人教版数学高二课时作业1综合法和分析法

§2.2直接证明与间接证明

2．2.1综合法和分析法

一、选择题

1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则()

A．x>0，y>0 B．x<0，y<0

C．x>0，y<0 D．x<0，y>0

2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件是()

A．a2

C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2

3．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；

②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.

其中正确命题的个数是()

A．1 B．2 C．3 D．4

5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a索的因应是()

A．a－b>0

B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

6．下列不等式不成立的是()

A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

B.a＋b>a＋b(a>0，b>0)

C.a－a－1

D.2＋10>26

7．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a

≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0

B ．ab <0

C ．a >0，b <0

D ．a >0，b >0

8．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c

的值( ) A ．一定是正数

B ．一定是负数

C ．可能是0

D ．正、负不能确定

二、填空题

9．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________．

10．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12

[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 11．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a

＝________. 12．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．

三、解答题

13．已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α

＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)

.

14．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1

(n ∈N *)． (1)证明数列{1a n

}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16

.

答案精析

1．A 2.C 3.C 4.B

5．C [要证b 2－ac <3a ，

只需证b 2－ac <3a 2，

只需证b 2－ac －3a 2<0，

∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，

∴只需证(a ＋c )2－ac －3a 2<0，

得(a －c )(2a ＋c )>0，

需证(a －c )(a －b )>0.]

6．D [对A 选项，要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≥0， 只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0，

显然成立，故A 正确．

对B 选项，要证a ＋b >

a ＋

b (a >0，b >0)， 只需证(a ＋b )2>a ＋b ，

只需证2ab >0，

显然成立，故B 正确．

对C 选项，要证a －

a －1

a －3

只需证2a －3＋2a (a －3)<2a －3＋2

(a －2)(a －1)， 只需证a (a －3)<(a －2)(a －1)，

只需证a 2－3a

显然0<2，故C 正确．]

7．C [∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a

<0，

即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a

<0. ∴a b ＋b a

＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤－2 ⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭

⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a

≤－2成立的充要条件， ∴a >0，b <0是a b ＋b a

≤－2成立的一个充分而不必要条件．] 8．B [∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝0，又abc >0， ∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0.

∴ab ＋bc ＋ca <0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc

<0.] 9．a >b >0

解析 由a a >b b ，得a 3>b 3，

则a ，b 需满足a >b >0.

10．≤

解析 ∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )

＝2ab －(a ＋b )≤0，

∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，

则lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )，

即lg(1＋ab )≤12

[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 11．1

解析 由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，①

a b ＋c ＋b

a ＋c ＝a 2＋ac ＋

b 2＋b

c (b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc ab ＋ac ＋bc ＋c 2，② 将①式代入②式得a b ＋c ＋b a ＋c

＝1. 12．对角线互相垂直