向量的方向余弦及投影
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
向量的模
解得 x = ±1 所求点为 (1,0,0), (−1,0,0).
2、向量的方向角与方向余弦
两向量的夹角
设有两个非零向量 a , b , 任取空间中一点 O, 作
OA = a, OB = b
规定不超过 π 的∠AOB称为向量 a与b的夹角,
P1P2
2
2
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
3.向量在轴上的投影
设点 O 及单位向量 e 确定了 u 轴. 任给向量 r , 作 OM = r , 再过点 M 作与 u 轴垂直的平面，交 u 轴于点M' .(点 M ' 称为点 M 在 u 轴上的投影) 则向量 OM' 称为向量 r 在 u 轴上的分向量.
五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
z
Rz
H
K
M
设r = ( x, y, z),| r |= ? r = OM
kr
j
iO
x
xP
∴| r |=| OM |
y y = | ON |2 + | NM |2
Q
= N
=
| OP |2 + | OQ |2 + | OR |2 x2 + y2 + z2
M
解
cosϕ = | OA | = a = 1
| OM | 3a 3
∴ Pr jOM OA = | OA | cosϕ
ϕ
=a⋅ 1 = a
O
A
33
小结 向量的概念 点的坐标 向量的坐标 向径 向量的线性运算： 加法，数乘 向量的模、方向角、方向余弦 两向量的夹角 空间中两点间距离公式 向量在轴上的投影 投影定理
7 2向量的方向余弦及投影
例 7 设 点位A 于 第 I卦 限 ， 其 向 径 的 模 AB ＝6，
且
向
径
OA与 x轴
、
y轴 的
夹角
依
次为
?
3
和，?
4
求 点的A 坐 标 。
解 ? = ? ， ? = ? ,由关系式 cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
3
4
得 cos 2 ?＝1 ? ( 1 )2 ? ( 2 ) 2 ? 1 ,
O A'＝ λe , λ为向量OA在u轴上 的投影
? 向量投影的性质
(a)u=|a|cos? , (Prjua=|a|cos ? );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
2
2
4
由点 A在第一卦限，知 cos ?＝ 1 .
2
于是
OA
＝（6
1 2
，2 2
，1 2
）＝（
3， 3
2， 3），
也就是点 A的坐标。
例8 设立方体的一条对角线为OM， 一条棱为OA，且 OA ? a,
求 OA在 OM方 向 上 的 投 影 Prj OA OM
解
记? MOA=? ,则
cos? ? OA ? 1 OM 3
AB ?? 1 1? 2 ? 42?
cos? ? ? 1 , cos ? ? 1 , cos ? ? ? 2
2
2
2
? ? 2 ??, ? 1 ??, ? 3 ? .
3
3
向量代数与空间解析几何
（一）向量代数 1．知识范围 （1）向量的概念 向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦 （2）向量的线性运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 （3）向量的数量积 二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件 （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件 2．要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的件。
解: AB = {3, 1, 2}
|AB|
解
解
实例
定义
两向量的数量积
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
证
数量积符合下列运算规律：
交换律：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分配律：
若 为数：
数量积的坐标表达式
设
数量积的坐标表达式
两向量夹角余弦的坐标表示式
解
证
4、两向量的向量积
实例
定义
（3）
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
[3] 向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律：
结合律：
分配律：
按照向量与数的乘积的规定，
3. 向量的坐标
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01
02
向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 的方向角：
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
由图分析可知
向量的方向余弦
向量的投影1
A
l
л
A
空间一向量在轴上的投影
定义9 已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在 B 轴 l 上的投影分别为 A ’ A 和 B ’ ，那末轴 l 上的有 向线段A’B’的值 A B l A ’ B ’ 叫做向量 AB 在 轴 l上的投影. l 向量 AB 在轴 l 的投影记为 Pr jl AB 或 （AB） 即 Pr jl AB =A’B’ ， 轴l叫做投影轴
四、 向量的模、方向角和方向余弦
向量的模与向量坐标的关系 由两点间距离公式 可得向量的模和坐标 的关系. 向径OM的模为： |OM|
2 2
d M1 P PN NM 2 ,
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o x
2
P
N
y
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
向量的投影具有下列性质： 性质1 (投影定理)
向量 AB 在轴 l 上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦： Pr jl AB | AB | cos 证 Pr jl AB Pr jl ' AB B
A
A
B
B
l' l
| AB | cos
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正； 2 ( 2) , 投影为负； 2 ( 3) , 投影为零； 2
二、空间直角坐标系与点的坐标
过空间一个定点O， 作三条互相垂直的数轴， 它们都以O为原点，且一 般具有相同的长度单位. 这三条轴分别叫 做x轴(横轴)、y轴 (纵轴)、z轴(竖轴)； 横轴 x 统称为坐标轴.通常 把x轴和y轴配置在水 平面上，而z轴则是 铅垂线； 定点 o
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b = ,则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±,),,(z y x a a a a λλλλ=；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =,其中ϕ为向量a 与u 的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a=⨯运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面不考1） 椭圆锥面：22222z by a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+czb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x 8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n = ,222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：),(y x f z =,图形：3、 极限：A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→5、 偏导数：xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y fx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角; 7、 梯度：),(y x f z =,则j y x f i y x f y x gradf y x),(),(),(000000+=;8、 全微分：设),(y x f z =,则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质有界性定理,最大最小值定理,介值定理3、 微分法 1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===,则v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 充分条件3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值；② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ———Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(0y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：))(,,())(,,())(,,(0=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F zyx法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分一般换元法不考1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,21()()(,)d d d (,)d dy cy Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z zz y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,(-------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bayx z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,(-------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r rr φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：y x yz x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+=第五章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：1(,)d lim (,)ni i i Li f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰2、 性质： 1[(,)(,)]d (,)d (,)d .LLLf x y x y s f x y sg x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 212(,)d (,)d (,)d .LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰).