初中数学：二次函数 物体的运动轨迹等问题同步导学练习

初中数学：二次函数物体的运动轨迹等问题同步导学练习

知|识|目|标

1．在理解二次函数的图象与性质的基础上,通过思考、探究,能解决物体运动轨迹中的已知抛物线问题．

2．通过对具体问题的分析、讨论与类比思考,能根据实际问题的特点建立适当的平面直角坐标系,进而解决物体运动轨迹中的未知抛物线问题．

目标一能解决物体运动轨迹中的已知抛物线问题

例1 高频考题一名男生推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系

式是y＝－

1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

,铅球运行路线如图26－3－1.

(1)求铅球推出的水平距离；

(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.

图26－3－1

【归纳总结】抛物线形的物体运动轨迹问题：

在现实生活中有很多物体的运动轨迹是近似于抛物线的,如投篮、掷铅球、打网球等,此类问题一般涉及飞行的最大高度、飞行的最大距离、飞行时间等．解决问题的关键：(1)飞行的最大高度一般与最值有关；(2)飞行的最大距离、飞行时间一般与函数图象与x轴的交点有关．

目标二能解决物体运动轨迹中的未知抛物线问题

例2 教材补充例题如图26－3－2(a),某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1 m处达到距地面最大高度2.25 m,试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线形水流对应的二次函数的关系式．

学生小龙对于上述问题的具体解答过程如下：

①以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图26－3－2(b)所示的平面直角坐标系；

②设抛物线形水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；

③根据题意可得点B与x轴的距离为1 m,故点B的坐标为(－1,1)；

④将(－1,1)代入y＝ax2,得1＝a·1,所以a＝1；

⑤所以抛物线形水流对应的二次函数的关系式为y＝x2.

数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的．”

(1)请指出小龙的解答在第________步开始出现错误；

(2)请你写出完整的正确解答过程．

图26－3－2

【归纳总结】建立平面直角坐标系的方法：

对于没有给定平面直角坐标系的二次函数问题,建立的平面直角坐标系应使后续的计算简便,一般来说,以顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,所得到的函数关系式最简单；或把二次函数的图象都放在第一象限,点的坐标与线段长度的转换不易出错．

知识点二次函数在实际问题中的应用(1)

1．物体的飞行路线中有很多抛物线模型,如铅球、篮球等的飞行路线都是抛物线形,基于这点构造二次函数模型,应用二次函数的基本知识解决相关问题,关键是从实际问题中抽象出二次函数的数学模型．

2．理解几个特殊点．如飞行的最高点一般是抛物线的顶点,落地点一般是抛物线与x轴的交点．

3．解题思路：

问题：某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于地面安装一根柱子OA,O恰为水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上,建立平面直角坐标系(如图26－3－3),

水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋5 4 .

图26－3－3

读了此题后,四名同学有下列结论,你觉得他们谁的结论正确？

(1)张星：柱子OA的高度为5

4

m；

(2)李咏：喷出的水流在距柱子1 m处达到最大高度；

(3)王康：喷出的水流距水平面的最大高度是2.5 m；

(4)刘飞：水池的半径至少要为2.5 m,才能使喷出的水流不至于落在池外．

教师详解详析

【目标突破】

例1[解析] (1)铅球推出的水平距离就是当高度y＝0时x的值,所以解方程可求解．

(2)用配方法求解二次函数的最值即可判断．

解：(1)当y＝0时,－

1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

＝0.

解得x

1＝10,x

2

＝－2(不合题意,舍去),

∴铅球推出的水平距离是10 m.

(2)y＝－

1

12

x2＋

2

3

x＋

5

3

＝－

1

12

(x2－8x＋16)＋

4

3

＋

5

3

＝－

1

12

(x－4)2＋3.

∵a＝－

1

12

＜0,

∴函数有最大值,即当x＝4时,y有最大值,为3,

∴铅球行进高度不能达到4 m.

例2[解析] (1)在第③步开始出现错误；

(2)以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如题图(b)所示的平面直角坐标系,通过点B的坐标求得函数关系式．

解：(1)在第③步开始出现错误．

(2)以水流的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如题图(b)所示的平面直角坐标系．

设抛物线形水流对应的二次函数关系式为y＝ax2.

根据题意可得点B与x轴的距离为1 m,故点B的坐标为(－1,－1),将(－1,－1)代入y＝ax2,得－1＝a·1,所以a＝－1,

所以抛物线形水流对应的二次函数的关系式为y＝－x2.

【总结反思】

[反思] (1)当x＝0时,y＝5

4

,故柱子OA的高度为

5

4

m,所以张星的结论正确；