一个向量结论在解题中的应用
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
向量基本定理系数的特殊化结论及其应用
鸟市（称线段定比分点向量公式，它是（2）在
线段定比分点中的特殊化）. 利用以上向量基本定理中系数之和为1这
收稿日期:2019-03-26
(B)OC = -OA+2OB (D)OC = -|-OA-jOB
34数学教学研究源自解析依题意知点C分有呼段前所 得 成的比入=一3,由定理(3)可得，茁的系数为
11
线段乔 所成的比为人，则 乔 =士刼 +
一特殊化的结论，来判断或证明有公共起点的 4个或3个向量终点共面或共线问题 ，可使问 题简单化，方便易行.下面通过例题加以说明.
例1已知A,B,C 3点不共线，点O是平 面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点 M与A,B,C —定共面的条件为（ ）.
（A）OM = jOA+jOB + jOC
解因为
OP =aOQ +/3OR ,a +0 = 1, 所以由定理(2)可知,P,Q,R 3点共线，所以
2丄*
2_] _ 兀_]]， n
即 a n=2n ~\~1, 例6 设AABC外心为O,取点M,使页
+OB+OC=OM,^vE.： (1) 点M是ZkABC的垂心； (2) 此三角形的外心、重心、垂心在一直线上.
证明 如图 1,设 OA =a ,OB=b ,OC = c , 由于O是AABC外心，所以
OA=OB=OC,
C
AM = OM~OA = (a 十&+c)—a=b +c, 而 BC = OC-OB=c-b, 所以
AM • BC=(i»+c) • (c — b) =e2-&2=|C|2-|&|2=0, 所以瓦帀丄就，即AM±BC.
一个向量结论在角平分线问题中的应用
解析： 动点 P 满 足的 条件 ，
→
→
→
→
→
即 AP = λ( AB/ | AB | + AC/ | AC |),λ∈[0, +∞) ，说
明 AP 平分 ∠BAC ，因此 P 的轨迹一 定通过 ABC
的内心，应选 B.
→
→
评注本例是定理的直接应用，注意到 AB/ | AB | 、
→
AC
→
均为单位向量，其和应与角平分线向量共线．
→
所以， AD =
1
→
λ→
AB+
AC .
1 + λ 1+ λ
→
→
→
又 AD 平分 ∠A ，所以 ， AD = k(
AB
→
+
AC
→
).
| AB | | AC |
16
福建中学 数学
2008 年第 5 期
→
→
所以，
1→ AB+
1+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱλ 1
λ→ AC
+λ
=
k( |
AB
→
AB |
+
|
AC
→
AC
) |
，
→
→
因 为 AB 与 AC 不 共线 ，根据 平面 向量 基本定
(2)反之，若 AP 平分 ∠BAC ，
→
→
→
设 AP ' =
AB
→
+
AC
→
，则 AP ' 平分 ∠BAC .
| AB | | AC |
由内角平分线的唯一性可知， AP 与 AP ' 共线，
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面向量基本定理的应用
例 4：如图，设 G 是△ABC 内一点，延长 AG,BG,CG 分别交三边于点 D，E，F。
DC , CE EA 。
本题为著名的古典命题“塞瓦定理” ，运用平面向量基本定理证明则会比较简单。
2
证明：根据“定理” ，存在实数 a k , bk , c k ，
A
AG a1 AB a 2 AC , 使 BG b1 BC b2 BA, CG c1 CA c 2 CB.
所以 f ( x ) [
。
f (1) f (1) f (1) f (1) f (0)]x 2 x f (0) 2 2
＝
1 2 1 ( x x) f (1) ( x 2 x) f (1) (1 x 2 ) f (0) 2 2 1 1 x( x 1) f (1) x( x 1) f (1) 1 x 2 f (0) 2 2
（注意到 x 1 及题设）
3
1 1 1 5 5 x ( x 1) x (1 x) (1 x 2 ) ＝ x 1 x 2 ＝ ( x ) 2 。 2 2 2 4 4
2
故原不等式得证。 例 2：已知函数 f ( x) ax c 且 4 f (1) 1 f (2) 5 ，试求 f (3) 的取值范围。 分析：此题为范围的确定问题，应用不等式的性质可以求得，但同样也可利用平面向量基本定理确定。若把
2
则 b 0 ,与题设矛盾，∴ a || c 。 例 2：已知 O 为原点，A，B，C 为平面内三点，求证：A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是 OB OA OC ，且
1
, R , 1 。
向量在高中数学解题中的应用
法， 使解题思路来得更快 ， 更准确 。
参 考 文献 ：
解 析： 如右 图所 示 ， 延长Ｏ Ａ于Ａ ， 延长Ｏ 于Ｂ ， Ｂ 延长Ｏ 于ｃ连接Ａ Ｂ ， Ｃ 连接ＢＣ ， 连接Ａ Ｃ 。我们可 以采取其它
方法去解此题， 是复杂， 但 思路 的 确 立 不 清 晰 ， 取 向量 的 方 法 采
［］ ３中学教 学参考・ 理科版 ，０ ９ ． ２ ０ ． ５
、
、
证明不等式 ， 不等式系列 问题。
１ ）
、
（ｌ￣ ｍ －） Ｏ１ Ｂ
，
例（ 已 ａ ∈， ａ １ ｂ １ １ 证：＋＝ １ 知 ． ｒ 、 － ＋、 一 ：， ａｂ１ ） ｂ 且 ／ ｂ ／ ａ 求 ２２
证 ：造向 高（ ／ ）：／ ｂ设 量 ， 夹 明 构 量 ：， １ ，（１ ， 向 ｍｎ ａ 。 、 一 ） 、 ｎ ， 的
四、 向量 在 求 ２ 离 中 的应 用 巨
以 ，２ｂ： ａ ２１ ＋
点评： 运用 向量 的方法除用来证 明等式外， 可以用来证 明 还 不等式， 一般比常规方法来得更简 单。 新颖 ， 更 不仅节约时间， 而
且 最 重要 的是 解 题 正确 。 二 、 方程 组 问题 解
ｆ＋ ＋ ＝ ， ｙ ｚ ３ ｘ
例： 已知两条异面直线所成角为 （ 如右图） 在 直线 ．ｂ 分 别取Ｅ、 ， 已￣ Ａ ＝ Ａ ＝ 、 ｄ 上 、 Ｆ Ｈ Ｅ ｍ， Ｆ ｎ
Ｅ ＝ ， 公垂 线 段 Ａ ＦＬ求 Ａ 的长 ｄ
解方程组｛
解： Ｅ ＋ ， 亩： ＋ ｌ Ｉ （ ＋ ＋ ） （ ＋ ＋ ） 亩 Ｅ ， ．Ｅ ） ：
ｊ
故 Ｂ ｓＡ ｏ
ＡＡ１ ｝ Ｂ Ｃ，
‘Ａ ｍ ，
向量法在高中数学教学中的运用
向量法在高中数学教学中的运用作者：陈雪娇来源：《新教育时代》2014年第21期摘要：向量知识是高中数学的基础，在代数、几何、三角等数学分支中都占用重要位置，利用向量法可以巧妙地解答出多种题型。
向量法解题可以提高学生学习兴趣，对高中数学教学极为有利。
笔者就针对向量法在高中数学教学运用的困难，对向量法在高中数学教学中的应用进行了简要分析。