(21L L L +=3在L上,若),(),(y x g y x f ≤,则(,)d (,)d .LLf x y sg x y s ≤⎰⎰4l s L=⎰d l 为曲线弧 L 的长度3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d [(),( ,()Lf x y s f t t t βαφψαβ=<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,函数),(y x P ,),(y x Q 在 L 上有界,定义∑⎰=→∆=nk k k k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ,∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LL r y x F r y x F d ),(d ),( 3、 计算： 设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ,则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()LP x y x Q x y y P t t t Q t t βαφψφφψ'+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：,L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,,)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=,)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=, 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域,函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数,则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分 （四） 对面积的曲面积分1、 定义：设∑为光滑曲面,函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数,定义 i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(10ζηξλ 2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,则x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx ,(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面,函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数,定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理,1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 121∑+∑=∑,则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑,xy D y x ∈),(,),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数,),,(z y x R 在∑上连续,则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”, ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()R Q P y x R x z Q z y P dcos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角;（六） 高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成, ∑的方向取外侧, 函数,,P Q R 在Ω上有连续的一阶偏导数,则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂yx R x z Q z y P z y x z R y Q x P d d d d d d d d d或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S R Q P z y x z R y Q x P d cos cos cos d d d γβα（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰⎰Γ∑++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z R y Q x P y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d d d d d d d d为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂z R y Q x P RQ P zy x y x x z z y d d d d d d d d d 第六章 常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数或微分的方程称为微分方程； 未知函数是一元函数的微分方程,称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程,称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数,称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的即不可合并而使个数减少的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解为微分方程的通解. 不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程： 对于第1种形式,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：)()(d )(d )(y g x h dxdyx x f y y g ==或2、 齐次微分方程：代入微分方程即可;3、 一阶线性微分方程型如称为一阶线性微分方程; 其对应的齐次线性微分方程的解为利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解4、 伯努利方程： 于是U 的通解为：5、 全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程 12型的微分方程),(6.4.2 )1()(-=n n y x f y 3型的微分方程),(6.4.3 y y f y '='' 8、线性微分方程解的结构 1函数组的线性无关和线性相关 2线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解 3刘维尔公式4二阶非齐线性微分方程解的结构特解的求解过程主要是通过常数变异法,求解联立方程的解：⎰⎰=xx f y y g d )(d )( )( )( yxx x y y ψϕ='='或者 ,)( 可将其化为可分离方程中，令在齐次方程xy u x y y =='ϕ , xu y x y u ==，则令,u dx du x dx dy +=.)()1(的方程形如c by ax f y ++=',y b a u '+=').(u f bau =-'原方程可化为)()(x q y x p y =+' d )(。
1-向量的模 方向角 投影
1 2 1 6 , , 2 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
3. 向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定一条u轴, 任给向量a,
作OM=a,
过点M 作u轴垂直的平面交u轴于点M'
φ O e
M
设OM'=λe,
向量的模、方向角、投影
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1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有
r OM
R
z
M Q y
ON OP OQ NM OR
O
由勾股定理得
r OM
P
x2 y 2 z 2
x
N
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
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x x2 y2 z 2 y x y z z
2 2 2
z
O
r
x
y
x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
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结束
例. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
9
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
思考: 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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向量的模、方向角与方向余弦
P1 Pi
——3 =+1 —2 -
n z = 4, z = 2,
2
P2的坐标为（2,72,4）, （2,很,2）.
