2015年高考文科数学全国2卷(含详细解析)

绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合,,则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为实数,且,则( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得 ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,3a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 考点：柱形图4. 已知,,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.考点：向量数量积.5. 设是等差数列的前项和,若,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】试题解析：,.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）()1,1=-a ()1,2=-b (2)+⋅=a b a 1-01222=a 3,⋅=-a b ()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b n S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（ ）【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（ ）1A.81B.71C.61D.51615(1,0),A B C ABC 5A.33 C.34D.3,a b a A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列满足,,则（ ）【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,所以,故 ,选C.考点：等比数列.10. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O π36π64π144π256,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数,则使得成立的的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.BOP x ∠=()f x 21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由可得 .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 ．【答案】考点：双曲线几何性质16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则()32f x ax x =-()32f x ax x =-()1242f a a -=-+=⇒=-50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩(12y x =±2214x y -=ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++a = ． 【答案】8 【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为 所以 由（I ）知, 11y x'=+ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=∠sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠所以 考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图tan 30.B B ∠=∠=（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在 上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）或1111ABCD A B C D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==αα9779考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为,点在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）（II ）见试题解析()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知.（I ）讨论的单调性；（II ）当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.【答案】（I ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II ）. 【解析】()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明；（II ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 （t 为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I ）求与交点的直角坐标；（II ）若与 相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.EF BC AE MN ==xOy 1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩0t ≠0απ≤<23:2sin ,:.C C ρθρθ==2C 3C 1C 2C 1C 3C AB【答案】（I ）；（II ）4. 【解析】 试题分析：（I ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：（I ）若 ,（II ）的充要条件.【答案】【解析】 ()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭2C 3C 2220x y y +-=22230x y x +-=,,,a b c d a b c d +=+ab cd >>>a b c d -<-试题分析：（I ）由及,可证明,开方即得（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I ）因为考点：不等式证明.a b c d+=+abcd>22>>22a b c d =++=++。