关键词：向量法高中数学数形结合向量既有方向也有大小，因此它既具有数的特性，也具有形的特性，是将数学问题数形结合的有力纽带。
向量法是解决许多数学问题的有效工具，利用向量可以将许多复杂的数学问题由复杂变得简单，这对于学生学习兴趣的提高有重要作用，有助于提高学生的创新能力，加深学生对数学问题的理解，同时对教学效果也有辅助作用。
一、向量法在高中数学教学应用中的问题1.向量法教学学生知识掌握不全面数学自身具有较强的逻辑性，需要学生充分利用分析探究能力以及创新思维解决数学问题，因此数学对于学生的综合素质能力提高有重要作用[1]。
分析探究能力与思维的形成是依托于对数学问题的逻辑性分析上，但是向量法的运用却忽视了数学问题的逻辑性，学生不需要画图就可以解决问题，因此即使向量法为数学问题的解决提供了一个快速的途径，也不宜长时间运用，否则就会导致学生数学知识掌握不全面，对培养学生各方面的能力造成不良影响。
教师在运用向量法教学时，也需要运用其他数学方法进行教学，这样学生才可以在灵活运用向量法解决问题的同时，掌握更为全面的数学知识，从而取得较好的教学效果[2]。
2.学生对向量法的解题原则理解不充分高中数学教学中，向量法教学可以将复杂问题简单化，从而提高学生在解决数学难题时的效率，然而在教学过程中，向量法也存在许多问题，比如学生对向量法的解题原则理解不充分[2]。
教师在教授向量法解题思路时需要努力传授向量法的本质，让学生能够认真学习向量知识，深层次的理解并掌握向量法。
教师在教授数学时也需要对向量的概念知识有一个整体掌握，循序渐进地向学生传授向量知识，并选择一些针对性较强的数学问题，使学生进一步理解向量法在数学中的作用，提高学生利用向量法解决数学问题的能力，从而提高学生高中数学知识的学习效果和水平。
向量中有关三点共线的一个结论的简单应用
2021年第07期总第500期数理化解题研究向量中有关三点共线的一个结论的简单应用孙红(浙江省青田中学；2；900)摘 要：向量具有几何和代数的双重属性，它是沟通几何与代数的桥梁，注重运用向量解决数学问题,体现了几何与代数的融合，有利于培养学生的数学思维能力，有利于提升数学学科核心素养.本文结合具体的实例，探讨了向量中三点共线的一个结论的简单应用•关键词：向量；三点共线；应用中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：；008 -0333(202；)07 -0049 -03向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是 解决解析几何的有力工具,有着丰富的实际背景和深刻 的几何背景.向量来源于物理，并且兼有”数”和”形”的特点，坐标表示使平面内的向量和坐标建立了一一对应的 关系，将“数”与“形”紧密结合起来’从而将图形的基本性 质转化为向量的运算体系•在平面向量的解题中涉及到三点共线时经常用到下面的结论,我们一起来探讨一下•结论 已知0，A ,B ，C 四点共面，若0C 二入°4 + “ OB(入，“ e R ),则A ,B ,C 三点在同一条直线上的充要条件是 入 + “ - 1.证明 (先证必要性) 若A ,B , C 三点在同一条直 线上，则存在t e R ,使得A C - t AB.所以O B - 04 -t ( O B - B ).即 B - (1 - t )04 + t 0B -入 B + /zO B .则r -；-t ，此时入+“-1.z 二t ,(再证充分性)若入+ z - 1,则0C -入04 + z 0B - (1 -z )0B + z 0B .所以0B - 0B -z (0B - 0B ).即A C -/zA B .所以A ,B ,C 三点在同一条直线上.综上所述,A ,B , C 三点在同一条直线上的充要条件 是入+ z — ； •点评平面向量三点共线结论中三个向量04,0B , 0B 必须是同起点，其中蕴含了一个几何特征，即三点共线 和一个代数结论入+ z -1 •上述结论中包含了两个方面：(；)若A ,B ,C 三点在同一条直线上，则入+ z -1； (2)若入+ z -；,则A , B , C 三点在同一条直线上•在向量解题中 要注意灵活应用,即结论的正用和逆用,下面一起来看一 下结论的简单应用.题1在A ABC 中,D ,E 分别是线段BC 上(除端点外)的两个动点,B + B -% A b + yA c ,求丄+ 4的最小值.%y分析因为B ,D ,C 三点共线，所以存在m E R ，使得A 力-mA B + (1 - m )A C . ①同理，由B , E , C 三点共线，则存在n e R ,使得A B -nA B + (1 - n )AC.②所以AD + AE - (m + n )A B + (2 - m - n )AC - % A B +% - m + n , “ …y AC ,即｛解得 % + y -2•y - 2 - m - n ,又分别是线段BC 上的两个动点,所以0 < m <1,0 < n < 1.2% - 3、时等号成立.4y -；所以 0 <%,y <2.所以丄+ -y -I I 1 +%y 2 V %/5+2 弹・4% ]-9,V %y 丿2,'% + y -2,当且仅当y 4%即V %y ,:0( %+y )-2 f 5 + % +4；所以丄+ ~~的最小值为刍.% y 2点评 本题条件不多，解题时要充分利用已知条件找到%,y 满足的关系式•上述解题过程中利用了平面向量 三点共线的一个结论’根据B ,D ,C 三点共线和B ,E ,C 三点共线可得到等式①和②，结合已知条件可得% + y -2,因此 本题就转化为在% + y -2和0<%,y <2的条件下，求丄+ 土%y收稿日期：2020 -12 -05作者简介:孙红(1979 -)，女，安徽省宿县人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 49—数理化解题研究2021年第07期总第500期的最小值问题，利用1的代换容易求出最小值题2 已知0为△ 4BC 所在平面内的一点,0》—4 0》,0力—1 0》,4D 与BC 交于点M ,设0》—a , 0》—b .用a ,b 表示0》.分析这是学生作业本上的一道习题，学生拿到这道题可能会感觉无从下手,题目中涉及的向量比较多，事 实上,根据题目条件4,M ,D 三点共线，存在m e R ,使得而—m 0》+ (1 - m )0》—m a +辽％①同理B ,M ,C 三点共线，存在n e R ,使得》—n0》+ (1 - n )0》—a + (1 - n )b .②一n m 二才，由等式①和②可得，解得＜1 - m v4n — .1 ；所以0M — 7 a + 7 b .当然本题也可以利用平面图形的几何性质来解决. 过点》作04交BC 于点N ,根据题意容易得到，DN—1 0C — 1 C4.所以》M — 1 M4,—1》》—2 6 6 77 (0》-0》)—7 卜-1 bj— ； a -[[b .