二次函数压轴题——角的存在性

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压轴题05二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似)-2023年中考

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题05二次函数与三角形存在性问题（与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形）题型一：二次函数与等腰三角形存在性问题例1．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．题型二：二次函数与直角三角形存在性问题例2．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．题型三：二次函数与等腰直角三角形存在性问题例3．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四：二次函数与相似三角形存在性问题例4．（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求二次函数的函数表达式；（2）设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；（3）若点M在线段AB上（不与A、B重合），点N在线段BC上（不与B、C重合），是否存在△CMN 与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．一．解答题（共20小题）1．（2023•绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=−3 2．（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使△P AC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•泗阳县校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及顶点坐标；（2）连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH ＝2HQ时，求点P的坐标；（3）是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．4．（2023•崂山区开学）如图1，已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4）．与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（4）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．5．（2023•泰山区校级一模）已知二次函数y＝ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）求出二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6．（2023•灞桥区校级二模）如图，二次函数y=−12x2−x+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）若点P在抛物线对称轴上，且在x轴上方，当△PBC为等腰三角形时，求出所有符合条件的点P 的坐标．7．（2023春•仓山区校级期中）如图抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点（1，3）的直线l：y＝kx+b与二次函数的图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．9．（2023•广水市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B'，E'，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使△PBC为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023•江油市模拟）抛物线y=ax2+114x−6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．11．如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．（1）求二次函数的表达式；（2）点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标；（3）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．12．（2023•儋州一模）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A（0，3），B（﹣1，0），将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．13．（2023•保亭县一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）求△MCB的面积；（3）在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022秋•蔡甸区期末）如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．15．（2023•二道区校级一模）已知一次函数y＝x+4的图象与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象相交于A（﹣1，b）和B，点P是线段AB上的动点（不与A、B重合），过点P作PC⊥x轴，与二次函数y＝ax（x﹣2）的图象交于点C．（1）求a、b的值；（2）如图1，M为∠APC内一点，且PM＝1，E，F分别为边P A和PC上两个动点，求△MEF周长的最小值；（3）若△P AC是直角三角形，求点C的坐标．16．（2023•靖江市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，−32），顶点为C（﹣1，﹣2）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式；（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．17．（2023•泰山区一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y 轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．18．（2023•东营区一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；（3）如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．19．（2023•铁西区模拟）如图①，已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m（m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A 在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝2OE．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；（3）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•东胜区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）三点，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求此时P点坐标及△PBC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数背景下的相似三角形存在性问题

二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。

这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。

【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---二次函数中三角形存在性问题压轴题练习（含答案解析）一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x 轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D （t ，t 2+t ﹣4），连接OD ．令y ＝0，则x 2+x ﹣4＝0，解得x ＝﹣4或2，∴A （﹣4，0），C （2，0），∵B （0，﹣4），∴OA ＝OB ＝4，∵S △ABD ＝S △AOD +S △OBD ﹣S △AOB ＝×4×（﹣﹣t +4）+×4×（﹣t ）﹣×4×4＝﹣t 2﹣4t ＝﹣（t +2）2+4，∵﹣1＜0，∴t ＝﹣2时，△ABD 的面积最大，最大值为4，此时D （﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥抛物线的对称轴于点M ．则N （﹣1.0）．M （﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC 于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE ＝S△OPG+S△EPG＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC 与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC ＝S△ABC时，求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．令y＝0，得．解得x1＝﹣2，x2＝8．∴点B的坐标为（8，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b．把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．∵抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标为．∴S四边形ABDC ＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC 于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）41。

中考二次函数与角度有关的问题知识解读

二次函数与角度有关的问题知识解读【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。

为此，下面将与角度有关的常见压轴题题型及解法做统一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。

如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。

当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。

设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。

类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。

这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+−=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。

