第三章 三角函数解三角形

课后课时作业

[A组·基础达标练]

1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B 的()

A．北偏东10°B．北偏西10°

C．南偏东80°D．南偏西80°

答案 D

解析由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

2.[2016·广州调研]如图所示，长为

3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()

A.2315

B.516

C.23116

D.115

答案 A

解析 由题意，可得在△ABC 中，AB ＝3.5 m ，AC ＝1.4 m ，BC ＝

2.8 m ，且∠α＋∠ACB ＝π.

由余弦定理，

可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2×AC ×BC ×cos ∠ACB ，

即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，

解得cos α＝516，

所以sin α＝23116，

所以tan α＝sin αcos α＝2315.故选A.

3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )

A ．102海里

B ．103海里

C ．203海里

D ．202海里

答案 A

解析

如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB

＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝AB sin45°，解得BC ＝102(海里)．

4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A ．50 m

B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m

答案 A

解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos60°，即h 2＋50h －5000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

5．[2015·泰安期中]

如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )

A ．50 3 m

B ．50 2 m

C ．25 2 m D.2522 m

答案 B

解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB

＝AC sin B ，又∵B ＝30°， ∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B

＝50×2212

＝502(m)． 6. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )

A ．8 km/h

B ．6 2 km/h

C ．234 km/h

D ．10 km/h 答案 B

解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v

km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭

⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B. 7．[2016·湖南师大附中月考]如图所示， 测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝( )

A ．5 6

B ．15 3

C ．5 2

D ．15 6

答案 D

解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.

由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.

在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.

8．[2014·四川高考]如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )

A．240(3－1) m B．180(2－1) m C．120(3－1) m D．30(3＋1) m 答案 C

解析∵tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°

1＋tan60°tan45°

＝2－3，∴BC

＝60tan60°－60tan15°＝120(3－1)(m)，故选C.

9．[2016·大连联考]

如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________．

答案10 6

解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝

105°，∠DBC＝30°，

BC

sin45°

＝CD

sin30°

，BC＝CD sin45°

sin30°

＝10 2.

在Rt△ABC中tan60°＝AB

BC

，AB＝BC tan60°＝10 6.

10. 如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海