所以0》—0》+—；a + 7 b .题3 已知0为△ 4BC 外接圆的圆心,4B —6,4C —15,40 — % 4》+ y 4》,2% +3y — 1,求 cosZ B4C 的值.分析 40 — % 4》+ y 4C — 2% x 2 4》 + 3 y x ； 4》,令4》丁 — 1 4》,4C ； — 1 4》,贝V 40 —2% 4》；+ 3y 4C ；.因为 2%+ 3y — 1,所以0,B',C '三点共线•又0为厶4BC 外接圆的圆心,B ；是线段4B 的中点,所以B'C ；是线段4B 的中垂 线•在 RtA 4B'C ；中，有 4B ； — 1 4B —3,4C ； — ； 4C — 5,4B ；cos/B'4C ‘ — 4》3—5 •即 cosZ B4C35点评 上述解题过程利用了平面向量中三点共线的 结论，因为题目条件中给出等式2% +3y — 1,有时我们会 想能否利用三点共线的结论,而要利用结论必须要出现 系数2%和3y ,因此需要对已知等式进行恒等变形，即40—%4》+ y4》—2% x 2 4》+ 3y x ； 4》,这时只需令4》—1 4》,4》—；4》,贝V 4》—2% 4》+3y4》.又 2% +3y — 1, 容易得到0,B ；,C ；三点共线,这是三点共线结论的逆用, 通过对已知等式进行恒等变形，结合已知条件构造三点共线进行解题，这种解题思路在向量解题中经常运用.题4给定两个长度为1的平面向量0》和0》,它们的夹角为120°,点C 在以0为圆心的圆弧4B 上变动，若0C — % 0》+ y 0》(% ,y e R )，求% + y 的最大值•分析 连接4B 交0C 于点》，因为4,B ,》三点共线,则存在 m , n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1(m ,n e R ).又0,》,C 三点共线,所以存在t e R ,使得0》 -t0》 — tm 0》 + tn 0》—% 0》+ y 0》.即｛，解得 % + y — t ( m + n ) — t.y — tn.又t俑—嵩，当0》丄4B 时」轨占此时t唤—2,即% + y 的最大值为2 •点评 上述解题过程中利用了 4,B ,》三点共线，存 在m ,n e R ,使得0》—m 0》+ n 0》,m + n — 1,以及0, D , C 三点共线，存在t e R ,使得0》—t 0》,从而得到等式% +y — t.又t — 0》— J ,因此要求% + y 的最大值，即求|0》 |0》0》的最小值,结合图形容易求得答案•事实上，假若%+ y — 1,则4,B ,C 三点共线，但是因为点C 在圆弧4B 上运动，因此只需将直线4B 平移至4'B ‘，使得直线4'B ；与圆 弧4B 有交点,即为点C.根据等和线定理容易得到,% + y —-p0》l — 10》|•又'0》e [t ，1 ]，所以%+ y 的最大值为2 ,此时直线4'B ‘与圆弧4B 相切，切点为点C.思路1根据平面向量分解定理，按照向量加法的几何意义及平行四边形法则,等式0》—%0》+ y 0》表明了 将0》向0》和0》方向上进行分解，在0》和0》方向上的投影分别是%,y ,因此我们可以利用余弦定理得到等式%2 + y 2- %y — 1,然后再结合基本不等式知识或△法求解% + y 的最大值.思路2引入变量Z C0B — a ,利用正弦定理将% + y的最大值问题转化为关于a 的三角函数的最值问题.思路3建立平面直角坐标系，将本题转化为向量的代数运算.比如以0》所在直线为%轴，以点0为坐标原点建立平面直角坐标系，容易得到4 (1,0),B设C (cos 0,sin 0)〔0三0三；n )根据0C — % 0》+ y 0》.将 % + y 的最大值问题转化为关于0的三角函数的最值问题.变式 若本题的其他条件不变，求2% + y 的最大值. 上述几种方法同样适用，若用到等和线定理,则需将—50—2021年第07期总第500期数理化解题研究已知等式进行恒等变形•事实上’OC-%04+y O B-2%X ；04+y O B,令O M-；04,即M为线段OA的中点，则OC-2%O M+y O B.连接MB交OC于点N，假设2%+y -1,则C,M,B三点共线,但是因为点C在圆弧AB上运动,根据等和线定理,只需将直线MB平移至M'B，,使得直线M‘B，与圆弧相切’切点为点C,此时(2%+y)喰-临-侖，根据图形可得OC丄M'B',MB〃MW.所以OC丄MB,即ON丄MB,在△ABM中利用面积法可求得O/V•题5(2019年浙江高考卷)已知点F(1,0)为抛物线y2-2p%(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得A ABC的重心G在%轴上，直线AC交%轴于点Q,且点Q在点F的右侧，记A AFG,△CQG的面积分别是S；,S2•(1)求卩的值及抛物线的准线方程；S(2)求S；的最小值及此时点G的坐标.S2分析解析几何是高考重点考查的内容之一,本题考查的是抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系,同时考查了学生的转化与化归能力、数形结合能力、运算求解能力,以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养•(；)抛物线的标准方程为y2-4%；(2)思路1设点法•设点A(t2,21),写出直线AF的方程，联立抛物线方程可求得点B的坐标(用t表示),结S合已知条件从而求得点C,G,Q的坐标,进而得到S；的表S2达式，可写成关于变量t的函数，最后利用换元法以及基本不等式等知识求得函数的最小值.思路2设出直线AB的方程，如Z AB:%-my+ 1,将直线AB的方程与抛物线方程联立,设A(%；,y；),B(%2,y2),利用韦达定理，结合题目条件容易求得点C,G,Q的坐标, S从而得到S；的表达式，因此问题就转化为求函数的最小S2值问题•这两种方法都比较好,但解题中计算量非常大，很难将解题进行到底，解决此题需要一定的综合解题的能力.思路3有些同学是利用向量知识进行求解，相比较而言计算量较小，在解题过程中利用了平面向量中三点共线的一个结论，及三角形中的重心的性质等知识,最终S将S；最大值问题转化为求函数的最大值问题•下面是利S2用向量法求解本题的部分解析•因为点G是A ABC的重心，则S△agb-S△agc.令A F-入A V,AQ-/zAC(0<入，“<1),贝卩S；-S“G-^S△ABG，S2-S△CQG-(1-z)S△AGC.所以-；—延长AG 交BC于点M,则A M-；(A F+A C),AG-；A M-；(A B+A C).又F,G,Q三点共线，所以存在t e R,使A F -tAF+(1-t)AQ-入tAB+z(；-t)A C-；(AB+AC).