在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的角度问题存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线与x 轴相交于原点和点()4,0A ，在第一象限内与直线y x =交于点B ()5,5，抛物线的顶点为C 点．(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)点()3,M m 在抛物线上，连接MO MB ，，求MOB △的面积；(3)抛物线上是否存在点D ，使得DOB OBC ∠=∠？若存在，求出所有点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究如图，已知抛物线238y x bx c =-++与x 轴相交于()4,0A -，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点()0,3C ，连接AC ．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)若过点B 的直线与抛物线相交于另一点D ，当ABD BAC ∠=∠时，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD ，此时在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使23BDP ABD S S =△△，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点()0,2C -，2OC OA =和1tan 2ABC ∠=．直线l ：()0y kx n k =+>与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 的左边）．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)当直线l BC ∥时，若MON △的面积被y 轴分成的两个三角形的面积比为1:4时，求n 的值； (3)当0n =时，试在抛物线上找一定点P ，使得90MPN ∠=︒，求P 点坐标以及点P 到MN 的最大距离． 4．如图①，抛物线2y ax bx =+的顶点为()2,4D -．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OD ，P 为x 轴上的动点，当AOD ∠与PDO ∠互余时，求点P 的坐标；(3)如图①，点M ，N 都在抛物线上，点M 位于第四象限，点N 位于第二象限，连接MN 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ，连接OM ON 、，求证：若NOF MOE ∠=∠，则直线MN 经过一定点．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=23y x x --交x 轴于A B 、两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ．(1)直接写出、、A B C 三点的坐标；(2)若抛物线上有一点,45D ACD ∠=︒，求点D 的坐标．(3)如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，过点P 的直线(0)y mx n n =+<与抛物线交于另一点Q ，连接AP AQ 、，分别交y 轴于M N 、两点，若2OM ON ⋅=，探究,m n 之间的数量关系，并说明理由．6．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．①抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ①连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，已知(2,0),(3,0)A B -，抛物线24y ax bx =++经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得290BCO PCN ∠+∠=︒？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．如图1，已知抛物线233y ax bx =++，与x 轴交于点()2,0A -，点()6,0B 与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为M ，其对称轴与x 轴交于Q 点．(1)抛物线解析式为______，顶点M 的坐标为______； (2)判断MAB 的形状，并说明理曲；(3)如图2，点P 是线段MQ 上的一个动点（点P 与点M 、点Q 不重合），连结PA 和PB ，过点B 作BD AP ⊥，射线BD 交射线AP 于点D ，交抛物线于点E ；过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，EF 交射线BP 于点G ． ①当ABD ①EBF 时，请求出此时点P 的坐标； ①当135APB ∠=︒时，请你直接写出BFEG的值． 9．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交x 轴于点A （﹣1，0），B （3，0），交y 轴于点C （0，﹣3），直线l 经过点B ．(1)求二次函数的表达式和顶点D 的坐标； (2)如图2，当直线l 过点D 时，求①BCD 的面积；(3)如图3，直线l 与抛物线有另一个交点E ，且点E 使得①BAC ﹣①CBE ＞45°，求点E 的横坐标m 的取值范围；(4)如图4，动点F 在直线l 上，作①CFG ＝45°，FG 与线段AB 交于点G ，连接CG ，当①ABC 与①CFG 相似，且S △CFG 最小时，在直线l 上是否存在一点H ，使得①FHG ＝45°存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,0),(2,0),(0,2)A B C -三点，点D 在该抛物线的对称轴l 上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA DC =，求ADC ∠的度数及点D 的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P 在该抛物线上，当PBC DAB ∠=∠时，请直接给出点P 的坐标． 11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B 且与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 是x 轴的正半轴上一点1tan 3APC ∠=，求点P 的坐标；(3)当点P 是抛物线上第一象限上的点1tan 3APC ∠=，直接写出点P 的坐标为______．12．如图，平面直角坐标系中，抛物线24y x nx =-++过点()4,0A -，与y 轴交于点N ，与x 轴正半轴交于点B ．直线l 过定点A ．(1)求抛物线解析式；(2)连接AN ，BN ，直线l 交抛物线于另一点M ，当①MAN ＝①BNO 时，求点M 的坐标；(3)过点(),1T t -的任意直线EF （不与y 轴平行）与抛物线交于点E 、F ，直线BE 、BF 分别交y 轴于点P 、Q ，是否存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值？若存在，求t 的值，若不存在，请说明理由．13．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；①若D 是抛物线上异于点P 一点，满足①DPO ＝①POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE OFOC+是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．14．如图1，直线y =ax ²+4ax +c 与x 轴交于点A （-6，0）和点B ，与y 轴交于点C ，且OC =3OB(1)直接写出抛物线的解析式及直线AC 的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，F 为抛物线在第四象限的一点，直线AF 解析式为123y x =--，求①CAF -①CAD 的度数．(3)如图2，若点P 是抛物线上的一个动点，作PQ ①y 轴垂足为点Q ，直线PQ 交直线AC 于E ，再过点E 作x 轴的垂线垂足为R ，线段QR 最短时，点P 的坐标及QR 的最短长度．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l ：2y kx =+过点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当直线l 经过点B 时，取线段BC 的中点M ，作直线l 的平行线，恰好与抛物线有一个交点P 时，判断以点P ，O ，M ，B 为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；（3）在直线l 上是否存在唯一一点Q ，使得90AQB ∠=︒？若存在，请求出此时l 的解析式；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)24y x x =- ()2,4 (2)15(3)点D 的坐标为(7,21)或1313,39⎛⎫⎪⎝⎭；2．(1)233384y x x =--+，对称轴为直线=1x -(2)3342y x =-+或3342y x =-；(3)322222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，或12362262⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭， 3．(1)213222y x x =-- (2)149n =(3)()3,2P - 134．(1)24y x x =-(2)()20，或()20-，5．(1)()1,0A -，()3,0B 和()0,3C - (2)()4,5D (3)23n m =-6．(1)-1；6 (2)①存在，5172+或5332+或5332-；①1317,66⎛⎫- ⎪⎝⎭；237,66⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)222433y x x =-++(2)22655PN m m =-+，当32m =时，有最大值910(3)存在 74m =8．(1)233334y x x =-++和()2,43； (2)①MAB 为等边三角形 (3)①432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；①12BF EG =．9．(1)二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，顶点D 的坐标为（1，﹣4） (2)2(3)﹣23＜m ＜2(4)存在，点H 的坐标为：（65，185）或（95，185）10．(1)22y x x =-++(2)90ADC ∠=︒，点D 的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭(3)点P 的坐标为()1,2或15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)2=23y x x -- (2)点P 的坐标为()9,0 (3)点P 的坐标为()4,512．(1)234y x x =--+ (2)250,39⎛⎫- ⎪⎝⎭或266,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在，4t =-13．(1)①21944y x =-+；①(-1，2)或(133，229-)(2)OE OFOC+是定值，定值为2．14．(1)抛物线的解析式为y =-12x ²-2x +6，直线BC 的解析式为y =x +6 (2)45°(3)点P 的坐标为（-2+10，3）或（-2-10，3），QR 的最短长度为3215．（1）215222y x x =-+；（2）菱形；（3）存在，122y x =-+或53224y x -+=+或53224y x --=+．。

