题考查的是双曲线的定义及三角形中的计算，考查了离心率的求法，属于中档题.16.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.【答案】9【解析】【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.【详解】依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.故答案为：9.【点睛】本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.x y w()1021iix x=-∑()1021iiw w=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101ii iw y yw=--∑1.47 20.6 0.782.35 0.81 -19.3 16.2表中21iixω=，101110iiωω==∑.（1）根据散点图判断，y a bx=+与2dy cx=+哪一个更适宜作烧开一壶水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据()11,u v()22,u v()33,u v，…，(),n nu v，其回归直线v uβα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii n i i v v uu u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）2dy c x =+；（2）220ˆ5y x =+；（3）2x =.【解析】 【分析】（1）根据散点图的特征判断.（2）根据表中数据，代入公式()()()1011021ˆ==--=-∑∑iii ii w w y y dw w 求得ˆd ，再代入ˆˆc y dw =-，求得ˆc，写出回归方程.（3）设()0t kx k =>，则煤气用量2202055kS yt kx kx x x⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解. 【详解】（1）2dy c x=+更适宜作烧开一壶水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型.（2）由公式可得()()()101102116.2ˆ200.81iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， ˆˆ20.6200.785cy dw =-=-⨯=， 所以所求回归方程为220ˆ5yx =+. （3）设()0t kx k =>，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫==+=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当205kkx x=时取“＝”，即2x =时，煤气用量最小. 【点睛】本题主要考查回归分析，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c4c =，2B C =.（1）求cos B ；（2）若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC 的面积. 【答案】（1）35（2）10 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得cos 5C =，再根据二倍角的余弦公式计算cos B 即可；（2）由已知可得b =a ，由已知计算出CD 与sin C ，再根据三角形的面积公式求出结果即可. 【详解】（1）2B C =，∴sin sin 22sin cos B C C C ==，在ABC 中，由正弦定理得，sin sin B bC c=，4c =，∴sin cos 2sin 25B b C C c ===，∴23cos cos 22cos 15B C C ==-=，（2）5c =4c =，∴b =，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-， 则238025255a a =+-⋅⋅⨯， 化简得，26550a a --=， 解得11a =或5a =-（负值舍去），6BD =，∴5CD =，cos 5C =，()0,C π∈，∴25sin 1cos C C =-=， ∴ADC 的面积115sin 54510225S DC AC C =⋅⋅=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.19.底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DA DH DB ===，3AE CG ==.（1）求证：EG DF ⊥；（2）求二面角A HF C --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）15sin θ=【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明EG ⊥平面BDHF ，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，求平面AFH 的一个法向量与平面CFH 的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.【详解】（1）证明：连接AC ，由,AE CG 平行且相等，可知四边形AEGC 为平行四边形，所以//EG AC .由题意易知AC BD ⊥，AC BF ⊥，所以EG BD ⊥，EG BF ⊥， 因为BDBF B =，所以EG ⊥平面BDHF ，又DF ⊂平面BDHF ，所以EG DF ⊥. （2）设ACBD O =，EG HF P =，由已知可得：平面//ADHE 平面BCGF ，所以//EH FG ，同理可得：//EF HG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以P 为EG 的中点，O 为AC 的中点，所以,OP AE平行且相等，从而OP ⊥平面ABCD ， 又OA OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，3OP =，4DH =，由平面几何知识，得2BF =.则()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,2,2F ，()0,2,4H -，所以()23,2,2AF =-，()23,2,2CF =，()0,4,2HF =-.设平面AFH 的法向量为(),,n x y z =，由00AF n HF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得23220420x y z y z ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则2z =，3x =，所以()3,1,2n =.同理，平面CFH 的一个法向量为()3,1,2m =-.设平面AFH 与平面CFH 所成角为θ，则1cos 488m n m nθ⋅===，所以15sin θ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)【解析】 【分析】（1）由条件直接算出即可（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，由AM AE k k =可得13162y y x =+，同理24262y y x =+，然后由12341111y y y y +=+推出m k =-即可 【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=()()22222264434412043k m k m m k ∆=-+->⇒<+122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+.又AM AE k k = ∴3113110062422y y y y x x --=⇒=+++， 同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+ ∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+=∴1212214()y y x y x y +=+∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++ ∴1212(4)()280k m x x kx x m -+-+=∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k--+--+=⇒=+++ ∴m k =-，此时满足2243m k <+ ∴(1)y kx m k x =+=- ∴直线MN 恒过定点(1,0)【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法. 21.设函数()()()1ln 10x f x x x++=>.（1）若()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦. 【答案】（1）整数k 的最大值为3；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）将不等式()1k f x x >+变形为()()()11ln 1x x x k x++++<，构造函数()()()()11ln 1x x x h x x++++=，利用导数研究函数()y h x =的单调性并确定其最值，从而得到正整数k 的最大值；（2）根据（1）的结论得到()()311ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论. 【详解】（1）由()()11ln 1x f kx x x +>=++得()()()11ln 1x x x k x++++<，令()()()()11ln 1x x x h x x++++=，()()21ln 1x x h x x --+'=，令()()1ln 1g x x x =--+，()1101g x x '∴=->+对0x ∀>恒成立， 所以，函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，()010g =-<，()10g <，()20g <，()30g >，故存在()02,3x ∈使得()00g x =，即()001ln 1x x -=+，从而当0x x >时，有()()00g x g x >=，()0h x '>，所以，函数()y h x =在()0,x +∞上单调递增；当0x x <时，有()()00g x g x <=，()0h x '<，所以，函数()y h x =在()00,x 上单调递减. 所以，()()()()()()()()()00000000min 011ln 111113,4x x x x x x h x h x xx x +++++++====∈-+，3k ∴≤，因此，整数k 的最大值为3；（2）由（1）知()1ln 131x x x ++>+恒成立，()333ln 112211x x x x x ∴+>-=->-++， 令()()1x n n n N *=+∈则()()311ln 1122311n n n n n n ⎛⎫++>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，()1ln 1122312⎛⎫∴+⨯>-- ⎪⎝⎭，()11ln 1232323⎛⎫+⨯>-- ⎪⎝⎭，，()11ln 11231n n n n ⎛⎫++>--⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 上述等式全部相加得()()()1ln 112ln 123ln 11231231n n n n n ⎛⎫+⨯++⨯++++>-->-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 所以，()()()()ln 1121231123n n n ⎡⎤+⨯+⨯++>-⎣⎦，因此，()()()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦【点睛】本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线1C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)108⎛⎤⎥⎝⎦，.【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到1C 的普通方程，两边同乘以ρ利用cos ,sin x y ρθρθ== 即可得2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入2212x y +=，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =； （2）设直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得()221sin 2cos 10t t αα++-=则12211sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224sin FM FN t t α⋅==即2222211sin 1111sin 0,4141sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅⎛⎤+==⋅=⋅∈ ⎥⋅+⎝⎦+ 选修4-5：不等式选讲23.已知()|1|1f x x =-+，()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. （1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1[,)3-+∞；（2）(1,3).【解析】【分析】（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; （2）()21131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，.作出函数()F x 的图象, 当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，由图可得结果.【详解】（1）不等式()23f x x ≤+，即1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. （2）()1131233x x F x x x ，，，⎧-+≤=⎨->⎩即()21131233x xF x x xx x-<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，.作出函数()F x的图象如图所示，当直线y a=与函数()y F x=的图象有三个公共点时，方程()F x a=有三个解，所以13a<<.所以实数a的取值范围是()13，.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021年新高考全国卷ⅰ数学18题评析
2021年新高考全国卷ⅰ数学18题评析
近几年，随着高考改革的不断深入，数学考试也在不断进行改革，以使考生更好地体现出自己的学术能力。
2021年的新高考全国卷数学18题，究竟有什么特点，对考生来说又有哪些挑战呢？下面就来说说这个问题。
首先，2021年新高考全国卷数学18题，主要考核的是学生对数学知识的基本理解和掌握能力，比如方程、函数、不等式等数学基础知识。
这些题目都是以思维方式来考核学生对该领域的掌握程度，帮助学生更好地把握数学基础理论，培养良好的思考习惯和独立思考能力。
其次，2021年新高考全国卷数学18题还考核了数学理论及其应用，如抽象、逻辑、推理、几何等数学专业知识，增加了在数学理论中进行实际应用的难度。
同时，这些题目还考核了一些技术性的知识，如代数、导数、微积分等，从而使考生深入了解和掌握数学的基本概念，提高自身的数学素养。
此外，2021年新高考全国卷数学18题也丰富了试题的难度，考生要面对更加贴近现实的试题，如利用统计的方法，解决实际问题，利用几何图形等内容，从而体现这一考试对考生的深刻要求。
最后，2021年新高考全国卷数学18题，同时也考核了考生掌握数学理论的能力，只有考生能够正确理解和应用古典数学理论，才能在高考中取得更好的成绩，从而体现出自己的学术能力。
从上述可以看出，2021年新高考全国卷数学18题充分考核了考
生对数学基础和应用理论的掌握能力，同时也给考生提出了更高的要求，考生要做好充分的准备，把握当前高考的特点，取得更好的成绩。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(二十)文科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B 的子集个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出A B ⋂,然后再求子集个数. 【详解】由题意可得:{}0,1A B =,有两个元素,则其子集个数有224=个.故选:A.【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.已知i 为虚数单位，复数7iz 1i-=+，则|z|＝（ ） A.72B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为a bi +的形式，再求复数的模.【详解】依题意()()()()7i 1i 86i 43i1i 1i 2z +--===-+-，故5z==.故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a bi +的形式，再根据题意求解. 3.已知平面向量a b ，的夹角为π3，且a 1b 2==，，则()2a b b +⋅=（ ） A. 64 B. 36 C. 8 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?a b b +的值. 【详解】依题意()222a b b a b b +⋅=⋅+2π212cos263=⨯⨯⨯+=，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.4.△ABC 中，（a ﹣b ）（sinA+sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ．其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则A ＝（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.【详解】由正弦定理得()()()a b a b c b c-+=-，即222c b a bc +-=，即2221cos 22c b a A bc +-==，由于A 为三角形内角，故π3A =.所以选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值. 5.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 6.设函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，则()()233f f log -+＝（ ）A.112B.132C.152D. 10【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分别求出()()233f f log -、，即可得出结果. 【详解】根据题意，函数()()22x 1g 102lo x x f x x -⎧-=⎨≥⎩，＜，，()2342f log -==，()()22log3129322f log -==，则()()291333222f f log -+=+=； 故选B ．【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分别代入求值即可，属于基础题型.7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f （x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.8.已知函数()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＞，＞，＜的部分图象如图所示，点3π0023⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，7π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，在图象上，若12π7π33x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则()12f x x +=( )A. 3B.32C. 0D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求出A ，ω和φ的值，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解即可． 【详解】由条件知函数的周期满足T ＝2×（733ππ-）＝2×2π＝4π，即2πω=4π， 则ω12=，由五点对应法得3πω+φ＝0，即132π⨯+φ＝0，得φ6π=-， 则f （x ）＝A sin （12x 6π-），则f （0）═A sin （6π-）12=-A 32=-，得A ＝3，即f （x ）＝3sin （12x 6π-），在（733ππ，）内的对称轴为x 743323πππ+==， 若12,x x ∈（733ππ，），12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则12,x x 关于x 43π=对称，则12x x +＝24833ππ⨯=， 则()12f x x +=f （83π）＝3sin （18236ππ⨯-）＝3sin 76π=-3sin 362π=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．