向量射影在几何解题中的应用
射影定律公式
射影定律：从几何到代数的桥梁射影定律是数学中一个非常重要的定理，它是几何和代数的桥梁。
下面将介绍射影定律的公式和定义，以及它在数学中的应用。
射影定律的公式为：在复项目射影空间上，对于任意一组线性无
关的向量 $v_1, v_2, ..., v_n$，以及任意一个向量 $w$，存在唯一
的 $n$ 元组$(λ_1, λ_2, ..., λ_n)$ 满足$w = λ_1 v_1 +
λ_2 v_2 + ... + λ_n v_n$。
射影定律的定义是：给定一组线性无关的向量 $v_1, v_2, ...,
v_n$，它们张成的空间称为一个射影空间。
当一个向量不在这个空间
中时，我们可以沿着它的方向无限远地延伸出去，使得它最终落在射
影空间上。
因此，我们可以把这个向量看作一条从射影空间出发的射线，称为射影向量。
而射影定律就是描述了任意一个向量 $w$ 和一组
射影向量之间的关系。
在数学中，射影定律有广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，
我们常常需要将三维物体映射到二维屏幕上，这就需要用到射影变换。
此外，在代数几何中，射影几何就是以射影空间和射影变换为基础的
一个分支，它不仅可以应用到几何学中，而且还可以解决各种代数问题，如代数曲线的交点数问题等。
总的来说，射影定律是一条强大的工具，它不仅在几何学中有重
要的应用，而且在代数学和计算机科学中也发挥着重要的作用。
当我
们深入了解了射影定律之后，它将成为我们解决各种数学问题的有力工具。
《向量在轴上的射影》课件
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投影长度
投影长度等于原向量长度 与它在轴上投影角度的正 弦值的乘积。
投影方向
投影方向与原向量在该轴 上的方向一致。
向量在轴上射影的计算方法
计算方法一
利用向量的点乘和叉乘运算，通 过计算原向量与给定轴向量的点 乘和叉乘，得到射影向量的坐标
。
计算方法二
利用向量的模长和夹角，通过计算 原向量在给定轴上的夹角和模长， 得到射影向量的模长和夹角。
向量的模
总结词
衡量向量的大小
详细描述
向量的模表示为$|overset{longrightarrow}{AB}|$，表示向量的大小或长度。 计算公式为$|overset{longrightarrow}{AB}| = sqrt{x^2 + y^2}$，其中x和y 是向量的坐标分量。
向量的表示方法
总结词
计算方法三
利用向量的投影矩阵，通过构造投 影矩阵，将原向量投影到给定轴上 ，得到射影向量的坐标。
CHAPTER
03
向量射影的性质
射影的长度
总结词
射影的长度等于向量在轴上的投影长 度。
详细描述
向量在轴上的射影长度等于向量与轴 的夹角的余弦值乘以向量的模长。这 个性质在计算射影长度时非常有用， 尤其是在解决物理和工程问题时。
射影的方向
总结词
射影的方向与轴的夹角等于向量与轴 的夹角。
详细描述
射影的方向与轴的夹角等于向量与轴 的夹角，这个性质决定了射影的方向 。在二维空间中，射影的方向可以通 过改变向量与轴的夹角来改变。
射影的平行与垂直
总结词
射影与原向量平行当且仅当向量与轴垂直；射影与原向量垂 直当且仅当向量与轴平行。
用向量法解五类立体几何题的思路
思路探寻立体几何问题的命题形式很多，常见的有求平面外一点到平面的距离，求两条异面直线之间的距离，求直线与平面所成的角，求二面角，证明面面平行、垂直等.有时采用常规方法求解立体几何问题比较复杂，甚至很难获得问题的答案，此时不妨运用向量法，将立体几何问题转化为向量运算问题，通过简单的计算即可解题.向量法是指给线段赋予方向，给各个点赋予坐标，通过向量运算求得问题的答案.下面结合实例探讨一下如何运用向量法求解五类立体几何问题.一、求平面外一点到平面的距离如图1，若点P 为平面α外的任意一点，要求P 到平面α的距离，需先求得向量OP 以及平面α的法向量n .那么法向量n 方向上的正射影长h =|| OP sin <OP ，n >=|| OP ∙n||n ，即为P 到平面α的距离.运用向量法求平面外一点到平面的距离，主要是运用向量数量积的几何意义：一个向量与其在另一个向量方向上的投影的乘积.图1图2例1.在正方体ABCO -A 1B 1C 1O 1中，M 、N 是B 1C 1和C 1O 1的中点，正方体的棱长是1，求A 1与平面OBMN 之间的距离.解：以O 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，可得 OB =（1，1，0）， O N =（0，12，1）， OA 1=（1，0，1），设平面OBMN 的法向量是n =（x ，y ，z ），则{n ∙ O B =0，n ∙ ON =0，即ìíîïïx +y =0，12y +z =0，令x =1，y =-1，z =12，则n =（1，-1，12），则A 1到平面OBMN 的距离h =|| OA 1∙n||n =1.由于无法确定点A 1到平面OBMN 的射影，所以根据法向量与射影的关系，运用向量法求解.运用向量法求平面外一点到平面的距离，关键是要根据线面垂直的判定定理求得平面的法向量.在求法向量时，往往要先设出法向量n ；然后在平面内找到两条直线a 、b ，并求得其方向向量a 、b ；再建立方程组{n ∙a =0，n ∙b=0，通过解方程组求得法向量n 的坐标.二、求空间中两条异面直线之间的距离求两条异面直线之间的距离，需运用转化思想，把两条异面直线之间的距离转化为平面外一点到平面的距离.在求两条异面直线之间的距离时，需先求出两条异面直线的方向向量a 、b，并求得两个向量所在平面的法向量n ，那么两条异面直线之间的距离为h =||a ∙n ||n .例2.如图3，正方体ABCO -A 1B 1C 1O 1的棱长为1，求异面直线OA 1和AC 之间的距离.