【中考数学压轴题专题突破12】二次函数中的直角三角形存在性问题

【中考压轴题专题突破】二次函数中的直角三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A 点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1），可得出点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），用待定系数法求出二次函数解析即可求解；（2）求出CQ和AE的长，可得出CQ＝AE，由两直线的解析式k相等可得出CQ 与AE平行；（3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式，并解得x＝﹣1或2．故点D（2，3），过点P作y轴的平行线交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1），根据面积关系可求出m的值；（4）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE ＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD 于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴＝＝＝．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2，∴点P（2，3）或（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，同理可得n＝2，解得（舍去），．故点P 为．综上可得，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），三角形面积，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，正确进行分类是解题的关键．2．【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x ＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【解答】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）如图，设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标；（2）利用待定系数法确定直线BC解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得EF长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标迎刃而解了；（3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x 轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴．解得．∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M （1，4）；（2）如图，作EF∥y轴交BC于点F∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3．设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）．∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∴S ＝EF•OB ＝（﹣m2+3m）×3＝﹣（m ﹣）2+．当m ＝时，S最大＝．此时，点E 的坐标是（，）；（3）设P（1，n），A（﹣1，0）、C（0，3），∴AC2＝10，AP2＝4+n2，CP2＝1+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10．①当AC⊥AP时，AC2+AP2＝CP2，即10+4+n2＝n2﹣6n+10．解得n ＝﹣．②当AC⊥CP时，AC2+CP2＝AP2，即10+n2﹣6n+10＝4+n2．解得n ＝．③当AP⊥CP时，AP2+CP2＝AC2，即4+n2+n2﹣6n+10＝10．解得n＝1或2．综上所述，存在，符合条件的点P的坐标是（1，﹣）或（1，）或（1，1）或（1，2），【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C坐标代入y＝a（x+3）（x﹣1）即可；（2）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM＝BN＝t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF＝90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．【解答】（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x ﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a ＝，解得，a ＝﹣，∴此抛物线的解析式为y ＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x +；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC ＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC ＝＝2，BC ＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC 边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t ＝，CH ＝，∴OH＝OC﹣CH ＝﹣＝，∴y P ＝，设直线AC的解析式为y＝kx +，将点A（﹣3，0）代入y＝kx +，得，k ＝，∴直线AC的解析式为y ＝x +，将y P ＝代入y ＝x +，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx +，将点B（1，0）代入y＝kx +，得，k ＝﹣，∴直线BC的解析式为y ＝﹣x +，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB ＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y ＝﹣x +中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y ＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y ＝﹣x﹣3，在y ＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y ＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．。

二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。

若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为432++-=x x y .(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()16322+-=n DP ，∴()16322+-=n n ，解得：n=625，∴点D 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7100724+-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭⎫⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭⎫⎝⎛49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FGAGEB DE =，即262212482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

二次函数综合--角度存在性问题

二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角②利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。

二次函数压轴题之全等三角形的存在性(讲义及答案)

二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义）课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B不重合）．（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2.如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．3.如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过原点O ，与抛物线的一个交点为D (6，-8)，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ．若点F 在抛物线上，使△FOE ≌△FCE ，则点F 的坐标为____________．4.如图，抛物线21(2)62y x =--+与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，顶点为M ．设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，使得以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等，则直线QE 的解析式为_______________．5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A(1，0)且与y轴平行，直线l2过点B(0，2)且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数ky（k＞0）的图象x过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值．（2）连接EF．是否存在点E及y轴上的点M，使得以M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】课前预习1.（1）OB（2）(2，-1)，(1，1)，(1，-1)（3）略精讲精练1.（1）y =-x 2+2x +3；（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4．2.(1418241)-+-+，，(1418241)----，，126(426)2-+-，，126(426)2--+，3.(3174)+-，或(3174)--， 4.122y x =+或71724y x -+=-或y =65.（1）2；（2）3(2)8，或8(2)3，．。

二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选

九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选y =ax bx C 与X 轴正半轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于点C ,直线y =X -2经过A 、C 两点，且 AB=2. (1) 求抛物线的解析式；(2) 若直线DE 平行于X 轴并从C 点开始以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、D ,同时动点P 从点B 出发，沿BO 方向以每秒2个单位速度运动，(如图2);当点P运动到原点 O 时，直线 DE 与点P 都停止运动，连 DP ,若点P 运动时间为t 秒；设S = ED O P ,当 ED OPt 为何值时，S 有最小值，并求出最小值。

(3) 在(2)的条件下，是否存在 t 的值，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ ABC 相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

∙/ AB=2 ,∙∙∙ B (4, 0)。

y =a X -2 X -4 ,代入点 C ( 0,— 2)得1I O 3•抛物线的解析式为厂一4八2 X"」4X2^2。

由题意：CE=t , PB=2t , OP=4 — 2t 。

【例1 ].已知：如图一，抛物线 ∙可设抛物线的解析式为【答案]由 y=0 得 x=2 ,∙∙∙ A (2,0)。

九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》∙.∙ED 〃BA ,•△CED -COB o ∙O D =CO ,即E 4S o∙ED =2t oED +OP_2t+(4 —2t )_ 4 _ 1^ ED OP 2t 4 —2t -4t 2+8t _ t -1 2+12•••当t=1时，—(t —1 ) +1有最大值1。

•••当t=1时，S=ED OP 的值最小，最小值是 10ED OP(3) 存在。

设 BC 所在直线的解析式为 y=kx+b ,由B (4, 0), C (0,— 2)由题意可得：D 点的纵坐标为t — 2,贝U D 点的横坐标为2to2 2 —• BD= 4 -2t t -2 = 5 2 -t 。

二次函数中角度的存在性问题

二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。

2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。

类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。

2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。

类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。

过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。

然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。

然后一样利用对称性求出点M ’。

21。

一题贯穿二次函数综合(二)——角的存在性问题.doc

一题贯穿二次函数综合（二）——角的存在性问题二次函数中角的存在性问题，大致可分为两大类：（1）角的顶点坐标已知；（2）角的顶点坐标未知.本专题我们就沿着这两种情况展开探究.如图，抛物线y=-x +2x+3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.（6）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得∠PBE=45°.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法一分析：由∠PBE=45°，所以过点P作PM⊥BQ，则△PBM是等腰直角三角形。

依托直角∠PMB构造K形图（关于K形图可参阅K形图在河南中考压轴题中的运用），先设出点M的坐标，进而表示出点P的坐标，再把点P的坐标代入抛物线解析式，解方程即可。

解法二分析：读题可知，点E始终在BQ上运动，所以∠PBE=∠PBQ=45°，见到45°，我们会联想到等腰直角三角形，将点B绕着点Q旋转90°得到点G，则∠GBE=45°，延长BG和抛物线相交，交点即为所求的点P.关于点P的坐标的求法，可先构造K形图（如下图），求出点G的坐标。

由于点B、点G的坐标已知，可求出直线BG的解析式，将直线BG解析式和抛物线的解析式联立方程组即可求得点P的坐标.用同样的方法可求出另一满足要求的点P。

将点B绕点Q 逆时针旋转90°，得到图中的点H，直线BH与抛物线的交点即为所求的点P，本题中点H刚好就是点P。

解法三分析：解法二中是通过将点B绕着点Q旋转90°，构造等腰直角三角形。

当然我们也可以将点B绕点E旋转90°，构造等腰直角三角形.（7）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得tan∠PBE=1/2.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.。

