一个向量结论在解题中的应用

一个向量结论在解题中的应用

发表时间：2012-05-22T09:35:18.000Z 来源：《时代报告（学术版）》2012年2月（上）供稿作者：杨振乾[导读] 我们知道，若是一个非零向量，则是一个与同方向的单位向量

杨振乾（河南省郑州市第十二中学河南郑州 450000）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：41-1413（2012）02-0000-01

角平分线是一个非常重要的几何量，与它相关的问题在高考中常考不衰，考查角度常变，题型形式多样。本文拟通过举例，说明一个向量结论在解此类问题中的应用。

我们知道，若是一个非零向量，则是一个与同方向的单位向量。根据向量加法的平行四边形法则以及菱形的性质，容易得出以下结论：

若A、B、C是平面上不共线的三点, 为 BAC平分线上的向量，则 = （其中是非零实数且由的大小、方向确定）。

下面我们看该结论的应用。

例1 （2003高考天津、江苏）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则P的轨迹一定通过 ABC的（）

A 外心

B 内心

C 重心

D 垂心

解析：注意到即 =

由上述结论易知应选B.

练习：不共线的向量和的夹角平分线上的单位向量是（）

A +

B

C D

答案：D

例2 （2005高考天津）在直角坐标系xoy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在 AOB的平分线上且 =2，则 = 解析： =1， =5,且C在 AOB的平分线上

设 =

= ,

.

练习：（2006高考重庆）与向量的夹角相等，且模为1的向量是（）

A B 或

C D 或

提示：设所求向量为，由模为1求出。答案：B。

例3 （2006高考陕西）已知非零向量与满足且，则 ABC为（）

Ａ三边均不相等的三角形Ｂ直角三角形

Ｃ等腰非等边三角形Ｄ等边三角形

解析：由知 ABC为等腰三角形，即ＡＢ＝ＡＣ．

又知＝，所以 ABC为等边三角形。故选D。

例４（2010高考全国卷） ABC中，点Ｄ在边ＡＢ上，ＣＤ平分ＡＣＢ，若则＝（）A B C D

解析：ＣＤ平分ＡＣＢ， = ，

由于A、B、C、D四个选项中只有B与共线，故选B。

例5（2010安徽卷）已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率e = 。（1）求椭圆E的方程。

（2）求的平分线所在直线L的方程。

解析：（1）。

（2）

，

设P（x,y）是的平分线上任意一点，则

因为与共线，所以

即

故的平分线所在直线L的方程为。

此类问题虽然有不同解法，但运用该结论解题、思路却更为简洁、流畅。