《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为

\0121

0.10.20.12

0.10.2

Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么?

五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为

(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其他 求()(),E X D X

一、填空题(每小题3分,共30分)

1、ABC 或A B C U U

2、0.6

3、21

563

11

C C C 或411或0.3636 4、1 5、1

3 6、

2

014

1

315

55

k

X p 7、1 8、(2,1)N -

二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则

由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505

P A P A P B A P B A =

======= .................. 2分 (1)由全概率公式得

112261511

()()(|)()(|)1151155

P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯= ............................................ 7分 (2)由贝叶斯公式得

22251

()()5

115()1()115

P A P B A P A B P B ⨯=== ................................................................................. 12分

三、(本题12分)

解 (1)由概率密度的性质知 3

4

0391()21224x f x dx kxdx dx k +∞

-∞

⎛

⎫=+-=+= ⎪⎝

⎭⎰

⎰⎰

故1

6

k =

. ..................................................................................................................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x

F x f t dt -∞

=

=⎰

;

当03x <<时, 2011()()612

x

x

F x f t dt tdt x -∞=

==⎰⎰

; 当34x ≤<时, 32

0311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;

当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫

==+-= ⎪⎝

⎭⎰⎰⎰;

故X 的分布函数为

220

,01,0312

()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩

.......................................................................................... 9分

(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫

<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭

....................................................................... 12分

四、

解 (1)由分布律的性质知

01.0.20.10.10.21a +++++=

故0.3a = .................................................................................................................................................... 4分

(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为

012

0.40.30.3

X p ........................................................................................................................ 6分

120.40.6

Y p .................................................................................................................................. 8分

(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==

所以X 与Y 不相互独立. ............................................................................................................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为

(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪

=-≤≤⎨⎪⎩

其他

求()(),E X D X .

解 2

1

3

1

2

2

3201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞

-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ................................ 6分

12223

2017()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰

................................................................... 9分 221

()()[()].6

D X

E X E X =-= ........................................................................................................ 12分

一、填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1

9，A 发生且B 不发生的概率与B 发

生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： 没有任何人的生日在同一个月份的概率

4、已知随机变量X 的密度函数为：

,

0()1/4,

020,2

x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩

, 则常数A= ,