中考数学复习：二次函数角度的存在性问题

中考数学复习：二次函数角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ；（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式．【参考答案】（1）215222y x x =-+；（2）证明略；（3）423y x =-+或2y =．思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)．代入点C (0, 2)，得12a =．所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215222x x -+．（2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OB OC ＝42＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ．图2 图3（3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况：①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴．此时直线CP 的解析式为y ＝2．②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ．由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ．设D (x , 0)，根据DC 2＝DB 2，列方程x 2＋22＝(4－x )2．解得32x =．所以D 3(,0)2．由C (0, 2)、D 3(,0)2，得直线CP 的解析式为423y x =-+．图4 图5 图6考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标．第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴52x =对称，所以P (5, 2)．第二种情形，如图6，设P 215(,2)22x x x -+．作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE =．所以2322152(2)22x x x =--+．解得x ＝0，或73x =．所以P 710(,)39-．【例2】已知在直角坐标系中，抛物线283y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；（1）当ABBD =时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标；（3）点G 在对称轴BD 上，且12AGB ABD ∠=∠，求△ABG 的面积．【参考答案】（1）2138y x x =-++；（2）1(10,)2；（3）10或22．思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．2．看着12∠ABD ，结合BA ＝BD ，不由得让人联想起“三线合一”． 3．以∠ABD 为外角，构造等腰三角形BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ABD ＝2∠AGB ．4．根据对称性，∠AGB 的顶点G 存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2－8ax ＋3，可得A (0, 3)，抛物线的对称轴为直线x ＝4．所以B (4, 0)，AB ＝5．当BD ＝AB ＝5时，D (4, 5)．将点D (4, 5)代入y ＝ax 2－8ax ＋3，得18a =-．所以2138y x x =-++．（2）如图2，作PE ⊥BD 于E ．设点P 的坐标为21(,3)8x x x -++．当DP //AB 时，34ED OA EP OB ==．所以34ED EP =．图2解方程2135(3)(4)84x x x --++=-，整理，得x 2－14x ＋40＝0．所以x ＝10，或x ＝4（与点D 重合，舍去）．所以P 1(10,)2．（3）如图3，在DB 的延长线上截取BG ＝BA ＝5，那么∠AGB ＝∠BAG ．又因为∠ABD ＝∠AGB ＋∠BAG ，所以此时∠AGB ＝12∠ABD ．此时S △ABG ＝10．如图4，作AH ⊥BD 于H ，点G 关于直线AH 的对称点为G ′，那么G ′H ＝GH ＝8．所以BG ′＝BH ＋G ′H ＝11．此时S △ABG ′＝22．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以从∠ABD 的平分线开始思考：如图5，作∠ABD 的平分线与y 轴交于点C ．因为∠1＝∠2，∠1＝∠C ，所以∠2＝∠C ．所以AC ＝AB ＝5．过点A 作BC 的平行线交抛物线的对称轴于点G ，那么四边形CAGB 是平行四边形．所以∠1＝∠G ，BG ＝AC ＝5．所以∠AGB ＝12∠ABD ．此时S △ABG ＝10．求点G ′的过程同上．【例3】在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴角于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转︒90得到线段DE 过点E 作直线x l ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．参考答案：（1）2312355y x x =-++；（2）cot EDF ∠= （3）3(4,6)(4,)2E 或．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于点B (5, 0)，设3(5)()5y x x m =---，代入点A (0, 3)，得－3m ＝3．所以m ＝－1．所以23312(5)(1)3555y x x x x =--+=-++．（2）如图2，由△AOD ≌△DHE ，得DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以E (4, 1)．由3(4)(5)(1)35f x x =--+=，得F (4, 3)．由D (1, 0)、F (4, 3)、E (4, 1)，可得∠DFE ＝45°，DF ＝EF ＝2．如图3，作EM ⊥DF 于M ，那么EM ＝FM ．在Rt △DEM 中，EM ＝2，DM ＝DF －FM ＝22，所以DE ＝10．所以cos ∠EDF ＝DM DE ＝2210＝255．图2 图3（3）符合条件的点G 有两个：①如图4，当点G 在DE 上方时，由∠EDG ＝∠EFD ＝45°，∠DEG 是公共角，可得△EDG ∽△EFG ．所以ED 2＝EF ·EG ．所以10＝2EG ．所以EG ＝5．此时G (4, 6)．②如图5，当G ′在DE 下方时，△GDG ′是直角三角形．此时DH 2＝HG ·HG ′．所以9＝6HG ′．所以HG ′＝32．此时G ′(4,32)．图4 图5yHHF EDABOyyGF G'H EDABOGHF EDABO【例4】已知顶点为(2,1)A -的抛物线经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果45APB ︒∠=，求点P 的坐标．xyO参考答案：（1）243y x x =-+；（2）3；（3）(36,0)+ ．满分解答（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －2)2－1，代入点B (0, 3)，得a ＝1．所以这条抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3．（2）由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，得C (1, 0)，D (3, 0)．如图2，由A (2,－1)、B (0, 3)、D (3, 0)，可得∠BDO ＝45°，∠ADO ＝45°，BD ＝32，AD ＝2．所以S △ABD ＝12AD BD ⋅＝12322⨯⨯＝3．（3）如图3，以AB 为斜边构造等腰直角三角形GAB ，以G 为圆心、GB 为半径画圆，与x 轴交于点P （圆与x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB ＝45°．如图4，由△BMG ≌△GNA ，得BM ＝GN ，MG ＝NA ．设G (m , n )，那么m ＝n ＋1，3－n ＝m －2．解得m ＝3，n ＝2．所以G (3, 2)．设P (x, 0)．根据GB 2＝GP 2，列方程32＋12＝(x －3)2＋22．解得(36,0)+，或(36,0)-（这是圆与x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠APB ＝135°）．所以点P 的坐标为(36,0)+．图2 图3 图4【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为∠BDO ＝45°＝∠1＋∠3，∠APB ＝45°＝∠2＋∠3，∠ADO ＝45°＝∠2＋∠4，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4．