即｛入t-V，解得入二2"[•门、13"-；z(；-1)二亍又0<入,z<；,所以2<z<；•A A所以S；二入__S21-z(3z-；)(；-仏)-3^z2+4z-；■3--1+孚——；、三3z+^丿+4-23+4当且仅当｛”-丄,z；；；C T+7-3,即｛\3+3入二6时等号成立.73“-；所以的最小值为；+£•(点G的坐标求解略)解析几何中有关面积最值或范围问题是高考的热点和难点之一，一般来讲有两种常见的解题思路：(1)构造关于所求量的函数,将有关面积的最值或范围问题转化为函数的最值或范围问题；(2)构造关于所求量的不等式来求解最值或范围.解题过程中经常将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离、基本不等式等知识•解析几何作为高考解答题之一，常作为压轴题,解答题重视数学思想、数学方法的理解、掌握与灵活运用，综合性强，难度较大，体现了对学生数学素养的考查.对于本题相比较前面涉及到的三种解题方法中，利用向量法求解本题计算量较少,容易求解.参考文献:[1]何振华.例谈高中数学一题多解的“套路”[J].福建中学数学,2018(12)：38-40.[责任编辑:李璟]—51—。
浅谈向量在高中数学中的应用
浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】本文主要介绍了向量在高中数学中的应用。
文章首先介绍了向量的概念、性质和运算，为后文内容铺垫。
接着，详细讨论了向量在几何图形表示、平面和空间向量运算中的应用，以及在物理等其他学科中的实际应用。
结合实际解题案例，探讨了向量在高中数学中的重要性和广泛应用，强调向量为学生提供更加直观和灵活的解题方式。
通过本文的阐述，希望读者能更深入地理解向量在高中数学中的重要性及实际应用，从而更好地掌握相关知识，提升数学解题能力。
【关键词】向量的概念、向量的性质、向量的运算、几何图形、平面向量、空间向量、物理学、实际应用、重要性、广泛应用、直观、灵活解题方式1. 引言1.1 向量的概念向量是高中数学中一个重要的概念。
在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以表示空间中的某个点到另一个点的位移，也可以表示一个力、速度或者加速度。
向量的概念最早由英国数学家威廉·测量提出，后来被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在数学中，向量可以用不同的形式来表示，比如坐标形式、分解形式等。
向量的大小叫做模长，方向由箭头指向表示。
向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
向量的性质有共线性、共点性、平行性等。
向量的运算包括模长运算、数量积、向量积等。
通过学习向量的概念，我们可以更好地理解和描述几何图形，解决各种几何问题。
向量在平面向量和空间向量的运算中也有重要应用，比如求向量的夹角、平行四边形的性质等。
向量还被广泛运用于物理等其他学科中，例如描述力的大小和方向、分析运动的轨迹等。
向量的应用使我们能够更加直观地理解和解决问题，为学生提供了更加灵活和直观的解题方式。
1.2 向量的性质向量的性质是向量运算中非常重要的概念，它们决定了向量在数学中的具体行为和特性。
在高中数学中，我们常常会接触到以下几种向量性质：1. 平行向量的性质：如果两个向量平行，则它们具有相同的方向。
这意味着它们乘以同一个数仍然平行，而且它们的夹角为0度或180度。
高中数学解题中向量的有效运用
高中数学解题中向量的有效运用作者：蔡球来源：《考试周刊》2013年第80期摘要：高中数学向量知识的学习和应用，有助于学生更好地体会数学与生活及其他学科之间的联系，进而理解数学的使用价值.本文首先阐述向量的基本知识，然后重点探讨向量在高中数学解题中的应用.关键词：高中数学解题向量运用长期以来，高中学生面对大量的习题，一些学生在解题时往往没有头绪，不知从何下手.向量是高中数学教学的一部分，也是重要内容之一.在高中代数、几何及三角函数中都得到了广泛应用.尤其随着新课程的不断改革，学生学习时不仅要掌握一章的相关知识，而且需要建立章节之间的联系，灵活运用各章知识.为此，必须加强向量在高中数学解题中的有效运用，提高学生的解题效率，减轻学生的学习压力.一、向量的认识向量早在十九世纪就已经成为物理学家、数学家研究和应用的对象.到了二十世纪，向量被引入数学教学领域.我国于上个世纪九十年代将向量并入了高中数学教学大纲中，成为高中数学教学的重要内容.1.向量是重要的数学应用模型向量中应用V代表集合，V构成了向量的加法运算交换群.V中，向量的数量积运算能够表达出向量的长度，当V中的向量长度有了实际意义后，（V，R）对于向量的实数、加法及向量的乘法运算均构成了线性范畴.它是数学建模中的重要组成部分，同时也是线性代数、抽象代数、泛函分析的重要研究对象.因而，应用向量知识，能够很好地理解泛函分析、线性代数及抽象代数等基本的数学模型.2.向量是连接几何、代数的纽带向量是有向线段，因而可以表示物体的位置；而物体的位置和形状，是几何学的研究对象，因而向量也就可以从几何学的角度来理解.由于向量有长度，因而可以利用其刻画物体的面积、体积、长度等基本的几何度量问题；由于向量具有方向性，因而可以应用向量描述平面、直线等几何对象的位置关系；代数研究中，有关加、减、乘、除的运算，也同样适用于向量的代数运算中，因而向量运算可以解决代数问题.二、向量在高中数学解题中的应用对于高三学生来说，普遍具有一种思想认识，那就是认为时间比较紧，希望自己能够把时间都花在解大量的习题上，对于见过的习题则很少进行思考.这种解题上的误区在于高三学生认为数学解题能力和解题数量成正比例关系，他们解题更多的是为了完成任务，缺少解题中的反思过程.所以在高三数学教学中，要培养学生的独立思考习惯.采取正确的解题技巧可提高他们的解题能力，使其成为学习的主人.1.向量在立体几何中的应用向量在立体几何中应用，与在平面几何中的应用模式一致，但加入了立体几何中的空间想象，使得学生在传统的几何问题处理模式中存在一定的差异，因而，采用向量法能够促使几何问题简化，化繁为简，找到问题答案.例题：在正方体ABCD-A■B■C■D■中，E是DD■的中点.在棱C■D■上是否存在一点F，使B■F∥平面A■BE，证明你的结论.本题可以应用向量法求解.如下图1所示：图1解析：以A为坐标原点，建立坐标系，设正方形的棱长为2，则B（2，2，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），∴■=（-2，2，1），BA■=（-2，0，2）.设面BEA■的法向量为m=（x，y，z），则m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA■=2x，2z=0，取x=1，则z=-1，y=■，∴m=（1，■，-1）.假设在棱C■D■上是存在一点F，使B■F∥平面A■BE，设F（x■，2，2），（0≤x≤2），则■=（x■-2，2，2），则m·■=1×（x■-2）-■×2-（-1）×2=0，解得x■=1，∴当F为C■D■中点时，B■F∥平面A■BE.2.