9.若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，2） C. （﹣1，0） D. （﹣2，0）【答案】D 【解析】 【分析】圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到12y y ，令其小于0，可得答案.【详解】圆与直线联立()2211x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120mym m y m m +-+++=图像有两个交点∴方程有两个不同的实数根，即>0∆()()()22224142180m m m m m m ∆=+-++=->得0m <.圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D 项.【点睛】本题考查直线与圆的交点，数形结合的数学思想来解决问题，属于中档题. 10.在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，22BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. 16π B. 12πC. 43πD. 6π【答案】B 【解析】 【分析】由题意还原四面体ABCD 所在的正方体,则体对角线BD 即为四面体ABCD 外接球的直径,由题中等量关系求半径,进而求出外接球的表面积. 【详解】如图所示:由四面体ABCD 是面ABC (A 为直角)为等腰直角三角形，侧棱CD 垂直于面ABC 的几何体，即四面体的外接球就是棱长为AB=2的正方体(如图所示)的外接球，其半径为R=BD23所以该四面体外接球的表面积是24312ππ⋅=.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识,考查空间想象、运算求解及推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.11.设P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O 为坐标原点）垂直，则P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A. 01（，） B.01]（， C. []01， D.02]（， 【答案】A 【解析】 【分析】先由抛物线的方程得到准线方程，设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠，得到直线l 的方程，再设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝，与抛物线方程联立，由判别式为0，得到2m t =，最后由点到直线的距离，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =上准线方程是1x =-设点Q 的坐标为()()10t t ，，-≠．则直线l 的方程为210x ty t -++=．设与直线l 平行的直线方程为0x ty m -+＝．代入抛物线方程可得2440y ty m -+=， 由216160t m -=＝，可得2m t =．故与直线l 平行且与抛物线相切的直线方程为20x ty t +=﹣．． ∴则P 到l 的距离的最小值()01d =，．故选A ．【点睛】本题主要考查直线的方程、抛物线的方程及其几何性质，熟记抛物线的简单性质，结合直判别式、点到直线距离公式等求解，属于常考题型.12.若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，e] B. （﹣∞，2]C. （0，2]D. （0，e]【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导函数，由此判断出函数在0x >时为递增函数，利用切线的斜率求得a 的取值范围.【详解】依题意设()xxf x e e -=-，这()'0x x fx e e -=+>，故函数在0x >时为递增函数，且()''x x fx e e -=-在0x >时为正数，故()'x x f x e e -=+单调递增，故()()'02f x f >=，而a 是直线()0y ax x =>的斜率，直线过原点，要使函数()0xxy e e x -=->的图象始终在射线()0y ax x =>的上方则需2a ≤.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查分析问题的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若3tan α4=，则cos2α＝_____． 【答案】725【解析】 【分析】利用二倍角公式和齐次方程，求得cos2α的值.【详解】依题意222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++91169116-=+725=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查齐次方程的应用，属于基础题. 14.根据下列算法语句，当输入,x y ∈R 时，输出s 的最大值为____________. 输入x ，yIF 0AND 23AND 0y x y x y >=->=+<=THEN s x y =+ ELSE 0s =END IF输出s【答案】2【解析】【分析】根据题中程序分析出,x y满足的不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩,然后分析比较满足时输出目标函数的最大值和不满足时输出目标函数的最大值,进而得出答案.【详解】由算法语句知,当x,y满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，则可得x,y满足的可行域如图阴影部分所示：则可得目标函数s x y=+经过M点是取得最大值，由230x yx y-=⎧⎨+-=⎩联立解得坐标M(1，1)，则可得目标函数s x y=+的最大值为112=+=+=s x y；当x,y不满足不等式组23yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩时，由题意可得可得0s=,则经过比较目标函数的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查基本算法中的条件语句，线性规划中目标函数的最值问题;考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于一般难度的题.15.()f x是R上的偶函数，且当0x≥时，3()2f x x x=+，则不等式(2)3f x-<的解集为___．【答案】(1,3) 【解析】 【分析】根据条件可知()13f =，且()0,∞+上单调递增，根据偶函数的性质()()f x fx =，转化为()()22f x f x -=-，这样比较2x -与1的大小关系.【详解】当0x ≥时，()32f x x x =+是单调递增函数，且()13f =，()()()2321f x f x f -<⇔-<即21121x x -<⇒-<-< 解得：13x << 故解集是()1,3.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，属于简单题型，意在考查转化与化归的能力，解抽象不等式时，如果函数是偶函数，()()12f x f x <时，转化为()()12f x f x <，再根据()0,∞+的单调性，比较1x 和2x 的大小.16.设m ，n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别是两条直线1m 和1n .给出下列3个命题：①1//m n m ⇒与1n 平行或重合，②11m n m n ⊥⇒⊥，③11m n m n ⊥⇒⊥，其中所有假命题的序号是_____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由线与线、线与面的位置关系以及利用反例法一一推理判断即可得出答案.【详解】对于①:由题设直线m ,n 与平面α不垂直,且可设直线m ,n 确定的平面为β. 若αβ⊥，则1m 与1n 重合（为α,β的交线）;若α与β不垂直，则易知m 与1m ，n 与1n 确定的平面互相平行,从而11//m n ,故真命题;以下举反例说明命题②③不真.在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，对于②:取平面α为ABCD,1m，1n分别为AC,BD,m,n分别为1A C,1BD,满足11m n⊥，但是不满足m n⊥,故命题为假;对于③:取平面α为11ADD A,1m,1n分别为11A D,1AD,m,n分别为11A C,1BD,满足m n⊥,但是不满足11m n⊥,故命题为假.故答案为:②③.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象、逻辑推理等能力,考查化归与转化思想.属于一般难度的题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.若数列{a n}的前n项和为S n，且()()()212n n2n1a1a2S1S1S1++==++=+，，．（1）求S n；（2）记数列n1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为T n，证明：1≤T n＜2．【答案】（1）21nnS=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用迭代法证得{}1nS+是等比数列，由此求得1nS+的表达式，进而求得nS的表达式.（2）根据（1）求得的n S的表达式.利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a的表达式，再求得n T的表达式，由此证得不等式成立.【详解】()1由题意有21211111 (111)n n n n S S S S S S ++++++===+++，所以数列{}1n S +是等比数列.又11212112,114S a S a a +=+=+=++=，所以21121S S +=+，数列{}1n S +是首项为2，公比为2的等比数列.所以11222n n n S -+=⨯=，所以2 1.nn S =-()2由 ()1知，2n ≥时，1121,21n n n n S S --=-=-.两式相减得12n n a -=，1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.当1n =时，11,T =当2n ≥时，显然1n T >且21111111121?··2 2.1222212n n n n T ---=++++==-<- 所以1 2.n T ≤<【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题. 18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗.为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分（评分的高低反映花苗品质的高低），将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【答案】（1）0.040a =，82.5；（2）是，详见解析 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1可以求得a ;由中位数两侧频率均为0.5可求出中位数;(2)由题意先补填列联表,然后由列联表求2K ,再进行比较判断.【详解】解：（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =.令得分中位数为x ，由0.020100.040(90)0.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =.故综合评分的中位数为82.5. （2）列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图,相关统计量,列联表,相关性等基础知识;考查数据处理能力,运算求解能力,应用意识和创新意识,属于一般难度的题.19.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且14AM AD=.将AED∆，DCF∆分别沿DE，DF折叠，使A，C点重合于点P，如图2所示.图1 图2 （1）求证：//PB平面MEF；（2）求三棱锥P EFM-的体积.【答案】（1）证明见解析（2）23 P EFMV-=【解析】【分析】(1)结合翻折前后的变量与不变量的关系,利用线面平行的判定定理直接证明即可;(2)利用平面图形翻折前后的变量与不变量证明PM ⊥面PEF,由题中等量关系分别求出PM 和PEFS,然后由 PEF1PM 3P EFM M PEF V V S --==⨯⨯进行求解答案.【详解】解：（1）在图1中,连结BD 交EF 于N ,交AC 于O , 则1124BN BO BD ==.图1在图2中,连结BD 交EF 于N ,连结MN . 在DPB ∆中,有14BN BD =,14PM PD =,图2所以//MN PB .又因为PB ⊄面MEF ,MN ⊂面MEF , 故//PB 平面MEF .（2）根据题意,图2中的PDE ∆,PDF ∆, 即图1中的Rt ADE ∆,Rt CDF ∆, 所以PD PE ⊥,PD PF ⊥. 又PEPF P =,所以PD ⊥面PEF ,即PM ⊥面PEF .在PEF ∆中,2PE PF ==,22EF =2PEF S ∆=,所以11221333P EFM M PEF PEF V V S MP --∆==⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查直线和平面平行的判定、三棱锥体积的求法等基础知识，考查空间想象、逻辑推理等能力，考查化归与转化等数学思想,属于一般难度的题.20.已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）12k k 为定值，此定值为1.2- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）利用点差法求得1212k k =-为定值. 【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.21.已知函数21()e ()42xf x x a =--+. （1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）若0x ≥，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）4290x y -+= （2）ln 4⎡-⎣【解析】 【分析】(1)对函数21()e (1)42xf x x =--+求导,求(0)f ,(0)f ',然后利用点斜式方程可求得答案; (2)对函数21()e ()42x f x x a =--+求导,构造函数(()e )=-+'=xh x x x f a 判断其在0x ≥上单调递增,分类讨论1a ≥-时:判断函数()f x 单调递增函数,然后再由()(0)0≥≥f x f 求得a 的取值范围;1a <-时,()00,x ∃∈+∞使得()00h x =,判断在()00,x 上函数()f x 单调递减,()0 ,x ∞+上单调递增,求得函数最小值()min 0()=f x f x 然后利用()()02001e 402=--+≥x f x x a 和()000e 0x h x x a =-+=进行适当地转化即可求出参数a 的取值范围,最后总结讨论结果得出a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时,21()e (1)42xf x x =--+,()e 1x f x x '=-+, 则9(0)2f =,(0)2f '=,由点斜式方程可得:()9202y x -=-化简得:4290x y -+=,即切线方程为4290x y -+=.（2）由21()e ()42xf x x a =--+,得()e x f x x a '=-+, 令()e xh x x a =-+,则()e 10xh x '=-≥. 所以()h x 在[)0,+∞上单调递增,且(0)1h a =+. ①当1a ≥-时,()0f x '≥,函数()f x 单调递增,由于()0f x ≥恒成立,则有21(0)502f a =-≥,即a ≤,所以1a -≤≤;②当1a <-时,则存在0(0,)x ∈+∞,使得()00h x =,当00x x <<时,()0h x <,则()0f x '<,()f x 单调递减;当0x x >时,()0h x >,则()0f x '>,()f x 单调递增.所以()()02min 001()e 402xf x f x x a ==--+≥， 又0x 满足()000e 0xh x x a =-+=,即00e xx a -=,所以0021e e 402xx -+≥,则002e 2e 80x x --≤,即()()00420e e x x-+≤，得00ln 4x <≤. 又00e xa x =-，令()e x u x x =-，则()1e xu x '=-，可知，当0ln 4x <≤时，()0u x '<，则()u x 单调递减， 所以()e ln 44xu x x ≥=--， 此时ln 441a -≤<-满足条件.综上所述,a 的取值范围是ln 4⎡-⎣.【点睛】本题考查了函数与导数、不等式等基本知识.考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求M 的普通方程；（2）将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫-⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O 对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程.【答案】（1）22(2)4x y -+= （2）cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【解析】 【分析】(1)由极坐标方程和普通方程的转化直接求解即可得出答案;(2)先判断点Q 的轨迹为椭圆,然后利用椭圆定义直接求得椭圆方程即可. 【详解】解：（1）由4cos ρθ=两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=， 则224x y x +=,化简得C 的普通方程为22(2)4x y -+=. （2）如图所示:连接QA .由垂直平分线的性质可知,||||||||||2||QA QN PQ QN PN AN +=+==>. 所以点Q 的轨迹是以N ,A 为焦点（焦距为1）,长轴长为2的椭圆. 即11,2a c ==,所以223b ac =-=,3故可得Q 的轨迹的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程、椭圆的参数方程与椭圆的定义等基础知识，考查推理论证能力和创新意识，考查化归与转化、数形结合等数学思想,属于一般难度的题. 23.设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围．（2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．【答案】（1）[]1,3-；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求+a b 的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到x 的取值范围.（2）求出4a b +的最小值，然后进行判断【详解】()1由a b ab +=，得111,a b += ()114a b a b a b ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时""=成立. 不等式2x x a b +-≤+即为24x x +-≤.当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<；当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤；当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤；综上，实数x 的取值范围是[]1,3-. ()2由于0,0a b >>.则()114445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+= 当且仅当4,,b a a b a b ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3,32a b ==时，4a b +取得最小值9. 所以不存在实数,a b ，使得48a b +=成立.【点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(十八)数学
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
数学
★祝考试顺利★
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2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
A. B.
C. D. 与 的大小关系与半径长度有关
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分 的面积＝阴影部分 的面积，即可求解.