所以△PBD ∽△APD ．所以DP DA DB DP=．于是DP 2＝DA ·DB ＝232⨯＝6．所以DP ＝6，OP ＝36+．所以P (36,0)+．图5y DCABOPy DCABOP【例5】已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =-++的图像经过点(3,0)A ，(,1)B m m +，且与y 轴相交于点C ；（1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D 的坐标；（2）求CAD ∠的正弦值；（3）设点P 在线段DC 的延长线上，且PAO CAD ∠=∠，求点P 的坐标．xyO参考答案：（1）223y x x =-++，顶点(1,4)；（2）1010；（3）33(,)22-，(6,3)--．满分解答（1）将A (3, 0)、B (m , m ＋1)两点分别代入y ＝－x 2＋mx ＋n ，得930,1.m n n m -++=⎧⎨=+⎩解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．所以C (0, 3)，顶点D (1, 4)．（2）如图2，作DE ⊥y 轴于E ．由A (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可得∠ACO ＝∠DCE ＝45°，AC ＝32，DC ＝2．所以∠ACD ＝90°．所以AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以AD ＝25．所以tan ∠CAD ＝DC AC ＝232＝13，sin ∠CAD ＝DC AD ＝225＝1010．（3）直线CD 的解析式为y ＝x ＋3，于是可设P (x , x ＋3)．作PH ⊥x 轴于H ，当∠PAO ＝∠CAD 时，由tan ∠PAO ＝tan ∠CAD ，得13PH AH =． ①当P 在x 轴上方时，3133x x +=-．解得32x =-．此时P 33(,)22-（如图2所示）． ②当P 在x 轴下方时，(3)133x x -+=-．解得x ＝－6．此时P (－6,－3)（如图3所示）．图2 图3【例6】如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标．xx参考答案：（1）223=-++y x x ，(1,4)D ；（2）略；（3）(6,0)E ．满分解答（1）由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A (－1, 0)，设y ＝－(x ＋1)(x －m )．代入点C (0, 3)，得m ＝3．所以y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x 2－2x －3)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．所以点B 的坐标为(3, 0)，顶点D 的坐标为(1, 4)．（2）如图2，由B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可知B 、C两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D两点间的水平距离、竖直距离都是1．因此BC 、DC 与y 轴的夹角都是45°．所以∠BCD ＝90°，tan ∠DBC ＝DC BC ＝13．由A (－1, 0)、C (0, 3)，得OA ＝1，OC ＝3，所以tan ∠ACO ＝OA OC ＝13．所以∠ACO ＝∠DBC ．所以△ACO ∽△DBC ．（3）设CE 与BD 交于点G ．由∠BCE ＝∠ACO ＝∠DBC ，得GB ＝GC ．于是可得CG 是Rt △DBC 斜边上的中线，点G 是BD 的中点．所以G (2, 2)．作GH ⊥y 轴与H ，那么CH CO GH EO =，即132EO=．解得EO ＝6．所以E (6, 0)．图2 图3 图4【1】如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【参考答案】解：（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ， ∴(0,5)C -， ∴5OC =．∵5OC OB =， ∴1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上， ∴(1,0)B -．∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -， ∴1645550a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴这条抛物线的表达式为245y x x =--．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ． ∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形．（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ． ∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，52AB = ∴22CH =在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，BC =BH =∴2tan 3CH CBH BH ∠==．在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BOBEO EO∠=， ∵BEO ABC ∠=∠， ∴23BO EO =，得32EO =， ∴点E 的坐标为3(0,)2．【2】如图，抛物线25yx bx 与x 轴交于点A 与(5,0)B 点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点P ．（1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ABP ，试求点D 的坐标；（3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQS，试写出点Q 坐标．参考答案：（1）265y x x =-+，(3,4)P -；（2）(1,12)D -；（3）(2,3)(3,4)Q --或．满分解答（1）将点B (5, 0)代入y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得b ＝－6．所以y ＝x 2－6x ＋5＝－(x －3)2－4，顶点P 的坐标为(3,－4)．（2）如图2，作DN ⊥x 轴于N ．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．由tan ∠ABD ＝tan ∠ABP ，得DN PMBN BM=．设点D 的坐标为(x , x 2－6x ＋5)，那么2654252x x x -+==-．解得x ＝－1．所以点D 的坐标为(－1, 12)．图2 图3（3）由B (5, 0)、C (0, 5)，可知BC ＝52B C 与x 轴负半轴的夹角为45°．设BC 边上的高为h ，那么S △BCQ ＝1522h ⨯＝15．解得32h =如图3，设y 轴上点C 下方的点G 到直线BC 的距离GH ＝32CG ＝6，G (0,－1)．过点G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点Q ，这条直线为y ＝－x －1．解方程组21,65,y x y x x =--⎧⎨=-+⎩ 得2,3,x y =⎧⎨=-⎩或3,4.x y =⎧⎨=-⎩所以Q (2,－3)或(3,－4)．xylFE G PACBO QyDPACBO H【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+-经过点(2,1)A -，它的对称轴与x 轴相交于点B ；（1）求点B 的坐标；（2）如果直线1y x =+与此抛物线的对称轴交于点C 、与抛物线在对称轴右侧交于点D ，且BDC ACB ∠=∠，求此抛物线的表达式．【参考答案】（1）(1,0)B ；（2）2510133y x x =--．满分解答（1）将点A (2,－1)代入y ＝ax 2＋bx －1，得1－＝4a ＋2b －1．所以b ＝－2a ．抛物线的对称轴x ＝2b a -＝22aa--＝1．所以点B 的坐标为(1, 0)．（2）如图2，由y ＝x ＋1，得C (1, 2)．所以BC ＝2．由A (2,－1)、B (1, 0)，得2BA =，∠2＝45°．因为直线y ＝x ＋1与坐标轴的夹角为45°，由此可知∠1＝45°．所以∠1＝∠2．根据等角的邻补角相等，可知∠DCB ＝∠CBA ．当∠BDC ＝∠ACB 时，△DCB ∽△CBA ．所以DC CB CB BA =，即222DC =．所以22DC =．因此D 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是2．所以D (3, 4)．将点D (3, 4)代入y ＝ax 2－2ax －1，得4＝9a －6a －1．解得53a =．所以抛物线的表达式是2510133y x x =--．。

