第二节-可分离变量的微分方程

得 ln M t ln C , 即 M C e t
M
利用初始条件, 得 C M0
M0
故所求铀的变化规律为 M M0 e t . o
t
例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 )速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系.
解 根据牛顿第二定律 , 得 初始条件为 v t0 0,
第二节 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、典型例题
一、可分离变量的微分方程
形如 y f ( x) g( y) 的方程，称为可分离变量
的微分方程.
分离变量，得：g( y)d y f ( x)dx, ①
设 y= (x) 是方程①的解, 则有恒等式：
g( ( x))( x)dx f ( x)dx,
m dv mg kv, dt
对方程分离变量 , 然后积分 :
得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件,得C 1 ln ( mg ),
t 足够大时
代入上式后化简,
k 得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
例7 设 x x2 ydx ln y , 求 y( x). 0
解 方程两边同时对 x 求导 ,得 x2 y 1 dy , y dx
二、1、 2 cos y cos x ； 2、e x 1 2 2 cos y .
三、v 269.3厘米/秒.
四、取 0 为原点,河岸朝顺水方向为 x 轴 , y 轴 指向对 岸,则所求航线为 x k (h y2 1 y3 ). a2 3
例 9 有高为 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部 小孔流出 , 小孔横截面积为 1 cm2 (如图). 开始时 容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离) 随时间 t 的变化规律 .
两边积分, 得 g( ( x))( x)dx f ( x)dx,
即：
f (x)dx,
设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,
则有
②
当 G(y) 与F(x)可微且 G'(y) =g(y)0时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y=(x) 是①的解.
同样,当F'(x) = f (x) 0时,
3、( y 1)2 dy x3 0. dx
二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、cos x sin
ydy
cos
y sin
xdx
, y x0
；
4
2、cos
ydx
(1
ex
)sin
ydy
0,
y x0
.
4
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t 10 秒时,速度等于50厘米 / 秒 ,外力为4克 厘米 / 秒2 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?
,
3、求出通解 G( y) F ( x) C .
隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解
二、典型例题
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量 , 得
dy 2xdx, y
两端积分 , 得
dy y
2
xdx,
解得 ln y x2 C1
即 y Ce x2 (C 为任意常数)
所求特解为 1 sin x 1 . y
例 6 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M (t )随时间 t 变化的规律.
解 根据题意,有
dM M ( 0)
dt M t0 M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
( y 1)3 3 x4 C 为所求通解 . 4
例5 求 y y2 cos x 满足初始条件 y(0) 1的特解.
解 分离变量,得
dy y2
cos
xdx
,
两端积分,得
dy y2
cos
x dx
,
解得 1 sin x C 即 1 sin x C
y
y
代入 y x0 1 , 得 C 1 ,
由②确定的隐函数 x=(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
一、可分离变量的微分方程
形如 y f ( x) g( y) 的方程，称为可分离变量
的微分方程.
求解步骤： (变量分离法)
1、分离变量,得 dy f ( x)dx , g( y)
2、两边积分,得
dy g( y)
Hale Waihona Puke Baidu
f
( x)dx
若是求特解，还需根据初值条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程, 2) 根据物理规律列方程, 3) 根据微量分析平衡关系列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.
(3) 求通解, 并根据初值条件确定特解.
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
思考与练习
求方程的通解 : 提示:
方程变形为
y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ；
y Ce x2为所求通解.
例2 求解微分方程 ( y 1)2 y x3 0 的通解.
解 分离变量,得 ( y 1)2dy x3dx,
两端积分,得 ( y 1)2dy x3dx,
解得
1( 3
y
1)3
1 4
x4
C1
即 ( y 1)3 3 x4 C (C 为任意常数) 4
分离变量, 然后积分 :
dy
y2
x2dx ,
解得
1 y
1 3
x3
C1
,
即
y
x3
3
C
.
可分离变量的微分方程初值问题:
g( y) dy f ( x) dx
y
x
x0
y0
的解也可直接用变上限积分来确定：
y
x
g( y) dy f ( x) dx
y0
x0
三、小结
分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分——隐式通解.