例 3 设碗=3i + 5 j + 8k , n — 2i 一 4 j 一 7k , p — 5i + j 一 4k , 求向量a = 4m + 3n - p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解 ・.・ a = 4m + 3n — p
e a
a —I—a I=(cos a, cos p, cos y).
五•典型例题
例1求平行于向量a = 61 + 7 j - 6k的单位向量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与a同向，一个反向
| a |= J62 + 72 + (-6)2 = 11,
—a6- 7- 6-
・.・％= 一 = — i + — j k,
z
由图分析可知
A
M
2
Q
丿
=1
a
I cos
a
向 量
ay =| a 1 cos P 的
o
az =| a | cos/ 方
方向余弦通常用来表示向量的方向. 向
余
MM I = ^l\Mp\2+MiQl2 + MiR2
弦
| a I=^ax2 + ay2 + a2向量模长的坐标表示式
三、向量方向余弦的坐标表示式
3 2^4
2
1
•/cos a + cos P + cos y = 1, .二cosy = ±-.
冗2 = Y= 冗
设p的坐标为(x, y, z),
5.3 向量的投影、方向角与方向余弦
ax cos a a
ax a a a
2 x 2 y 2 z
,
cos b
ay a
ay a a a
2 x 2 y 2 z
,
az az cos , 2 2 2 a a x a y az
cos a cos b cos 1
2 2 2
例5-4
设向量a的两个方向角为
第3节 向量的投影、方 向角与方向余弦
一、向量的投影 二、方向角与方向余弦
一、 向量的投影
规定向量 a , b 的正方向之间不超过 180º的
夹角.设 a , b 的夹角为 , 则a cos称为向量 a在向量b上的投影,记为ab,即有
ab a cos
如下图5-8所示.类似地 ba b cos
a a
(a)
(b)
ab
b 图5-8
ab
b
二、方向角与方向余弦
那么它的终点 a 的起点放在坐标原点， 坐标A 的坐标就是(ax , ay , az). 由两点间距 离公式可知
R
2 2 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ OA a x a2 a y z .
z
A
O
P x
b a
Q y
非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 a 、b 、 (其中0 ≤a ≤ , 0 ≤ b ≤ , 0 ≤ ≤ )，称为向量 a 的方向角; 这三个角的余弦 cos a、cos b、cos 称为向量a 的方向余弦.所以
a 60 , b 30 , 求 .
解
2
由cos a cos b cos 1,
2 2 2
向量的投影
y
注意 向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标 轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别: 向量α在坐标轴上的投影是三个数 x、y、z, 而向量α在坐标轴上的分向量是三个向量： xi = (x,0,0) , yj = (0,y,0), zk= ( 0,0,z ).
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及 向量与数的乘法的运算如下： 设α =x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), β =x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2). 则有： α +β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k =(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ).
证
OA u1 ,
o
e
1
A u1
B u2
l
故 OA u1e , 同理， OB u2e , 于是
AB OB OA u2e u1e ( u2 u1 )e .
定义7 设有两个非零向量α，β，任取 空间一点O，作OA=α,OB=β，规定不超过 π 的∠AOB(设φ =∠AOB，O≤φ ≤π )称为 B 向量α与β的夹角 .