【详解】由题意，设四分之一圆的半径为 ，则半圆的半径为 ，
阴影部分 的面积为 ，空白部分的面积为 ，
阴影部分M的面积为： ，
y＝sin2x+cos2x sin（2x ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosx sin（x ），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A．
考点：三角函数的性质.
9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示， 满足“勾三股四弦五”，其中股 ， 为弦 上一点（不含端点），且 满足勾股定理，则 （）
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十九)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，已知点(1,1)A 所对应的复数为z ，则||z 为（ ）A ．1BC ．2D ．02．已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2}3．已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b << 4．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）A ．4950B ．5151C ．0D ．5050 5．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3520a a +=，()4353S S S -=，则数列{}n a 公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．87．已知圆C 与直线20x y ++=和圆221212540x y x y ++++=都相切，则半径最小的圆C 的标准方程为（ ）A ．22(2)(2)2x y +++= B ．22(2)(2)2x y -+-= C ．22(4)(4)4x y -+-= D ．22(4)(4)4x y +++=8．从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为（ ） A ．45 B ．25 C ．425 D ．8259．已知3cos cos()35παπα⎛⎫+=--⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．725C ．5725D ．5725-10．如图，圆O 是直角ABC 的外接圆，过点C 作圆O 的切线，交AD 的延长线于点B ，M 为线段BC 上的动点，连接AM 交CD 于N ，6,:1:3BC AD DB ==，则AC AM AB AN ⋅+⋅=（ ）A ．24 B． C ．39 D ．1811．已知A ，B ，C 为抛物线24x y =上不同的三点，焦点F 为ABC 的重心，则直线AB 与y 轴的交点的纵坐标t 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．13,1,22⎛⎫⎡⎫-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．13,11,22⎛⎫⎛⎤-⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．31,2⎛⎤⎥⎝⎦12．若不等式2sin 12cos 2x x a x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭对(0,]x π∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．1,π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．n的展开式的第五项为358，则展开式的第六项的二项式系数为_________． 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =_____m ．15．已知双曲线与y x =-直线有公共点，与直线2y x =-没有公共点，则双曲线离心率取值范围是_______．16．已知四边形ABCD 为矩形，24AB AD ==，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 折起，连接1A B ，1A C，得到四棱锥1A DEBC -，M 为1A C 的中点，1A E 与平面ABCD 所成角为α，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是________．①一定存在某个位置，使//MB 平面1A DE ；②三棱锥M DEC -的最大值为3；③点M 的轨迹是圆的一部分，且||MB =④一定存在某个位置，使1DE AC ⊥；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知一个公比q 不为1的等比数列{}n a 和一个公差也为q 的等差数列{}n b ，且132322,,a a a 成等差数列． （1）求q 的值；（2）若数列{}n b 前n 项和为n T ，12b =，试比较2n ≥时，n b 与n T 的大小．18．为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下：（1）估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关？19．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为,AM MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱,PD PC 分别交于点G ，H ．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．20．已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合； （2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a+<． 21．如图，椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过焦点F ，斜率为k 的直线l 交椭圆于M 、N 两点（异于长轴端点），(2,)Q t 是直线2x =上的动点．（1）若直线OQ 平分线段MN ，求证：43OQ k k ⋅=-．（2）若直线l 的斜率1,12k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，求实数t 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]直线l 的极坐标方程为sin 8cos ρθρθ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）写出C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与C 和l 的交点分别为M ，N ，射线23πθ=与C 和l 的交点分别为A 、B ，求四边形ABNM的面积．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知正实数x ，y ，z ，求证： （1）()2()4x y xy zxyz ++≥；（2）3x y z ++=≤数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共小4题，每小题5分，共20分．13．56 14．300+ 15． 16．①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17．解：（1）由已知可得211123a a q a q +=， 2分 ∵{}n a 是等比数列，10a ≠∴23210q q --=．解得1q =或13q =-． ∵1q ≠，∴13q =-4分 （2）由（1）知等差数列{}n b 的公差为13-，∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--=⎪⎝⎭， 21132(1)236n n n nT n n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭， 7分(1)(14)6n n n n T b ---=-，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >． 综上，当214n ≤<时，n n T b >； 当14n =时，n n T b =；当14n >时，n n T b <． 12分18．解：（1）∵调查的500位被隔离者中有403070+=位需要社区非医护人员提供帮助， ∴该地区被隔离者中需要帮助的被隔离者的比例的估算值为14%=． 4分 （2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，29.967K =． 8分 ∵9.967 6.635>，∴有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要帮助与性别有关． 12分 19．解：（1）证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点， 所以//AB DE ． 2分又因为AB ⊄平面,PDE DE ⊂平面PDE ，所以//AB 平面PDE ． 4分 因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ⋂平面PDE FG =， 所以//AB FG ． 6分 （2）因为PA ⊥底面ABCDE ， 所以,PA AB PA AE ⊥⊥． 如图建立空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(0,0,2),(0,1,1),(1,1,0)A B C P F BC =． 8分设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉==． 10分因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π． 12分20．解：（1）没公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=， 2分将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-． 令21()ln m x x x e=-，对之求导得：22()x e m x ex -'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，因此．故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 6分（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点． 7分 对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =．当x >时，()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =时，()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >在使得二次函数2001()02u x ax x =-+>， 即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点． 10分 练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上． 下面证明12111x x a+<． 由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>则12211111x x x +=+<，下面证明11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a '=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a +<． 12分 21．解：（1）设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点()00,P x y由点差法得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12120121203344y y x x x k x x y y y -+==-=--+，00OQ y k x = 3分所以34OQ k k ⋅=-，故43OQ k k ⋅=- 5分 由(1,0)F ，所以设直线1:1,[1,2]l x my m k=+=∈ ∵()2222134690143x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ ∵0∆>恒成立，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++ 7分 因为直线,,MQ OQ NQ 的斜率成等差数列，所以2MQ O NQ Q k k k =+12122222y t y t tx x --+=⋅--， 8分 ∴()()()()()()1221212222y t x y t x t x x --+--=-- ∴()()()()()()1221211111y t my y t my t my my --+--=--()()()22121222952,23434mtmm y y y y t tm m t m m ---++=-+=++ ()2313m m +=，∴2331313m t m m m==++，∴33,164t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 12分 22．解：（1）22:16C x y +=，所以C 的极坐标方程为：4ρ= 4分（2）sin12N ρ=，sin 12B ρ=6分 由1sin602OBNB N Sρρ︒=与144sin 602OAMS ︒=⨯⨯∴ABNM OBNOAMS SS=-= 10分23．解：证明：（1）要证()2()4x y xy z xyz ++≥，可证222240x y xz xy yz xyz +++-≥，需证()()2222220ac ac b a c b bc +-++-≥，()()2222220y x z xz x z y yz +-++-≥即证，22()()0y x z x z y -+-≥当且仅当x y z ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故原不等式成立． 5分（2）因为x ，y ，z 均为正实数，由不等式的性质知，12322x x +++≤=当且仅当12x +=时取等12322y y +++≤=当且仅当12y +=时取等12322z z +++≤=当且仅当12z +=时取等因为3x y x ++=，以上三式相加即证 10分。
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷(十二)理科数学
2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =（ ）A. {}3B. {}1,7C. {}2,8D. {}2,3,4,5,6,8 2.设α是平面，,m l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ）4．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，i ei 4π表示的复数位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 5.平面向量a 与b 的夹角为60°，且3a =，b 为单位向量，则2a b +=（ ）A. 3B. 19C. 19D. 236.已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A.2B.53 C.52D.5 7.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,1),1ln()(cos x ex xx x f xπ的图像大致是( )8．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++acb a （ ） A.2 B.2- C.1 D.1-9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题18-22题-(学生版)
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题18-22题原题181．某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛地同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束。
若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,不论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中地每个问题回答正确得20分,否则得0分。
B类问题中地每个问题回答正确得80分,否则得0分,已知小明能正确回答A类问题地概率为0.8,能正确回答B类问题地概率为0.6,且能正确回答问题地概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题,记X为小明地累计得分,求X地分布列。
（2）为使累计得分地期望最大,小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.变式题1基础2．某商店欲购进某种食品（保质期为两天）,且该商店每两天购进该食品一次（购进时,该食品是刚生产地）.依据市场调查,该食品每份进价8圆,售价12圆,假如两天内无法售出,则食品过期作废,且两天内地销售情况互不影响.为了解市场地需求情况,现统计该食品在本地区100天地销售量,如下表：销售量(份)15161718天数20304010（1）依据该食品在本地区100天地销售量统计表,记两天一共销售该食品地份数为ξ,求ξ地分布列与数学期望。
（视样本频率为概率）（2）以两天内该食品所获得地利润地数学期望为决策依据,若该商店计划一次性购进32份或33份该食品,试判断哪一种获得地利润更高.变式题2基础3．某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求､丰富产品花色､提高企业竞争力,研发了一款新产品.该产品每份成本60圆,售价80圆,产品保质期为两天,若两天内未售出,则产品过期报废.由于烹制工艺复杂,该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产､集中配送一次.该企业为决策每两天地产量,选取旗下地直营连锁店进行试销,统计并整理连续30天地日销量(单位：百份),假定该款新产品每日销量相互独立,得到右侧地柱状图：（1）记两天中销售该新产品地总份数为ξ(单位：百份),求ξ地分布列和数学期望。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(一)理科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则z =（ ）A. 2B.2C. 1D.22【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，结合复数的运算可得1z i =+，由模长公式可得答案． 【详解】∵(1)2z i i ⋅+=，∴()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，故z ==故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={x|y=lg （x ﹣2）}，则A∩（∁R B ）=（ ） A. （2，4） B. （﹣2，4） C. （﹣2，2） D. （﹣2，2]【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可． 【详解】B ={x |x ＞2}； ∴∁R B ={x |x ≤2}；∴A ∩（∁R B ）=（﹣2，2]． 故选D ．【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算． 3.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≥ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接进行判断可得答案.【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的否定的书写问题，属于基础题，熟悉全称命题的否定方法是解题的关键. 4.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a c b >> B. c a b >>C. a b c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】根据指数函数的性质可知123(0,1)a -=∈，根据对数函数的性质可知31log 02b =<，112211log log 132c =>=，所以c a b >>，故选B. 5.函数1ln 22y x x =+-的零点所在的区间是（ ） A. 11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. ()12，C. ()e 3，D. ()2e ，【答案】B 【解析】 【分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数f （x ）=1ln 22x x +-在定义域上连续， 且f(1e )=1 e -52<0 , f （1）= -1<0 , f(2)=1ln 2>02 ,()13f e =+e-2=e-022> ,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为()1,2，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法. 6.已知a 、b 都是实数，那么>是“ln ln a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判定“a b >”与“ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】当a b >时有0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.故“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题.7.函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y ＝f(x)的极值点； ②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是( ) A. ①② B. ③④C. ①③D. ②④【答案】C 【解析】【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 8.已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-x f x ，则( 5.5)-f 的值为（ ） A. 2 B. 1-C. 12-D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先由题意，得到函数()f x 以2为周期，再由已知解析式，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=，所以函数()f x 以2为周期， 因此( 5.5)( 5.532)(0.5)-=-+⨯=f f f ，又当[)0,1x ∈时，()41=-xf x ，所以0.5( 5.5)(0.5)411-==-=f f .