解：以O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，可得 AC =（-1，1，0）， O 1A =（1，0，-1）， AA 1=（0，0，1）设n =（x ，y ，z ）为平面A 1C 1O 的法向量，建立方程组得ìíîn ∙ AC =0，n∙O 1A =0，即{-x +y =0，x -z =0，图346思路探寻令x=1，可得法向量n =（1则异面直线OA1和AC.定两条异面直线的公垂线，繁琐.的方向向量及其法向量，求得异面直线之间的距离，果.三、求直线与平面所成的角如图4所示，设直线OP用向量法求直线OP与平面αα的法向量n 和直线OP的数量积公式求得|cos< OP,n >OP与平面α所成角的正弦值为意的是，直线OP与平面α图4例3.如图5，正方体ABCOA1B1的中点为M，试求直线AM的正弦值.解：以O为原点，建立如图5则AB=（0，1，0），AO1=（-1设n =（x，y，z）为平面ABC1O则ìíîn ∙AB=0，n ∙AO1=0，即{y=0，-x+z=0令x=1，可得n =()1,0,1，设AM与面ABC1O1则sinθ=|| AM∙n|| AM∙||n ，即直线AM与平面ABC1O1α-的平面1，.）为平面往往要先求得两个平47探索探索与与研研究究面的法向量，α、β的法向量n α∥ n β，则平面α的法向量 n α⊥ n β，则平面α⊥例5.正方体ABCO -A 1B 1C 1O M 分别是A 1C 1、A 1O 、B 1A 上的任意一点，求证：平面B 1MC ∥平面A 1EF .证明：以O 为原点，建立如图8所示的空间直角坐标系，由题意可得A 1C 1=()-1,1,0,B 1C =()-1,0,-1,A 1O =()-1,0,-1,B 1A =()0,-1,-1，设 A 1E =λ A 1C 1， A 1F =μ A 1ν∈R ，且均不为0），设平面A 1EF 的法向量为n 1则ìíî n 1∙A 1E =0，n 1∙ A 1F =0，可得ìíî n 1∙λ A 1 n 1∙μ A 1则ìíî n 1∙A 1C 1=0， n 1∙ A 1O =0，则{-x +y =0x +z =01EF 的法向量为n 1=（1，1，-1），n 2，ìíî n 2∙ν B 1A =0，n 2∙ B 1C =0，{-y -z =0，-x -z =0，1MC 的法向量n 2=（-1，1，-1），n 1∥ n 2，B 1MC .需熟悉向垂直关系，⊥ n 2； n 1=λ n 2⇔ n 1∥ n 2.需注意以（2）熟练运用（3）明确向量与线段、坐标甘肃省武威铁路中学）求数列前n 项和问题具有较强的综合性，侧重考查等差和等比数列的通项公式、定义、性质以及前n 项和公式.常见的命题形式有：（1）根据数列的递推关系式求数列的前n 项和；（2）根据数列的通项公式求数列的前n 项和；（3）根据一个数列的前n 项和求另一个相关联数列的前n 项和.解答数列求和问题的常用方法有分组求和法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法、倒序相加法.下面结合实例,谈一谈这几种途径的特点以及应用技巧.一、分组求和分组求和法是指将数列中的各项分为几组，分别进行求和.在解题时，要先仔细研究数列的通项公式，将其合理地拆分为几个等差、等比、常数数列通项公式的和、差；再将数列划分为多个组，分别根据等差、等比数列的前n 项和公式求得每一组数列的和.例1.已知S n 为数列{}a n 的前n 项和，4a n =3S n +1.48。
射影几何公理
射影几何公理摘要：1.射影几何公理的概述2.射影几何公理的基本概念3.射影几何公理的推导与证明4.射影几何公理的应用5.射影几何公理的重要性正文：射影几何公理是射影几何的基础理论，它是研究射影空间中的点、线、面及其相关性质的数学工具。
射影几何公理主要包括以下几个方面：1.射影空间：射影空间是一个向量空间，其中的加法运算满足齐次性。
射影空间中的点可以看作是向量，线可以看作是向量空间中的直线，面可以看作是向量空间中的平面。
2.射影映射：射影映射是从一个射影空间到另一个射影空间的映射，它保持向量之间的加法运算。
射影映射可以将射影空间中的点、线、面映射到另一个射影空间中，从而研究它们之间的关系。
3.射影几何公理：射影几何公理是描述射影空间中点、线、面及其相关性质的一组公理。
射影几何公理包括以下三条基本公理：(1) 齐次公理：射影空间中的加法运算满足齐次性。
(2) 投影公理：对于射影空间中的任意直线和点，存在唯一的直线与该直线平行且经过该点。
(3) 线性组合公理：对于射影空间中的任意三个点，它们的线性组合可以表示为射影空间中的任意一点。
通过以上三条基本公理，可以推导出射影几何中的一系列定理和性质。
射影几何公理在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
4.射影几何公理的应用：射影几何公理在许多领域都有重要应用，例如在计算机图形学中，利用射影几何公理可以简化图形的表示和计算；在物理学中，射影几何公理可以用于描述光的传播和折射等现象；在几何学中，射影几何公理为研究空间几何问题提供了一种有效的方法。
5.射影几何公理的重要性：射影几何公理是射影几何的理论基础，它为研究射影空间中的点、线、面及其相关性质提供了一种统一的理论框架。
向量在射影几何中的应用举例
｛
蚝 ｌ Biblioteka 它 的向径 的坐标 是相 同的．
设 点的齐 次坐标 为 Ａ（ １ 口 ， ３ ， ６ ， ａ ，２ 口 ） Ｂ（ ｌ
６ ， ， （ｌｃ， ）则 ＝口 ｎ ， ，３ ， ２ ）Ｃ ｃ， ， ２ ＝ ＝（ｌ ａ ） ＝
＝ ６ （１６ ， ） （ 一 ｃ （１ ｃ ，３． ＝ ６ ，２ ， 一 ｆ ， Ｃ） ２
Ｃ ， Ｒ＝ＡＢ×Ａ Ｂ 共 线． 证 明 由条件 ＡＡ ， ｃ ＇ 线 共 点 ＢＢ ， ｃ 三