o x
P ( x ,0,0)
Q(0, y ,0)
y
A( x , y ,0)
空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
P
o x
2
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
向量知识点全总结
向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。
1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。
（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。
1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。
也可以用物理量的大小和方向表示。
1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。
（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。
（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。
1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。
（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。
1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。
对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。
可以用夹角来表示向量的方向。
1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。
1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中常见的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在几何中，向量可以表示方向和大小，而在物理和工程中，向量可用于描述物体的位移、力和速度等概念。
本文将对向量的基本概念、运算法则以及常见公式进行总结。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的，并且在平行移动下具有相同效果的量。
向量通常用字母加上箭头表示，如a。
例如，一个位移向量表示从起点到终点的位移距离和方向。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用行列式表示。
在坐标表示中，向量通常以一个起点和一个终点表示，用终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标。
在行列式表示中，向量被表示为一个一维数组。
3. 向量的性质：向量具有方向、大小和平移性质。
向量的方向可以用角度或方向余弦表示，大小可以用模长表示，平移性质表示向量的平移不会改变其大小和方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意的向量a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法：向量的减法等于其加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反方向和相同大小的向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足分配律和结合律。
即对于任意的标量k和向量a、b，有k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，它是两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量a和b的数量积表示为a · b = |a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，它是两个向量的模长乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
两个向量a和b的向量积表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ表示a和b之间的夹角，n 表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
高等数学：向量及其线性运算
⾼等数学：向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓、投影两个向量的夹⾓：即间任意取值．规定它们的夹⾓可在0与?之OBAj向量的⽅向⾓：?、?、?(0??对于⾮零向量?我们可以⽤它与三条坐标轴的夹⾓向量的⽅向余弦：因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，所以ax?||cos?；ay?||cosb；az?||cosg；上述cos?、cos?、cos?叫做向量的⽅向余弦．向量的模的坐标表⽰：向量的⽅向余弦的坐标表⽰：当?0时，可得⽅向余弦的平⽅和：单位向量的表⽰：?{cos?，cos?，cos?}．向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A?和B?.称有向线段A?B?为定义的投影向量或射影向量.向量AB在轴u上B''BA''uA机动⽬录上页下页返回结束称向量AB在轴u上的投影，记作向量的投影性质.定理(投影定理)设向量AB与轴u的夹⾓为?则PrjuAB=|AB|·cos?B?BA?Au?B1??机动⽬录上页下页返回结束解致的单位向量．过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．⼀、向量的概念及线性运算⼆、空间直⾓坐标系三、利⽤坐标作向量的线性运算§6．1向量及其线性运算四、向量的模、⽅向⾓及投影1、向量的概念：既有⼤⼩，⼜有⽅向的量叫做向量．在数学上，⽤⼀条有⽅向的线段(称为有向线段)来表⽰向量．有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，有向线段的⽅向表⽰向量的⽅向．