向量在平面几何中的应用（1）利用向量法求出直线方程例如：已知三角形ABC的三个顶点分别为A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），点E、F、D分别是AB，AC，BC的中点，求直线FD、EF、DE的方程.解析：已知三角形三个顶点的坐标，A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），能够得知中点F，D，E的坐标分别为（2，-2），（-1，1），（-3，-1）.设M（x，y）为DE上的一个点，由于■∥■，可以求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.利用向量分析几何元素之间的关系将上述问题转换为共线向量与直线向量的问题，就能够得出EF，FD的直线方程.（2）向量法在不等式中的应用在求解不等式的过程中，可以采用向量法.例如，■±■的结构，可以构造向量的和与差，利用向量的三角不等式|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|求解.例题：证明■+■≥5证明：设■=（x-2），■=（5-x，1），由|■|+|■|≥|■±■|得出■+■≥■，结论■+■≥5.利用向量法求解，比三角代换、两点间的距离公式等都简单，且解法新颖、构思巧妙，同时也可以为学生展示出数学建模的整个过程，即问题—建模—还原，发挥向量的工具性作用.3.向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用，可以用来证明正余弦的两角和与两角差的问题.例如：证明cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.证明：设（e■，e■）是平面上的标准正交基，a，b是平面上的单位向量，a与e■的夹角为a，b，与e■的夹角为β，且a>β.向量a在（e■，e■）下的坐标为（cosα，cosβ），向量b在（e■，e■）下的坐标为（cosβ，sinβ），则有|a|=|b|=1.所以■·■=|■|·|■|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.由此可见，三角函数中采用向量解法，能够借用几何的直观性、简洁性，更好地完成求解过程.回顾以往，高中数学中的几何学习往往是基于一个图形的性质进而推出另一个图形的性质，缺乏一定的创新性.这种解题模式缺乏一定的规律性，使得学生难以掌握解题技巧，提高解题的速度及正确率.而向量中的“形—数”推理法，有较强的规律性，适合高中学生应用.同时，三角函数是高中数学的重要内容之一，提高学生的解题速度及正确率，有利于学生在考试中取得优秀成绩.总而言之，向量作为一种数学工具，可以应用其相关知识与理论、运算方法，化繁为简，进行求解，从而在很大程度上减少运算量，更有利于培养学生的创新意识.参考文献：[1]卢晓艳.高中向量数学的难点突破初探[D].华中师范大学，2010.[2]张广飞.高中数学教学中向量教学的应用研究[J].中学生数理化（学研版），2013，（5）：91.。
例说向量法在数学问题解决中的应用
例说向量法在数学问题解决中的应用甘肃民族师范学院 尚珑杰【摘要】文章分析了向量法在数学问题解决的基本思路，结合具体例题呈现了向量法的广泛应用.【关键字】向量法；数学问题；运用【正文】向量本身是数形结合的产物,既反映数量关系,又体现位置关系.它既具有代数的抽象与严谨, 又兼备几何的直观,因此向量是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具,有着极其丰富的实际背景. 以下分别对向量与各种数学问题的交汇进行举例，作一简单讨论.一． 向量法的基本思想向量具有很好的“数形结合”特性.一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量.而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化.可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带.它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论.使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密. 二．向量法在数学问题解决中的思路分析 （一）运用向量法解决代数问题 1．与函数交汇：例1．已知平面向量a=（3，-1），b ＝（21，23），若存在实数变量ｔ和函数)(t f 使+=a x （ｔ２b t a t f y b +-=-)(,)3，且x ⊥y ，试求函数的表达式)(t f .解：由题设可知a ·b ＝3·21＋（－１）·23＝0，且a ２＝4，b２＝1由x ⊥y ，有 ［a ＋（2t －3）b ］·［－)(t f a ＋ｔb ］＝0化简整理，得)(t f ＝41ｔ（2t －3） 2．与方程交汇：例2.设a ，b ，c 是三个非零向量 ，a⊥b ，ｘ∈Ｒ，若1x ,2x 是方程2x a＋ｘb ＋c ＝0 的两实根，求证:1x ＝2x证明：由题设有21x a ＋1x b ＋c＝0 ①22x a＋2x b ＋c ＝0 ②①－②，有（21x －22x ）a ＋（1x －2x ）b ＝0若1x ≠2x ，则有（1x ＋2x ）a ＋b ＝0 ，即b ＝－（1x ＋2x ）a知a ∥b ，而a ，b 为非零向量，即与已知a⊥b 矛盾，故1x ＝2x .3．与数列交汇例3.设 ｛n a ｝为首项是－１０，公差是2的等差数列，{n b }为首项是-21，公差是21的等差数列，O 为坐标原点，向量OA =(-1,1) ，OB =(1,1).点列P n 满足OP =a n ·OA +b n ·OB (n ∈N) （1）证明：P 1，P 2，…，P n 共线；（2）若点 P k (k ∈Nt) 表示点列P n 中处于第一象限的点，求k 的值. （1）证明：a n =2n-k, b n =2n-1 则OP=(2n-k) ·OA +(2n -1) ·OB =(11-23n ，25n-13)设P n 的坐标为 （x n ,y n ），则5 x n +3 y n = 16 即P 1，P 2，…，P n 均在直线5 x n +3 y n = 16上， 从而这些点共线.（2）解：OP k =（11-23k ，25k-13），当P k 在第一象限时， 有11-23k ﹥0，25k-13﹥0 则526﹤k ﹤322，而k ∈Nt故k 的取值为6或7. 4．与不等式交汇 例4.