则对 应边 的交点 Ｐ＝ＢＣ￣Ｂ Ｃ ， Ｑ＝Ｃ Ａｘ ２三 点 Ａ， Ｃ共 线 的充分必 要 条件 是 ： Ｓ， ． Ｂ，
ｌ ｎ铂 吼２ ｌ ０ Ｊ ｂ ｂ＝． ，Ｉ ２ ３ ０ 或ｂ １ ｌ ｆ
。 。
于 Ｓ 则 ＝ － ； ， ０ ＋。 ３ －
， ＝ｙ ＋ｙ
一
， ＝ 商 ＋
， 得
３三 点 Ａ， Ｃ（ 中 Ａ 与 Ｂ 不 重合 ） ． Ｂ， 其 共 线 的充分 必要条 件是 ：：Ａ ＋ ， ＋ ≠０ ｃ ａ ，
或 Ｃ ＂ ＋ｋ ． ￣ －ａ ｂ ２ 直线 的齐次 方程Ｄ ］ 相异两 点 Ａ 与 Ｂ 的连 线 ＡＢ 的齐 次 方
作 者 简 介 ： 平 （ ９ ２ ）女 ， 江 平 阳人 ， 教 授 ， 郑 １ ６一 ， 浙 副 主要 从 事 基 础 数学 （ 何 方 向 ） 几 的研 究 ．
第 ２ 卷 第 ５期 ９
２１ ００年 ５月
数 学 教 学 研 究
５ ９
４ 巴 卜斯 定 理 的 证 明 ］
（ （ ×口 ） ｃ×ｎ ＝・ ｎ ） ［ ｃ ×（ ） （ ×ｂ） Ｊ
５ ８
数 学获啦研究
射影定理数学
射影定理数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：射影定理是数学中一个非常重要的定理，它涉及到向量空间的一个关键概念——射影。
射影定理给出了一个向量在子空间上的投影，使得投影向量和原向量之间的误差最小。
让我们来回顾一下向量空间和子空间的概念。
向量空间是由一组向量组成的集合，满足一定的代数运算规则，比如加法和数乘。
子空间是向量空间的一个子集，同时也是一个向量空间。
二维平面上的一条直线就是一个子空间。
在实际问题中，我们常常需要将一个向量投影到一个子空间上。
这样做的一个重要原因是，子空间可能是我们能处理的一个更简单的空间，或者是一个我们感兴趣的具体问题所在的空间。
射影定理就是给出了如何在子空间上进行向量投影的方法。
射影定理的表述如下：设W是n维向量空间V的一个子空间，对于任意一个向量v\in V，存在唯一的向量w\in W，使得v和w之间的误差向量(v-w)与W中的任意向量u\in W垂直。
也就是说，v-w与u 的内积等于零。
利用这个性质，我们可以给出向量v在子空间W上的投影P(v)。
投影P(v)定义为与v最接近的W中的向量，使得误差向量(v-P(v))与W中的任意向量垂直。
我们也可以通过计算投影矩阵P来求得投影向量P(v)，投影矩阵P满足P^2 = P且Pv = P(v)。
射影定理的一个重要应用是在最小二乘问题中的使用。
在最小二乘问题中，我们希望找到一个向量x，使得Ax尽可能接近b，其中A是一个矩阵，b是一个向量。
将最小二乘问题表示为A\hat{x} = P(b)，其中\hat{x}是问题的解，P(b)是b在A的列空间上的投影。
通过射影定理，我们可以得到最小二乘问题的一个解析解。
这个解析解可以帮助我们更快地求解最小二乘问题，避免了需要迭代计算的过程。
射影定理还有很多其他应用，比如图像处理中的特征提取、数据挖掘中的维数约简等。
通过射影定理，我们可以更好地理解向量空间中的投影问题，从而应用到各种实际问题中。
射影定理向量
射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了一个向量在另一个向量上的投影，具有广泛的应用。
本文将从几个不同的角度介绍射影定理，并探讨其在实际问题中的应用。
第一部分，我们将从射影定理的定义入手，解释向量在另一个向量上的投影是如何计算的。
射影定理告诉我们，对于给定的向量a和向量b，向量a在向量b上的投影可以通过将向量a与向量b的单位向量b'相乘得到。
这个投影向量的长度等于向量a在向量b上的投影长度，方向与向量b相同。
通过这个定义，我们可以更好地理解射影定理的几何意义。
第二部分，我们将讨论射影定理在几何学中的应用。
射影定理可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断一个向量是否在另一个向量的正交补空间中。
此外，射影定理还可以用来计算点到直线的距离，以及点到平面的距离。
这些应用使得射影定理在几何学的研究和实际问题中具有重要的意义。
第三部分，我们将探讨射影定理在工程学中的应用。
射影定理可以用来解决工程中的优化问题，例如最小二乘法问题。
在最小二乘法中，我们需要找到一个向量，使得该向量与给定的数据点之间的误差最小。
射影定理提供了一种有效的方法来计算这个最优解。
此外，射影定理还可以用来解决机器学习中的分类问题，通过将数据点投影到不同的类别中，可以实现对数据的分类。
第四部分，我们将讨论射影定理在物理学中的应用。
射影定理在物理学中有广泛的应用，例如在力学中，射影定理可以用来计算物体在斜面上的运动。
在电磁学中，射影定理可以用来计算电场和磁场的分布。
在量子力学中，射影定理可以用来描述粒子的波函数。
这些应用使得射影定理在物理学的研究和实际问题中发挥着重要的作用。
通过以上几个角度的介绍，我们可以看到射影定理在不同学科和领域中的重要性和广泛应用。
射影定理不仅仅是一种数学工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
通过理解和运用射影定理，我们能够更好地理解和解决实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
因此，射影定理是学习线性代数和应用数学的重要内容，也是培养学生综合思考和解决问题能力的重要途径。
射影定理的原理和应用
射影定理的原理和应用1. 射影定理的原理射影定理是在线性代数中常用的一条重要定理，它描述了向量空间中的向量通过投影运算能够分解为两个互相垂直的向量的和。
1.1 向量空间和内积空间在介绍射影定理之前，我们先来了解一下向量空间和内积空间的概念。
•向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一些基本的性质，如封闭性、结合律、分配律等。