例如⼒、⼒矩、位移、速度、加速度等都是向量．⼀、向量的概念及线性运算以M1为起点、M2为终点的有向线段所表⽰的向量，记作．向量的符号：向量可⽤粗体字母表⽰，也可⽤上加箭头书写体字母表⽰，例如，b，i，j，k，F，M1M2由于⼀切向量的共性是它们都有⼤⼩和⽅向，所以在数学上我们只研究与起点⽆关的向量，并称这种向量为⾃由向量，简称向量．⾃由向量：因此，如果向量a和b的⼤⼩相等，且⽅向相同，则说向量a和b是相等的，记为a?b．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的模：单位向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0．零向量的起点与终点重合，它的⽅向可以看作是任意的．模等于1的向量叫做单位向量．零向量：向量的⼤⼩叫做向量的模．向量的平⾏：零向量认为是与任何向量都平⾏．两个⾮零向量如果它们的⽅向相同或相反，就称这两个向量平⾏．向量a与b平⾏，记作a//b．2、向量的线性运算向量的加法：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，bacaABbCbbaa注意求和过程：再以B为的和，记作a?b，即c?a?b．设有两个向量a与b，任取⼀点A，作?a，起点，作=b，那么向量?c称为向量a与b连接AC，cab向量的加减法向量的加法：这种作出两向量之和的⽅法叫三⾓形法则．平⾏四边形法则：AD 为边作⼀平⾏四边形ABCD，以AB、C连接对⾓线AC，当向量a与b不平⾏时，作?a，?b，那么向量等于向量a与b的和a?b．bacaABbD负向量：向量的减法：设a为⼀向量，与a的模相同⽽⽅向相反的向量叫做a的负向量，记为?a．我们规定两个向量b与a 的差为b?a?b?(?a)．即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差b?a．a-ab-abb?ab?aa三⾓不等式：由三⾓形两边之和⼤于第三边的原理，有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|，其中等号在b与a同向或反向时成⽴．a+babaa?bb向量与数的乘法向量a与实数?的乘积记作?a，规定?a是⼀个向量，它的模|?a|?|?||a|，它的⽅向当?>0时与a相同，当??0时，|?a|?0，即?a为零向量，当?<0时与a相反．向量平⾏的充分必要条件：定理1设向量a?0，那么，向量b平⾏于a的充分必要条件是：存在唯⼀的实数?，使b??a．向量的单位化：设a?0，则向量是与a同⽅向的单位向量，记为．于是a?|a|．解由于平⾏四边形的对⾓线互相平分，所以baABCDM形对⾓线的交点．⼆、空间直⾓坐标系O过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点x轴(横轴)x1y1z1拇指⽅向四指转向右⼿规则三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：OzyxOzyx三条坐标轴中的任意两条可以确定⼀个平⾯，这样定出的三个平⾯统称为坐标⾯．x轴及y轴所确定的坐标⾯叫做xOy⾯，另两个坐标⾯是yOz⾯和zOx⾯.坐标⾯：Ozyx第⼀卦限卦限：三个坐标⾯把空间分成⼋个部分，每⼀部分叫做卦限．Ozyx第⼆卦限卦限：第三卦限Ozyx卦限：Ozyx第四卦限卦限：Ozyx第五卦限卦限：Ozyx第六卦限卦限：Ozyx第七卦限卦限：Ozyx第⼋卦限卦限：点的坐标：设M为空间⼀已知点．过点M作三个平⾯分别垂直于x轴、y轴和z轴，三个平⾯在x轴、y轴和z轴的交点依次为P、Q、R，在x轴、y轴和z轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、z的点M记为M(x，y，z)．OxyzPRxzyMQM1M2=OM2?OM1=(x2i+y2j+z2k)?(x1i+y1j+z1k)=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)kzxyM1M2o机动⽬录上页下页返回结束设M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)为空间两点．??ax?ay?az上式称为向量按基本单位向量的分解式．=(x2?x1)i+(y2?y1)j+(z2?z1)k向量在三个坐标轴上的投影ax、ay、az叫做向量的坐标，并记?{ax、ay、az}，此式叫做向量的坐标表⽰式．注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影(即向量的坐标)有本质的区别，向量在坐标轴上的投影是三个数ax，ay，az，⽽向量在坐标轴上的分向量是三个向量d=|M1M2|=向径：以原点O为起点，向⼀个点M引向量，OxyzMr这个向量叫做点M对于点O的向径，三、利⽤坐标作向量的线性运算：则?{ax?bx，ay?by，az?bz}．?{ax-bx，ay-by，az-bz}．?{?ax，?ay，?az}．，利⽤向量的坐标判断两个向量的平⾏：则即于是过空间⼀个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且⼀般具有相同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x轴和y轴配置在⽔平⾯上，⽽z 轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右⼿规则．这样的三条坐标轴就组成了⼀个空间直⾓坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．。
方向余弦 单位向量
方向余弦单位向量
方向余弦是一种用于表示向量方向的数学概念，它是一个三元组，包括向量在三个方向上的单位向量的值。
在三维空间中，向量的方向
可以用三个方向余弦表示，分别为x轴方向余弦、y轴方向余弦和z轴方向余弦。
这些值可以用三角函数来计算，其中x轴方向余弦等于向
量在x轴上的投影除以向量长度，y轴方向余弦等于向量在y轴上的投影除以向量长度，z轴方向余弦等于向量在z轴上的投影除以向量长度。
方向余弦常用于计算角度和方向，在航空航天、机械制图、地球物理
学等领域有着广泛的应用。
向量的单位与方向余弦
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注意事项：方向余弦的求解需要考虑向量的模长和方向，以及坐标轴的方向。