故选：D【点睛】本题主要考查由函数周期性求函数值，熟记函数周期性的概念即可，属于基础题型. 9.函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于（ ） A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解.【详解】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=，则121121411()(2)[4()](4(44)42222n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+=， 当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n+的最小值为4，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ， 故选B考点：函数的图象.11.若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（ ） A. 4 B. 2C. eD. 1【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，分别得到1x 是函数xy e =与4y x =交点P 的横坐标；2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；根据反函数的对称性，以及函数4y x=的对称性，可得P ，Q 两点关于直线y x =对称，进而可得出结果.【详解】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数xy e =与4y x=交点P 的横坐标； 又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标； 因为函数xy e =与ln y x =互为反函数，所以函数xy e =与ln y x =图像关于直线y x =对称， 又4y x=的图像关于直线y x =对称， 因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y . 故选：A【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型. 12.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-，设函数，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ） A. (]3,4 B. [)3,4 C. [)2,3 D. (]2,3【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：方程，所以方程()1log a f x x -=有且仅有个实数根，即有且仅有个实数根，即函数和函数的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数和函数的图象有三个不同的交点，则，解得，故选B.考点：方程的根的个数的判断与函数的应用．考点：方程根的个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及的应用，其中解答中涉及到取整函数的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有个实数根，转化为函数和函数的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13.已知幂函数()y f x =的图象过点(2，则()16f =______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值详解】解：由题意令()a y f x x ，由于图象过点2)，22a =，12a =12()y f x x ∴==12(16)164f ∴==故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．14.函数3()3=++f x ax bx ，其中,a b 为常数，若(7)7-=-f ，则(7)f =_____. 【答案】13 【解析】 【分析】设3()()3=-=+g x f x ax bx ，根据函数奇偶性的定义，判断函数3()g x ax bx =+为奇函数，进而可求出结果.【详解】因为3()3=++f x ax bx ，设3()()3=-=+g x f x ax bx ， 因此33()()()()-=-+-=--=-g x a x b x ax bx g x ， 即函数3()g x ax bx =+为奇函数，若(7)7-=-f ，则(7)(7)310-=--=-g f ，因此(7)(7)3(7)10=-=-=g f g ，故(7)10313=+=f . 故答案为：13【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性的概念即可，属于基础题型. 15.已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】试题分析：因为32()(,)f x x ax b a b R =-++∈，所以；由题意得恒成立，即恒成立，则，解得.考点：导数的几何意义、一元二次不等式.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=.若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____；当四棱锥P ABCD -的体积取得最大值时，二面角A PC D --的正切值为_______.【答案】 (1). 6π (2). 5【解析】 【分析】(1)．要求球O 的表面积的最小值，需求出球O 的表面积的算式，为此又需求出球O 的半径，从而根据算式的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．(2)．列出四棱锥P ABCD -的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角A PC D --的正切值．【详解】(1)．设()03CD x x =<<，则3PD x =-.∵AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥， ∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，从而球O 的表面积为()()22222343126x x x x πππ++-⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.(2)．四棱锥P ABCD -的体积()()213033V x x x =⨯-<<， 则22V x x '=-+，当02x <<时，0V '>；当23x <<时，0V '<. 故()max 2V V =，此时2AD CD ==，1PD =. 过D 作DH PC ⊥于H ，连接AH ， 则AHD ∠为二面角A PC D --的平面角. ∵255DH ==tan 5AD AHD DH ∠==【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.当棱锥中有线面垂直的条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算． 找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.设p ：实数x 满足22540x ax a -+<（其中0)a >，q ：实数x 满足25x <． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,4；（2）5,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）通过解不等式化简命题p 和q ，若p q ∧为真，则p 真且q 真，即可得出；（2）将条件“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”转化为“q 是p 的充分不必要条件”，再利用集合思想得到命题p 和q 所对应集合的关系，从而求出a 的范围. 【详解】解：因为p ：实数x 满足22540x ax a -+<（其中0)a > 所以:4p a x a <<，（1）1a =时，则:14p x <<，因为p q ∧为真，则p 真q 真，所以2514x x <⎧⎨<<⎩，解得24x <<，所以()2,4x ∈；（2）根据题意因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，则有245a a ⎧⎨>⎩，该不等式组解集为524a <，故5,24a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查真值表和充分条件和必要条件的应用，条件“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”转化为“q 是p 的充分不必要条件”是解决本题的关键，注意要熟练掌握不等式的解法．18.如图（1）所示，在BCD ∆中，AD 是BC 边上的高，且45ACD ∠=，2AB AD =，E 是BD 的中点．现沿AD 进行翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，得到的图形如图（2）所示．（1）求证：AB CD ⊥；（2）求直线AE 与平面BCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）515【解析】 【分析】（1）由题意，先根据面面垂直的性质定理，得到AB ⊥平面ACD ，再由线面垂直的性质，即可得出AB CD ⊥；（2）以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，设1AC =，求出直线AE 的方向向量，以及平面BCE 的一个法向量，由向量夹角公式，以及线面角与向量夹角的关系，即可得出结果.【详解】（1）由图（1）知，在图（2）中，AC AD ⊥，AB AD ⊥， ∵平面ACD ⊥平面ABD ，平面ACD平面ABD AD =，AB平面ABD ，∴AB ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ， ∴AB CD ⊥；（2）以A 为原点，AC ，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间坐标系，不妨设1AC =，则(0,2,0)B ，()1,0,0C ，()0,0,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ， ∴10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()120BC =-，，，10,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭BE ， 设平面BCE 的法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20102x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =，得2x =，2z =，则(2,1,2)n =是平面BCE 的一个法向量， 设直线AE 与平面BCE 所成的角是θ， 则45sin cos ,53θ⋅=<>===⨯AE n AE n AE n， 故直线AE 与平面BCE 45． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直，面面垂直的性质定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型. 19.利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式 （1）sin tan ((0,))2x x x x π<<∈（2）1(0)xe x x >+≠【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ，利用导数分析在(0,)2π上的单调性，即可证出；（2）构造函数()1xh x e x =--，利用导数分析函数的单调性，找出最值即可证出． 【详解】解：（1）设()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ， ()1cos f x x '∴=-，21()1g x cos x'=-， (0,)2x π∈，0cos 1x ∴<<，()0f x '∴>，()0g x '>，∴函数()f x 和函数()g x 在(0,)2π上都是单调递增函数，()(0)0f x f ∴>=，()(0)0g x g >=，即sin x x >，tan x x >， sin tan x x x ∴<<，(0,)2x π∈；（2）设函数()1xh x e x =--，()1x h x e '∴=-，令()0h x '=得：10x e -=，0x =， 列表：∴当0x =时，()h x 取最小值，()(0)0min h x h ==， ∴当0x ≠时，恒有()0h x >，即1(0)xe x x >+≠．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及构造函数方法，属于中档题． 20.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【答案】（1）3；（2）2． 【解析】试题分析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k 的值，可得满足条件的k 的范围．（2）由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解试题解析：（1）由题意可得，直线l 的斜率存在， 设过点A （0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．1=，解得：12k k ==．k <<，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点．（2）设M ()11,x y ；N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++， ∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k ++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+，解得 k=1， 故直线l 的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算21.已知函数()()ln 1f x x x ax a R =-+∈. （1）讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为2.71828……） 【答案】（1）见解析；（2）()2,+∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()1ln g x x x=+，先将讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数问题，转化为讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数问题，用导数方法研究函数()1ln g x x x=+单调性，求出值域，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，由()0f x '=求出零点，得到()()11min 1a a f x f ee --==-，再由题意得到()()1113a ee a --<--成立，构造函数()()()1131x h x e e x -=+---，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果.【详解】（1）由()ln 10f x x x ax =-+=得1ln a x x =+，令()1ln g x x x=+， 因此讨论()f x 在()1,+∞上的零点个数，即是讨论直线y a =与曲线()y g x =的交点个数，∵()22111x g x x x x-'=-=，()0g x '>在()1,+∞上恒成立， 故()1ln g x x x=+在()1,+∞上单调递增，()()1,g x ∈+∞，又()g x 连续不断，所以当1a ≤时，()f x 在()1,+∞上无零点； 当1a >时，()f x 在()1,+∞上存在一个零点.（2）当1a >时，由（1）得()f x 在()1,+∞上存在一个零点， 由()ln 10f x x a '=+-=得1a x e -=， 由（1）可得()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e-+∞上单调递增；所以()()11min 1a a f x f ee--==-，又存在()1,x ∈+∞，使()()()13f x e a <--成立， 所以，只需()()1113a e e a --<--成立，即()()11310a e e a -+--->不等式成立，令()()()1131x h x ee x -=+---， 则()11x h x ee -'=+-，易知()110x h x e e -'=+->在()1,x ∈+∞上恒成立，故()()()1131x h x ee x -=+---在()1,x ∈+∞上单调递增又()20h =，所以()02h x x >⇒>. 故实数a 的取值范围为()2,+∞.【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数的零点、以及根据不等式能成立求参数的问题，熟练掌握导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.(二)选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答。
2021届全国100所名校(新高考)高三最新高考冲刺卷数学试题(三)(解析版)
2021届全国100所名校（新高考）高三最新高考冲刺卷数学试题（三）一、单选题1．已知zi +1=2i ，则|z |=（ ）A B C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数模的公式计算可得； 【详解】解：因为12zi i +=，所以()212122i ii z i i i -+-+===+所以z =故选：B2．已知集合{2R A x x =≤或}4x ≥，{}290,B x x x +=-≤∈N ，则A B ⋂＝（ ）A ．{23}x x <≤∣B ．{23}x x <<∣C ．{2,3}D ．{3}【答案】D【分析】先求出集合A 、B ，再根据交集定义求出. 【详解】{2RA x x =≤或}4x ≥，{24}A x x =<<∴∣，{}{}33,1,2,3B x x x +=-≤≤∈=N ∣，故{}3.A B ⋂=故选：D.3．设x ∈R ，则“42x x >”是“1x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】把命题42x x >化简为0x >，再考查以0x >，1x >分别为题设，结论和结论，题设的两个命题真假即可作答.【详解】因2422220x x x x x x x >⇔>⇔>⇔>， 又01x x >>，而10x x >⇒>，即“0x >”是“1x >”的必要不充分条件，所以“42x x >”是“1x >”的必要不充分条件． 故选：B4．某市为了对学生的初中与高中数学学习能力进行分析，从全市学生中随机抽出五位学生，并跟踪测试他们在初二和高二某一时段数学学习能力等级分数(10分制)，初二等级分数用x 表示，高二等级分数用y 表示，获得数据如表： x 3 4 6 8 9 y33879据此得出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx =，则下列的点到回归直线距离最远的是（ ）A ．(3,3)B ．(4,3)C ．(6,8)D ．(8,7)【答案】C【分析】先求出线性回归方程，再结合选项，即可得出答案. 【详解】本题考查线性回归方程．因为34689338796,655x y ++++++++====，所以ˆ1b=，所以回归直线方程为ˆy x =，因为选项C 中x 与y 的差距最大，所以点(6，8)到回归直线距离最远． 故选：C5．如图，已知一底面半径为1，体积为π的圆锥内接于球O (其中球心O 在圆锥内)，则球O 的表面积为（ ）A ．1009π B ．209π C ．203π D ．503π 【答案】A【分析】取底面圆心，即线段AB 的中点O 1，则有SOO 1共线且垂直于底面，再根据勾股定理即可解得. 【详解】如图所示，设圆锥的底面圆心为1O ，连接11,,SO O B OB .因为V 圆锥=21113SO ππ⨯⨯=，所以13SO =，设球O 的半径为R ，则22(3)1R R -+=，解得53R =，所以球O 的表面积22510044.99S R πππ==⨯=故选：A.6．()226()x y x y ++的展开式中，53x y 的系数为（ ）A ．12B ．26C ．30D ．40【答案】B【分析】由题意依次求出6()x y +中33x y ，5x y 项的系数，求和即可【详解】本题考查二项式定理．因为23332155366C C 26x x y y x y x y +=，所以53x y 的系数为26． 故选B.7．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（ ）A 3555BG -++ B 3555BA BG --+ C 5155BG --+ D 355BA BG -+ 【答案】D【分析】由黄金分割比可得51EO BE -=，结合矩形的特征可用BG 表示出BO ，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.【详解】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==， 因51BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()EO BE BO BO ---===， 于是得55BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有55BO BG +=，同理有51AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155()AF BG BA -+=-51BG BA =--， 从而有513555BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+， 所以355BF BA BG -=+. 故选：D8．已知函数()ln(ln (1))f x x e x m =+--，若曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，则实数m 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．2-D ．1-【答案】D【分析】根据函数22311x y x +=+的值域可以确定[)11,3y ∈，然后换元令()1f y c =，进而根据()()11y f f y =讨论得出()11f y y =，代入可得()()111ln ln e 1y y m y +--=，解出m ，转化为用导数求值域的问题.