设a,b,c ∈R +,且abc=1,求证： )(13c b a ++)(13c b b ++)(13b ac +≥23 证明：原不等式⇔)(22c b a cb ++)(22a c b ac ++)(22b ac ab +≥23 令m =()(c b a +,)(a c b +,)(b a c +)n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++)(,)(,)(b a c baa cb cac b a bc 则m·n=bc+ca+ab =)(2ca bc ab ++=)()()(222222b ac ba a cb ac c b a cb +++++因 m ·n≤则 ab+bc+ca ≤)(2ca bc ab ++)()()(222222b ac ba a cb ac c b a cb +++++即2cabc ab ++≤)(22c b a cb ++)(22a cb ac ++)(22b ac ab +而ab+bc+ca ≥3322cb a =3故)(22c b a cb ++)(22a c b ac ++)(22b ac ab +≥23（二）运用向量法解决三角问题 1．与三角交汇： 例1设a=（1+cosα，sin α），b=（1-cos β，sin β），c=（1,0），α∈（0，π），β=（π，2π），a与c的夹角为θ1 ，b与c的夹角为θ2且θ1 -θ2 =6π求sin 4βα-的值. 解：α =2cos2α，b=2sin 2β，c=1a ·c=2cos22α，b·c=2sin 22β，cos θ 1 =ca c a ⋅⋅= cos 2α，cos θ2=cb c b ⋅⋅= sin 2β而α∈（0，π），β=（π，2π） 则θ1 = 2α，θ2= 2β-2π从而2βα-=-3π故sin4βα-=21-（三）．运用向量法解决几何问题 1．与平面几何交汇例1.如图，设E 、F 分别为△ABC 的AC 、AB 边上的点，BE 、CF 相交于点P ，M 为其三角形所在平面内任一点，则AE =zx ，AF =z y⇔MP=z y x z++MA+z y x y++MB+z y x x++MC证明：由已知得AE =zx x +AC,AF =z y y+AB因C,P,F 共线，则可设AP =m AF +（1-m ）AC =z y my+AB+（1-m ）AC 同理可设AP=n AE +（1-n ）AB =（1-n ）AB +zx nx +AC由AC ，AB 不共线，得1-m=zx nx +且zy my+=1-n则m=zy x zy +++所以AP =z y x y++AB+zy x x ++AC又AP =MP -MA ，AB =MB -MA ，AC =MC -MA 从而MP =zy x z ++MA+zy x y ++MB+zy x x ++MC以上.2．与平面解析几何交汇例2.设椭圆的一个焦点为F ，直线l 与过椭圆长轴的端点A ′，A 的切线相交于M ′，M 则（1）FM ·FM =0⇔直线l 与椭圆相切； （2）FM ·FM ﹥0⇔直线l 与椭圆相离；（3）FM ·FM ﹤0⇔直线l 与椭圆相交. 证明：设椭圆方程22ax +22by =1 （a ﹥b ﹥0），F （c,0）,A ′(-a ,0), A(a ,0),直线l ：m kx y +=FM·FM =(-a -c,ka m -) ·(a -c, ka m +)=22222a k m a c -+-=2222ka b m --由 22ax +22by =1消去y ，得 mkx y +=（b 2+a 2k ）x 2+2a 2kmx+a 2(m 2-b 2)=0其判别式为△=4a 2b 2（b 2+ a 2k-m ），于是，（1）FM ·FM =0⇔ m 2-b 2- a 2k=0⇔△=0 ⇔直线l 与椭圆相切 （2）FM ·FM ﹥0⇔ m 2-b 2- a 2k ﹥0⇔△﹥0⇔直线l 与椭圆相离 （3）FM ·FM ﹤0⇔ m 2-b 2- a 2k ﹤0⇔△﹤0⇔直线l 与椭圆相交 3、与立体几何交汇例3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°,SA ⊥面ABCD,SA=AB=BC=1，AD=21.求面SCD 与面SBA 所成角的正切值.解：建立如图坐标系，则垂直于平面SBA 的向量为1n =（81,0,0） 设平面SCD 的方程为Ax+By+Cz+D=0 . 因为S(0,0,1)，C （1,1,0），D （21,0,0）在平面上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+02100D A D B A D C ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=D B DA D C 2于是平面SCD 的方程为-2D+Dy-Dz+D=0,设D=-1，所以垂直于平面SCD 的向量为2n =（2，-1，1）,从而cos(1n ,2n )=2121n n n n ⋅⋅=36sin(1n ,2n )=33,则tan(1n ,2n )=22,即所求二面角的正切值为22.注：通过空间向量的应用而省去找角的过程.总结： 由于向量表示形式的多样性，它是各分科数学知识的一个重要交汇点，它成为联系多科内容的媒介，常与函数、方程、数列、不等式、三角、平面几何，解析几何，更重要的是立体几何的内容相联系，自然地交汇在一起，使数学问题的解法别致新颖，方便简捷.Abstract ： this paper analyzes the vector method in mathematical problem solving the basic ideas, combined with the specific example presents the wide application of vector method.【参考文献】张景中 《走进教育数学-走进教育数学》.北京：科学教育出版社.2009。
高中数学论文：平面向量在解题中的应用
平面向量在解题中的应用向量作为一种重要的解题工具，一直是高考的热点和重点内容，向量的基础性和工具性一直备受关注．本文通过一些例子来谈谈平面向量在解题中的应用．一、用向量证明垂直例1．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于、A B 两点，自、A B 向准线作垂线，垂足分别为、C D ，求证： 90=∠CFD ． 证明：显然)0,2(p F ，同时设、A B 两点的纵坐标分别为21,y y ，则221p y y -=． ∵),2(1y p C -，),2(2y p D -，∴),(1y p -=，),(2y p -= ∴·022212=-=+=p p y y p ．∴⊥．∴FC FD ⊥，即 90=∠CFD ． 说明：用向量垂直的充要条件处理解析几何中的垂直问题，可以化繁为简，使知识前后联系，融汇贯通，从而提高解题质量．二、用向量证明三点共线例2．在平行四边形ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是BD 上一点，BD BN 31=．