在向量空间中，我们可以定义向量的加法和数乘运算。
•内积空间是在向量空间的基础上引入了内积的概念。
内积是一个函数，它将两个向量映射为一个标量，满足一些基本的性质，如对称性、线性性、正定性等。
1.2 射影定理的表述射影定理的表述如下：在内积空间中，对于任意一个向量b和一个子空间M，存在唯一的向量a ∈ M，使得向量b与M中的任意向量m的差向量都垂直。
即，有b - a ∈ M⊥其中，M⊥表示M的正交补空间。
1.3 射影向量的计算为了计算向量b在子空间M上的射影向量a，我们可以使用射影公式进行计算。
射影公式如下：a = Pm(b) = (mb * m) / (m * m) * m其中，Pm(b)表示向量b在子空间M上的射影向量，mb表示向量b在子空间M上的投影向量，m表示子空间M的一组基。
2. 射影定理的应用射影定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、机器学习等领域。
2.1 图像处理中的应用在图像处理中，我们常常需要对图像进行降噪处理。
射影定理可以帮助我们去除图像中的噪声，并恢复出清晰的图像。
具体地，我们可以将图像看作是向量空间中的向量，其中每个像素点对应一个维度。
通过将图像向量投影到一个合适的子空间上，可以得到图像在该子空间上的射影向量，从而滤除图像中的噪声。
2.2 信号处理中的应用在信号处理中，射影定理可以用于信号压缩和信号恢复的问题。
例如，在无线通信中，由于带宽受限，需要对信号进行压缩以减少传输的数据量。
通过将信号投影到一个合适的子空间上，并保留最重要的部分信息，可以实现信号的压缩。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用演示教学
垂直条件下的找角——“射影”在立体几何中的应用
一、书本上给出的定义
根据课本，我们大致可以整理出
1、异面直线所成角：平移，
2、线面角：射影定义[找线面垂直]，等体积求高
3、二面角：定义[作交线垂线]，射影找线面垂直[三垂线法]，补形找交线，射影面积法
还有额外的：向量法，向量法的核心在于把“面”表示成法线
仔细思考可以发现，除了线线角之外，其它所有方法的共同点，都是“垂直”
线线垂直、线面垂直和面面垂直
而在这些垂直中，线面垂直[射影]一定是相互转化的核心！
以下例题，都是应用了“射影”，来标出顶点在底面投影的大致位置，然后利用
1、直观
2、垂直平分线[面]
3、角平分线[面]
来比较线段的大小啦~~~。
几何中的射影定理及其应用举例
几何中的射影定理及其应用举例几何学是一门研究空间形状和结构的学科，而射影定理则是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
本文将介绍射影定理的基本概念和原理，并通过几个实际应用举例，展示射影定理在几何学中的重要性。
射影定理是指在几何空间中，一条直线与两个平行平面相交，那么这条直线在其中一个平面上的投影与另一个平面上的投影互相平行。
这个定理的证明可以通过几何推理或向量运算来完成，但无论采用哪种方法，都需要基于空间几何学的基础知识。
在实际应用中，射影定理可以用来解决许多与投影相关的问题。
例如，在建筑设计中，我们常常需要考虑阳光的投影对建筑物的影响。
通过应用射影定理，我们可以确定在不同时间和季节，太阳光的投影位置和角度，从而为建筑物的设计提供参考。
这样，我们可以合理安排建筑物的窗户和遮阳设施，以达到舒适和节能的效果。
另一个应用射影定理的例子是在计算机图形学中。
在三维建模和渲染过程中，射影定理被广泛用于计算物体在二维屏幕上的投影效果。
通过将三维物体投影到屏幕上的二维平面，我们可以实现逼真的图像渲染和交互体验。
这个过程中需要考虑光源、摄像机位置和角度等因素，而射影定理为这些计算提供了基本原理和方法。
除此之外，射影定理还可以应用于地理测量、天文学、航空航天等领域。
在地理测量中，通过测量物体在地球表面上的投影，我们可以计算出物体的实际大小和位置。
在天文学中，射影定理可以帮助我们确定天体在观测设备上的投影位置和运动轨迹。
而在航空航天领域，射影定理则可以用来计算卫星的轨道和通信信号的传播路径。
总之，射影定理是几何学中的一个重要定理，它在解决空间中的投影问题时具有广泛的应用。
通过应用射影定理，我们可以解决建筑设计、计算机图形学、地理测量、天文学和航空航天等领域中的实际问题。
射影定理的应用不仅可以提高我们对空间结构和形状的理解，还可以为相关领域的研究和实践提供有效的工具和方法。
因此，深入理解和应用射影定理对于几何学的学习和应用具有重要意义。
射影定理及应用
射影定理及应用射影定理是数学中的一条重要定理，主要用于描述点到直线的垂直距离及其几何意义。
具体来说，射影定理指的是将一个点P投影到一条直线l上，得到的投影点R与直线l上的两点A、B连线所夹的线段AB的垂直平分线，以及点P到直线l的垂线PA的垂足H之间的关系。
射影定理的几何表述如下：给定点P和直线l，连接PA和PH，其中H为PA的垂足。
设点R是直线l上的点，使得线段BR与线段AR垂直且相等。
那么，线段PH是线段AB的中点，并且PA和PH是垂直的。
射影定理在几何学和数学分析中有广泛的应用，尤其是在线性代数和解析几何中。
首先，射影定理给出了点到直线的最短距离，也就是点P到直线l的垂直距离。
这一性质在很多实际问题中都有应用。
例如，在建筑设计中，我们常常需要确定房屋外墙的位置和间距。
利用射影定理，可以将墙面与水平基准线垂直，确定墙面的投影点，进而计算出墙面与地面的垂直距离。
其次，射影定理也用于计算图形的中点和垂足。
例如，给定一个三角形ABC，可以利用射影定理找到三角形的垂心、重心和外心。
垂心是三角形三条高线的交点，重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形三条垂直平分线的交点。
这些特殊点在三角形的构造和性质研究中起到了重要的作用。
