第三章 文法和语言

x
An ，
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则 |x|=n
符号串集合的闭包与正闭包

闭包：Σ *称为Σ 的闭包，若Σ *表示Σ 上的所有有 穷长的串的集合。
* 2 3 { } ......

正闭包： Σ +称为Σ 的正闭包，若
* { } 2 3 ......
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引例1
<句子>::=<主语><谓语><状语> <主语>::=<名词> <谓语>::=<动词> <状语>::=<介词><名词> <名词>::=Peter | Berry | river <动词>::=swims <介词>::=in 注：<句子>为要定义的目标，称为识别符号或开始符号。
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引例2
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一、文法
规则的非空有穷集合，用G[S]表示，G是文法名， S是识别符号。文法通常表示成四元组的形式： G=(VN,VT,P,S) 其中：VN—非终结符，用来表示语法范畴。 VT —终结符，语言中不可再分的字符串。 S —开始符号或识别符号，一个特殊的非终 结符，表示所定义的最大的语法范畴。 P —规则

例如：字母表A={a,b,c} 上的符号串x=abc, 则x 的 前缀：ε, a, ab, abc, 后 缀:ε, c, bc, abc 真前缀: ε, a, ab,
真后缀:ε, c, bc
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对符号串的运算——连接

设x、y是同一字母表上的 两个符号串，则把y的各个 符号写在x的符号之后得到 的符号串，称为x与y的连 接，记作xy。 对于任何字母表上的符号 串x，有 x x x 注意：不同字母表上的符 号串不能进行连接运算。
最左推导： S AB 1B B10B 10S1 10AB1 101BB1 1010B1 101001 最右推导： S AB AS1AAB1 AA01 A1B01 A1001 1B1001 101001
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例：有文法如下,G[E]：E→E+T|T T→T*F|F F→(E)|a 该文法的开始符号是？非终结符号集是？终结符号 集是？如何得到句子a+a*a?
|ε|= 0




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子符号串

设有非空符号串 u=xvy,其中符号串

例如 符号串x=a+b*(c+d),则
V≠ε ，则称v为符 号串u的子符号串。
a, a+b*, 与(c+d)等都是 x的子符号串，且
其长度分别为|a|=1, |a+b*|=4, |(c+d)|=5
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符号串的前缀与后缀

如果z=xy是一个符 号串，则x是z的前 缀，而y是z的后缀。 如果y非空，则x是z 的真前缀；如果x非 空，则y是z的真后 缀。


空集：φ，注意与ε 的区别。
字母是一个符号串集合，每个 符号串的长度为1.
{1，11，111，…} 描述表示法 {x|x全由1组成，且 |x|≥1}
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符号串集合的乘积
符号串集合的乘积定义为： 例: 设A={a,b}, B={c,d,e}，
则
AB {xy | x A , 中的符 y B} x 是符号串集合 A 号串，y是符号串集合B中 的符号串。

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符号串及其长度

符号串：由字母表中的 符号组成的任何有穷序 列称为符号串。常用小 写英文字母u，v等表示 符号串。 符号串的长度：符号串 中符号的个数, 符号串x 的长度用|x|表示。 空串ε：长度为0的符号 串。
例如：

a, b, c, ab, ac, aaa, abc都是字 母表{a, b, c}上的符号串。 （还有哪些字符串？） abc的长度是|abc|=3, 100010 的长度|100010|=6
例如：

