立体几何平行与垂直经典证明题

E H F

G

E

AE =⎬

AE =⎬

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形， E , F , G , H 分别是边 AB , BC , CD , DA 的中点

（1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若 BD= 2 A

，AC=2，EG=2。求异面直线 AC 、BD 所成的角和 EG 、BD 所成的角。

B

D

C

证明：在∆ABD 中，∵ E , H 分别是 AB , AD 的中点∴ EH // BD , EH =

1

BD 2

同理， FG // BD , FG = 1 BD ∴ EH // FG , EH = FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2

(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形 ABCD 中， BC = AC , AD = BD ， E 是 AB 的中点。求证：（1） AB ⊥ 平面 CDE;

（2）平面CDE ⊥ 平面 ABC 。

A

证明：（1）

BC = AC ⎫

⇒ CE ⊥ AB

⎭

同理， AD = BD ⎫ ⇒ DE ⊥ AB

B

C

⎭

又∵ CE ⋂ DE = E

∴ AB ⊥ 平面CDE D

（2）由（1）有 AB ⊥ 平面CDE

又∵

AB ⊆ 平面 ABC ， ∴平面CDE ⊥ 平面 ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3

D

D

3、如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 是 AA 1 的中点，

求证： A 1C // 平面

BDE 。 1

证明：连接 AC 交 BD 于O ，连接 EO ， ∵ E 为 AA 1 的中点， O 为 AC 的中点

∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // A 1C

又 EO 在平面 BDE 内， A 1C 在平面 BDE 外

∴ A 1C // 平面 BDE 。考点：线面平行的判定

4、已知∆ABC 中∠ACB = 90

, SA ⊥ 面 ABC , AD ⊥ SC ,求证： AD ⊥ 面 SBC ． 证明：∵∠ACB = 90 ° ∴ BC ⊥ AC S

又 SA ⊥ 面 ABC

∴ BC ⊥ 面 SAC ∴ BC ⊥ AD

∴ SA ⊥ BC

A

B

又

SC ⊥ AD , SC ⋂ BC = C C

∴ AD ⊥ 面 SBC

考点：线面垂直的判定

5、已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面 AB 1D 1 ；(2) A 1C ⊥ 面 AB 1D 1 ．

D 1 C 1

B 1

A 1

AC ⋂ B D = O

证明：（1）连结 A 1C 1 ，设 1 1 1 1

1

，连结 AO 1

∵ ABCD - A 1B 1C 1D 1 是正方体 ∴ A 1 ACC 1 是平行四边形

C

∴A 1C 1∥AC 且 A 1C 1 = AC

O

又O 1 , O 分别是 A 1C 1 , AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1 = AO

A

B ∴ AO

C 1O 1 是平行四边形

∴C 1O ∥AO 1 , AO 1 ⊂ 面 AB D ，

C O ⊄ 面 AB D

∴C 1O ∥面 AB D

（2） CC 1 ⊥ 面 A 1B 1C 1D 1 ∵A 1C 1 ⊥ B 1D 1 1 1

1

1 1

1 1

∴CC 1 ⊥ B 1D !

又 ， ∴ B 1D 1 ⊥ 面A 1C 1C 即A 1C ⊥ B 1D 1 同理可证

A 1C ⊥ AD 1 ， 又 D 1

B 1 ⋂ A D 1 = D 1

∴ A 1C ⊥ 面 AB 1D 1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

1 B 1

F E

D G C =

1

.7、正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中．(1)求证：平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C ； (2)若 E 、F 分别是 AA ，CC 的中点，求证：平面 EB D ∥平面 FBD ．

D 1

C 1 1

1

1 1

证明：(1)由 B 1B ∥DD 1，得四边形 BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，

A 又 BD ⊄平面

B 1D 1

C ，B 1

D 1 ⊂ 平面 B 1D 1C ， ∴BD ∥平面 B 1D 1C ． 同理 A 1D ∥平面 B 1D 1C ．

A

而 A 1D ∩BD ＝D ，∴平面 A 1BD ∥平面 B 1CD ．

(2)由 BD ∥B 1D 1，得 BD ∥平面 EB 1D 1．取 BB 1 中点 G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得 B 1E ∥AG ，同理 GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面 EB 1D 1．∴平面 EB 1D 1∥平面 FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体 ABCD 中， AC = BD , E , F 分别为 AD , BC 的中点， 且 EF =

∠BDC = 90

，求证： BD ⊥ 平面 ACD

2 AC ，

2

证明：取CD 的中点G ，连结 EG , FG ，∵ E , F 分别为 AD , BC 的中点，∴ EG // 1

AC

2

FG =// 1 BD ，又 AC = BD , ∴ FG = 1 AC ，∴在∆EFG 中， EG 2 + FG 2 = 1 AC 2 = EF 2

2 2 2

∴ EG ⊥ FG ，∴ BD ⊥ AC ，又∠BDC = 90

，即 BD ⊥ CD ， AC ⋂ CD = C ∴ BD ⊥ 平面 ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图 P 是∆ABC 所在平面外一点， PA = PB ,CB ⊥ 平面 PAB ， M 是 PC 的中点， N 是 AB 上的点，

AN = 3NB

P

（1） 求证： MN ⊥ AB ；（2）当∠APB = 90

， AB = 2BC = 4 时，求 MN 的长。

证明：（1）取 PA 的中点Q ，连结 MQ , NQ ，∵ M 是

PB 的中点， M

∴ MQ // BC ，∵ CB ⊥ 平面 PAB ，∴ MQ ⊥ 平面 PAB

∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ，取 AB 的中点 D ，连结 PD ，∵ PA = PB , ∴

PD ⊥ AB ，又 AN = 3NB ，∴ BN = ND

C

A

∴ QN // PD ，∴ QN ⊥ AB ，由三垂线定理得 MN ⊥ AB

B

N

（2） ∵ ∠APB = 90

， PA = PB , ∴ PD =

1

AB = 2 ，∴ QN = 1 ，∵ MQ ⊥ 平面 PAB .∴ MQ ⊥ NQ ，且

2

MQ = 1

BC = 1，∴ MN = 2

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、C 1D 1 的中点.求证：平面 D 1EF ∥ 平面 BDG .

证明：∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，∴ EF ∥ BD 又 EF ⊄ 平面 BDG ， BD ⊂ 平面 BDG ∴ EF ∥平面 BDG ∵ D 1G

EB ∴四边形 D 1GBE 为平行四边形， D 1E ∥ GB

又 D 1E ⊄ 平面 BDG ， GB ⊂ 平面 BDG ∴ D 1E ∥平面 BDG

EF ⋂ D 1E = E ，∴平面 D EF ∥平面 BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

2