二次函数压轴题(八大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上学期期中冲刺卷(浙教版)

二次函数压轴题（八大题型）目录：题型1：存在性问题题型2：最值问题题型3：定值问题题型4：定点问题题型5：动点问题综合题型6：对称问题题型7：新定义题题型8：二次函数的代数（综合）应用题型1：存在性问题1．如图，抛物线26y ax x c =++与x 轴交于A 、()5,0B 两点，与y 轴交于点()0,5C -，点(),P t s 是抛物线上的一动点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图，当点(),P t s 在直线BC 上方的抛物线时，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ．求PBC △面积的最大值；(3)如图，当点(),P t s 在直线BC 上方的抛物线时，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ．点M 是平面直角坐标系内一点，是否存在点P ，使得以点B ，E ，P ，M 为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如下图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴相交于(2,0)A ，0()6,B -两点，与y 轴相交于点C ．连接BC ，过点A 作AD BC ∥交抛物线于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)如下图，点M 为直线BC 下方抛物线上一点，连接DM 交BC 于N ，连接AM 、AN ，求AMN V 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将抛物线沿DA 方向平移个单位，点P 为平移后的抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使得BCP V 为等腰三角形，若存在，写出点P 的坐标，并写出其中一个点的求解过程；若不存在，说明理由．3．如图，已知抛物线24y ax bx =++与x 轴交于(),40A B ，两点，与y 轴交于点C ，与直线BD 交于点51,2D æö-ç÷èø，其对称轴与直线BD 交于点E ，点F 是此抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式并直接写出直线BD 的解析式；(2)如图1，若点F 是直线BD 上方抛物线上的一点，连接DF 、BF 和OD ，当BDF V 与BDO △面积相等时，求点F 的横坐标；(3)如图2，连接EF ，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点F 使得线段EF 最小？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2：最值问题4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ^轴于点P ，交抛物线于点N ．（ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长；（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．5．已知抛物线(2)(4)(y a x x a =+-为常数，且0)a <与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，经过点B 的直线12y x b =+与抛物线的另一交点为点D ，与y 轴的交点为点E ．(1)如图1，若点D 的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；(2)如图2，若DE BE =，试确定a 的值；(3)如图3，在（1）的情形下，连接AC ，BC ，点P 为抛物线在第一象限内的点，连接BP 交AC 于点Q ，当APQ BCQ S S -△△取最大值时，试求点P 的坐标．6．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(1,0)A -、(3,0)B ，交y 轴于点C ，连结AC 、BC ．点D 在该抛物线上，过点D 作∥D E A C ，交直线BC 于点E ，连结AD 、AE 、BD ．设点D 横坐标为(0)m m >，DAE V 的面积为1S ，DBE V 的面积为2S ．(1)求a ，b 的值；(2)设抛物线上D 、B 两个点和它们之间的部分为图象G ，当图象G 的最高点的纵坐标与m 无关时，求m 的取值范围；(3)当点D 在第一象限时，求1S ＋2S 的最大值；(4)当12:2:1S S =时，直接写出m 的值．7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知抛物线2y x bx c ¢=-++的顶点坐标为()3,4C -，与x 轴分别交于点A ，B ．连接AC ，点D 是线段AC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在点D 运动过程中，连接AD CD 、，求ADC △面积的最大值；(3)如图2，在点D 运动过程中，连接OD 交AC 于点E ，点F 在线段OA 上，连接OC DF EF 、、，若ACO FDO DFE Ð=Ð+Ð，求点F 横坐标的最大值．题型3：定值问题8．已知抛物线()²30y ax bx a =+-¹与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线BC 下方的抛物线上有一动点M ，过点M 作y 轴平行线交BC 于N ，过点M 作BC 的垂线，垂足为H ，求HMN △周长的最大值；(3)若点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，是否存在以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y 轴正半轴上是否存在一点F ，使得当经过点F 的任意一条直线与新抛物线交于S ，T 两点时，总有2211FS FT +为定值？若存在，求出点F 坐标及定值，若不存在，请说明理由．9．已知抛物线()212y x a x a =+-+-．(1)对于任意实数a ，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．(2)当1a =-时，该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．①如图（1），若点P 是x 轴上的动点，当PD PC -取最大值时，求PBD △的面积；②小聪研究发现：如图（2），E ，F 是抛物线上异于B ，C 的两个动点，若直线CE 与直线BF 的交点始终在直线29y x =-上，那么在直线EF 存在点Q ，使得QCE V ，QAC △，QAF △中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．题型4：定点问题10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -，()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．11．已知二次函数2y x bx c =++图象1C 交x 轴于点()1,0-和()3,0两点；(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线1C 向上平移n 个单位得抛物线2C ，点P 为抛物线2C 的顶点，()0,4C ，过C 点作x 轴的平行线交抛物线2C 于点A ，点B 为y 轴上的一动点，若存在90ABP Ð=°有且只有一种情况，求此时n 的值；(3)如图2，恒过定点()1,1的直线QN 交抛物线1C 于点Q ,N 两点，过Q 点的直线2y x t =-+的直线交抛物线1C 于M 点，作直线MN ，求MN 恒过的定点坐标．题型5：动点问题综合12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A B ，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C -，其对称轴为直线1x =．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点D 为第三象限抛物线上一点，连接AC ，若90ABD BAC Ð+Ð=°，求点D 的坐标；(3)(),P m n 和点Q 分别是直线y x =--24和抛物线上的动点，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大4个单位长度，分别过P Q ，作坐标轴的平行线，得到矩形PMQN ．设该抛物线在矩形PMQN 内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为t ．①如图2，当12m =-时，请直接写出t 的值；②请直接写出t 关于m 的函数关系式．13．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中点C 的横坐标为2．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是线段AC 上的一个动点（P 与A ， C 不重合），过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于点 E ，求ACE △面积的最大值；(3)点H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．(4)若直线PE 为抛物线的对称轴，抛物线与y 轴交于点 D ，直线AC 与y 轴交于点Q ，点M 为直线PE 上一动点，则在x 轴上是否存在一点N ，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，过点A 的直线y =kx +b (k ≠0)与该抛物线的另一个交点B 的横坐标为2，P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为1m +，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点C ，在该垂线的点P 上方取一点D ，使1PD =，以CD 为边作矩形CDEF ，设点E 的横坐标为2m ．(1)写出抛物线21322y x x =--的顶点坐标______．(2)当点P 与点A 重合时，求点E 的坐标；(3)当点E 在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF 的距离；(4)当矩形CDEF 的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．15．如图1，抛物线²y x bx c =-++过点()()1,0,3,0A B -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC △是直角三角形；②求出PBC △的最大面积及此时P 点的坐标；③如图2，过点P 作PN x ^轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．题型6：对称问题16．如图1，二次函数214y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点B 坐标为(6,0)，点C 坐标为(0,3)，点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ^轴，垂足为D ，PD 交直线BC 于点E ，设点P 的横坐标为m ．(1)求该二次函数的表达式；(2)如图2，过点P 作PF BC ^，垂足为F ，当m 为何值时，PF 最大？最大值是多少？(3)如图3，连接CP ，当四边形OCPD 是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使原点O 关于直线CQ 的对称点O ¢恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q 的坐标．17．如图1，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值及直线BC 的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于直线BC 上方的一点，连接AP 交BC 于点E ，过P 作PF x ^轴于点F ，交BC 于点G ，(ⅰ)若EP EG =，求点P 的坐标，(ⅱ)连接CP ，CA ，记PCE V 的面积为1S ，ACE V 的面积为2S ，求12S S 的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x 轴下方面的部分不变，位于x 轴上方面的部分关于x 轴对称，得到新的图形，将直线BC 向下平移n 个单位，得到直线l ，若直线l 与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型7：新定义题18．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x n =（n 为常数）对称，则称该函数为“()X n 函数”．(1)在下列函数中，是“()X n 函数”的有（填序号）．①y x =；②20241y x =+；③1y x =；④2y x =(2)若关于x 的函数()2y x h k =-+是“()0X 函数”，且图象与直线4y =相交于A ，B 两点，函数()2y x h k =-+图象的顶点为P ，当45PBA Ð=°时，求h ，k 的值．(3)若关于x 的函数()240y ax bx a =++¹是()1X 函数，且过点()3,1，当1t x t -££时，函数的最大值1y 与最小值2y 的差为2，求t 的值．19．以x 为自变量的两个函数y 与g ，令h y g =-，我们把函数h 称为y 与g 的“相关函数”例如：以x 为自变量的函数2y x =与21g x =-，则它们的“相关函数”为221h y g x x =-=-+．因为()222110h x x x =-+=-³恒成立．所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x 取何值，y g ³恒成立．(1)已知函数2y x mx n =++与函数41g x =+相交于点()1,3--、()3,13．①此时m ，n 的值分别为：m =______，n =______；②求此时函数y 与g 的“相关函数”h ；(2)已知以x 为自变量的函数3y x t =+与2g x =-，当1x >时，对于x 的每一个值，函数y 与g 的“相关函数”0h >恒成立，求t 的取值范围；(3)已知以x 为自变量的函数2y ax bx c =++与2g bx c =--（,,a b c 为常数且0a >，0b ¹）．点1,02A æöç÷èø，点()12,B y -，()21,C y 是它们的“相关函数”h 的图象上的三个点．且满足212c y y <<，求函数h 的图象截x 轴得到的线段长度的取值范围．题型8：二次函数的代数（综合）应用20．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A x ，()2,0B x 且12x x ¹．(1)当12x =，且6b c +=-时，①求b ，c 的值②当2x t -££时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为4，求t 的值；(2)若123x x =，求证：332b c -£．21．在平面直角坐标系中，已知抛物线()2233y mx m x m =--+-（m 是常数，且0m ¹）经过点()2,4，且与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．(1)求出二次函数的表达式．(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点(),P a p 和(),Q b q ，与直线AB 交于点(),c n ，若a c b <<，直接写出a b c ++的取值范围．(3)当13x t =-，2x t =，33x t =+时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．求证：123454y y y ++³．22．已知y 关于x 的两个函数y ax a =+（a 为常数，0a ¹，0x £）与22y ax ax a =-+（a 为常数，0a ¹，0x >）的图像组成一个新图形N ．图形N 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左边），交y 轴于点C ．(1)求点A ，B 坐标；(2)若ABC V 为直角三角形；①求实数a 的值；②若直线(0)y kx b k =+¹与图形N 有且只有两个交点()11,x y ，()22,x y ，满足12202x x -<<<<，求实数k 满足条件．。

