向量的方向余弦及投影

方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a
0
|
ar ar
|
(|aarx
|
,
|aawk.baidu.comx
|
,
|aary
) |
{cos, cos , cos }.
例1 已uAu知Buv 两的点模A，（方2向,2,余2弦）和,B方(1,向3,0角),。求向量
解：
uuuv uuuv uuuv AB OB OA (1,3, 0) (2, 2, 2) (1,1, 2) uuuv AB 11 2 4 2
3
和
4
，
求点A的坐标。
解 = ， = ,由关系式 cos2 cos2 cos2 1
3
4
得 cos2 ＝1 ( 1 )2 ( 2 )2 1 ,
2
2
4
由点A在第一卦限，知cos ＝ 1 .
2
于是
OuuAur＝（ 6 12
，2 2
，1）＝（3，3 2
2，3），
也就是点A的坐标。
例8 设立方体的一条对角线为OM，
一条棱为OA，且 OA a,
uuur uuuur
uuur
求OA在OM方向上的投影Prjuuuur OA OM
解
记MOA= , 则
cos OA 1
OM 3
uuur uuur
则Prjuuuur OA＝ OA cos＝
a
.
OM
3
四、小结
向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.
cos 1 , cos 1 , cos 2
2
2
2
2, 1, 3.
3
3
4
五 向量在轴上的投影
空间一点在轴上的投影
•A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
OA‘为OA在轴u上的分向量
O A’＝ λe , λ为向量OA在u轴上 的投影
向量投影的性质
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a| ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2 ay2 az2
cos
az
.
ax2 ay2 az2
（注意分向量与向量的坐标的区别）
向量的模与方向余弦的坐标表示式.
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
第七章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的方向余弦及投影
四、方向角和方向余弦 五、向量在轴上的投影
四、向量的模与方向余弦的坐标表示式
空间两向量的夹角的概念：
a
0,
b 0,
b
向量a与向量b的夹角
a
(a, b)
(b,
a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
uuur 例7 设点A位于第I卦限，其向径的模 AB ＝6，
uuur 且向径OA与x轴、y轴的夹角依次为