【详解】由题意，曲线22311x y x +=+上存在点()11,x y ，使得()()11y f f y =，所以[)11,3y ∈．记()1f y c =，若1c y >，则()()1f c f y >，所以()()()()111f f y f c f y c y =>=>，不满足()()11y f f y =，同理1c y <也不满足，所以()11f y y =，所以()()111ln ln 1y e y m y +--=，所以()111ln 1yy e y m e +--=，所以()[)1111ln 1,1,3.y m y e e y y =-+-∈记()()ln 1x g x x e e x =-+-，则()11xg x e e x=-+-'，记()1h x x=-1x e e +-，因为()210x h x e x -'=-<，所以()h x 在[)1,3上单调递减，因为()10g '=，所以()1,3x ∈时，()g x '0<，因为()()311,333ln3g g e e =-=-+-+，所以333ln31e e m -+-+<-，所以m 的最大值为 1.- 故选：D.【点睛】①嵌套函数一般采用换元法，对于基本初等函数复合而成的函数我们要用换元法尽快得出函数的性质，比如单调性、值域等等； ②当解析式里有多个变量时，我们应该首先想到要消元；③涉及到复杂函数的最值或者值域的求法我们往往借助导数进行处理.二、多选题9．两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（ ） A ．第5个月甲的月工资低于乙 B ．甲与乙在第11个月时月工资相等 C ．甲､乙前11个月的工资总收入相等 D ．甲比乙前11个月的工资总收入要低 【答案】ABD【分析】利用等差数列的前n 项和，逐一验证即可出答案.【详解】本题考查等差数列．设甲各月工资组成数列{}n a ，乙各月工资组成数列{}n b ，易知1003900,n n a n b =+504450.n =+因为5544004700a b =<=，所以选项A 正确；因为11115000a b ==，所以选项B 正确；因为甲前11个月工资总收入为()1140005000495002⨯+=元，乙前11个月工资总收人为()1145005000522502⨯+=元，所以选项C 不正确，选项D 正确．10．已知椭圆()222:1309x y C b b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是椭圆上一点，延长2PF 与椭圆交于点A ，若1OF OA =，1OF A 的面积为2，则1AF 的值可以为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】BD【分析】连接1AF ，分析得出122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，利用三角形的面积公式以及椭圆的定义可得出关于m 、n ，解出m 的值，即为所求.【详解】连接1AF ，因为12OA OF OF ==，则11OAF OF A ∠=∠，22OAF OF A ∠=∠，因为1122122OAF OF A OAF OF A F AF π∠+∠+∠+∠=∠=，122F AF π∠=，记1AF m =，2AF n =，则1211242F AF OAF S S mn ===△△，由椭圆的定义可得6m n +=， 所以，86mn m n =⎧⎨+=⎩，解得42m n =⎧⎨=⎩或24m n =⎧⎨=⎩，所以12AF =或4.故选：BD.11．已知a ，b 为正数，2243a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为34B ．2211a b +的最小值为3C ．74D ．11a b + 【答案】AB【分析】选项A ：直接利用公式222a b ab +≥即可求得； 选项B ：用“1”代换来求，即把求2211a b +的最小值转化为求 ()222211143a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值；选项C ：利用公式a b +≥ 选项D ：利用选项A 和选项B 的结论来求.【详解】因为2244a b ab +，所以43ab ，即34ab ，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以选项A 正确；因为()22222222221111114141493333a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a ==时，等号成立，所以选项B 正确；因为22114472224a b ++=⨯=， 当2244a b =+时，即281b =-时等号成立，显然等号不成立，所以选项C 不正确；因为22211112817333a b a b ab⎛⎫+=++>+=⎪⎝⎭，所以11a b +>>，所以选项D 不正确． 故选：AB.12．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()y g x =的图象，则下列关于函数()f x 和()g x 的说法正确的是（ ） A ．函数()f x 与()g x 有相同的周期B ．函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的对称中心一定不同C ．若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2ω≥D ．若函数()g x的图象与直线y =,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则162099ω< 【答案】ACD【分析】先求出()g x 的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案.【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得()g x sin 4x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 与()g x 的周期都为2πω，所以选项A正确；函数()f x 的对称中心为1,0k πω⎛⎫⎪⎝⎭，函数()g x 的对称中心为()212,0,4k k k ππω⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，当()1212,4k k k k ω-=∈Z 时，对称中心可以相同，所以选项B 不正确；若函数()g x 的图象在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少可取到两次最大值1，则2423242πππωπππω⎧+⎪⎪⎨-⎪+-⎪⎩，解得2ω，所以选项C 正确;记,,422t x x πππω⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()31sin ,,.44ht t t πωπω⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦函数()h t 的图象与直线y =右边最近两个交点横坐标为3π和23π，左边最近两个交点横坐标为43π-和53π-，令3452,,,433433πππωππωπ-=--=，得162048,,,9933ω=，所以162099ω<，所以D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．设α为第二象限角，若sin α=tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】12-【分析】根据条件先求出tanα，再将tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开，代入即可求得.【详解】因为α为第二象限角，sin α=，所以tan 3α=-，所以tan 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭tan tan31141321tan tan 4παπα+-+==-+-.故答案为：12-.14．某港口有A ､B ､C ､D 四个码头，每个码头一次只能停一艘船，A 码头最大可以停靠600吨总重量的船舶，B 码头最大可以停靠900吨总重量的船舶，C 码头最大可以停靠1500吨总重量的船舶，D 码头最大可以停靠3000吨总重量的船舶，现仅有甲､乙总重量分别为500吨和1400吨的船舶要安排停靠该港口，则甲船舶安排停靠在B 码头的概率为___________． 【答案】13【分析】根据题意列举出每一种可能的停靠情况，然后选出甲船停靠在B 码头的情况，分别数出各自的数量，再根据古典概型公式相比即可.【详解】本题考查古典概型．当甲停靠在A 或B 码头时，乙可停靠C 或D 码头，所以甲、乙共4种停法；当甲停靠在C 或D 码头时，乙对应可停靠D 或C 码头，所以甲、乙共2种停法．甲、乙总共有6种停法，其中甲船停靠B 码头有2种停法，所以甲船舶停靠在B 码头的概率为2163P ==. 故答案为：13.15．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线，垂足为点A ､在第二象限交另一条渐近线于点B ，且||||(1)AB AF λλ=≥，则双曲线的离心率的取值范围是___________．【答案】2⎤⎦【分析】由垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以22b a>1，所以e >得2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B ab a b ，从而根据AB AF λ=即可建立关于,,a bc 的方程，又1λ，即可建立离心率e 的不等关系，从而可解.【详解】解：因为垂线与另一条渐近线交于第二象限，所以a b b a ->-，所以22b a >1，所以e >在直角AOF 中，,,OA a AF b OF c ===，所以2,A A ab a y x c c ==，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()ay x cbby xa⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,⎛⎫-⎪--⎝⎭a c abcBa b a b，因为AB AFλ=，所以22222a a c acc a b cλ⎛⎫-=-⎪-⎝⎭，故2222ab aλ=-222e=-，因为1λ，所以2212e-，解得 2.e综上，可得(2,2.e⎤∈⎦故答案为：(2,2⎤⎦四、双空题16．如图，在正方体1111-ABCD A B C D中，点P在线段11C D上运动，M，N分别为AD，AB的中点，记异面直线PM与DN所成的角为θ．当点P与1C重合时，cosθ=___________；cosθ的取值范围是___________．【答案】020,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角，当点P与点1C重合时，连接MC，可证得DN⊥平面1MCC，所以可得异面直线PM 与DN垂直，从而可得cos0.θ=当点P由1C向1D方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D重合时，角θ最小，然后在三角形1MED可求得cosθ的最大值，从而可求得其范围【详解】取AN的中点E，连接ME，则PME∠或其补角是异面直线PM与DN所成的角．当点P与点1C重合时，连接MC，因为1,DN MC DN CC⊥⊥，所以DN⊥平面1MCC，所以()1DN MP C ⊥，此时异面直线PM 与DN 所成的角最大，即为2π，所以cos 0.θ= 当点P 由1C 向1D 方向移动时，角θ在不断减小，当点P 与点1D 重合时，角θ最小， 连接11,D M D E ，设2AD =，可得15,D M ME ==1533,D E =， 所以()222533(5)2cos 55252πθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==-⨯⨯，所以2cos 0,.5θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为：0，20,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos()cos 3sin cos a B C a A b C A -+=（1）求A ；（2）若234,cos 28a c B b ==+，求b 的值．【答案】（1）3π；（2）43b = 【分析】（1）等式左边将A 化为B C +，根据两角和的余弦公式化简，再用正弦定理即可解得；（2）结合第二问条件及余弦定理可以得到2c b =，再根据第一问可得3A π=，再次利用余弦定理，得到b ,c 的第二个关系式，联立方程组即可解得. 【详解】（1）因为()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=，所以()()cos cos 23a B C a B C b --+=sin cos C A ，所以sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =．由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=．（2）因为23cos 28c B b =+，4a =，由余弦定理222163288c b c b c +-⋅=+，解得2c b =，由（1），3A π=，所以由余弦定理：2216b c bc =+-，所以2163b =，即b =18．从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212n n b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）根据3244,10a a a =+=-可得关于1,a q 的方程 ，两个方程解出两个未知数；（2）若选①②，结合132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭表达式的特点，可用错位相减法求和，若选③，()()2121(1)2132(2)nn n n nn a b n +⋅-⋅==-⋅+-，可用分组求和法解题. 【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为3244,10a a a =+=-，故3310a a q q+=-， 即4410q q +=-，解得12q =-或q =2(-舍去1),16a =， 所以1116.2n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）设132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若选①211121,,32(2)2(2)(2)n n nn n n n a b T ---⋅==++++----(2)nn -，23111212(2)(2)(2)(2)n n n n nT +--=++++----，两式相减得2311122(2)(2)n n T =+++----11111(2)3(2)(2)n n n n n++⎡⎤=---⎢⎥---⎣⎦ 所以3229(2)9n n n T +=-⋅-若选②231(6),3,1323333,32(2)nn n n n n nn a b n T n ⋅--⋅==⋅=⋅+⋅+⋅++⋅-234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得()2311313233333313n n n n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-，所以1321344n n n T +-=+⋅． 若选③()()()2121,(1)21,35721(1)32(2)n nn n n n n n a b n T n +⋅-⋅==-⋅+=-+-+++⋅--当n 为偶数时，2;2n n T n =⨯=当n 为奇数时，()122122n n T n n -=⨯-+=--， 所以,{2,nn n T n n =--为偶数为奇数19．2021年初疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放．手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容．为了解市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如图频率分布直方图所示．（1）求a 的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；（2）现从年龄为[20，30)的人中随机抽取7个人，按答题情况有4人成绩优秀，3人成绩不优秀，优秀得2分，不优秀得1分．若从这7人中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中测试得分的和，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）0.005a =；中位数为38.33；（2）分布列见解析；期望为337． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，求得0.005a =，结合中位数的概念，列出求得x 的值，即可求解；（2）得出随机变量X 的所有取值，求得相应的概率，得出分布列，结合公式，即可求解.【详解】（1）由题意得()100.0200.0300.0250.020101a ⨯++++⨯=，解得0.005a =； 设该组数据的中位数是x ，则()()100.0050.020300.0300.5x ⨯++-⨯=， 经计算得1153x =，故该组数据的中位数为11538.33.3≈ （2）随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6，可得()()031243433377C C C C 1123,4C 35C 35P X P X ======，()()213043433377C C C C 1845,6C 35C 35P X P X ======，所以随机变量X 的分布列为 X3 4 5 6 P13512351835435所以期望为：()11218416533345635353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 20．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，底面ABCD 为正方形，1,2,3AP DP AD CP ====，F 为线段PD 的中点．（1）求证：CD AF ⊥（2）求直线PB 与平面CFB 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2102【分析】（1）首先易证CD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明CD AF ⊥. （2）首先，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解线面成角即可.【详解】（1）在PCD 中，因为3,1,2PC DP CD AD ==== 所以222CD DP CP +=，所以CD DP ⊥，因为,CD AD AD DP D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，因为AF ⊂平面P AD ，所以CD AF ⊥． （2）由（1）知CD DP ⊥，以,DP DC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：.D xyz -在APD △中，因为1,2AP DP AD ===222AP DP AD +=，所以AP DP ⊥；因为CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以CD AP ⊥. 因为CD DP D =，所以AP ⊥平面.PCD可得()()()()10,0,0,1,0,0,2,0,,0,0,1,0,1.2D P C F A ⎛⎫⎪⎝⎭因为()1,2,1DB DC DA =+=，所以()2,1B ， 所以12,02FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,2,1PB =.设平面CFB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n FC n FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以12021202x x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，令4x =，则2,y z ==-4，所以()2,4.n =-设直线PB 与平面CFB 所成的角为θ， 则102sin 334n PB n PBθ⋅===⨯ 21．已知抛物线()2:20G y px p =>的焦点为F ，斜率为k 的直线l 过点F ，且与G 交于A ，B 两点，当1k =时，16AB =． （1）求p 的值；（2）直线11:(2)l y k x =-与G 相交于C ，D 两点，M ､N 分别为AB ､CD 的中点，若直线MN 恒过定点(2,2)，求1k k +的值． 【答案】（1）4；（2）1 2.k k +=．【分析】（1）当1k =时，得到直线l 的方程为2py x =-，联立方程组得到123x x p +=，结合抛物焦点弦的性质，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到28y x =，设直线l ：()2y k x =-，联立方程组求得212248k x x k ++=，得出点22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合斜率公式和题设条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ， 当1k =时，直线l 的方程为2py x =-， 联立方程组222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22304p x px -+=，所以123x x p +=，因为AB 16=，可得1216x x p ++=，所以416p =，解得4p =． （2）由（1）知，可得曲线G 的方程为28y x =， 设直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程组()228y k x y x ⎧=-⎨=⎩，整理得()22224840k x k x k -++=，则212248k x x k ++=，所以2224M k x k +=，所以4M y k =，即22244,k M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 同理可得21211244,k N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以112211221442424MNk k kk k k k k k k k -==+++-， 所以直线MN 的方程为2121424(kk k y x k k k k ⎫+-=-⎪+⎭，因为直线MN 过点()2,2，所以212142422kk k k k k k ⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，解得1 2.k k +=【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()2(1)x f x ae a =-+． （1）讨论函数()()2g x f x x =-的单调性；（2）若不等式()10(0)xf x a a ++>在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1e 1a-． 