求证：M 、N 、C 三点共线．证明：设=a ，=b ，则=+=312121b 31+a 31-b 2(61=a +b )． 又∵=+=BC MB MC 21b +a 2(21=a +b )， ∴3=．∴∥，∴M 、N 、C 三点共线．说明：充分利用三点共线和两个向量共线（平行）的关系．三、用向量证明不等式例3．试证不等式：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+证明：设向量),(b a OA =，),(d c OB =，∴ 22||b a +=，22||d c +=，则cd ac +=⋅． 又∵222||||)(≤⋅，∴))(()(22222d c b a bd ac ++≤+．说明：本题结论亦称柯西不等式．等号只有在向量、共线时成立．四、用向量证明等式例4．试证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．证明：设向量)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=， ∴βαβαsin sin cos cos +=⋅． 设向量AB 与CD 的夹角为θ，则)cos(cos βαθ-=． 由=⋅=||||cos CD AB θβαβαsin sin cos cos +，即得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．例5．已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a ． 证明：设向量)1,(2a a -=， =),1(2b b -，且设向量与的夹角为θ， ∴1cos ||||=⋅=⋅θ． 又∵1||||==，∴1cos =θ，即0=θ． ∴AB CD =， ∴21b a -=，即122=+b a ． 说明：本题中可把已知条件看作两向量的数量积的坐标表示，由此构造出向量)1,(2a a -=， =CD ),1(2b b -是解决本题的关键，本题也可以利用恒等变形或三角代换等证法，但都不及引入向量，然后运用向量的数量积证明简便．五、用向量求最值例6．求函数x x x f -+=65)(的最大值及相应的x 的值． 解：设向量a ()1,5=，b ()x x -=6,， 则=)(x f a ·b ≤|a |·|b|6615=⨯+=，当且仅当b =k a )0(>k 时取等号，∴165x x-=， ∴5=x 时，()x f 有最大值为6．例7．求函数()x x x x f cos sin sin 2)(+=的最大值．解：∵x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=，设向量a ()1,1-=，b ()x x 2cos ,2sin =，则=)(x f a ·b ≤+1|a |·|b|121+=+，∴函数()x x x x f cos sin sin 2)(+=的最大值为12+．说明：利用a ·b=|a |·|b|θcos ≤|a |·|b|，恰当设置向量，联想数量积的结构形式，求和式的最值较为方便．。
浅谈向量在高中数学中的应用
浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】向量是高中数学中非常重要的内容，它在几何问题中扮演着重要的角色。
本文首先介绍了向量的概念和在几何问题中的应用。
随后对向量的加法和减法、数量积和数量积的几何意义、平面向量与坐标、向量的线性运算以及向量在物理问题中的应用进行了详细讨论。
通过这些内容，读者可以深入了解向量在数学和物理领域中的应用。
结合向量在高中数学教学中的重要性、向量的应用拓展以及向量知识与现实生活的联系，总结了向量的广泛应用和重要性。
通过本文的阐述，希望读者能够更加深入地理解和掌握向量的概念，并将其应用于解决实际问题中。
【关键词】向量、高中数学、引入、几何问题、加法、减法、数量积、几何意义、平面向量、坐标、线性运算、物理问题、重要性、应用拓展、现实生活联系1. 引言1.1 向量概念的引入向量是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，同时也在物理学、工程学等领域起着重要作用。
在引入向量的概念之前，我们先来了解一下什么是向量。
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在生活中，我们可以将向量理解为有一定长度和方向的箭头，比如一辆汽车以40千米/小时的速度向东行驶，这就可以用一个向量来表示。
在数学中，我们经常用字母加上箭头的形式来表示向量，比如向量a，向量b等。
向量的大小也可以用数值来表示，比如向量a的大小为5，表示向量a的长度为5。
向量的方向通常用角度或者指示方向的字母来表示。
通过引入向量的概念，我们可以更方便地描述物体的位移、速度和加速度等问题，同时也可以更直观地理解和解决各种几何问题。
向量在高中数学中具有重要的地位，是数学学习中不可或缺的一部分。
1.2 向量在几何问题中的应用在几何问题中，向量起着至关重要的作用。
使用向量的概念可以帮助我们更清晰地描述和解决许多几何问题。
向量可以用来表示空间中的方向和距离。
通过向量的方向和大小，我们可以更直观地理解平面或空间中各个点之间的关系，从而更准确地描述几何图形的特征。
向量法在解题中的应用
理,勾股定理,三垂线定理,线面垂直等其它的
定理和命题.
2 向量法在平面几何中的应用
例 2 证明三角形的三条高交于一点.
证明如图 2,设 H 为△ ABC 中由 A、B 两
uuur r uuur ur uuur r
点所作的高线的交点, HA = x, HB = y, HC = z ,
uuur ur r uuur r ur uuur r r
斜率 k1, k2 为其两根. 又由 OA ⊥OB 及韦达定理得 1 = 1/ b ,
即b =1. 从而直线 AB 方程为 ax + y = 1 ,即 AB 过
定点 D(0,1) ,又由 OA、 OB 为直径知 A、 C 、
B 共线, 且 OC ⊥AB , 即 OC ⊥CD , 故点 C 的 轨迹是以 OD 为直径的圆:
相垂直的弦 OA、 OB ,若分别以 OA、 OB 为 直径作圆,求两圆除原点外的另一交点 C 的 轨迹方程.
分析 设直线 AB 的方程为 ax + by = 1 ,代
入抛物线方程 y 1 = x2 ,使其齐次化
y(ax + by) = x2 ,并整理为 b( y / x)2 + a( y / x) 1 = 0 ,则 OA、 OB 的
则 AB = y x , BC = z y , CA= x z ,由 HA
r r ur
ur r r
⊥BC, HB ⊥AC 可得: x (z y) = 0 , y ( x z)
r r ur
= 0 ,两式相加可得: z ( x y) = 0 ,
r uuur 即 z AB = 0 ,得证.