另外，射影定理还可以应用于向量运算和线性代数中。
在向量空间中，可以用射影定理来表示向量在某个子空间上的投影。
这个投影可以用来求解线性方程组的解、拟合数据点到一个线性模型的最佳拟合线等问题。
射影定理为向量空间的研究提供了一个基本的工具，帮助我们更好地理解向量的性质和运算规律。
此外，射影定理还与三角函数有密切的关系。
在平面解析几何中，可以利用射影定理证明三角函数的诸多性质。
例如，可以证明正弦函数和余弦函数之间的和差公式、二倍角公式等。
射影定理为解析几何的研究提供了一个重要的几何工具，帮助我们更好地理解和应用三角函数。
射影定理也在微积分中有重要应用，例如在计算曲线的曲率和切线时。
在总结上述内容之前，我们还可以看到，射影定理在计算机图形学中也有广泛的应用。
利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何一、基本工具1.数量积： cos a b a b θ⋅=2.射影公式：向量a 在b 上的射影为a bb⋅ 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为PQ =u u u r2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ u u u r在法向量(),n A B =上的射影PQ n n⋅u u u r=即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r，计算平面α的法向量n ，计算PQ u u u r在α上的射影，即为点P 到面α的距离.四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB u u u r u u u r 和，则角<','AA BB u u u r u u u r>=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , 不需要用法向量。
射影定理向量
射影定理向量射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在向量空间中起着至关重要的作用。
本文将从几个不同的角度来介绍射影定理，并探讨它在实际问题中的应用。
我们需要明确射影定理的定义。
射影定理是指在一个向量空间中，任意一个向量都可以唯一地分解成两个部分：一个部分是与给定的向量空间的基向量张成的子空间正交的向量，另一个部分是与基向量张成的子空间的向量。
这个定理的重要性在于它使我们能够将一个向量分解成两个部分，从而更好地理解向量的性质和特点。
射影定理在计算机图形学中有着广泛的应用。
在三维计算机图形中，我们经常需要将三维空间中的点投影到二维平面上，以便在屏幕上显示。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种投影。
通过将三维点的坐标与一个透视投影矩阵相乘，我们可以得到其在二维平面上的投影坐标。
这种投影可以使得图像更真实地呈现在屏幕上，提高了计算机图形的逼真度。
射影定理还在信号处理中起着重要的作用。
在数字信号处理中，我们常常需要将信号从高维空间投影到低维空间中进行处理。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。
通过将信号与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现信号的降维处理。
这种降维可以大大减少信号处理的计算量，提高信号处理的效率。
射影定理还在统计学中有着广泛的应用。
在统计学中，我们经常需要将高维数据集投影到低维空间中进行分析。
射影定理提供了一种有效的方法来进行这种降维处理。
通过将数据集与一个投影矩阵相乘，我们可以得到其在低维空间中的投影值，从而实现数据的降维处理。
这种降维可以使得数据的分析更加简洁和高效。
射影定理不仅在计算机图形学、信号处理和统计学中有着广泛的应用，还在其他许多领域中发挥着重要的作用。
例如，在机器学习中，射影定理可以用来进行特征选择和降维处理，从而提高学习算法的性能。
在人工智能中，射影定理可以用来进行模式识别和图像处理，从而实现人机交互的目标。
射影定理是线性代数中的一个重要概念，它在各个领域中都有着广泛的应用。
射影定理的推导及在解三角形中的应用
36 福建中学数学 2019年第11期在对几何图形的分析中，任何一个几何图形都是由一个或若干个基本模型（或基本图形）组合而成．借助知识经验和思想方法，在直观视觉和分析比较的基础上，提炼出常见的基本数学模型，利用图形分离，缩短数学思维量，是提高数学解题能力的重要法宝．因此，教师在平时的教学过程中，都会有意识从一些典型例题的几何图形中提炼出数学模型，使学生能够快速辨认出属于哪种几何模型，从而迅速找到解题策略，提高解题效率．但笔者觉得不应过分强化其功能性，因为不仅模型有其局限性，无法放之“题海”皆可“套”；更重要的是，一旦没有模型可以套用学生会陷入束手无策的泥沼．因此通过知识源，从知识转化角度，引导学生思考、分析，不断调整解题策略和受阻思维，直到找到解决此类问题的通法，才是培养学生解题能力之王道[4]．4.2 感悟数学思想方法，提升数学能力就数学而言，本质是以数学知识和数学问题为载体，向学生渗透数学思想，让学生在潜移默化中学习数学思想方法，获得深层次的提升，因此数学思想方法的重要性是要大于数学知识本身的．就本题而言，主要是涉及了数形结合思想、转化与化归思想．数形结合思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数（量）与图（形）结合起来研究，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．转化与化归思想就是用相等的线段（角），转移已知条件（结论），组建新的解题环境，达到解决问题的目的．初中阶段还有两种很重要的数学思想方法是方程与函数思想、分类讨论思想．