【分析】（1）求出()g x 的解析式，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()1e 22,x a k x a a x +=⋅--+求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】（1）因为()e 222x g x a x a =---，所以() 2.xg x ae -'=当0a 时，()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 20xg x a '=-=，解得2lnx a=，所以函数()g x 在2,ln a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增（2）由题知不等式可转化为1e 220(0)xa a a a x+⋅--+>，令()()1e 22,xa k x a a k x x +⋅-+'=-=()22e 1x ax a x-+，令()()2e 1xm x ax a =-+，则()()2e 0x m x ax x =+>'，所以()m x 在()0,+∞上是增函数．因为()()010m a =-+<，当x →+∞时，()0m x >，所以存在()00x ∈+∞,，使得()00m x =，所以()k x 在()00,x 上单调递减，()k x 在()0,x +∞上单调递增，因为()()0200e 10x m x ax a =-+=，即0201e x a a x +=，因为在()0,x ∈+∞上()0k x 恒成立， 故()0min 001()e 220x a k x k x a a x +==⋅--+，所以20011220a a a x x +++--， 故2001120x x +-，所以200210x x --，解得0112x -，因为020e 1x ax a =+，所以0201e x a x a +=，令()0h x 020e x x =，易知()0h x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,1上单调递增，所以11e a a +<，所以1e 1a -． 【点睛】恒成立问题解题思路： （1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二十八)数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥，集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p【答案】C 【解析】 因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.3.给出下列四个命题：①如果a b >，则()()22lg 1lg 1a b +>+；②命题“(),0x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定是“()0,0x ∃∈-∞，使得001x e x ≤+”；③在等差数列{}n a 中，已知公差0d >，那么数列{}n a 是递增数列； ④1a =-是直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行的充分必要条件. 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对于①，取1,2a b ==-，可判断；对于②，由全称命题与特称命题的关系，可判断；对于③， 由等差数列的通项，可得出+1n n a a d -=，可判断； ④中，由两直线平行的条件可得出2a a =-，解得0a =或1a =-，可判断得选项.【详解】对于①，若1,2a b ==-，则()()22lg 1lg 2lg 1lg5a b +=<+=，所以()()22lg 1lg 1a b +>+此时不成立，故①不正确；对于②，根据全称命题与特称命题的关系，得②是正确的； 对于③， 由于数列{}n a 是等差数列，所以设()1+1n a a n d =-，则()+111+1n n a a nd n d d a a -=---=，因为公差0d >，所以+1>n n a a ，所以数列{}n a 是递增数列成立，故③正确；④中，若直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则2a a =-，解得0a =或1a =-，所以1a =-是两直线平行的充分不必要条件，所以④错误的， 故正确的命题是②③， 故选：B.【点睛】本题考查命题的判断，考查了对数函数的单调性，全称命题和特称命题的关系，等差数列的通项公式，两直线平行的条件，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 4.已知实数a ，b ，c 满足lg 22a =，2log b a =，sin c b =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D.b ac >>【答案】A 【解析】 【分析】易得0lg21<<，2b lg =，进而由指数函数的性质得到1a b >>，根据()0,x π∈时，sinx x <，可得b c >，从而作出判定.【详解】1210,0lg21<<∴<<， ∴()222log log 220,1lg b a lg ===∈，20221lg a b ∴=>=>，()0,x π∈时，sinx x <，∴sinb b < ,即b c >,a b c ∴>>，故选：A.【点睛】本题考查比较大小，涉及不等式的基本性质，对数指数的运算及函数性质，正弦函数的性质，其中用到()0,x π∈时，sinx x <的结论，属中档题.5.空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，AQI 指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好；故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 6.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，则AB AD ⋅=（ ） A. 12 B. 18C. 24D. 30【答案】D 【解析】 【分析】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算AB AD ⋅即可. 【详解】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算数量积． 因为6AB =，2BD =，则13BD BC =，13=+AD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属基础题. 7.已知函数()xxf x e e-=-，则()f x （ ）A. 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B. 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减C. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可． 【详解】函数()xxf x e e-=-的定义域为R ，()() xxx xf x eee ef x -----=-=-=，即()()f x f x -=， ∴()f x 是偶函数，当x 0>时，()xxf x e e -=-,y ?x e =为增函数，y x e -=为减函数，∴()f x 在()0,+∞上单调递增， 故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题． 8.已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 ( ) A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不同B. 存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值C. 把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 D. 函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简可得f （x ）=sin （x 4π-），求导化简可得g （x ）=（x 4π+），结合三角形的函数的图象和性质即可判断【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，值域为：， ()()'cos sin4g x f x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，值域为：，两函数的值域相同，所以，A 错误；B 选项，不存在x 0，使得函数f （x ）和g （x ）都在x 0处取得极值点，B 错误；C 选项，()f x 的图像向右平移2π个单位：()24h x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()g x 相同，C正确；求出单调递增区间可知，()g x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是增函数，D 错误． 故选C【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.9.椭圆221259x y +=的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为（ ） A. 25 B. 20 C. 9 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义有12210PF PF a +==，再由勾股定理得22222112464PF PF F F c +===，进而可得1218PF PF ⨯=，即可得到12F PF △面积. 【详解】根据椭圆的定义，12210PF PF a +== ①，12PF PF ⊥，由勾股定理得，2222212144(259)64PF PF F F c +===⨯-= ②，将①平方再减去②得：1221006436PF PF ⨯=-=，12121189221F PF S PF PF ∆∴=⨯=⨯=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义，考查了考生对所学知识的综合运用，属于中档题.10.已知数列{}n a 中11a =，12n n a a +=+，n S 为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围是（ ） A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由已知得到数列{}n a 为等差数列，求得前n 项和，得到n b 的通项公式，利用裂项相消求和法求出111n T n =-+，进而利用单调性判定范围. 【详解】数列{}n a 中11a =，12n n a a +=+，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴()1121n a a n d n =+-=-,∴()122n n a a n S n +==,∴211111nn bS n n n n n ===-+++,∴11111111111,1122334112n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫=-+-+-+⋯+-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎭，当1n =时12n T =. 故选：A.【点睛】本题考查等差数列的概念和通项公式，求和公式及裂项求和法，考查数列的函数特性，11.平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）33 C. 3π D. 4π【答案】A【分析】根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理和性质得出A B A C ''⊥，由直角三角形的性质确定BC 中点为外接球的球心，最后由球的体积公式计算即可.【详解】平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理得出CD ⊥平面A BD 'A B '⊂平面A BD '，CD A B '⊥，又由已知A B A D ''⊥，从而由线面垂直的判定定理可得A B '⊥平面ACD'，A C '⊂平面ACD '，A B A C ''⊥ 设O 是BC 中点，则O 到,,,A B C D '四点的距离相等，即为外接球的球心2OB ==，所以34(322V π=⨯=．故选：A【点睛】本题主要考查了求球的体积，涉及了球与多面体的外接问题，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞B. (,)e -∞C. ,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】 由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20xg x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=，//m n ，//m α，则//m β；④若//m α，βn//，//m n ，则//αβ.上述四个命题中，正确命题的序号是__________. 【答案】② 【解析】 【分析】根据已知条件逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若m α⊂，//n α，则//m n 或,m n 异面，故①错； 对于②，因为//αβ，//βγ，故//αγ，而m α⊥，故m γ⊥.故②正确. 对于③，若n αβ=，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错；对于④，若//m α，βn//，//m n ，则//αβ或,αβ相交，故④错. 故答案为：②.【点睛】本题考查空间中与点线面位置关系有关的命题真假判断，注意根据已知条件分析所有可能的结果，本题属于基础题.14.若21()nx x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 【答案】15 【解析】试题分析：在二项展开式()n a b +中二项式系数和为2n ，故264n =，6n =，展开式通项为26123661()()kkk k k T C x C x x--==，要求常数项，则令1230k -=，4k =，因此常数项为4615T C ==.考点：二项展开式的通项与二项式系数.15.数列{}n a 满足：11a =，21a =-，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则数列{}n a 的前2020项的和为________. 【答案】3- 【解析】 【分析】直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．【详解】数列{}n a 中，11a =，21a =-，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则：3212a a a --＝＝，4321a a a --＝＝，5431a a a -＝＝，6542a a a -＝＝，7651a a a -＝＝，…，所以：数列{}n a 的周期为6．且1234560a a a a a a +++++＝， 数列{}n a 的前2020项和为：()()()1234562011201220132014201520162017201820192020+a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++⋯+++++++++()4123+000a a a a =++⋯++++ ()()()1+1+2+13=---=-．故答案为：3-.【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上支与焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点．若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为___．【答案】y = 【解析】 【分析】先将双曲线的方程和抛物线的方程联立得2222212y x a b y px ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消元化简得2222220a x pb x a b -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21222pb x x a+=，再根据抛物线的定义得1212,22p pAF BF x x x x p +=+++=++代入已知条件4AF BF OF +=可得2221b a=，从而可得双曲线的渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程()222210,0y x a b a b-=>>和抛物线的方程22y px =联立得2222212y x a by px ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，消元化简得2222220a x pb x a b -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21222pb x x a+=， 由抛物线的定义得1212,22p pAF BF x x x x p +=+++=++ 又因为4AF BF OF +=，所以1242p x x p ++=⨯，所以2222pb p p a +=，化简得2221b a =，所以222a b=， 所以双曲线渐近线方程为y =，故答案为：y =.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解与抛物线的定义的运用，关键在于联立方程得出关于交点的横坐标的韦达定理，再根据抛物线的定义转化抛物线上的点到焦点的距离，属于中档题。
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷(二十八)理科数学
2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（二十八）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 1.若集合{}|0B x x =≥，且A B A =，则集合A 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R【答案】A 【解析】 ∵A B A ⋂= ∴A B ⊆∵集合{|0}B x x =≥ ∴选项A 满足要求 故选A.2.命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是 A. 不存x ∈R ，3210x x -+≤ B. 存在x ∈R ，3210x x -+≤ C. 存在x ∈R ，3210x x -+> D. 对任意的x ∈R ，3210x x -+>【答案】C 【解析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定． “对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+> 选C.3.已知 1.22a =，0.212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A. c a b <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】B 【解析】由函数2xy =在R 上是增函数可得021a b >>=，再由5552log 2log 4log 51c ==<=，故c b a <<．故选A.4.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b =，2c =，O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅=（ ） A.132B.52C. 52-D. 6【答案】B 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，可得0OD CB ⋅=，这样AO BC ⋅AD BC =⋅，然后都用,AC AB 表示后运算即可． 【详解】取BC中点D ，连接,OD AD ，∵O 是ABC ∆外心，∴ODBC ，0OD CB ⋅=，()AO BC AD DO BC AD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅1()()2AD BC AC AB AC AB =⋅=+⋅-2222115()(32)222AC AB =-=-=． 故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取BC 的中点D ，把AO BC ⋅转化为AD BC ⋅，再选取,AC AB 为基底，用基底进行运算．5.若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A. 462- B. 462 C. 792 D. 792-【答案】D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6.已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 212n (+)C. 212n +D.(3)4n n + 【答案】A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵248,,a a a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，∴2(13)(1)(17)d d d +=+⋅+， 解得1d =． ∴(1)(1)22n n n n n S n -+=+=．选A ． 7.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为（ ）A.3B.2C.2D.12【答案】C 【解析】 【分析】a ≤，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】设过P 作圆的切线，切点为,A B ，连接,,OA OB OP .由于PA PB ⊥，根据切线的对称性可知4APO BPO π∠=∠=.在Rt OAP ∆中有2OP OA a =≤，即2b a ≤，所以222b a ≤，即()2222a c a ≤-，化简得222a c ≤212c a≤<，所以椭圆1C 离心率的最小值为22. 故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点()1,3P-，则2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得θ的三角函数，化简2cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭后代入求值即可. 【详解】由()1,3P-在终边上可得：31010sin ,cos 1010θθ==-==，2111cos =1+cos(2)](1sin 2)sin cos 42222ππθθθθθ⎛⎫∴++=-=- ⎪⎝⎭[1310104210105=+⨯=， 故选：D【点睛】本题主要考查了角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 9.函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()21xf x x =+，则()f x 图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除B,C 选项，当0x ≥时，()21xf x x =+可知()0f x ≥，排除D 选项，即可求解.