实际应用：方向余弦在物理学、工程学等领域有广泛应用，例如在分析力矩、转动惯量等物理量时需要用到方向 余弦。
物理模拟：用于描述物体的运动方向和速度 导航系统：确定物体的方向和速度，用于定位和导航 机器人控制：通过方向余弦控制机器人的移动方向和速度 数据分析：在数据分析中，方向余弦可用于描述数据的分布和趋势
运算方式：单位向量 进行点乘运算时结果 为1，方向余弦进行 点乘运算时结果为角 度余弦值。
应用场景：单位向量 常用于表示向量的缩 放比例，方向余弦常 用于描述向量的方向 。
单位向量：模长为1的向量，表示一个方向上的单位长度
方向余弦：表示向量在某个方向上的倾斜程度，由三个余弦值组成
单位向量与方向余弦的关系：单位向量的模长等于1，方向余弦的三个值之和等于1 单位向量与方向余弦在向量运算中的作用：单位向量可以用于表示向量的长度和方向，方向 余弦可以用于表示向量的倾斜程度和方向，两者在向量运算中具有重要的作用
与原点距离为0 方向不定
方向余弦
方向余弦是描述向量方向的一种方式 由三个角度的余弦值组成，分别表示向量在x、y、z轴上的投影 方向余弦与向量的模长无关，只与向量的方向有关 通过方向余弦可以确定一个向量在三维空间中的具体方向
定义：方向余弦是向量在某个方向上的投影与该方向之间的夹角的余弦值。
计算步骤：首先确定向量的坐标，然后计算向量在各个坐标轴上的投影，最后根据投影和夹角计算方向余弦。
向量的单位与方向余 弦
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向量的单位
方向余弦
单位向量与方向余 弦的关系
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方向向量和方向余弦的关系(一)
方向向量和方向余弦的关系(一)方向向量和方向余弦的关系方向向量和方向余弦是研究空间中向量方向关系的两个重要概念。
它们之间存在着紧密的联系和相互转化的关系，本文将对它们的关系进行简述和解释。
方向向量方向向量是指表示空间中任意一个向量的方向的向量。
在三维空间中，一个向量可以用其在各个坐标轴上的分量来表示。
例如，一个向量V可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy、Vz分别表示V在x轴、y轴和z轴上的分量。
方向向量可以用来表示一个物体的移动方向、力的作用方向等。
它通常以单位向量的形式给出，即长度为1的向量。
通过单位化向量，我们可以忽略向量的大小，而只关注其方向。
方向余弦方向余弦是指一个向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，一个向量V与坐标轴之间的方向余弦可以用以下公式表示：cosα = Vx / ||V|| cosβ = Vy / ||V|| cosγ = Vz / ||V||其中α、β、γ分别表示向量V与x轴、y轴、z轴之间的方向余弦，Vx、Vy、Vz分别表示向量V在x轴、y轴和z轴上的分量，||V||表示向量V的长度。
方向余弦是一个无量纲的数值，它表示了一个向量与坐标轴之间的夹角的大小。
通过方向余弦，我们可以准确地描述一个向量在空间中的方向。
方向向量与方向余弦的关系方向向量和方向余弦之间存在着密切的关系。
方向向量可以通过方向余弦来表示，而方向余弦也可以通过方向向量来计算。
假设一个向量V的方向余弦分别为cosα、cosβ、cosγ，那么可以通过以下公式得到其对应的方向向量：V = (||V|| * cosα, ||V|| * cosβ, ||V|| * cosγ)反之，如果已知一个向量V的方向向量为(Vx, Vy, Vz)，那么可以通过以下公式得到其对应的方向余弦：cosα = Vx / ||V|| cosβ = Vy / ||V|| cosγ = Vz / ||V||通过方向向量和方向余弦之间的相互转化，我们可以在空间中准确地描述和分析向量的方向。
平面向量的角度和方向余弦
平面向量的角度和方向余弦平面向量是指在同一平面内有大小和方向的箭头，通常用字母加箭头表示，如向量a用符号a→表示。
平面向量的重要性在于它们能够用于描述力、速度和位移等物理量，并且有许多运算性质和几何意义。
在平面向量的研究中，角度和方向余弦是两个重要的概念。
角度是指平面向量之间的夹角，而方向余弦则表示每个向量在坐标轴上的投影。
一、平面向量的角度平面向量的角度可以通过点乘来求解。
设有两个非零向量a→和b→，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a→·b→)/(|a→||b→|)其中，·表示点乘，|a→|和|b→|分别表示向量a→和b→的模（长度）。
根据这个公式，我们可以推导出一些关于平面向量角度的重要性质。
1. 如果夹角θ等于0度，则a→和b→平行且同向。
当两个向量之间的夹角为0度时，表示它们的方向完全相同，即平行且同向。
此时，根据公式cos0° = 1，我们可以得出a→·b→ =|a→||b→|。
换句话说，两个平行向量的点乘等于它们的模的乘积。
2. 如果夹角θ等于180度，则a→和b→平行但方向相反。
当两个向量之间的夹角为180度时，表示它们的方向完全相反，即平行但方向相反。
此时，根据公式cos180° = -1，我们可以得出a→·b→ = -|a→||b→|。
换句话说，两个反向平行向量的点乘等于它们的模的乘积的相反数。
3. 如果夹角θ等于90度，则a→和b→垂直且长度无关。
当两个向量之间的夹角为90度时，表示它们垂直，即互相正交。
此时，根据公式cos90° = 0，我们可以得出a→·b→ = 0。
换句话说，两个垂直向量的点乘等于0，与它们的模的乘积无关。
通过这些性质，我们可以进一步探索平面向量的几何意义和运算性质。
二、平面向量的方向余弦方向余弦是指一个向量在坐标轴上的投影，它反映了向量在各个坐标轴上的分量大小。
向量的投影[1]
![向量的投影[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/605ab229a76e58fafab003dc.png)
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及
向量与数的乘法的运算如下：
设α =x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1),
β 则有：
=x2i+y2j+z2k=
(x2,y2,z2).