字母表{a,b,c}上有符号 串x=ab与y=cba，则
z=xy=abcba
考虑：


|x|= |y|= |z|=
2 3 5
10

|xy|= |x|+|y|
对符号串的运算——方幂

设x是符号串，把x自 身连接n次得到的符号 串，即z=xx…x(n个x), 称为x的n次方幂，记 作xn。 注意：x0= ，|x0|=0
如果U + U…，则称该文法左递归于U；
如果U + …U，则称该文法右递归于U。 以上形式的规则（产生式）也称为递归规则。
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例1：C-语言中：
program→declaration_list declaration_list→declaration_list declaration | declaration
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例：试构造产生标识符的文法。
S→L|LP P →T|PT
T →L|D
L →a|b|c|d…|z
D →0|1|…|9
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例：写一文法，使其语言是奇数集合，但不 允许出现以0开头的奇数。
N →A|MA M →B|MD
A →1|3|5|7|9
B →1|2|3|4|5|6|7|8|9
D →0|B
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设α → β是文法G的产生式，若有v,w满足：
v=x α y, w= x β y, 其中x∈V*, y∈V* 则称v直接推导到w, 记作：v w 或w直接归约到v 例：G： S→0S1， S→01 S 0S1 00S11 000S111 00001111
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直接推导序列： + 若存在v =u0 u1 ... un=w, (n>0) 则称v + w，v推导出w，或w归约到v（至少有1步推 导），这个直接推导序列的长度为n。
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规范推导和规范归约 最左推导和最右推导：对于一个推导序列中的每一步
பைடு நூலகம்
直接推导，都是对最左（最右）非终结符进行替换。 最右推导也称规范推导，它的逆过程称为最左规约， 也称规范规约。 . 若用 表示规约，设A→a是文法G中的一个规则， 则对于 . xAy xay 有 xay xAy
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例:文法G[S]: S→AB A→A0|1B B→0|S1 请给出句子101001的最左和最右推导。
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问题1：什么是规则（产生式）？

形式为U::=u （或U→u） 其中U∈V+且至少包含一个非终结符；

u∈V* ；且 V=VN∪VT。 U称为规则（产生式）左部，u称为（产生式）规 则右部。 非终结符号：需要进一步定义的符号，不会出现在 程序中。
终结符号：不需要再定义，会出现在程序中。
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注意： 1、VN∩VT=Ø，即文法中的任意一个符 号要么是非终结符，要么是终结符。 2、只用一个产生式并不足以定义一个语 法范畴，一般都需要几个产生式，特 别是需要含有递归的产生式。 3、开始符号至少必须在某个产生式的左 部出现一次。
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字母表的闭包与正闭包
对于字母表A，它的 闭包：
A* A0 A1 A 2 A 3 ......

正闭包：
A A1 A 2 A 3 ......

显然 A* A0 A A+=AA*=A*A
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举例
例1：回忆C语言所采用的输入字母表。 例2：设字母表A={a}，其上有符号串t=aa。写出 下列符号串及其长度： (1)t0 (2)ttt (3)t3 (4)t5 例3：若有字母表A={0，1}，则A+=?它可以用于 描述什么语言？ 例4：令字母表L={A,B,C,…,Z,a,b,c,…,z}， D=(0,1,2,…9),求下列运算的结果？ (1)L∪D (2)LD4 (3)L(L∪D)15 (4)D+

广义推导： *
若有v + w 或 v=w， 则记为v * w，v广义推导出w，w广义规约到v（可以 包含0步推导）
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例：设有文法G[N1]: N1→N N →ND|D D→0|1|2 则句子12可由三种不同的推导序列推导出来： (1) N1 N ND N2 D2 12 (2) N1 N ND DD 1D 12 (3) N1 N ND DD D2 12
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二、形式语言

Chomsky于1956年提出了一种用来描述语言的数学系统。 人们把用一组数学符号和规则来描述语言的方式称为形式 描述，而把所用的数学符号和规则称为形式语言。 形式语言，只是从语法上研究语言。它是抽象的数学系统， 用于模拟程序设计语言的语法，或者是并不很成功地模拟 自然语言如英语的语法。 形式语言理论是编译理论的重要基础，它主要研究组成符 号语言的符号串的集合及它们的表示法、结构与特性。
问题2：如何由文法产生语言？

基本思想是：从识别符号开始，把当前产生的符号 串中的非终结符号替换为相应规则右部的符号串， 直到最终全由终结符号组成。这种替换过程称为推 导或产生句子的过程，每一步成为直接推导或直接 产生。 注：语法上的正确性不能保证语义上的正确性。

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二、直接推导和规范推导

直接推导“”
第二章 文法和语言
语言概述 基本概念:符号串与符号串集合 文法和语言的形式定义 语法树与文法的二义性 形式语言的分类
1
第一节 语言概述
一、语言
某一字母表上符号串（句子）的集合。 语言研究的三个方面： 语法—构成语言句子的各个记号之间的组合规 律。 语义—按照各种表示方法所描述的各个记号的 特定的含义。 语用—在各个记号所出现的行为中，它们的来 源、使用和影响。