二次函数中角的存在性问题

【2019·德州】如图，抛物线y＝mx2﹣mx﹣4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝．（1）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，﹣5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC ＝∠MCE时，求点M的坐标．【2019·济南】如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m （m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m 的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【2019·泰安】若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【2019·苏州】如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6.（1）求a 的值；（2）求ABC ∆外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.（图①）（图②）【2019·宿迁】如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【2019·盐城】如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x ＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【2019·贵州·黔东南州】已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【2019·海南省】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【2019·内蒙古·赤峰】如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数与三角形的存在性问题

_ Q_ G_P_ O中考压轴题特训：二次函数与等腰、直角三角形的存在性问题一、预备知识(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ）线段对称轴是直线：2x 21x x +=(2) 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝。

中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。

练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、常见考察形式（1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线（2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆（3）、方法总结：1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算三、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题（2012临沂）26如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.由动点产生的直角三角形问题26．（2018临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，OC =2OB ，tan ∠ABC =2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y = x 2+bx +c 经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE =21DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题图第263.由动点产生的等腰直角三角形（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （1，0），直线y=2x ﹣1与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C 、D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A 到直线CD 的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点G 在y 轴正半轴上，当以G 、P 、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G 点的坐标．四、实战演1. （2018费县一轮）如图，直线2y x =+ 与抛物线26(0)y ax bx a =++≠相交于15(,)22A 和(4,)B m ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .（1）求抛物线的解析式：（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由. （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标.APED BCOxy（第26题图）2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

