向量的投影、方向角和方向余弦课件

rM
y
Q(0, y,0)
N(x, y,0)
利用坐标作 向量的线性运算
设 a =(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)， a =ax i +ay j + az k，b= bx i + by j + bz k a+b =( ax+ bx ) i +( ay+by ) j +( az+bz ) k， a b =( ax bx ) i + (ay by) j + (az bz) k， λa =(λax) i + (λay) j + (λaz) k.
xOz 平面;
O xoy 面
yOz 平面.
Ⅶ
x
卦限
x轴(横轴) Ⅴ
Ⅷ
坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限
Ⅱ
y
y轴(纵轴) Ⅵ
z
给定向量 r,对应点 M,使 OM r . R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
r OM OP PN NM OP OQ OR.
r
M
M
B
解
o
AM OM OA, MB OB OM ,OM OA (OB OM )
OM
1
(OA OB)
1
x1, y1, z1 x2 , y2 , z2
1
1
OM
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
例
已知点
A(x1,
y1,
z1)、点
B(x2,
2
M 2M35
72
2 12
3
22
6,
M3 M2
所以 M 2M3 M1M 3 , 即三角形是等腰三角形
.
例 在 z 轴上求与两点 A( 4,1,7)、B(3,5, 2)等距离的点
. 解
设所求点的坐标为 M(0,0,z),则有
2 2
MA MB
(0+4)2+(0 1)2+(z 7)2=(3 0)2+(5 0)2+( 2 z)2
向量的模、 方向角、投影
来自百度文库
z
设向量 r =(x,y,z), 作 OM r ,
R
r = OM ON NM OP OQ OR ,
M
k jr O
Q
2 2 2
i
y
r = OM OP OQ OR .
P
x
N
OP xi, OQ yj,OR zk. OP xi , OQ yj , OR zk .
y2,z2)和
实
数 1, 在直线 AB 上求点 M,使 AM MB .
解
OM
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
A
M B
此为点 M 的坐标.
此为定比分点公式. 当 λ=1 时,为中点公式.
利用坐标进行运算
1. 理解空间直角坐标系. 2.掌握向量的坐标运算.
例 已知两点 M1(2,2, 2 )和 M2(1,3,0),求向量 M1M 2 的模、
y
OP xi, OQ yj, OR zk.
x
O
P(x,0,0)
r OM xi yj zk 称为 r 的坐标分解式.
Q(0, y,0)
N(x, y,0)
M ↔ r OM xi yj zk ↔ (x,y,z),称(x,y,z)为点 M 的坐标.
向径:向量OM 称为点 M 关于原点 O 的向径.
(cos α,cos β,cos γ)=( x , y , z )= 1 ( x, y, z)= r =er.
|r| |r| |r| |r|
| r|
|r|= x2 y2 z 2 .
cos α=
x
;cos β=
y
;cos γ=
z
x2 y2 z2
x2 y2 z2
x2 y2 z2
cos2α+cos2β+cos2γ=1
坐标轴及坐标面上的点的坐标特征
xOy 面: N(x,y,0); yOz 面:B(0,y,z);
xOz 面: C(x,0,z).
x 轴:P(x,0,0); 原点:(0,0,0).
y 轴:Q(0,y,0);
z 轴: R(0,0,z).
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
O
x P(x,0,0)
空间直角坐标系
z
坐标轴
O 为原点
kj
x 轴(横轴), y 轴(纵轴), z 轴(竖轴),
O
y
两两垂直.
i
三轴的单位向量依次为 i, j, k. x
构成空间直角坐标系 Oxyz 或[O, i, j, k], 正向符合右手规则.
坐标面
z z 轴(竖轴)
任意两条坐标轴确定
Ⅲ
的平面.
Ⅳ
xOy 平面;
yoz面
向量平行的充分必要条 件 设 a=(ax,ay,az)≠0, b=(bx,by,bz).
b∥a b=λa (bx,by,bz)= λ(ax,ay,az) bx by bz ax ay az
例 已知点 A(x1, y1, z1)、点 B(x2, y2, z2)和实
A
数 1, 在直线 AB 上求点 M,使 AM MB .
x2 O
P2
y1
Q1
x1
x P1
d M1M 2
(x 2
x )2 1
(
y 2
y1)2
(z
2
z1)2
.
M2 N
y2
Qy 2
例 求证:以 M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点
的 解
三角形是一个等腰三角形.
2
M1M2
2
7
4 2
1
32
2 12
M1
14,
M1M 3 5 42 2 32 3 12 6,
| r |= x2 y 2 z 2
设
M1(x1,y1 2 M1M 2
, z1
),M2(x2 , 2
M1N
2
y2,z2)2 NM 2
2
为
空间两点，
R2
z
z2
R1 z1
2
R
P
M1P M1Q M1R ,
M1
Q
M1P R1R2 x2 x1 , M1Q Q1Q2 y2 y1 , M1RR1R2 z2 z1 ,
向量的方向角
z
非零向量 r OM 与三条坐标轴的夹 角
O r
y
α, β ,γ (0≤α,β,γ≤π)称为向量 r 的方向角. x
向量的方向余弦 (cos α, cos β, cos γ)=(
x
,
y
,
z
)=
1
( x, y ,z)=
r
=er.
|r| |r| |r| |r|
| r|
cos α,cos β,cos γ 叫做 r 的方向余弦 .
z 14 9
所求点为:
z
(0,
14 0, )
9
例 已知两点 A(4,0,5)和 B(7,1,3),求与 AB 方向相同的
单位向量.
解 AB OB OA (7,1,3) (4, 0,5) (3,1,2)
AB 32 12 (2)2 = 14
e AB 1 (3,1,2) AB | AB | 14