A
用向量法处理
平面几何中的一些
uAuu1uBr 1Cu1u中uur,
向量在解决高中数学问题中的应用
向量在解决高中数学问题中的应用高中数学问题相对于其他阶段的数学问题而言具有一定的复杂性，并且高中数学知识也有着相应的连贯性特点，所以针对一个题目会存在着多种解答方法。
“向量”也可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用价值，应用到各类数学问题中去。
一、教学策略中体现“向量”的价值意义向量在许多数学问题上能够作为有效的手段进行问题解决，因此向量在数学教学中是一个非常重要的环节，教师进行向量基础知识的教学中就应该重视对向量的价值意义进行解释，使得学生对向量的学习保持着一定的热情，从而能够重视向量知识的应用。
例如在学习“向量的加法”时，设a=（x，y），b=（x1，y1），向量满足着平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出AB+BC=AC，由此满足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。
这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，所以教师便可以让学生进行猜想：平面问题的解决是否可以用向量知识来解答呢。
这个问题就是“向量”价值意义的体现，促进学生在学习向量这个知识时能够结合其他知识来进行思考，推动知识的结合应用，充分把向量的价值意义能够从其他类型的知识体系中体现出来。
这也是教师教学策略的体现，让学生巩固数学知识，寻找解决途径。
又比如“数乘向量”的学习，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?Oλa=λ?a?O。
当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
需要追的是：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
这种数乘向量的知识也有着其重要的价值意义，规律中对λ的讨论就是一种严谨性的数学意识，这在高中数学学习中非常重要，因此向量知识也将此体现出来。
而向量特殊的方向性，对整个数学问题的讨论有着指导性作用，引导着学生更加注意到数学问题中的正负问题，这在其他类别的数学问题上也有着体现，所以向量的价值意义还在于对其他知识体系的映射，学生能够通过向量的学习类比其他数学问题，这便是非常重要的数学经验。
向量在解决高中数学问题中的应用研究
向量在解决高中数学问题中的应用研究
作者：翟梦河
来源：《新教育时代·学生版》2016年第12期
摘要：向量是高中数学一个重要并且实用的知识点，它能够将复杂的数学问题转化成几个简单的计算题，提升学生对数学问题的解决和理解。
本文将详细阐述向量在解决高中数学问题时的应用方式，以提升学生对于高中数学问题的解决能力。
关键词：向量高中数学数学问题
引言
高中数学对于学生的逻辑性和解题技巧有了更高的要求，学生需要更加灵活的运用各种方式对问题进行解析，并选择合适的、灵活的方式解题方法[1]。
向量就是一种非常常用且灵活的解题方式，被广泛的应用在数学问题中[2]。
在不等式、三角函数、线性规划等问题中，都能很好的降低问题的难度，帮助学生更好的进行解题，提升学生的解题能力。
向量在中学中的应用
利用向量解决立体 几何问题
利用向量解决函数 最值问题
向量在平面几何中的应用：通过向量 的线性组合、数量积和向量积等运算， 可以解决平面几何中的平行、垂直、 角度和长度等问题。
向量在解析几何中的应用：通过向量 的坐标表示，可以将几何问题转化为 代数问题，从而利用代数方法解决几 何问题。
添加标题
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经济学科：描述市场供需关系、消费者行为 等经济现象
生物医学：描述生物体内的生理过程、疾病 传播等生物医学现象
环境科学：描述环境中的物质流动、能量传 递等环境科学现象
向量与人工智能的结合：利用向量进行机器学习和深度学习算法的开发和应用
向量在大数据处理中的应用：利用向量进行数据分析和挖掘，提高数据处理效率
应用：点乘在物理学中有着重要的 应用，如计算向量的长度、角度、 位移等。
定义：向量的大小或长度 计算方法：使用勾股定理或欧几里得范数 性质：模长是非负的，且平行四边形的两条对角线模长相等 应用：在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用
定义：向量是 大小和方向的 量，具有加法、 减法、数乘等
运算性质
添加标题
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向量在空间几何中的应用：通过向量 的线性组合、数量积和向量积等运算， 可以解决空间几何中的平行、垂直、 角度和距离等问题。
向量在中学数学中的应用：通过向量 的引入，可以帮助学生更好地理解几 何概念，提高解题能力，为后续学习 打下基础。
向量可以表示平面向量 向量可以表示点在平面中的位置 向量可以表示直线和平面的方向 向量可以表示平面中的角度和距离
向量可以用于解决代数方程 向量可以表示为有序数对
向量可以用于研究函数的导 数和积分
向量可以用于表示圆锥曲线源自确定研究系统建立坐标系
用向量方法解决数学问题
用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。
这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。
首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。
而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。
可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。
使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。
第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。
其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。
在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。
几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。
矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。
对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。
同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。
如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。
第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
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一个向量结论在解题中的应用
发表时间：2012-05-22T09:35:18.000Z 来源：《时代报告（学术版）》2012年2月（上）供稿作者：杨振乾[导读] 我们知道，若是一个非零向量，则是一个与同方向的单位向量
杨振乾（河南省郑州市第十二中学河南郑州 450000）
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：41-1413（2012）02-0000-01
角平分线是一个非常重要的几何量，与它相关的问题在高考中常考不衰，考查角度常变，题型形式多样。
本文拟通过举例，说明一个向量结论在解此类问题中的应用。
我们知道，若是一个非零向量，则是一个与同方向的单位向量。
根据向量加法的平行四边形法则以及菱形的性质，容易得出以下结论：
若A、B、C是平面上不共线的三点, 为 BAC平分线上的向量，则 = （其中是非零实数且由的大小、方向确定）。
下面我们看该结论的应用。
例1 （2003高考天津、江苏）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则P的轨迹一定通过 ABC的（）
A 外心
B 内心
C 重心
D 垂心
解析：注意到即 =
由上述结论易知应选B.
练习：不共线的向量和的夹角平分线上的单位向量是（）
A +
B
C D
答案：D
例2 （2005高考天津）在直角坐标系xoy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在 AOB的平分线上且 =2，则 = 解析： =1， =5,且C在 AOB的平分线上
设 =
= ,
.
练习：（2006高考重庆）与向量的夹角相等，且模为1的向量是（）
A B 或
C D 或
提示：设所求向量为，由模为1求出。
答案：B。
例3 （2006高考陕西）已知非零向量与满足且，则 ABC为（）
Ａ三边均不相等的三角形Ｂ直角三角形
Ｃ等腰非等边三角形Ｄ等边三角形
解析：由知 ABC为等腰三角形，即ＡＢ＝ＡＣ．
又知＝，所以 ABC为等边三角形。
故选D。
例４（2010高考全国卷） ABC中，点Ｄ在边ＡＢ上，ＣＤ平分ＡＣＢ，若则＝（）A B C D
解析：ＣＤ平分ＡＣＢ， = ，
由于A、B、C、D四个选项中只有B与共线，故选B。
例5（2010安徽卷）已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率e = 。
（1）求椭圆E的方程。
（2）求的平分线所在直线L的方程。
解析：（1）。
（2）
，
设P（x,y）是的平分线上任意一点，则
因为与共线，所以
即
故的平分线所在直线L的方程为。
此类问题虽然有不同解法，但运用该结论解题、思路却更为简洁、流畅。