中考复习数学压轴题二次函数与三角形存在性问题破解策略课件)

3 2
16 3- 137
= ;
153 16
,
当 TA=AC 时,得 t2+16= 16 ,无解; 当 TA=TC 时,得 t2- t+ =t2+16, 解得 t3=- ;
8 77 16 25
153
综上可知,在抛物线y2的对称轴l上存在点T使△TAC是等腰三角形, 此时T点的坐标为
T1(1,
3+ 137 4
所以,抛物线 y1 的解析式为
因为抛物线 y1 平移后得到抛物线 y2,且顶点为 B(1,0), 1 所以抛物线 y2 的解析式为 y2=-4(x-1)2, 即
1 2 1 1 y2=- x + x- ; 4 2 4
(2)抛物线y2的对称轴l为x=1,
设 T(1,t),已知 A(-3,0),C(0, ),
QR=2-2m, 又因为以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等, 当PQ=GM且QR=AM时,m=0,
4 2 4
可求得 P(0, ),即点 P 与点 C 重合, 所以 R(2,- ). 设 PR 的解析式 y=kx+b, 则有 �� = 4 ,
3 4 1 4
3
2�� + �� = - 4 .
坐标,注意要根据题意舍去不合题意的点.
(1)求抛物线y2的解析式; (2)如图2,在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在 ,请求出所有点T的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点
Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以P,Q,R为顶点的三角形与△AMG
2
∴抛物线的表达式是
2 2 8 y= x +2x- . 3 3

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题(一)(含答案)

中考数学压轴题之--二次函数角度的存在性问题（一）问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：角度的存在性问题的处理思路是什么？1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为( )A. B.（3，9）C.或（-3，9）D.（3，9）或答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y 轴交于点C．D为抛物线上的一点，且，连接BD，点P为抛物线上一点．若∠DBP=45°，则点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型3.如图，已知二次函数的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，6）三点，直线与y轴交于点D，点P为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型4.已知二次函数的图象经过两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.或C. D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型5.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为( )A.或B.或C. D.答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数背景下的存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？问题3：结合第1题考虑不变特征是什么？问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？。

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二次函数压轴题——角的存在性一．解答题（共5小题）例1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．例2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．例3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．练习1．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．2．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．2015年05月13日1873957725的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．解答：解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得b=，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF=OC=2，∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，联立，解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，联立，解得x3=，x4=（在y轴左侧，不合题意，舍去），∴m3=．∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，∴FM=y F﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45°，∴PN=CN，而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=y P﹣y F=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．2．（2012•惠山区校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；（3）当∠PCB=∠CBD时，可知CP∥BD，根据三角形的全等关系确定P点坐标．解答：解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直线BC解析式为y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴点D关于直线BC对称的点D'（0，﹣1）；（3）存在．过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，设CP与BD相交于M点（m，3m﹣9），易求BD解析式为：y=3x﹣9，由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=；于是，M点坐标为：M（，﹣）；于是CM解析式为：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，则x=9，所以，P点坐标为：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标．3．（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c （c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；②求证AD=BO和AD∥BO即可判定四边形为平行四边形；（2）根据矩形的各角为90°可以求得△ABO∽△OBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得横坐标为±c，纵坐标为c．解答：解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，，解得；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，∴AD∥BO，∴四边形AOBD是平行四边形．（2）存在，点A的坐标可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四边形AOBD是矩形；则需∠AOB=∠BCO=90°，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，∴A点坐标为（﹣c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c•c+c，∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标轴交点坐标的求解方法．4．（2013•十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将点A的坐标代入到抛物线的解析式求得c值，然后配方后即可确定顶点D的坐标；（2）连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求得点C的坐标，然后证得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；（3）设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点，得到△DGB∽△PON后利用相似三角形的性质求得ON的长，从而求得点N的坐标，进而求得直线PQ的解析式，设Q（m，n），根据点Q在y=x2﹣2x﹣3上，得到﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得m、n的值后即可求得点Q的坐标．解答：解：（1）把x=﹣1，y=0代入y=x2﹣2x+c得：1+2+c=0∴c=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3∴B（3，0）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3∴C（0，﹣3）∴OB=OC=3∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=3又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD=，∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA又∵∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB∴∠E=∠OCB=45°，（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点∵∠PMA=45°，∴∠EMH=45°，∴∠MHE=90°，∴∠PHB=90°，∴∠DBG+∠OPN=90°又∴∠ONP+∠OPN=90°，∴∠DBG=∠ONP∴∠DGB=∠PON=90°，∴△DGB∽△PON∴=，即：=∴ON=2，∴N（0，﹣2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：∴y=﹣x﹣2设Q（m，n）且n＜0，∴n=﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，∴n=m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴n=﹣3或n=﹣∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．5．（2012•合川区模拟）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）根据待定系数法求直线BC的解析式即可；把点B、C的坐标代入二次函数，利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，连接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后证明△ADP和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度，从而得解；（3）连接BD，利用勾股定理求出BD、BC的长度，再求出∠CBD=90°，然后根据∠BCD与∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，从而得到∠OCA与∠OCD的和等于∠BCO，是45°．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴，解得，所以，直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，∴抛物线的顶点D（﹣2，1），对称轴为x=﹣2，∵A、B关于对称轴对称，点B（﹣3，0），∴点A的坐标为（﹣1，0），AB=﹣1﹣（﹣3）=﹣1+3=2，BC==3，连接AD，则AD==，tan∠ADP==1，∴∠ADP=45°，又∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠ADP=∠ABC=45°，又∵∠APD=∠ACB，∴△ADP∽△ABC，∴=，即=，解得DP=3，点P到x轴的距离为3﹣1=2，点P的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）连接BD，∵B（﹣3，0），D（﹣2，1），∴tan∠DBA==1，∴∠DBA=45°，根据勾股定理，BD==，又∵∠ABC=45°，∴∠DBC=45°×2=90°，∴tan∠BCD===，又∵tan∠OCA==，∴∠BCD=∠OCA，∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠OCB=45°，即∠OCA与∠OCD两角和是45°．点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，利用数据的特殊性求出等腰直角三角形得到45°角，然后找出相等的角是解题的关键．。