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
Ck M
j、k,其方向与三坐标
轴的正向相同，称它 们为基本单位向量.
B
i
o A
j
y
显然， OM =xi+yi+zk，x
其中x,y,z是向径OM在坐标轴上的投影， 也就是终点M的坐标.
定义10 设空间直角坐标系中有向量α，把
它平移，使起点移到坐标原点，M为向量α的
终点，则终点M的坐标x、y、z也叫做向量α 的坐标.记作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量
组成了一个空间直角坐标
空间直角坐标系
系.点O叫做坐标原点(或
原点).
空间直角坐标系的八个卦限
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
向量的方向余弦
向量的方向余弦
方向余弦是指在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。
两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。
若有向量MN={x,y,z}，则向量MN的单位向量就为向量MN除以向量MN的模，α、β、γ分别为方向角，方向余弦分别为cosα、cosβ、cosγ。
而方向余弦即为cosα=x/|MN|，cosβ=y/|MN|，cosγ=z/|MN|。
举个例子：若设向量MN={1-2,3-2,0-√2}={-1,1,-√2},模|MN|=根号下[(-1)^2+1^2+(-√2)^2]=2，方向余弦cosα=-1/2，cosβ=1/2，cosγ=-√2/2。
方向余弦方向角的知识
这是空间向量的一个基本概念问题。
向量a={x,y,z}，量a°是向量a的单位向量，a°|=1。
则a°=(cosα)i+(cosβ)j+(cosγ)k
中,i,j,k是坐标单位向量；式中,α,β,γ就叫做向量的方向角；cosα,cosβ,cosγ就叫做方向余弦。
空间向量的概念
空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。
如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键。
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向量的模与方向余弦的坐标表示式.
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a
0
|
ar ar
|
(|aarx
|
,
|aarx
|
,
|aary
) |
{cos, cos , cos }.
例1 已uAu知Buv 两的点模A，（方2向,2,余2弦）和,B方(1,向3,0角),。求向量
解：
uuuv uuuv uuuv AB OB OA (1,3, 0) (2, 2, 2) (1,1, 2) uuuv AB 11 2 4 2
(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
uuur 例7 设点A位于第I卦限，其向径的模 AB ＝6，
uuur 且向径OA与x轴、y轴的夹角依次为
一条棱为OA，且 OA a,
uuur uuuur
uuur
求OA在OM方向上的投影Prjuuuur OA OM
解
记MOA= , 则
cos OA 1
OM 3
uuur uuur
则Prjuuuur OA＝ OA3
四、小结
向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.
第七章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的方向余弦及投影
四、方向角和方向余弦 五、向量在轴上的投影
四、向量的模与方向余弦的坐标表示式
空间两向量的夹角的概念：
a
0,
b 0,
b
向量a与向量b的夹角
a
(a, b)
(b,
a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2 ay2 az2
cos
az
.
ax2 ay2 az2
3
和
4
，
求点A的坐标。
解 = ， = ,由关系式 cos2 cos2 cos2 1
3
4
得 cos2 ＝1 ( 1 )2 ( 2 )2 1 ,
2
2
4
由点A在第一卦限，知cos ＝ 1 .
2
于是
OuuAur＝（ 6 12
，2 2
，1）＝（3，3 2
2，3），
也就是点A的坐标。
例8 设立方体的一条对角线为OM，
cos 1 , cos 1 , cos 2
2
2
2
2, 1, 3.
3
3
4
五 向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
•A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
OA‘为OA在轴u上的分向量
O A’＝ λe , λ为向量OA在u轴上 的投影
向量投影的性质