【详解】因为函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数，故函数图象关于原点成中心对称， 排除选项B,C ， 又当0x ≥时，()21xf x x =+， 可知()0f x ≥，故排除选项D, 故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题.10.已知F 是双曲线C ：2213y x -=右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A.13B. 1 2C. 2 3D. 32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3=±y ，所以||3PF =，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得(2,0)F ，结合PF 与x 轴垂直，可得||3PF =，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．11.定义在[0,]π上的函数sin()(0)6y x πωω=->有零点，且值域1[,)2M ⊆-+∞，则ω的取值范围是（ ） A. 14[,]23B. 4[,2]3C. 14[,]63D. 1[,2]6【答案】C 【解析】 【分析】先由题求出666x πππωω-≤-≤-，再根据有零点和值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，可得 066ππωππ≤-≤+，求得的取值范围.【详解】由0x π≤≤，有666x πππωω-≤-≤-，又因为在[]0,π上的函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭有零点， 即06πωπ≤-值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭即66ππωππ-≤+所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.若0a >，0b >，且ln()0a b +=，则11a b+的最小值是___________． 【答案】4 【解析】由ln(a ＋b )＝0，得a ＋b ＝1. 又a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝(a ＋b )11a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋b a a b +≥4. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． ∴1a ＋1b的最小值是4. 14.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列{}n a 的前5项和5S 为______. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列求和公式代入369S S =求得q ，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和． 【详解】显然1q ≠，因为369S S =所以()3691111q qqq--=--，319q +=，所以2q =，所以55123112S -==-，故答案为：31【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题． 15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e =，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16.抛物线C ：()220x py p =>焦点F 与双曲线22221y x -=一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则AF 的长为______.【答案】5 【解析】【分析】先根据双曲线的焦点求出p 的值，再根据导数的几何意义求出切线方程，根据面积求出点A 的坐标，即可求出AF . 【详解】双曲线22221y x -=，2212a b ∴==， 2221c a b ∴=+=，1c ∴=，12p∴=， 解得2p =， 设点A 的坐标为21,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 214y x =， 1'2y x ∴=，∴点A 处的切线的斜率12k m =， ∴切线方程为()21142y m m x m -=-，当0x =时，214y m =-，即210,4N m ⎛⎫-⎪⎝⎭当0y =时，12x m =，即1,02M m ⎛⎫⎪⎝⎭OMN 的面积为4，21114242m m ∴⨯⨯=， 解得4m =±，()4,4A =或()4,4-， 2||4()52AF ∴=--=故答案为：5【点睛】本题考查了双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质和导数的几何意义，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值． 【答案】（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a =【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.18.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=9，S6=60．∴，解得．∴a n=5+（n﹣1）×2=2n+3．（Ⅱ）∵b n+1﹣b n=a n=2n+3，b1=3，当n≥2时，b n=（b n﹣b n﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1=[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b1=3适合上式，所以．∴．∴==点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为1(1)nan n=+，求前n项和：111(1)1nan n n n==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)nan n=-+，求前n项和：1111()(21)(21)22121nan n n n==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1nan n=++n项和:.n a ==19.我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z ω=++的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4ω≥，则长势为一级；若23ω≤≤，则长势为二级；若01ω≤≤，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X m n =-，求X 的分布列. 【答案】（1）25；（2）分布列见解析 【解析】 分析】()1由表可知：空气湿度指标为0的有A 1，空气湿度指标为1的有A 2，A 3，A 5，A 8，A 9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率；()2由题意得长势等级是一级()4ω≥有A 2，A 3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级(4)ω<的有A 1，A 5，A 8，A10，从而随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和()E X ． 【详解】（1）由表可以知道:空气湿度指标为0的有1A ，空气湿度指标为1的有2A ，3A ，5A ，8A ，9A ，10A ，空气湿度指标为2的有4A ，6A ，7A ， 在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数21045n C ==，这两地的空气温度的指标z 相同包含的基本事件个数226318m C C =+=，所以这两地的空气温度的指标z 相同的概率182455m p n ===. （2）根据题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表:其中长势等级是一级()4ω≥有2A ，3A ，4A ，6A ，7A ，9A ，共6个， 长势等级不是一级()4ω<的有1A ，5A ，8A ，10A ，共4个， 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，()11321164114C C P X C C ===，()1111312211647224C C C C P X C C +===， ()11111131122111647324C C C C C C P X C C ++===，()111121111164148C C C C P X C C +===， ()111111641524C C P X C C ===， 所以X 的分布列为：【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AC BC CC ===，11A B B C ⊥.（Ⅰ）证明：111AC CC ⊥；（Ⅱ）若123A B =，在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1E AB C --的大小为30，若存在，求CE 的长，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）根据线面垂直的性质证明A 1C 1⊥平面CBB 1C 1 从而得到线线垂直，即可证明：A 1C 1⊥CC 1、（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 解析：（Ⅰ）证明：连接1BC 11BCC B ∵为平行四边形，且12BC CC ==11BCC B ∴为菱形 11BC B C ⊥又11A B B C ⊥，1B C ∴⊥平面11A C B111B C AC ∴⊥又1111A C C B ⊥ 11A C ∴⊥平面11CBB C 111AC CC ∴⊥（Ⅱ）12A B =112A C =1BC ∴= 1CC BC ∴⊥1AC CB CC ∴、、两两垂直以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0C A B C B ，设()0,0,E a ()()()112,0,,2,2,2,0,-2,2,AE a AB BC =-=-=易知，11BC AB C ⊥平面，()10,2,2BC =-， 则平面1AB C 的一个法向量()0,1,1m =- 设(),,n x y z =是平面1AB E 的一个法向量则100n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 202220x az x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩得,1,122a a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos ,22m n m n m n⋅===⎛，解得：1a =∴在棱1CC 上存在点E ，当1CE =时，得二面角1EAB C --的大小为30.21.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)1P-，且△PF 1F 2的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且CD AB λ=（R λ∈），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.【答案】(1) 22184x y += ；(2)y x =.【解析】【分析】（1）根据12PF F △的面积求得c的值，再利用椭圆过点)1P -及222a b c =+，求得,a b的值，从而求得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，由直线和圆、椭圆都相交，求得22m -<<，再利用弦长公式分别计算AB ，CD ，从而建立λ()f m =的函数关系式，当λ取得最小值时，可求得m 的值，从而得到直线l 的方程.【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C过点)1P-，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<< 由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ===． ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．【点睛】本题考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系、弦长公式的计算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想的灵活运用，求解时要注意坐标法思想的运用，即如何利用坐标将λ与m 建立联系，从而使问题得到解决. 22.设函数()(m )=-xf x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，324.4817e ≈）【答案】(1) 1()=m f x e -极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求. （2）题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立，构造函数设4()xx g x x e +=+，求出导函数，设()(3)x h x e x =-+，判断()h x 的零点所在区间，可得()g x 的单调性，即可表示出的()g x 最小值，分析得到min 4916()185<<g x ，推出结果． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--xf x x e令'()0f x >，解得1x m <-；令'()0f x <，解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增， 当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+x x m x e（0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则 33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--xx e x 则'()1xh x e =-0> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增所以 00min 04g()+=+x x x x e又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x 则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增, 所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2 【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．。
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷(十八)文科数学
2021届全国百所名校新高考原创预测试卷（十八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（5×12=60分）1.集合{}2|2P y y x ==-+，{}|2Q x y x ==-+，则PQ 是（ ）A. ()0,2，()1,1B.()(){}0,2,1,1C. ∅D.{}|2y y ≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,P Q ，进而求交集即可.【详解】∵{}{}2|2|2P y y x y y ==-+=≤，{}|2Q x y x R ==-+=，∴{}|2PQ y y =≤，故选：D【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二次函数的值域及一次函数的定义域，属于基础题.2.若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 45-B.35C.45D.35【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得到4sin 5α和3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()44sin sin sin 55πααα+=-=-∴=；34cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于简单题. 3.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．4.设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 （ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指、对数的单调性直接将,,a b c 的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<， 故选D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.5.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移 12个单位 D. 向右平移12个单位 【答案】C 【解析】 y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．6.命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是（ ）A. 32000,10x R x x ∃∈-+≥ B. 32000,10x R x x ∃∈-+>C. 不存在32000,10x R x x ∈-+≤D. 32,10x R x x ∀∈-+>【答案】B 【解析】 【分析】先将命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的任意与存在互换，再将结论否定即可解.【详解】x R ∀∈的否定为0x R ∃∈，3210x x -+≤的否定为3210x x -+>，∴命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定 是32000,10x R x x ∃∈-+>.故选：B.【点睛】考查全称命题的否定，对全称命题的否定除了要对结论进行否定外，还要对全称量词作相应变化.7.函数()cos xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为（ ）A. 0B.4π C. 1 D.2π 【答案】B 【解析】【详解】()cos sin x x f x e x e x '=-，则(0)1f '=，则倾斜角为4π.故选B. 8.已知函数()5x f x =，若()3f a b +=，则()()f a f b ⋅= （ ） A. 3 B. 4C. 5D. 25【答案】A 【解析】()5x f x =,() 53a b f a b ++==, ()()5553a b a b f a f b +⋅===.故选A.9.设奇函数()f x 在()0+∞，上为单调递减函数，且()20f =，则不等式()()3205f x f x x--≤的解集为 ( )A. [)(]2002-⋃，， B. ][)202⎡-⋃+∞⎣，， C. ][()22-∞-⋃+∞，， D. (](]202-∞-⋃，， 【答案】A【解析】 【分析】本题首先可以根据函数()f x 是奇函数将()()325f x f x x--转化为()f x x-，再根据“函数()f x 在()0+∞，上为单调递减函数且()20f =”判断出函数()f x 的函数值的正负，最后即可得出结果．【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()()()()()323250555f x f x f x f x f x f x xxxx------===≤，即()0f x x≥，因为奇函数()f x 在()0+∞，上为单调递减函数，且()20f =， 所以奇函数()f x 在()0-∞，上为单调递减函数，且()20f -=， 所以奇函数()f x 在()2-∞-，上是正值，在()20-，上是负值， 在()02，上是正值，()2+∞，上是负值， 所以()f x x在[)(]2002-⋃，，上满足大于等于0，故选A ． 【点睛】本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有()()f x f x -=-，考查推理能力，考查化归思想，是中档题．10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当()201,x f x x ≤≤=，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ） A. 0 B. 0或12-C. 14-或12- D. 0或14-【答案】D 【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数a 的值.详解：因为()()2f x f x +=，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点时直线y x a =+ 点A(1,1)或与()2f x x =相切，即11,0a a =+=或21,140,4x x a a a =+∆=+==-选D. 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11.奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于( )A. 14B. 10C. 7D. 3【答案】B 【解析】 试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，即，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有0个交点，所以，所以．考点：函数的图像【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数．12.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ） A. [32ln 2,2)- B. [32ln 2,2]-C. [1,2)e -D. [1,2]e -【答案】A 【解析】分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，则1ln(1)12n m +=+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<，当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<， 所以32ln 2()2h n -<<，即n m-的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 二、填空题：（4×5=20分）13.