北师大版八年级数学上册知识点归纳：第四章一次函数

北师大版八年级数学上册知识点归纳：第四章一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

（1）关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

①、一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

②、由于一次函数y kx b =+的图象是一条直线，所以一次函数y kx b =+的图象也称为直线y kx b =+。

③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数y kx b =+的图象时，只要描出：与x 轴的交点（令0y =，求出b

x k

=-

），与y 轴的交点（令0x =，求出y b =），即（(0,),(,0)b

b k

- 两点即可，画正比例函数y kx =的图象时，只要描出点（0，0），

（1，k ）即可。

④、k 的正负决定直线的倾斜方向，k 的大小决定直线的倾斜程度，即k 越大，直线

与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），k 越小，直线与x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。

⑤、b 的正负决定直线与y 轴交点的位置。

当0b >时，直线与y 轴的交于正半轴上。当0b <时，直线与y 轴交于负半轴上。 当0b =时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、一次函数、正比例函数的图象和性质。

()()()

32100

0.0k ⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>>b b b ()()()

32100

0.0k ⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>

性 质

一次函数

y kx b =+

（1）当0k >时，y 随x 的增大而增

大，图象必经过一三象限。 ①0b >时，过一二三象限 ②0b =时，只过一三象限

③0b <时，过一三四象限时 （2）当0k <时，y 随x 的增大而减

小，图象必过二四象限。 ①0b >时，过一二四象限 ②0b =时，只过二四象限 ③0b <时，过二三四象限

正比例函数

y kx =

x

y y x

00

图象过原点

⑴当0k >时，y 随x 的增大而增大，图象必过一三象限

⑵当0k <时，y 随x 的增大而减小， 图象必过二四象限。

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。

（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件

①由于正比例函数(0)y kx k =≠中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对,x y 的值或一个点）就可求得k 的值。

②由于一次函数(0)y kx b k =+≠中有两个待定系数,k b ，需要两个独立的条件确定两个关于,k b 的方程，求得,k b 的值，这两个条件通常是两个点或两对,x y 的值。 （2）待定系数法

先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。

（3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

① 设函数表达式为y kx b =+。

② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 ③ 求出k b 与的值，得函数表达式。 6、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值0y =时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值0y =时，求相应的自变量的值．

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 7、一次函数y kx b =+的图象与坐标轴交点求法： 与x 轴的交点：令0y =，求出b x k =-

，得(,0)b

k

-； 与y 轴的交点：令0x =，求出y b =，得 (0,)b