方程与函数思想是根据条件，结合图形，建立方程（组）或函数，使问题得以解决；分类讨论是“化整为零、各个击破，再化零为整”的解题策略．因此，教师在平时的解题教学中，应该选择经典的例题，加强数学思想的渗透．4.3 注意一题多解和多解归一一题多解是从不同角度，运用不同的思维方式来解决同一道题的思考方法．经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活．但是由于惰性和思维惯性，学生往往在历经千辛万苦解答完一题之后，是没有意识去寻求新的解法的．因此教师在解题教学中，一定要带领学生去充分挖掘题目中条件隐藏的信息，分析条件特征和图形特征，寻求突破口．多问问还有没有其他解法？课堂上尽可能多展示学生的不同的成型（或不成型）的思路方法，最终比较解法的优劣，寻求最佳解法．多解归一是对同一类型或者能够采用统一的解题方法的题型归纳总结出相应一体化的解题方案，达到以不变应万变的解题高度．因此教师在一题多解之后，也要注意引导学生进行多解归一．本题中证明EG DG=中的3种方法，本质都是全等的应用，这可以加深学生对数学的理解，促进对通性通法的认识，提高解题技巧与能力[5]．正如南京刘密贵所言：经一题，品一题，题题皆宝藏；遇一题，化一题，题题是故人．笔者想呼吁：题海无涯，回头是岸！参考文献[1]刘华为．基于知识转化，探求以题会类[J]．中学数学教学参考（中旬），2018（3）：39-42[2]刘华为．中考压轴题：怎样解，为何这样解[M]．西安：陕西师范大学出版总社，2014[3]石树伟．从“冰冷的美丽”到“火热的思考”[J]．中学数学教学参考（中旬），2017（3）：56-58[4]郑锦枝．探究一道中考题解法的心路历程[J]．福建中学数学，2018（10）：35-37[5]张宇清．一道中考压轴题的解法探究与教学思考[J]．中学数学教学参考（中旬），2018（11）：28-30射影定理的推导及在解三角形中的应用谢盛富福建省龙岩市高级中学（364000）射影定理是平面几何中的一个重要定理，广泛地、灵活地出现在几何证明与解三角形中，解题时常达到事半功倍之效．中学阶段，射影定理有两个，分别是：（1）直角三角形中的射影定理：如图1，在ABC∆中，C为直角，CD AB⊥，则2AC AD AB=⋅，2CD= AD DB⋅，2BC BD AB=⋅；（2）任意三角形的射影定理（亦称第一余弦定理）：cos cosa b C c B+，cos cosb a Cc A+，c= cos cosa Bb A+．2019年第11期 福建中学数学 37 其中，前者可通过直角三角形相似推得；本文指的射影定理是后者，它出现在教材《必修5》[1]“§1.2应用举例”配套的练习中（第3题），我们先来探究它的推导．图1 图21 定理的推导途径1 利用三角函数的定义如图2，在ABC ∆中，过点C 作CD AB ⊥，D 为垂足，由三角函数的定义，易得cos AD b A =，BD = cos a B ，所以cos cos c BD AD a B b A =+=+，即c = cos cos a B b A +．另外两个类似推导，从略（下同）． 途径2 利用正弦定理 在ABC ∆中， sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+．由正弦定理可得cos cos c a B b A +． 途径3 利用余弦定理的推论 在ABC ∆中，cos cos a B b A +22222222222a c b b c a c a b c ac bc c+−+−=+==，即cos cos c a B b A +．途径4 利用平面向量的数量积在ABC ∆中，AB CB CA =−，两边同时点乘AB 得()AB AB AB CB CA ⋅=−，即2cos cos(π)c ca B cb A =−−．整理得cos cos ca Bb A +．点评 对AB CB CA =−两边平方可推导余弦定理，对AB CB CA =− 两边同时点乘垂直于AB的单位向量i 可推导正弦定理，因此途径4的证法集正弦定理和余弦定理的向量法证明，可谓巧妙之极！2 直接应用定理在高考试题、模拟试题和平时的练习中，常常发现题中已知条件有形如cos cos a B b A +等“显性”的形式，这时可直接应用射影定理求解，而且是速解，给学生带来愉悦的成就感，增强他们的学习信心．例1 （龙岩市2019届高三上期末考·文17）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且cos cos b A a B ac +=．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）略． 解 由射影定理cos cos c a B b A +及已知cos b A cos a B ac +=，得ac c =，即1a =．例2 （龙岩市2020届高二上期末考·文18）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2cos cos c b aB A−=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）略． 解 由2cos cos c b a B A −=， 得2cos cos cos c A a B b A =+，由射影定理得1cos 2A =，又(0π)A ∈，，所以π3A =．评述 这两道试题的第（Ⅰ）问都直接应用射影定理而跳过了正弦定理和三角公式，解题简练快速．下面罗列3道近几年高考课标卷中带“显性”射影定理的真题：真题1 （2017年高考新课标Ⅱ卷·文16）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若2cos b B a =⋅ cos cos C c A +，则B =_________．