()2212f x x x +=-，则()3f =______________. 【答案】-1 【解析】 【分析】利用赋值法即可得到结果. 【详解】∵()2212f x x x +=-，∴()3f =()22111211f ⨯+=-⨯=-，故答案为：1-.【点睛】本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题. 14.曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】 【分析】求导2()f x x'=，可得斜率(1)2k f '==，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】由()2ln y f x x ==，得2()f x x'=，则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 15.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e －22e ，b ＝k 1e ＋2e ，若 a ·b ＝0，则实数k 的值为________． 【答案】54【解析】解：因为12e e 与为两个夹角为23π的单位向量，12=2a e e -，12=k b e e + 所以·0a b =即为221212121252(12)?20254e e ke e ke e k e e k k -⋅+=++-=-=∴=（）（）16.已知函数()2,11,1x x x f x x ⎧->=⎨≤⎩，则不等式()2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______.【答案】( 【解析】 【分析】当当1x >时，利用导数知识可知()2xf x x =-在()1,+∞上单调递增，分类讨论解不等式即可.【详解】当1x >时，()2x f x x =-，()121210ln 2ln 2x f x '=->->，∴()2xf x x =-在()1,+∞上单调递增，由不等式()2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得：1212x x x x⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩ 或121x x ≤⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得：12x <<01x <≤， 故答案为：(2【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（70分）17.在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】通过A 、B 、C 成等差数列，且a 、b 、c 成等比数列，得π3B =和2b ac =，结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC 为等边三角形；【详解】由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+ ①． 因为A ，B ，C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++= ②． 由①②，得π3B =③， 由a ，b ，c 成等比数列，得2b ac = ④．由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．将④代入，可得22a c ac ac +-=，即()20a c -=，因此a c =，从而有A C = ⑤． 由②③⑤，得π3A B C ===，所以ABC ∆为等边三角形． 【点睛】本题考查判断三角形的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.18.在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且．（1）求角A 的大小；（2）若6a =，8+=b c ，求 △ABC 的面积． 【答案】（1）3A π=；（2）733ABCS=. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出1sin 2ABC S bc A ∆=值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.考点：正余弦定理的综合应用及面积公式. 19.已知22()6xf x x =+． （1）若()f x k>解集为{}|32x x x --或，求k 的值；（2）若对任意的0x >，()f x t ≤恒成立，求实数t 的范围．【答案】（1）－25（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝226x x +＝26x x +当且仅当x 时取等号．由已知f (x )≤t对任意x >0恒成立，故t ≥6，即t 的取值范围是,6⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 20.函数()()log 3(0,1)a f x ax a a =->≠（1）当2a = 时，求函数()f x 在[)0,1x ∈ 上的值域；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在[]1,2递减，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2(0,log 3] （2）不存在 【解析】试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得0a >,根据函数最值可得()()1log 31a f a =-=,解得32a =,根据函数定义域知2x =无意义 ,所以a 不存在.试题解析：解：（1）由题意：()()2log 32f x x =-，令32t x =-，所以(]1,3t ∈，所以函数()f x 的值域为(]20,log 3； （2）令3u ax =-，则3u ax =-在[]1,2上恒正，0,1a a >≠，3u ax ∴=-在[]1,2上单调递减，30ax ∴->，即()30,11,2a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭又函数()f x 在[]1,2递减，3u ax =-在[]1,2上单调递减，1a ∴>，即31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 在[]1,2的最大值为1，()11f ∴=，即()()1log 31a f a =-=， 32a ∴= 32a =与31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭矛盾，a ∴不存在. 21.已知函数()()ln x af x a R x+=∈. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数()f x 的单调区间和极值； （3）当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤.【答案】（1）0；（2）()f x 的单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞，极大值为()1f e e=；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）求导得到()21ln 'x af x x--=，代入计算()'111f a =-=得到答案. （2）求导得到()'f x ，()f x 的变化情况表，得到单调区间和极值.（3）证明等价于ln 1x x +≤，设()ln 1h x x x =--，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，所以()21ln 'x af x x --=. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y --=平行， 所以()'111f a =-=，即0a =.（2）令()'0f x =，得x e =，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：由表可知：()f x 的单调递增区间是()0,e ，单调递减区间是(),e +∞， 所以()f x 在x e =处取得极大值，()f x 的极大值为()1f e e=. （3）当1a =时，()ln 1x f x x+=.由于[)1,x ∈+∞，要证()ln 11x f x x +=≤， 只需证明ln 1x x +≤，令()ln 1h x x x =--，则()11'1x h x x x-=-=.因为1x ≥，所以()'0h x ≥，故()h x 在[)1,+∞上单调递增， 当1x ≥时，()()10h x h ≥=，即ln 1x x +≤成立． 故当1x ≥时，有ln 11x x+≤，即()1f x ≤. 【点睛】本题考查了函数的切线，单调区间，极值，证明恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人数为x 名()*x N∈.（1）设完成A 、B 型零件加工所需的时间分别为()f x 、()g x 小时，写出()f x 与()g x 的解析式；（2）当x 取何值时，完成全部生产任务的时间最短？【答案】（1）()90f x x =（*x ∈N ，且149x ≤≤）；()5050g x x=-（*x ∈N ，且149x ≤≤）；（2）为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.【解析】 【分析】（1）分别计算得到()90f x x =和()5050g x x=-，再计算定义域得到答案. （2）根据()f x 和()g x 的大小关系得到()()()**90,,13250,,334950x N x xh x x N x x⎧∈≤≤⎪⎪=⎨⎪∈≤≤⎪-⎩，分别计算函数的最小值得到答案.【详解】（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个， 则完成A 型零件加工所需时间()450905f x x x==（*x ∈N ，且149x ≤≤）. 生产150件产品，需加工B 型零件150个， 则完成B 型零件加工所需时间()()1505035050g x x x==--（*x ∈N ，且149x ≤≤）.（2）设完成全部生产任务所需时间为()h x 小时，则()h x 为()f x 与()g x 的较大者. 令()()f x g x ≥，即905050x x ≥-，解得11327x ≤≤. 所以，当132x ≤≤时，()()f x g x >；当3349x ≤≤时，()()f x g x <.故()()()**90,,13250,,334950x N x xh x x N x x⎧∈≤≤⎪⎪=⎨⎪∈≤≤⎪-⎩.当132x ≤≤时，()290'0h x x=-<，故()h x 在[]1,32上单调递减， 则()h x 在[]1,32上的最小值为()9045323216h ==（小时）； 当3349x ≤≤时，()()250'050h x x =>-，故()h x 在[]33,49上单调递增，则()h x 在[]33,49上的最小值为()505033503317h ==-（小时）；∵()()3332h h >，∴()h x 在[]1,49上的最小值为()32h . ∴32x =.为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.【点睛】本题考查了函数的应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
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2021届全国百强中学新高考原创预测试卷（十八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.则下列选项错误的是（ ）A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基础题.4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ） A. 4B.C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号， 此时，min 219a b ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5.要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤ B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q < B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q << C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项,,A B C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项,,A B C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()1110n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象，向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A.12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,23OJ =所以())0,2，，A J C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA=()3,1OC =,OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)OA mOC nOJ mn m ⎛⎫⎫=+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭所以02m =⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B .【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10.区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A ，B ，C ，D 四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12D. 16【答案】D 【解析】 【分析】先求出A ，B ，C ，D 四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数. 【详解】如图，A ，B ，C ，D 四点最可确定AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6条边. 由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C -=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C 点和D 点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误.故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A. 13B. 24C. 23D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△，可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△ 故选：A 【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题 13.62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答) 【答案】60【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)r r r r T C x-+=-，再令622r -=即得解. 【详解】由题得()6162166(2)(2)r r r r r r r r T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=p 的值为_________.【答案】2【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值. 【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以12FF p ===2p =. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数()()21x f x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】【分析】把()0f x <转化为()12x x k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围.【详解】解：()0f x <等价于()210x kx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解.因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意；当0k >时，画出()(),g xh x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e k e ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.【答案】（1）12BC =（2）sin ACE ∠=【解析】【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C =即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质，可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC =（2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅ 所以9CE =.由sin sin CE AE CAE ACE=∠∠ 得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，四棱锥D ABCM -的底面为等腰梯形，//MC AB ，1AM MC CB ===，2AB DB ==，侧面DAM △为正三角形，（1）求证：BM ⊥平面DAM ；（2）在线段BD 上存在一点E ，满足BE BDλ=，求λ值使得平面EMC 与平面ABCM 和平面DMC 所成二面角相等.【答案】（1）证明见解析；（2）254λ=.【解析】【分析】（1）延长AM ，BC 交于一点记为点P ，先得BM AM ⊥，再由勾股定理得BM DM ⊥，根据线面垂直判定定理即可得结果；（2）取CM 中点为O ，MC 为y 轴建立空间直角坐标系，取平面ABCM 的法向量为()0,0,1m =，分别求出面CME 法向量为u 和DMC 法向量为n ，根据cos ,cos ,u m u n =即可得结果.【详解】（1）由题等腰梯形中//MC AB 且12MC AB =，延长AM ，BC 交于一点记为点P ， 则三角形ABP 为正三角形，M 为AP 中点，所以BM AM ⊥，且3BM =，又由题1DM =，2DB =，有勾股定理知道BM DM ⊥，由于AM DM M =，所以BM ⊥平面DAM .（2）取CM 中点为O ，MC 为y 轴建立空间直角坐标系如图，则10,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3334D -⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭， 则平面ABCM 为xOy 平面，取法向量为()0,0,1m =由题可设373,4BE BD λλ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭()01λ<< ∴3373,14OE λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0MC =, 设平面CME 法向量为(),,u x y z =，00u OE u MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即03373102442y x y z λλ=⎧⎪⎛⎫⎨⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，不妨取()2,0,2u λλ=- 同理可求平面DMC 法向量为()2,0,1n =-.由题可知cos ,cos ,u m u n =，即2425u u λλλ-+-=⨯，所以得3252254λλλ+=-⇒=±-，又01λ<<，所以254λ=-.【点睛】本题主要考查了通过线线垂直得到线面垂直，考查了空间向量在求面面角中的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞【解析】【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞.【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=，设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B故44()0.20.8,0,1,2,3,4k k k P X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===，4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元，则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元，则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元)则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =. （1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】 （1）易知c =设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44==因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x eh x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 区间[]12,x x 上单调递减.所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D，求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案； （2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛-⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23.已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集为1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。