真题2 （2016年高考新课标Ⅰ卷·理17）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos (C a ⋅ cos cos )B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）略．真题3 （2013年高考新课标Ⅱ卷·理17）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos a b C = sin c B +．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）略．此外，2017年山东卷·理9、2016年四川卷·理17文18、2014年广东卷·理12、2013年辽宁卷·理6文6、2013年陕西卷·理7文9等均有类似考查，可见，射影定理深受命题专家的青睐，考查方式可以是选择题或填空题，也可以是解答题．3 真题隐藏定理其实，在高考中还有一类试题可以利用射影定理求解，只是隐藏较深，或者不易察觉，或根本不会从射影定理的角度去思考．以近3年高考试题（2016年～2018年）为例，选择3道试题为例阐述．例3 （2016年高考新课标Ⅱ卷·理13，文15）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos A =38 福建中学数学 2019年第11期45，5cos 13C =，1a =，则b =_________．解 由4cos 5A =，5cos 13C =，可得3sin 5A =，12sin 13C =．由正弦定理得sin 20sin 13a C c A =．由射影定理有21cos cos 13b a Cc A =+=．例4 （2018年高考浙江卷·13）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a =，2b =，60A = ，则sin B =________，c =________．解由正弦定理得sin sin 7b AB a ==，所以cos B =． 由射影定理有cos cos 3c a B b A =+=．例5 （2018年高考北京卷·理15）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =−．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．解 （Ⅰ）π3A ∠=（过程略）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得1cos 2A =． 由射影定理有cos cos 3AB c a B b A ==+=．由三角函数的定义， 得AC边上的高为sin AB A =． 此外，2017年天津卷·理15、2016年新课标Ⅰ卷·文4等也隐藏着射影定理，换言之，也可以利用射影定理求解．波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”，因此，在教学中，教师应善于引导学生回归课本，夯实基础，引领学生去探索、发现和推理，主动获取“新”的知识与方法，并内化获得学习技巧，开阔思路，拓展思维，激发学习的主动性、积极性和兴趣，增强信心与动力，培养发散思维能力和学习能力，不断提升数学思维，提高数学素养，受益终身．参考文献[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书·数学必修2A 版[M]．北京：人民教育出版社，2007对一道含参函数零点试题多种解法的思考谭 亮 湖南省衡南县第五中学（421101）含参不等式恒成立（或者存在性）问题和含参函数零点问题都是高考的热点也是难点．它们的实质是：在变化的函数中寻找其不变的特性．解题时，参数的处理思路通常有3种：不分离、部分分离、完全分离．本文基于上述3种处理思路给出了一道含参函数零点试题的4种解法，并尝试做一些分析比较，进而以这些分析与比较为引领求解两个同类试题，希望对读者明晰含参函数零点问题的解题思路有所帮助． 1 典例剖析例1 （2018年湖南省衡阳市高三第一次联考题）已知函数2()ln f x a x x a =+∈R ，，()f x 在x ∈2[1e ]，上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．4e ()2−∞−， B ．4e (]{2e}2−∞−− ，C ．4e (){2e}2−∞−− ，D ．4e ()2−∞−，解法1 （不分离参数） 22()2a a x f x x x x +′=+=， 故当0a ≥时，()0f x ′≥， 函数()f x 在2[1e ]x ∈，单调递增， 由于(1)0f >，不存在零点； 当0a <1≤时，()0f x ′≥， 函数()f x 在2[1e ]x ∈，单调递增， 同理也不存在零点；②当21e <≤时，[1x ∈时， ()0f x ′≤，函数()f x 此时单调递减，。
向量投影与向量射影的辨析及其应用
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向量投影与向量射影的辨析及其应用
作者：张军迎
来源：《读写算》2012年第70期
向量是现代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数，几何与三角函数的一种工具。
向量数形结合的特点，使向量成为高中数学教学中继函数之后的第二条主线。
向量有着极其丰富的应用背景。
因向量具有良好的运算通性，几何的直观性，表述的简洁性和处理问题的一般性，所以向量法有广泛的应用，为解决数学，物理中的问题提供了新的工具。
学习数学的最重要的方法就是勤思考问题。
笔者在撰写本文时，坚持做题，通过类比与联想，逐步理出正确理解向量投影与向量射影及其应用的思路。
一、向量投影与向量射影的辨析
向量投影与向量射影分别是高一数学平面向量与高二数学空间向量的重要概念，它们貌似相同，很容易混淆。
为了能更好地理解和掌握概念的本质，以下列出其特点并通过举例辨析这两个概念。
射影定理的由来
射影定理的由来射影定理是线性代数中的重要定理之一，它描述了向量空间中的投影操作。
该定理在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将从射影定理的由来、定义、性质和应用等方面进行详细阐述。
射影定理最早由法国数学家拉格朗日在18世纪提出。
他在研究向量空间时，注意到一个向量既可以看作是它在某个方向上的投影，又可以看作是它在与此方向垂直的子空间上的投影。
基于此观察，拉格朗日提出了射影定理，用于描述向量空间中的投影操作。
在线性代数中，射影定理是指对于一个向量空间V和它的一个子空间W，任意一个向量v都可以唯一地分解为两个部分：一个在子空间W上的投影向量Pv和一个在子空间W的正交补上的向量Qv。
其中，投影向量Pv表示v在子空间W上的投影，正交补向量Qv表示v在子空间W的正交补上的投影。
射影定理具有以下几个重要性质：首先，投影向量Pv和正交补向量Qv的和等于向量v本身，即v = Pv + Qv。
其次，投影向量Pv在子空间W上，正交补向量Qv垂直于子空间W。
此外，投影向量Pv是子空间W上离向量v最近的向量，也是使得向量v与子空间W上的向量之间的距离最小的向量。
射影定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在三维空间中，我们可以通过射影定理将一个向量分解为它在平面上的投影和它垂直于平面的分量。
这在计算机图形学中常用于实现阴影效果。
此外，射影定理还可以用于解决线性方程组的最小二乘问题，即找到向量空间中使得方程组的残差向量长度最小的解。
在物理学和工程学中，射影定理也被广泛应用于信号处理、图像处理和数据压缩等领域。
射影定理是线性代数中的重要定理，描述了向量空间中的投影操作。
它的由来可以追溯到18世纪的法国数学家拉格朗日。
射影定理具有重要的性质和广泛的应用，在几何学、物理学和工程学等领域发挥着重要作用。
通过理解和应用射影定理，我们可以更好地理解向量空间的结构和性质，并将其应用于实际问题的求解中。
平面向量射影定理
平面向量射影定理
平面向量射影定理是向量分析中的一个重要定理，它描述了一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
设有两个非零向量a和b，我们可以将向量a分解为两个部分：一个是在向量b方向上的投影，另一个是与向量b垂直的分量。
射影定理给出了计算这个投影的方法。
具体来说，设向量a的尾部为O，向量b的尾部为A，向量a的顶点为B。
则向量a在向量b方向上的投影为向量AP，即向量AP与向量b平行。
根据射影定理，向量AP可表示为AP = k * b，其中k为一个实数。
根据射影定理的推导过程，我们可以得到计算k的公式：k = (a · b) / (b · b)，其中·表示向量的点积。
这个公式说明，向量a在向量b方向上的投影长度等于向量a与向量b的点积除以向量b的模长的平方。
射影定理的应用非常广泛。
在几何学中，它可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度，从而帮助解决与直线、平面的关系问题。
在物理学中，射影定理可以用来计算力在某一方向上的分量，从而分析物体受力的情况。
在计算机图形学中，射影定理可以用来进行
投影变换，实现三维物体到二维屏幕的投影。
除了射影定理，还有一些相关的定理，如垂直定理和平行定理。
垂直定理说明，向量在垂直方向上的投影长度为0，即向量与垂直方向上的向量的点积为0。
平行定理说明，向量在平行方向上的投影长度等于向量的模长，即向量与平行方向上的向量的点积等于向量的模长。
总之，平面向量射影定理在向量分析中起着重要的作用，它帮助我们理解和计算向量在特定方向上的投影长度，广泛应用于几何学、物理学和计算机图形学等领域。
射影向量公式
射影向量公式射影向量是线性代数中的重要概念，它在几何学和物理学中具有广泛的应用。
通过射影向量公式，我们可以更好地理解和描述向量的性质和特点。
在线性代数中，射影向量是指一个向量在另一个向量上的投影。
通过射影向量公式，我们可以计算出一个向量在另一个向量上的投影的大小和方向。
射影向量公式可以用以下方式表示：proj_v(u) = (u · v) / (v · v) * v其中，proj_v(u)表示向量u在向量v上的投影，·表示向量的点积运算。
射影向量公式的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以利用射影向量公式来计算两个向量之间的夹角。
通过计算两个向量的点积，然后除以向量的模长，我们可以得到它们的夹角的余弦值。
这个夹角可以帮助我们判断两个向量的方向关系和夹角大小。
在物理学中，射影向量公式可以用来计算物体在斜面上的重力分量。
通过将物体的重力向量投影到斜面的法向量上，我们可以计算出物体在斜面上的重力分量的大小和方向。
射影向量公式还可以用来解决线性方程组的问题。
通过将线性方程组的系数矩阵的列向量进行投影，我们可以得到线性方程组的解向量。
这个解向量可以帮助我们求解线性方程组的解。
射影向量公式的应用不仅限于几何学和物理学，还可以应用到其他领域。
例如，在计算机图形学中，射影向量公式可以用来进行三维物体的投影变换。
通过计算物体的顶点在投影平面上的投影，我们可以得到物体在屏幕上的投影图像。
射影向量公式是线性代数中的重要工具，它可以帮助我们更好地理解和描述向量的性质和特点。
通过射影向量公式，我们可以计算向量的投影、解决线性方程组的问题、计算夹角等。
射影向量公式的应用非常广泛，涉及到几何学、物理学、计算机图形学等多个领域。
通过深入理解和应用射影向量公式，我们可以更好地解决实际问题，并推动相关领域的发展和进步。